華師版數(shù)學(xué)九年級(jí)上冊(cè) 24.3 銳角三角函數(shù)

第24章解直角三角形24.3

銳角三角函數(shù)第1課時(shí)

銳角三角函數(shù)華師版數(shù)學(xué)九年級(jí)上冊(cè)1.

在

Rt△ABC

中，∠C

=

90°，AB

=

10，BC

=

6，

AC

=

______.2.在

Rt△ABC

中，∠C

=

90°，∠A

=

30°，

AB

=

10

cm，則

BC

=

cm，理由是回顧與思考8530°所對(duì)直角邊是斜邊的一半

.任意畫Rt△ABC

和Rt△A'B'C'，使得∠C＝∠C'＝90°，∠A＝∠A'＝α，那么與有什么關(guān)系．能解釋一下嗎？ABCA'B'C'銳角三角函數(shù)定義及三角函數(shù)之間的關(guān)系探究歸納

在圖中，由于∠C＝∠C'＝90°，∠A＝∠A'＝α，所以Rt△ABC∽R(shí)t△A'B'C'

這就是說，在直角三角形中，當(dāng)銳角

A的度數(shù)一定時(shí)，不管三角形的大小如何，∠A的對(duì)邊與斜邊的比是一個(gè)固定值．ABCA'B'C'

如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A的對(duì)邊與斜邊的比叫做∠A的正弦（sine），記作

sinA

，

即ABCcab對(duì)邊斜邊在圖中，∠A的對(duì)邊記作

a，∠B的對(duì)邊記作

b，∠C的對(duì)邊記作

c歸納例如，當(dāng)∠A＝30°時(shí)，我們有當(dāng)∠A＝45°時(shí)，我們有ABCcab如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，當(dāng)銳角∠A確定時(shí)，∠A的對(duì)邊與斜邊的比就隨之確定，此時(shí)，其他邊之間的比是否也確定了呢？為什么？B對(duì)邊

aAC鄰邊

b斜邊

c探究歸納任意畫Rt△ABC

和

Rt△A'B'C'，使得∠C＝∠C'＝90°，∠A＝∠A'＝α，那么

與

有什么關(guān)系？你能試著分析一下嗎？ABCA'B'C'探究歸納

這就是說，在直角三角形中，當(dāng)銳角

A的度數(shù)一定時(shí)，不管三角形的大小如何，∠A的鄰邊與斜邊的比也是一個(gè)固定值．

在圖中，由于∠C＝∠C'＝90°，∠A＝∠A'＝α，所以Rt△ABC∽R(shí)t△A'B'C'ABCA'B'C'

∠A的鄰邊與斜邊的比叫做∠A的余弦（cosine），記作cosA，即歸納ABCcab對(duì)邊斜邊在圖中，∠A的對(duì)邊記作

a，∠B的對(duì)邊記作

b，∠C的對(duì)邊記作

c如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，正弦余弦注意：1.sinA、cosA是在直角三角形中定義的，∠A是銳角(注意數(shù)形結(jié)合，構(gòu)造直角三角形).2.sinA、cosA是一個(gè)比值（數(shù)值）.3.sinA、cosA的大小只與∠A的大小有關(guān)，而與直角三角形的邊長(zhǎng)無關(guān).

當(dāng)直角三角形的一個(gè)銳角的大小確定時(shí)，其對(duì)邊與鄰邊比值也是唯一確定的嗎？探究歸納如圖，Rt△ABC和Rt△A′B′C′，∠C=∠C′=90°，∠A=∠A′=α，問：有什么關(guān)系？ACBCA′C′B′C′與ABCA'B'C'∵∠C=∠C′=90°，∠A=∠A′=α，∴Rt△ABC∽R(shí)t△A′B′C′在直角三角形中，當(dāng)銳角∠A的度數(shù)一定時(shí)，不管三角形的大小如何，∠A的對(duì)邊與鄰邊的比是一個(gè)固定值.

如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A的對(duì)邊與鄰邊的比叫做∠A的正切（tan），記作

tanA

，

即ABCcab對(duì)邊斜邊在圖中，∠A的對(duì)邊記作

a，∠B的對(duì)邊記作

b，∠C的對(duì)邊記作

c歸納一個(gè)角的正切表示定值、比值、正值.ABC┌思考：銳角∠A的正切值可以等于1嗎？為什么？可以大于1嗎？

對(duì)于銳角∠A的每一個(gè)確定的值，tanA都有唯一的確定的值與它對(duì)應(yīng).答：可以等于

1，此時(shí)為等腰直角三角形；也可以大于

1.延伸1.如圖，Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，圖中sinB可由哪兩條線段的比求得.DCBA解：在Rt△ABC中，在Rt△BCD中，因?yàn)椤螧=∠ACD，所以求一個(gè)角的正弦值，除了用定義直接求外，還可以轉(zhuǎn)化為求和它相等角的正弦值.

2.如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，BC＝6，求sinA、cosA、tanA的值．解：∵

，又∵ABC6103.如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，cosA＝，求sinA、tanA的值．解：∵

，ABC∴設(shè)

AC=15k，則

AB=17k.∴.4.填空：下圖中∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足為

D.ABCD(1)tanA==AC()CD(

)(2)

tanB==BC()CD()

BCADBDAC5.如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，tanA＝，求：sinA、cosB的值．ABC8解：在Rt△ABC中定義中應(yīng)該注意的幾個(gè)問題：1.sinA、cosA、tanA是在直角三角形中定義的，∠A是銳角(注意數(shù)形結(jié)合，構(gòu)造直角三角形).2.sinA、cosA、tanA是一個(gè)比值（數(shù)值）.3.sinA、cosA

、tanA的大小只與∠A的大小有關(guān)，而與直角三角形的邊長(zhǎng)無關(guān).第24章解直角三角形24.3

銳角三角函數(shù)第2課時(shí)

特殊角的三角函數(shù)值華師版數(shù)學(xué)九年級(jí)上冊(cè)1.在

Rt△ABC

中，∠C

=

90°，cos

A

=，BC=8，則

AB

=____，AC

=____，sin

B

=

，△ABC

的周長(zhǎng)是____.2.在

Rt△ABC

中，∠C

=

90°，∠B

=

45°，則∠A

=_____，設(shè)

AB

=

k，則

AC=____，BC=____，sin

B

=sin

45°=____，cos

B=

cos

45°=____，tan

B

=tan

45°=____.回顧與思考1062445°1____兩塊三角尺中有幾個(gè)不同的銳角？分別求出這幾個(gè)銳角的正弦值、余弦值和正切值．特殊角的三角函數(shù)30°60°45°45°設(shè)30°所對(duì)的直角邊長(zhǎng)為

a，那么斜邊長(zhǎng)為2a，另一條直角邊長(zhǎng)=∴30°60°∴30°60°設(shè)兩條直角邊長(zhǎng)為a，則斜邊長(zhǎng)=∴45°45°30°、45°、60°角的正弦值、余弦值和正切值如下表：

銳角a三角函數(shù)30°45°60°sinacosatana歸納1特殊三角函數(shù)值的運(yùn)用1.求下列各式的值：提示：cos260°

表示(cos

60°)2，即(cos

60°)×(cos

60°).解：cos260°

+sin260°(1)cos260°

+sin260°；(2)解：2.操場(chǎng)里有一個(gè)旗桿，老師讓小明去測(cè)量旗桿高度，小明站在離旗桿底部10米遠(yuǎn)處，目測(cè)旗桿的頂部，視線與水平線的夾角為30°，并已知目高為1.65米．然后他很快就算出旗桿的高度了.10m30°1.65m？)你想知道小明怎樣算出的嗎？1.如圖，在

△ABC中，∠A=30°，求

AB.ABCD解：過點(diǎn)

C作

CD⊥AB于點(diǎn)

D，∠A=30°，2.求下列各式的值：（1）1－2sin30°cos30°（2）3tan30°－tan45°+2sin60°（3）解：（1）1－2sin30°cos30°（2）3tan30°－tan45°+2sin60°（3）3.在Rt△ABC中，∠C＝90°，求∠A、∠B的度數(shù)．BAC解：由勾股定理知∴∠A=30°，∠B=90°－∠

A=90°－30°=60°.30°、45°、60°角的正弦值、余弦值和正切值如下表：

銳角α三角函數(shù)30°45°60°sinαcosαtanα第24章解直角三角形24.3

銳角三角函數(shù)第3課時(shí)

用計(jì)算器求銳角三角函數(shù)值華師版數(shù)學(xué)九年級(jí)上冊(cè)1.同學(xué)們，前面我們學(xué)習(xí)了特殊角

30°、45°、60°

的三角函數(shù)值，一些非特殊角(如17°、56°、89°

等)的三角函數(shù)值又怎么求呢？回顧與思考2.升國(guó)旗時(shí)，小明站在操場(chǎng)上離國(guó)旗20m處行注目禮.當(dāng)國(guó)旗升至頂端時(shí)，小明看國(guó)旗視線的仰角為42°(如圖所示)，若小明雙眼離地面1.60m，你能幫助小明求出旗桿

AB

的高度嗎？DABE1.6m20m42°C)這里的tan42°是多少呢？用計(jì)算器求銳角三角函數(shù)值1.求sin18°．第一步：按計(jì)算器鍵，sin第二步：輸入角度值

18，屏幕顯示結(jié)果

sin18°=0.309016994（也有的計(jì)算器是先輸入角度再按函數(shù)名稱鍵）.第二種方法：第一步：按計(jì)算器鍵，tan第二步：輸入角度值

30.6

（因?yàn)?0°36'＝30.6°）屏幕顯示答案：0.591398351.第二種方法：求tan30°36'.

如果已知銳角三角函數(shù)值，也可以使用計(jì)算器求出相應(yīng)的銳角．根據(jù)三角函數(shù)值求銳角度數(shù)

已知sinA=0.5086，用計(jì)算器求銳角

A可以按照下面方法操作：還可以再按鍵

鍵，進(jìn)一步得到∠A＝30°34'14".第一步：按計(jì)算器(sin-1)鍵，SHIFTsin第二步：然后輸入函數(shù)值

0.5086屏幕顯示答案：30.57062136°

°＇″操作演示1．用計(jì)算器求下列銳角三角函數(shù)值；（1）sin20°=，cos70°=；（2）tan3°8'=，tan80°25'43″=.sin35°=，cos55°=；sin15°32'=，cos74°28'=.分析第1（1）題的結(jié)果，你能得出什么猜想，你能說明你的猜想嗎？拓廣探索0.26785.9300.26780.34200.34200.57350.57350.0547正弦值隨著

α角度的增大（或減小）而增大（或減?。┯嘞抑惦S著

α角度的增大（或減?。┒鴾p?。ɑ蛟龃螅┱兄惦S著

α