材料力學：第八章-應力應變狀態(tài)分析

第

8

章應力應變狀態(tài)分析

平面應力\應變狀態(tài)應力圓極值應力與主應力復雜應力狀態(tài)的最大應力平面應變狀態(tài)應變分析廣義胡克定律本章主要研究內(nèi)容§1

引言

實例

應力與應變狀態(tài)

平面與空間應力狀態(tài)微體A

應力與應變狀態(tài)研究方法環(huán)繞研究點切取微體，因微體邊長趨于零，微體趨于所研究的點，故通常通過微體，研究一點處的應力與應變狀態(tài)研究目的研究一點處的應力、應變及其關(guān)系，目的是為構(gòu)件的應力、變形與強度分析提供更廣泛的理論基礎(chǔ)構(gòu)件內(nèi)一點處所有微截面的應力總況或集合，稱為該點處的應力狀態(tài)應力狀態(tài)應變狀態(tài)構(gòu)件內(nèi)一點處沿所有方位的應變總況或集合,稱為該點處的應變狀態(tài)

平面與空間應力狀態(tài)僅在微體四側(cè)面作用應力，且應力作用線均平行于微體的不受力表面－平面應力狀態(tài)平面應力狀態(tài)的一般形式微體各側(cè)面均作用有應力－空間應力狀態(tài)空間應力狀態(tài)一般形式§2

平面應力狀態(tài)應力分析

斜截面應力分析

例題

斜截面應力分析建立斜截面應力sa,

ta

與sx,

tx,sy,

ty

的關(guān)系問題：正負符號規(guī)定：

方位角a

－以x軸為始邊、逆時針旋轉(zhuǎn)為正

切應力t－使微體沿順時針

旋轉(zhuǎn)為正方位用a

表示；應力為

sa,

ta斜截面：//z

軸；斜截面應力公式推導設(shè)α斜截面面積為dA,則eb側(cè)面和bf底面面積分別為dAcosα,dAsinα由于tx

與ty

數(shù)值相等，同時斜截面應力公式上述關(guān)系建立在靜力學基礎(chǔ)上，所得結(jié)論既適用于各向同性與線彈性情況，也適用于各向異性、非線彈性與非彈性問題斜截面應力公式任意兩互相垂直截面的正應力之和為常數(shù)

例題例

2-1計算截面

m-m

上的應力解：正應力:拉正壓負;切應力:使方塊順時針轉(zhuǎn)動為正第

8

章應力應變狀態(tài)分析

平面應力\應變狀態(tài)應力圓極值應力與主應力復雜應力狀態(tài)的最大應力平面應變狀態(tài)應變分析廣義胡克定律本章主要研究內(nèi)容回顧

斜截面應力分析建立斜截面應力sa,

ta

與sx,

tx,sy,

ty

的關(guān)系問題：正負符號規(guī)定：

方位角a

－以x軸為始邊、逆時針旋轉(zhuǎn)為正

切應力t－使微體沿順時針

旋轉(zhuǎn)為正方位用a

表示；應力為

sa,

ta斜截面：//z

軸；回顧設(shè)α斜截面面積為dA,則eb側(cè)面和bf底面面積分別為dAcosα,dAsinα回顧由于tx

與ty

數(shù)值相等，同時斜截面應力公式回顧上述關(guān)系建立在靜力學基礎(chǔ)上，所得結(jié)論既適用于各向同性與線彈性情況，也適用于各向異性、非線彈性與非彈性問題斜截面應力公式任意兩互相垂直截面的正應力之和為常數(shù)回顧§3

應力圓

應力圓

應力圓的繪制與應用

應力圓應力圓移項圓心(),半徑應力圓方程兩等式兩邊平方后相加

應力圓方程的特點應力圓圓心(),半徑應力圓方程應力圓方程仍成立(2)x,y截面的應力點連線過圓心(1)x,y截面是應力圓上的兩點點和點的中點是,此2點之距是圓直徑

應力圓方程的特點應力圓圓心(),半徑應力圓方程(3)應力圓關(guān)于x軸對稱,圓心在x軸上(切應力互等定理的體現(xiàn))

利用直徑端點確定應力圓方程圓心(),半徑應力圓方程x截面和y截面的應力對應應力圓上D,E兩點,D,E連線的中點為應力圓圓心,D,E兩點距離即應力圓直徑。x截面:y截面:圓心:

由應力圓反推斜面應力參數(shù)公式應力圓移項圓心(),半徑應力圓方程兩等式兩邊平方后相加由應力圓反推斜面應力參數(shù)公式

應力圓的繪制與應用:由x,y截面應力畫應力圓已知sx,

tx,sy,畫相應應力圓應力圓的繪制先確定D,E兩點位置,過此二點畫圓即為應力圓

應力圓的繪制方法(1):由x,y截面應力畫應力圓應力圓繪制先確定D,E兩點位置,過此二點畫圓即為應力圓已知sx,

tx,sy,ty,畫應力圓

應力圓的繪制方法(2):由垂直截面應力畫應力圓應力圓繪制先確定D,E兩點位置,過此二點畫圓即為應力圓已知sa

,

ta,sa+90

,

ta+90

,畫應力圓

應力圓的繪制方法(3):由主應力畫應力圓應力圓繪制在水平軸上確定D,E兩點位置,過此二點畫圓即為應力圓已知主應力s1,

s2,畫應力圓

應力圓的繪制方法(4):由2斜面應力畫應力圓由|DC|=|CE|,可得sC值:應力圓繪制作D,E連線中垂線,與x軸相交即為應力圓圓心已知sa

,

ta,sb

,tb

,畫應力圓點、面對應關(guān)系

轉(zhuǎn)向相同，轉(zhuǎn)角加倍

互垂截面，對應同一直徑兩端用應力圓求斜截面應力同理可證：

x截面法線(x軸)對應應力圓半徑CD

左右兩個平行截面相差180度，對應應力圓上同一點(2×180度)注意例

3-1利用應力圓求截面

m-m

上的應力解：1.畫應力圓2.由應力圓求截面x:

點A(-100,-60);截面y:點B(50,60)由A點（截面x

）順時針轉(zhuǎn)60o至D點（截面m-m）

例題§4

極值應力與主應力

平面應力狀態(tài)的極值應力

主平面與主應力

純剪切與扭轉(zhuǎn)破壞

主應力跡線

平面應力狀態(tài)的極值應力極值應力的數(shù)值極值正應力:A,B點極值切應力:K,M點極值應力計算公式圓心半徑半徑極值應力的方位

最大正應力方位：

smax與smin所在截面正交

s極值與t極值所在截面,成夾角

主平面與主應力(類似單向應力狀態(tài))主平面－切應力為零的截面主應力－主平面上的正應力主應力符號與規(guī)定－相鄰主平面相互垂直，構(gòu)成一正六面形微體－主平面微體（按代數(shù)值,平面應力狀態(tài)σ2=0）s1s2s3

單向應力狀態(tài)：僅一個主應力不為零的應力狀態(tài)

二向應力狀態(tài)：兩個主應力不為零的應力狀態(tài)

三向應力狀態(tài)：三個主應力均不為零的應力狀態(tài)二向與三向應力狀態(tài)，統(tǒng)稱為復雜應力狀態(tài)應力狀態(tài)分類

純剪切與扭轉(zhuǎn)破壞純剪切狀態(tài)的最大應力滑移與剪斷發(fā)生在tmax的作用面斷裂發(fā)生在smax

作用面圓軸扭轉(zhuǎn)破壞分析

例題解：1.解析法例4-1

用解析法與圖解法，確定主應力的大小與方位已知:2.圖解法先畫出應力圓,在圓上找出主應力大小與方位,并標在截面圖上

主應力跡線－

主拉應力跡線－主壓應力跡線鋼筋主要沿主拉應力跡線排列梁截面上各點x截面和y截面應力σx=σ,σy=0,τx=τ,代入應力極值公式可得§5

復雜應力狀態(tài)的最大應力

三向應力圓

最大應力

三向應力圓與任一截面相對應的點，位于應力圓上，或由應力圓所構(gòu)成的陰影區(qū)域內(nèi)主平面微體平面應力狀態(tài):

與主應力σ3平行的斜截面上的應力，位于σ1和σ2所確定的應力圓上三向應力狀態(tài):與主應力均不平行的斜截面上的應力，位于三圓所構(gòu)成的陰影區(qū)域內(nèi)(三向應力狀態(tài),所有斜截面的應力)

最大應力最大切應力位于與s1及s3均成45

的截面上xz面的應力點:C(sx,

0)

,

D(sz,0)

例題例

5-1已知

sx=80MPa，tx=35MPa，sy=20MPa，sz=－40MPa，求主應力、最大正應力與最大切應力解：畫三向應力圓szsz三截面的應力點:(sx,

tx)

,

(sy,

-tx)

，(sz,0)§6

平面應變狀態(tài)應變分析

平面應變狀態(tài)

任意方位的應變

應變圓

最大應變與主應變

平面應變狀態(tài)構(gòu)件內(nèi)一點處的變形均發(fā)生在同一平面內(nèi)時的應變狀態(tài)，稱為平面應變狀態(tài)定義：

任意方位的應變要求：已知應變ex,ey與gxy，求a方位的應變ea與ga

使左下直角增大之

g為正規(guī)定：

方位角

a

以x軸為始邊，

為正方法：先分析ex,ey與gxy分別引起的變形,然后相疊加問題應變與位移分析(1)ex引起的斜對角線的線應變和角應變B''B'OB轉(zhuǎn)角α角度的線段可能不在矩形對角線上,可將矩形上邊下降使其成為新矩形的對角線,此時y方向的線應變?nèi)员３衷挡蛔?因其為比例值)(2)ey引起的斜對角線的線應變和角應變應變與位移分析B''B'OB轉(zhuǎn)角(3)gxy引起的斜對角線的線應變和角應變應變與位移分析B''B'OB轉(zhuǎn)角(1)(2)(3)應變與位移分析α方位線應變ea的參數(shù)方程(1)(2)(3)應變與位移分析OB轉(zhuǎn)角(切應變)OD轉(zhuǎn)角(切應變)α方位切應變ga的參數(shù)方程上述分析建立在幾何關(guān)系基礎(chǔ)上，所得各公式適用于任何小變形問題，而與材料的力學特性無關(guān)

一點處任意方位應變：

一點處互垂方位的應變：(類似剪應力互等定理,應力圓上關(guān)于水平軸上下對稱)(應變圓上直徑兩端點連線中點為圓心)應變圓是否應力也有類似關(guān)系？

應變圓

最大應變與主應變所在方位切應變?yōu)榱愕恼龖儯鲬冎鲬兾挥诨ゴ狗轿?主應變表示：e1

e2

e3§7

廣義胡克定律

廣義胡克定律（平面應力狀態(tài)）（三向應力狀態(tài)）

主應力與主應變的關(guān)系胡克定律（應力應變關(guān)系）回顧:

廣義胡克定律（平面應力狀態(tài)）適用范圍：各向同性材料，線彈性范圍內(nèi)x方向y方向引起的正應變x方向y方向引起的正應變平面應變=正應力引起的正應變之和(切應力不引起正應變)適用范圍：各向同性材料，線彈性范圍內(nèi)

廣義胡克定律（三向應力狀態(tài)）因切應力不引起正應變,故只考慮正應力引起的正應變之和

主應力與主應變的關(guān)系

主應變與主應力的方位重合

最大、最小主應變分別發(fā)生在最大、最小主應力方位

最大拉應變發(fā)生在最大拉應力方位如果s10，且因m<1/2，則

廣義胡克定律平面應力狀態(tài)三向應力狀態(tài)主應力與主應變的關(guān)系小結(jié)

廣義胡克定律平面應力狀態(tài)三向應力狀態(tài)主應力與主應變的關(guān)系小結(jié)

例題例

8-1已知如圖x,y截面上的應力,及E

=

70

GPa,m=

0.33,求

e45。解：1.應力分析2.e45。計算思路:(1)用斜面應變參數(shù)公式或應變圓；(2)用胡克定律求斜面應變例

8-2

對于各向同性材料，試證明：證：1.據(jù)純剪切斜截面應變公式求e45。2.據(jù)廣義胡克定律求e45。3.比較純剪切時主應力在45度方向,例

8-3邊長a

=10

mm正方形鋼塊，置槽形剛體內(nèi)，F(xiàn)

=

8

kN，m

=

0.3，求鋼塊的主應力

解：因二者均為壓應力,故§8

電測應力與應變花

應力分析電測方法

應變花

應力分析電測方法構(gòu)件表層應力一般情況(無表面外力時)要確定三未知應力，需貼三電阻應變

應變花三軸直角應變花三軸等角應變花§9

復雜應力狀態(tài)下的應變能

應變能密度一般表達式

體應變

畸變能密度

應變能密度一般表達式單位體積內(nèi)的應變能－應變能密度

體應變微體的體積變化率－體應變

畸變能