高考數(shù)學(xué)一元二次不等式及其解法大全含練習(xí)和答案

一元二次不等式及其解法1．一元二次不等式()與對(duì)應(yīng)的二次函數(shù)（）及一元二次方程（）的關(guān)系(簡稱三個(gè)二次之間的關(guān)系)學(xué)校向鑒別式Δ＝b2－4acΔ>0Δ＝0Δ<0二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a>0)的圖象一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根有兩相異實(shí)根有兩相等實(shí)根沒有實(shí)數(shù)根ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集Rax2＋bx＋c<0(a>0)的解集注：（1）若時(shí)，能夠先將二次項(xiàng)系數(shù)化為正數(shù)，若對(duì)應(yīng)方程有兩實(shí)根，則可根據(jù)“不不大于取兩邊，不大于取中間”求解集。2．簡樸的分式不等式(1)______________；（2）____________(3)___________（4）_____________3.二次不等式恒成立的條件（1）ax2＋bx＋c>0(a≠0)對(duì)一切x∈R恒成立的充要條件是___________（2）ax2＋bx＋c<0(a≠0)對(duì)一切x∈R恒成立的充要條件是___________1．(人教A版教材習(xí)題改編)不等式2x2－x－1＞0的解集是()A．(－eq\f(1,2)，1)B．(1，＋∞)C．(－∞，1)∪(2，＋∞)D．(－∞，－eq\f(1,2))∪(1，＋∞)2．不等式eq\f(x－1,2x＋1)≤0的解集為()A．(－eq\f(1,2)，1]B．{x|x≥1或x＜－eq\f(1,2)}C．[－eq\f(1,2)，1]D．{x|x≥1或x≤－eq\f(1,2)}3．(·福建高考)已知有關(guān)x的不等式x2－ax＋2a>0在R上恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范疇是________．4．一元二次不等式ax2＋bx＋2＞0的解集是(－eq\f(1,2)，eq\f(1,3))，則a＋b的值是________．（一）考向1一元二次不等式的解法例1求下列不等式的解集（1）（2）3＋2x－x2≥0；（3）（4）（5）（6）eq\f(2x,x－1)≤1解一元二次不等式的環(huán)節(jié)：(1)把二次項(xiàng)系數(shù)化為正數(shù)；(2)先考慮因式分解法，再考慮求根公式法或配辦法或鑒別式法；(3)寫出不等式的解集．變式訓(xùn)練1解下列不等式：（1）（2）（3）（4）（5）（6）－1≤x2＋2x－1≤2；（二）考向2三個(gè)二次的關(guān)系例2已知有關(guān)x的不等式x2＋ax＋b＜0的解集(－1，2)，試求有關(guān)x的不等式ax2＋x＋b＜0的解集．【思路點(diǎn)撥】不等式解集的端點(diǎn)值是對(duì)應(yīng)方程的根．(1)給出一元二次不等式的解集，則可知二次項(xiàng)系數(shù)的符號(hào)和對(duì)應(yīng)一元二次方程的兩根．(2)三個(gè)二次的關(guān)系體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合，以及函數(shù)與方程的思想辦法．變式訓(xùn)練2若有關(guān)x的不等式eq\f(ax,x－1)＜1的解集是{x|x＜1或x＞2}，求實(shí)數(shù)a的取值范疇．（三）考向3含參數(shù)的一元二次不等式的解法求不等式12x2－ax＞a2(a∈R)的解集．【思路點(diǎn)撥】先求方程12x2－ax＝a2的根，討論根的大小，擬定不等式的解集．解含參數(shù)的一元二次不等式的環(huán)節(jié)(1)二次項(xiàng)若含有參數(shù)應(yīng)討論參數(shù)是等于0，不大于0，還是不不大于0，然后將不等式轉(zhuǎn)化為二次項(xiàng)系數(shù)為正的形式．(2)判斷方程實(shí)根的個(gè)數(shù)，討論鑒別式Δ與0的關(guān)系．(3)擬定方程無實(shí)根時(shí)可直接寫出解集，擬定方程有兩個(gè)相異實(shí)根時(shí)，要討論兩實(shí)根的大小關(guān)系，從而擬定解集形式．變式訓(xùn)練3解有關(guān)x的不等式x2－(a＋1)x＋a＜0.（四）考向4不等式恒成立問題若不等式mx2－mx－1＜0對(duì)一切實(shí)數(shù)x恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范疇．【思路點(diǎn)撥】分m＝0與m≠0兩種狀況討論，當(dāng)m≠0時(shí)，用鑒別式法求解．1．不等式ax2＋bx＋c＞0的解是全體實(shí)數(shù)(或恒成立)的條件是當(dāng)a＝0時(shí)，b＝0，c＞0；當(dāng)a≠0時(shí)，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＞0，,Δ＜0；))不等式ax2＋bx＋c＜0的解是全體實(shí)數(shù)(或恒成立)的條件是當(dāng)a＝0時(shí)，b＝0，c＜0；當(dāng)a≠0時(shí)，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＜0，,Δ＜0.))2．解決恒成立問題一定要搞清誰是主元，誰是參數(shù)，普通地，懂得誰的范疇，誰就是主元，求誰的范疇，誰就是參數(shù)．變式訓(xùn)練4對(duì)任意a∈[－1，1]不等式x2＋(a－4)x＋4－2a＞0恒成立，則實(shí)數(shù)x的取值范疇是________．一種過程解一元二次不等式的普通過程是：一看(看二次項(xiàng)系數(shù)的符號(hào))，二算(計(jì)算鑒別式，判斷方程根的狀況)，三寫(寫出不等式的解集)．兩點(diǎn)聯(lián)想不等式ax2＋bx＋c＞0(或ax2＋bx＋c＜0)(a≠0)的求解，善于聯(lián)想：(1)二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c的圖象與x軸的交點(diǎn)，(2)方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根，運(yùn)用好“三個(gè)二次”間的關(guān)系．三個(gè)防備1.二次項(xiàng)系數(shù)中含有參數(shù)時(shí)，參數(shù)的符號(hào)影響不等式的解集；不要忘了二次項(xiàng)系數(shù)與否為零的狀況．2．解含參數(shù)的一元二次不等式，可先考慮因式分解，再對(duì)根的大小進(jìn)行分類討論；若不能因式分解，則可對(duì)鑒別式進(jìn)行分類討論，分類要不重不漏．3．不同參數(shù)范疇的解集切莫取并集，應(yīng)分類表述．學(xué)時(shí)訓(xùn)練1.設(shè)集合M=，N=等于（）A．B.(1,3)C.(0,1)D.(-1,0)2.在R上定義運(yùn)算，若不等式對(duì)任意實(shí)數(shù)成立，則（）A、B、C、D、3．“|x－1|＜2成立”是“x(x－3)＜0成立”的()A．充足不必要條件B．必要不充足條件C．充足必要條件D．既不充足也不必要條件4.定義運(yùn)算，則不等式的解集為（）A．B.C.D.5.設(shè)A＝{x∈Z||x－2|≤5}，則A中最小元素為()A．2B．－3C．7D．06、不等式的解集為的解集為（）A、B、C、D、7．設(shè)x∈R，則“x>eq\f(1,2)”是“2x2＋x－1>0”的()A．充足而不必要條件B．必要而不充足條件C．充足必要條件D．既不充足也不必要條件8.不等式的解集為（）A.B.C.D.9．“有關(guān)x的不等式x2－2ax＋a＞0的解集為R”是“0≤a≤1”()A．充足而不必要條件B．必要而不充足條件C．充要條件D．既不充足也不必要條件10.不等式成立的一種必要不充足條件是（）A．B.C.D.11.不等式對(duì)任意實(shí)數(shù)恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范疇為（）A．B.C.D.12、若函數(shù)是奇函數(shù)，則滿足的取值范疇是________13.若不等式的解集是[-4,3]的子集，則的取值范疇是________14．已知不等式|x－2|＞1的解集與不等式x2＋ax＋b＞0的解集相等，則a＋b的值為________．15.設(shè)命題p：2x2－3x＋1≤0；命題q：x2－(2a＋1)x＋a(a＋1)≤0，若命題p是命題q的必要不充足條件，則實(shí)數(shù)a的取值范疇是________．不等式ax2＋4x＋a＞1－2x2對(duì)一切x∈R恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范疇是________．一元二次不等式及其解法答案1、D【解析】∵2x2－x－1＝(x－1)(2x＋1)＞0，∴x＞1或x＜－eq\f(1,2).故原不等式的解集為(－∞，－eq\f(1,2))∪(1，＋∞)．2、A【解析】原不等式等價(jià)于.∴原不等式的解集為(－eq\f(1,2)，1]．3、(0，8)【解析】∵x2－ax＋2a>0在R上恒成立，∴Δ＝a2－4×2a<0，∴0<a<8.4、－14【解析】由已知得方程ax2＋bx＋2＝0的兩根為－eq\f(1,2)，eq\f(1,3).則eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－\f(b,a)＝－\f(1,2)＋\f(1,3),\f(2,a)＝（－\f(1,2)）×\f(1,3)))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝－12，,b＝－2，))∴a＋b＝－14.典例分析：例1：（1）原不等式可化為故原不等式的解集為（2）原不等式化為x2－2x－3≤0，即(x－3)(x＋1)≤0，故原不等式的解集為{x|－1≤x≤3}．（3）原不等式可化為故原不等式的解集為（4）原不等式可化為原不等式的解集為（5）原不等式可化為故原不等式的解集為(6)∵eq\f(2x,x－1)≤1?eq\f(2x,x－1)－1≤0?eq\f(x＋1,x－1)≤0?∴原不等式的解集為[－1，1)．變式訓(xùn)練1（1）∴原不等式的解集為（2）原不等式可化為∴原不等式的解集為（3）∵－2x2－5x＋3＞0，∴2x2＋5x－3＜0，∴(2x－1)(x＋3)＜0，∴原不等式的解集為{x|－3＜x＜eq\f(1,2)}．（4）原不等式可化為∴原不等式的解集為（5）原不等式可化為∴原不等式的解集為（6）這是一種雙向不等式，可轉(zhuǎn)化為不等式組eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x2＋2x－1≥－1，,x2＋2x－1≤2，))即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x2＋2x≥0，①,x2＋2x－3≤0.②))由①得x≥0或x≤－2；由②得－3≤x≤1.故得所求不等式的解集為{x|－3≤x≤－2或0≤x≤1}.例2由于x2＋ax＋b＜0的解集是(－1，2)，因此eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(1－a＋b＝0，,4＋2a＋b＝0，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝－1，,b＝－2.))故不等式即為－x2＋x－2＜0，∵eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－1＜0，,Δ＝1－8＝－7＜0))∴不等式ax2＋x＋b＜0的解集為R.,變式訓(xùn)練2解：eq\f(ax,x－1)＜1?eq\f(（a－1）x＋1,x－1)＜0?[(a－1)x＋1](x－1)＜0，由原不等式的解集是{x|x＜1或x＞2}，知eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a－1＜0，,－\f(1,a－1)＝2))?a＝eq\f(1,2).∴實(shí)數(shù)a的取值范疇是{eq\f(1,2)}．例3∵12x2－ax＞a2，∴12x2－ax－a2＞0，即(4x＋a)(3x－a)＞0，令(4x＋a)(3x－a)＝0，得：x1＝－eq\f(a,4)，x2＝eq\f(a,3).①a＞0時(shí)，－eq\f(a,4)＜eq\f(a,3)，解集為{x|x＜－eq\f(a,4)或x＞eq\f(a,3)}；②a＝0時(shí)，x2＞0，解集為{x|x∈R且x≠0}；③a＜0時(shí)，－eq\f(a,4)＞eq\f(a,3)，解集為{x|x＜eq\f(a,3)或x＞－eq\f(a,4)}．總而言之：當(dāng)a＞0時(shí)，不等式的解集為{x|x＜－eq\f(a,4)或x＞eq\f(a,3)}；當(dāng)a＝0時(shí)，不等式的解集為{x|x∈R且x≠0}；當(dāng)a＜0時(shí)，不等式的解集為{x|x＜eq\f(a,3)或x＞－變式訓(xùn)練3【解】原不等式可化為(x－a)(x－1)＜0.當(dāng)a＞1時(shí)，原不等式的解集為(1，a)；當(dāng)a＝1時(shí)，原不等式的解集為空集；當(dāng)a＜1時(shí)，原不等式的解集為(a，例4要使mx2－mx－1＜0對(duì)一切實(shí)數(shù)x恒成立，若m＝0，顯然－1＜0；若m≠0，則eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m＜0，,Δ＝m2＋4m＜0，))解得－4＜m＜0，故實(shí)數(shù)m的取值范疇是(－4，0]．,變式訓(xùn)練4【解析】設(shè)f(a)＝(x－2)a＋x2－4x＋4，則原問題可轉(zhuǎn)化為一次函數(shù)(或常數(shù)函數(shù))f(a)在區(qū)間[－1，1]上恒正時(shí)x應(yīng)滿足的條件，故應(yīng)有eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(f（－1）＞0，,f（1）＞0.))即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x2－5x＋6＞0，,x2－3x＋2＞0，))化為eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(（x－2）（x－3）＞0，,（x－1）（x－2）＞0.))解之，得x＜1或x＞3.學(xué)時(shí)訓(xùn)練1、B解：由，得由，得因此2、C解：對(duì)任意實(shí)數(shù)成立，即對(duì)任意實(shí)數(shù)成立恒成立3.B【解析】∵|x－1|＜2?－1＜x＜3，又x(x－3)＜0?0＜x＜3.則(0，3)(－1，3)．4、C解：由題意可知原不等式即為，5.B【解析】由|x－2|≤5，得－3≤x≤7，又x∈Z，∴A中的最小元素為－36、C解：由題意知2,3是方程的解7、A【解析】2x2＋x－1>0的解集為{x|x>eq\f(1,2)或x<－1}，故由x>eq\f(1,2)?2x2＋x－1>0，但2x2＋x－1>0D?/x>eq\f(1,2).則“x＞eq\f(1,2)”是“2x2＋x－1＞0”的充足不必要條件．8、B解：由，得則解得9、A【解析】有關(guān)x的不等式x2－2ax＋a＞0的解集為R，則Δ＝4a2－4a＜0，解得0＜a＜1，