新教材適用2024版高考數(shù)學一輪總復習第10章計數(shù)原理概率隨機變量及其分布第7講正態(tài)分布課件

第十章計數(shù)原理、概率、隨機變量及其分布第七講正態(tài)分布知識梳理·雙基自測名師講壇·素養(yǎng)提升考點突破·互動探究知識梳理·雙基自測X～N(μ，σ2)上方x＝μx＝μ1集中分散(2)正態(tài)總體在三個特殊區(qū)間內(nèi)取值的概率值(3σ原則)：①P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈________________；②P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈________________；③P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈________________.3σ原則：主要用于判定產(chǎn)品質(zhì)量是否合格，機器運行是否正常等，也就是說3σ之外的概率是小概率事件，如果發(fā)生了說明產(chǎn)品不合格、機器運行不正常等．0.68270.95450.9973對于正態(tài)分布N(μ，σ2)，由x＝μ是正態(tài)曲線的對稱軸知(1)P(X≥μ)＝P(X≤μ)＝0.5；(2)對任意的a有P(X<μ－a)＝P(X>μ＋a)；(3)P(X<x0)＝1－P(x≥x0)；(4)P(a<X<b)＝P(X<b)－P(X≤a)．注：在X服從正態(tài)分布，即X～N(μ，σ2)時，要充分利用正態(tài)曲線的關(guān)于直線x＝μ對稱和曲線與x軸之間的面積為1.√√√×題組二走進教材2．(選擇性必修3P87T2)某市高二年級男生的身高X(單位：cm)近似服從正態(tài)分布N(170,52)，則P(165<X≤180)＝________________.0.8186題組三走向高考3．(2022·新高考Ⅱ卷)已知隨機變量X服從正態(tài)分布N(2，σ2)，且P(2<X≤2.5)＝0.36，則P(X>2.5)＝___________.[解析]

因為X～N(2，σ2)，所以P(X<2)＝P(X>2)＝0.5，因此P(X>2.5)＝P(X>2)－P(2<X≤2.5)＝0.5－0.36＝0.14.0.14C5．(2021·全國新高考Ⅱ)某物理量的測量結(jié)果服從正態(tài)分布N(10，σ2)，下列結(jié)論中不正確的是(

)A．σ越小，該物理量在一次測量中在(9.9,10.1)的概率越大B．σ越小，該物理量在一次測量中大于10的概率為0.5C．σ越小，該物理量在一次測量中小于9.99與大于10.01的概率相等D．σ越小，該物理量在一次測量中落在(9.9,10.2)與落在(10,10.3)的概率相等D[解析]

對于A，σ2為數(shù)據(jù)的方差，所以σ越小，數(shù)據(jù)在μ＝10附近越集中，所以測量結(jié)果落在(9.9,10.1)內(nèi)的概率越大，故A正確；對于B，由正態(tài)分布密度曲線的對稱性可知該物理量一次測量大于10的概率為0.5，故B正確；對于C，由正態(tài)分布密度曲線的對稱性可知該物理量一次測量結(jié)果大于10.01的概率與小于9.99的概率相等，故C正確；對于D，因為該物理量一次測量結(jié)果落在(9.9,10.0)的概率與落在(10.2,10.3)的概率不同，所以一次測量結(jié)果落在(9.9,10.2)的概率與落在(10,10.3)的概率不同，故D錯誤．故選D.考點突破·互動探究

(1)(2023·廣東佛山南海區(qū)、三水區(qū)聯(lián)考)李明上學有時坐公交車，有時騎自行車，他各記錄了50次坐公交車和騎自行車所花的時間，經(jīng)數(shù)據(jù)分析得到，假設坐公交車用時X和騎自行車用時Y都服從正態(tài)分布，X～N(μ1,62)，Y～N(μ2,22)．X和Y的分布密度曲線如圖所示．則下列結(jié)果正確的是(

)A．D(X)＝6B．μ1>μ2C．P(X≤38)<P(Y≤38)D．P(X≤34)<P(Y≤34)例1考點一正態(tài)分布的性質(zhì)——自主練透C(2)(2022·河北唐山模擬)已知隨機變量X服從正態(tài)分布N(0,1)，隨機變量Y服從正態(tài)分布N(1,1)，且P(X>1)＝0.1587，則P(1<Y<2)＝(

)A．0.1587 B．0.3413C．0.8413 D．0.6587B對X～N(μ，σ2)中的μ，σ的意義不清楚，特別是對μ的認識不清楚，就會在解題時無從下手，導致隨便給出一個結(jié)果．這里μ是隨機變量X的均值，σ是標準差，x＝μ是正態(tài)分布密度曲線的對稱軸．涉及多條正態(tài)曲線問題常用正態(tài)總體在三個特殊區(qū)間內(nèi)分布的概率為常數(shù)(3σ原則)進行互化．D角度1正態(tài)曲線的對稱性(2023·黑龍江哈爾濱質(zhì)檢)某市有30000人參加階段性學業(yè)水平檢測，檢測結(jié)束后的數(shù)學成績X服從正態(tài)分布N(120，σ2)，若P(100≤X≤120)＝0.495，則成績在140分以上的大約為_________人．例2考點二正態(tài)分布——多維探究150角度2確定正態(tài)曲線的對稱軸(2022·福建模擬)已知隨機變量X服從正態(tài)分布N(μ，σ2)，若P(X<3)＋P(X≤1)＝1，則μ＝_____.例3[解析]

因為X服從正態(tài)分布N(μ，σ2)，所以P(X<3)＋P(X≥3)＝1，所以P(X≤1)＝P(X≥3)，由正態(tài)曲線的對稱性知對稱軸為X＝2，所以μ＝2.2例3A關(guān)于正態(tài)總體在某個區(qū)間內(nèi)取值的概率求法(1)熟記P(μ－σ<X≤μ＋σ)，P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)，P(μ－3σ<X≤μ＋3σ)的值；(2)充分利用正態(tài)曲線的對稱性和曲線與x軸之間面積為1.①正態(tài)曲線關(guān)于直線x＝μ對稱，從而在關(guān)于x＝μ對稱的區(qū)間上概率相等；②P(X<a)＝1－P(X≥a)，P(X<μ－a)＝P(X≥μ＋a)．C(3)(角度3)(2023·江蘇南京調(diào)研)已知隨機變量X～N(4,22)，則P(8＜X＜10)的值約為(

)附：若Y～N(μ，σ2)，則P(μ－σ<Y<μ＋σ)≈0.6827，P(μ－2σ<Y<μ＋2σ)≈0.9545，P(μ－3σ<Y<μ＋3σ)≈0.9974.A．0.0215 B．0.1359C．0.8186 D．0.9760A例3考點三正態(tài)分布的綜合應用A(2)(2022·山東青島二模)為調(diào)查禽類某種病菌感染情況，某養(yǎng)殖場每周都定期抽樣檢測禽類血液中A指標的值．養(yǎng)殖場將某周的5000只家禽血液樣本中A指標的檢測數(shù)據(jù)進行整理，繪成如下頻率分布直方圖①根據(jù)頻率分布直方圖，估計這5000只家禽血液樣本中A指標值的中位數(shù)(結(jié)果保留兩位小數(shù))；②通過長期調(diào)查分析可知，該養(yǎng)殖場家禽血液中A指標的值X服從正態(tài)分布N(7.4,2.632)．(ⅰ)若其中一個養(yǎng)殖棚有1000只家禽，估計其中血液A指標的值不超過10.03的家禽數(shù)量(結(jié)果保留整數(shù))；(ⅱ)在統(tǒng)計學中，把發(fā)生概率小于1%的事件稱為小概率事件，通常認為小概率事件的發(fā)生是不正常的．該養(yǎng)殖場除定期抽檢外，每天還會隨機抽檢20只，若某天發(fā)現(xiàn)抽檢的20只家禽中恰有3只血液中A指標的值大于12.66，判斷這一天該養(yǎng)殖場的家禽健康狀況是否正常，并分析說明理由．參考數(shù)據(jù)：①0.022753≈0.00001,0.9772517≈0.7；②若X～N(μ，σ2)，則P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.6827；P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.9545.解決正態(tài)分布問題的三個關(guān)鍵點若隨機變量X～N(μ，σ2)，則(1)對稱軸x＝μ；(2)標準差σ；(3)分布區(qū)間．利用對稱性可求指定范圍內(nèi)的概率值；由μ，σ，分布區(qū)間的特征進行轉(zhuǎn)化，使分布區(qū)間轉(zhuǎn)化為3σ特殊區(qū)間，從而求出所求概率(2)(2023·山東“學情空間”教研共同體聯(lián)考)《中國制造2025》是經(jīng)國務院總理李克強簽批，由國務院于2015年5月印發(fā)的部署全面推進實施制造強國的戰(zhàn)略文件，是中國實施制造強國戰(zhàn)略第一個十年的行動綱領(lǐng)．制造業(yè)是國民經(jīng)濟的主體，是立國之本、興國之器、強國之基．發(fā)展制造業(yè)的基本方針為質(zhì)量為先，堅持把質(zhì)量作為建設制造強國的生命線．某制造企業(yè)根據(jù)長期檢測結(jié)果，發(fā)現(xiàn)生產(chǎn)的產(chǎn)品質(zhì)量與生產(chǎn)標準的質(zhì)量差都服從正態(tài)分布N(μ，σ2)，并把質(zhì)量差在(μ－σ，μ＋σ)內(nèi)的產(chǎn)品為優(yōu)等品，質(zhì)量差在(μ＋σ，μ＋2σ)內(nèi)的產(chǎn)品為一等品，其余范圍內(nèi)的產(chǎn)品作為廢品處理．優(yōu)等品與一等品統(tǒng)稱為正品．現(xiàn)分別從該企業(yè)生產(chǎn)的正品和廢品中隨機抽取1000件，測得產(chǎn)品質(zhì)量差的樣本數(shù)據(jù)統(tǒng)計如下：(參考數(shù)據(jù)：若隨機變量ξ服從正態(tài)分布N(μ，σ2)，則：P(μ－σ<ξ≤μ＋σ)≈0.6827，P(μ－2σ<ξ≤μ＋2σ)≈0.9545，P(μ－3σ<ξ≤μ＋3σ)≈0.9973.)③假如企業(yè)包裝時要求把3件優(yōu)等品和5件一等品裝在同一個箱子中，質(zhì)檢員每次從箱子中摸出三件產(chǎn)品進行檢驗，記摸出三件產(chǎn)品中優(yōu)等品的件數(shù)為X，求X的分布列以及期望值．名師講壇·素養(yǎng)提升題型一概率與統(tǒng)計圖表的綜合應用(2023·上海八校聯(lián)考)研究表明，過量的碳排放會導致全球氣候變暖等環(huán)境問題，減少碳排放具有深遠的意義．中國明確提出節(jié)能減排的目標與各項措施，在公路交通運輸領(lǐng)域，新能源汽車逐步取代燃油車是措施之一．中國某地區(qū)從2015年至2021年每年汽車總銷量如圖，每年新能源汽車銷量占比如表．(注：汽車總銷量指新能源汽車銷量與非新能源汽車銷量之和)例6概率與統(tǒng)計的綜合應用(1)從2015年至2021年中隨機選取一年，求這一年該地區(qū)汽車總銷量不小于5.5萬輛的概率；(2)從2015年至2021年中隨機選取兩年，設X表示新能源汽車銷量超過0.5萬輛的年份的個數(shù)，求X的分布列和數(shù)學期望．(2)由圖表得新能源汽車2015～2021年的銷量如下表：新能源汽車銷量超過0.5萬輛的年份有2個，不超過0.5萬輛的年份有5個，則隨機變量X可能的取值為0,1,2，年份2015201620172018201920202021新能源汽車銷量0.06150.1120.1680.2750.4560.541.16題型二概率與回歸分析的綜合應用(2022·山東臨沂模擬)在疫情防控常態(tài)化的背景下，山東省政府各部門在保安全、保穩(wěn)定的前提下有序恢復生產(chǎn)、生活和工作秩序，五一期間，文旅部門在落實防控舉措的同時，推出了多款套票文旅產(chǎn)品，得到消費者的積極回應．下面是文旅部門在某地區(qū)推出六款不同價位的旅游套票，每款的套票價格x(單位：元)與購買人數(shù)y(單位：萬人)的數(shù)據(jù)如下表：例6旅游類別城市展館科技游鄉(xiāng)村特色游齊魯紅色游登山套票游園套票觀海套票套票價格x(元)394958677786購買數(shù)量y(萬人)16.718.720.622.524.125.6在分析數(shù)據(jù)、描點繪圖中，發(fā)現(xiàn)散點(vi，ωi)(1≤i≤6)集中在一條直線附近，其中vi＝lnxi，ωi＝lnyi題型三概率與獨立性檢驗的綜合應用(2023·山東青島調(diào)研)為了有針對性地提高學生體育鍛煉的積極性，某中學需要了解性別因素是否對學生體育鍛煉的經(jīng)常性有影響，為此隨機抽查了男、女生各100名，得到如下數(shù)據(jù)：例6性別鍛煉不經(jīng)常經(jīng)常女生4060男生2080(1)根據(jù)小概率值α＝0.005的獨立性檢驗，分析性別因素與學生體育鍛煉的經(jīng)常性有無關(guān)聯(lián)；(2)從這200人中隨機選擇1人，已知選到的學生經(jīng)常參加體育鍛煉，求他是男生的概率；α0.0100.0050.001xα6.6357.87910.828例6〔變式訓練4〕(1)(2023·甘肅張掖診斷)某“雙一流”大學專業(yè)獎學金以所學專業(yè)各科考試成績作為評選依據(jù)，分為專業(yè)一等獎學金(獎金額3000元)、專業(yè)二等獎學金(獎金額1500元)及專業(yè)三等獎學金(獎金額600元)，且專業(yè)獎學金每個學生一年最多只能獲得一次．圖(1)是統(tǒng)計了該校2022年500名學生周課外平均學習時間頻率分布直方圖，圖(2)是這500名學生在2022年周課外平均學習時間段獲得專業(yè)獎學金的頻率柱狀圖．①求這500名學生中獲得專業(yè)三等獎學金的人數(shù)；②若周課外平均學習時間超過35小時稱為“努力型”學生，否則稱為“非努力型”學生，列2×2列聯(lián)表并判斷是否有99.9%的把握認為該校學生獲得專業(yè)一、二等獎學金與是否是“努力型”學生有關(guān)？①若將該部門獲得決賽資格的小組數(shù)記為X，求X的分布列與數(shù)學期望；②比賽規(guī)定：參與決賽的小組由4人組成，每人必須答題且只答題一次(與答題順序無關(guān))，若4人全部答對就給予獎金，若沒有全部答對但至少2人答對就被評為“優(yōu)秀小組”．該部門對通過初賽的某一小組進行黨史知識培訓，使得每個成員答對每題的概率均為p(0<p<1)且相互獨立，設該參賽小組被評為“優(yōu)秀小組”的概率為f(p)，當p＝p0時，f(p)最大，試求p0的值．[解析]

(1)①獲得三等獎學金的頻率為：(0.008＋0.016＋0.04)×5×0.15＋(0.04＋0.056＋0.016)×5×0.4＋(0.016＋0.008)×5×0.4＝0.32，50