中考數(shù)學復習：第15節(jié)　二次函數(shù)的實際應用與綜合

第15節(jié)二次函數(shù)的實際應用與綜合1．(2021·北京)如圖，用繩子圍成周長為10m的矩形，記矩形的一邊長為xm，它的鄰邊長為ym，矩形的面積為Sm2.當x在一定范圍內(nèi)變化時，y和S都隨x的變化而變化，則y與x，S與x滿足的函數(shù)關系分別是(AA.一次函數(shù)關系，二次函數(shù)關系B．反比例函數(shù)關系，二次函數(shù)關系C．一次函數(shù)關系，反比例函數(shù)關系D．反比例函數(shù)關系，一次函數(shù)關系2．(2021·臺州)以初速度v(單位：m/s)從地面豎直向上拋出小球，從拋出到落地的過程中，小球的高度h(單位：m)與小球的運動時間t(單位：s)之間的關系式是h＝vt－4.9t2.現(xiàn)將某彈性小球從地面豎直向上拋出，初速度為v1，經(jīng)過時間t1落回地面，運動過程中小球的最大高度為h1(如圖①)；小球落地后，豎直向上彈起，初速度為v2，經(jīng)過時間t2落回地面，運動過程中小球的最大高度為h2(如圖②).若h1＝2h2，則t1∶t2＝eq\r(2)．3．(2021·連云港)某快餐店銷售A，B兩種快餐，每份利潤分別為12元，8元，每天賣出的份數(shù)分別為40份，80份．該店為了增加利潤，準備降低每份A種快餐的利潤，同時提高每份B種快餐的利潤．售賣時發(fā)現(xiàn)，在一定范圍內(nèi)，每份A種快餐利潤每降1元可多賣2份，每份B種快餐利潤每提高1元就少賣2份．如果這兩種快餐每天銷售總份數(shù)不變，那么這兩種快餐一天的總利潤最多是1264元．4．(2021·深圳)某科技公司銷售高新科技產(chǎn)品，該產(chǎn)品成本為8萬元，銷售單價x(萬元)與銷售量y(件)的關系如表所示：x(萬元)10121416y(件)40302010(1)求y與x的函數(shù)關系式；(2)當銷售單價為多少時，有最大利潤，最大利潤為多少？解：(1)由表格中數(shù)據(jù)可知，y與x之間的函數(shù)關系式為一次函數(shù)關系，設y＝kx＋b(k≠0)，則eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(10k＋b＝40，,12k＋b＝30，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(k＝－5，,b＝90，))∴y與x的函數(shù)關系式為y＝－5x＋90(2)設該產(chǎn)品的銷售利潤為w，由題意，得w＝y(tǒng)(x－8)＝(－5x＋90)(x－8)＝－5x2＋130x－720＝－5(x－13)2＋125，∵－5＜0，∴當x＝13時，w有最大值，最大值為125萬元，答：當銷售單價為13萬元時，有最大利潤，最大利潤為125萬元5．(2021·大連)某電商銷售某種商品一段時間后，發(fā)現(xiàn)該商品每天的銷售量y(單位：千克)和每千克的售價x(單位：元)滿足一次函數(shù)關系(如圖所示)，其中50≤x≤80.(1)求y關于x的函數(shù)解析式；(2)若該種商品的成本為每千克40元，該電商如何定價才能使每天獲得的利潤最大？最大利潤是多少？解：(1)設y＝kx＋b，將(50，100)，(80，40)代入，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(50k＋b＝100，,80k＋b＝40，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(k＝－2，,b＝200，))∴y＝－2x＋200(50≤x≤80)(2)設電商每天獲得的利潤為w元，則w＝(x－40)(－2x＋200)＝－2x2＋280x－8000＝－2(x－70)2＋1800，∵－2＜0，且對稱軸是直線x＝70，50≤x≤80，∴當x＝70時，w取得最大值為1800元，答：該電商售價為70元時獲得最大利潤，最大利潤是1800元6．(2021·鄂州)為了實施鄉(xiāng)村振興戰(zhàn)略，幫助農(nóng)民增加收入，市政府大力扶持農(nóng)戶發(fā)展種植業(yè)，每畝土地每年發(fā)放種植補貼120元．張遠村老張計劃明年承租部分土地種植某種經(jīng)濟作物．考慮各種因素，預計明年每畝土地種植該作物的成本y(元)與種植面積x(畝)之間滿足一次函數(shù)關系，且當x＝160時，y＝840；當x＝190時，y＝960.(1)求y與x之間的函數(shù)關系式(不求自變量的取值范圍)；(2)受區(qū)域位置的限制，老張承租土地的面積不得超過240畝．若老張明年銷售該作物每畝的銷售額能達到2160元，當種植面積為多少時，老張明年種植該作物的總利潤最大？最大利潤是多少？(每畝種植利潤＝每畝銷售額－每畝種植成本＋每畝種植補貼)解：(1)設y與x之間的函數(shù)關系式y(tǒng)＝kx＋b(k≠0)，依題意，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(840＝160k＋b，,960＝190k＋b，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(k＝4，,b＝200，))∴y與x之間的函數(shù)關系式為y＝4x＋200(2)設老張明年種植該作物的總利潤為W元，依題意得：W＝[2160－(4x＋200)＋120]·x＝－4x2＋2080x＝－4(x－260)2＋270400，∵－4＜0，∴當x＜260時，W隨x的增大而增大，由題意知：x≤240，∴當x＝240時，W有最大值，最大值為－4(240－260)2＋270400＝268800(元)，答：種植面積為240畝時總利潤最大，最大利潤是268800元7．(2021·荊門)某公司電商平臺，在2021年五一長假期間，舉行了商品打折促銷活動，經(jīng)市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)，某種商品的周銷售量y(件)是關于售價x(元/件)的一次函數(shù)，如表僅列出了該商品的售價x，周銷售量y，周銷售利潤W(元)的三組對應值數(shù)據(jù).x407090y1809030W360045002100(1)求y關于x的函數(shù)解析式(不要求寫出自變量的取值范圍)；(2)若該商品進價a(元/件)，售價x為多少時，周銷售利潤W最大？并求出此時的最大利潤；(3)因疫情期間，該商品進價提高了m(元/件)(m＞0)，公司為回饋消費者，規(guī)定該商品售價x不得超過55(元/件)，且該商品在今后的銷售中，周銷售量與售價仍滿足(1)中的函數(shù)關系，若周銷售最大利潤是4050元，求m的值．解：(1)設y＝kx＋b，由題意，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(40k＋b＝180，,70k＋b＝90，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(k＝－3，,b＝300，))所以y關于x的函數(shù)解析式為y＝－3x＋300(2)由(1)可得W＝(－3x＋300)(x－a)，又由表知，當x＝40時，W＝3600，代入上式可得3600＝(－3×40＋300)(40－a)，∴a＝20，∴W＝(－3x＋300)(x－20)＝－3x2＋360x－6000＝－3(x－60)2＋4800，所以售價x＝60時，周銷售利潤W最大，最大利潤為4800元(3)由題意，得W＝－3(x－100)(x－20－m)(x≤55)，其對稱軸為直線x＝60＋eq\f(m,2)＞60，∴當0＜x≤55時，W的值隨x增大而增大，∴只有當x＝55時周銷售利潤最大，∴4050＝－3(55－100)(55－20－m)，∴m＝58．(2021·金華)某游樂場的圓形噴水池中心O有一雕塑OA，從A點向四周噴水，噴出的水柱為拋物線，且形狀相同．如圖，以水平方向為x軸，點O為原點建立直角坐標系，點A在y軸上，x軸上的點C，D為水柱的落水點，水柱所在拋物線(第一象限部分)的函數(shù)表達式為y＝－eq\f(1,6)(x－5)2＋6.(1)求雕塑高OA；(2)求落水點C，D之間的距離；(3)若需要在OD上的點E處豎立雕塑EF，OE＝10m，EF＝1.8m，EF⊥OD.問：頂部解：(1)當x＝0時，y＝－eq\f(1,6)(0－5)2＋6＝eq\f(11,6)，∴點A的坐標為(0，eq\f(11,6))，∴雕塑高eq\f(11,6)m(2)當y＝0時，－eq\f(1,6)(x－5)2＋6＝0，解得x1＝－1(舍去)，x2＝11，∴點D的坐標為(11，0)，∴OD＝11m．∵從A點向四周噴水，噴出的水柱為拋物線，且形狀相同，∴OC＝OD＝11m，∴CD＝OC＋OD＝22m(3)當x＝10時，y＝－eq\f(1,6)(10－5)2＋6＝eq\f(11,6)，∴點(10，eq\f(11,6))在拋物線y＝－eq\f(1,6)(x－5)2＋6上．又∵eq\f(11,6)≈1.83＞1.8，∴頂部F不會碰到水柱9．(2021·徐州)如圖，點A，B在y＝eq\f(1,4)x2的圖象上．已知A，B的橫坐標分別為－2，4，直線AB與y軸交于點C，連接OA，OB.(1)求直線AB的函數(shù)表達式；(2)求△AOB的面積；(3)若函數(shù)y＝eq\f(1,4)x2的圖象上存在點P，使△PAB的面積等于△AOB的面積的一半，則這樣的點P共有4個．解：(1)∵點A，B在y＝eq\f(1,4)x2的圖象上，A，B的橫坐標分別為－2，4，∴A(－2，1)，B(4，4)，設直線AB的解析式為y＝kx＋b，∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－2k＋b＝1，,4k＋b＝4，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(k＝\f(1,2)，,b＝2，))∴直線AB的表達式為y＝eq\f(1,2)x＋2(2)在y＝eq\f(1,2)x＋2中，令x＝0，則y＝2，∴C的坐標為(0，2)，∴OC＝2，∴S△AOB＝S△AOC＋S△BOC＝eq\f(1,2)×2×2＋eq\f(1,2)×2×4＝6(3)過OC的中點，作AB的平行線交拋物線兩個交點P1，P2，此時△P1AB的面積和△P2AB的面積等于△AOB的面積的一半，作直線P1P2關于直線AB的對稱直線，交拋物線兩個交點P3，P4，此時△P3AB的面積和△P4AB的面積等于△AOB的面積的一半，所以這樣的點P共有4個，故答案為410．(2021·廣安)如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y＝－x2＋bx＋c的圖象與坐標軸相交于A，B，C三點，其中A點坐標為(3，0)，B點坐標為(－1，0)，連接AC，BC.動點P從點A出發(fā)，在線段AC上以每秒eq\r(2)個單位長度向點C做勻速運動；同時，動點Q從點B出發(fā)，在線段BA上以每秒1個單位長度向點A做勻速運動，當其中一點到達終點時，另一點隨之停止運動，連接PQ，設運動時間為t秒．(1)求b，c的值；(2)在P，Q運動的過程中，當t為何值時，四邊形BCPQ的面積最小，最小值為多少？(3)在線段AC上方的拋物線上是否存在點M，使△MPQ是以點P為直角頂點的等腰直角三角形？若存在，請求出點M的坐標；若不存在，請說明理由．解：(1)∵拋物線y＝－x2＋bx＋c經(jīng)過點A(3，0)，B(－1，0)，則eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(0＝－9＋3b＋c，,0＝－1－b＋c，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(b＝2，,c＝3))(2)由(1)得：拋物線表達式為y＝－x2＋2x＋3，C(0，3)，A(3，0)，∴△OAC是等腰直角三角形，由點P的運動可知：AP＝eq\r(2)t，過點P作PE⊥x軸，垂足為E，∴AE＝PE＝eq\f(\r(2)t,\r(2))＝t，即E(3－t，0)，又Q(－1＋t，0)，∴S四邊形BCPQ＝S△ABC－S△APQ＝eq\f(1,2)×4×3－eq\f(1,2)×[3－(－1＋t)]t＝eq\f(1,2)t2－2t＋6，∵當其中一點到達終點時，另一點隨之停止運動，AC＝eq\r(32＋32)＝3eq\r(2)，AB＝4，∴0≤t≤3，∴當t＝2時，四邊形BCPQ的面積最小，即為eq\f(1,2)×22－2×2＋6＝4(3)∵點M是線段AC上方的拋物線上的點，如圖，過點P作x軸的垂線，交x軸于點E，過點M作y軸的垂線，與EP的延長線交于點F，∵△PMQ是等腰直角三角形，PM＝PQ，∠MPQ＝90°，∴∠MPF＋∠QPE＝90°，又∠MPF＋∠PMF＝90°，∴∠PMF＝∠QPE，在△PFM和△QEP中，eq\b\lc