怎樣理解勻變速直線運(yùn)動(dòng)v

圖2圖3圖2圖3怎樣理解勻變速直線運(yùn)動(dòng)v-t圖像與時(shí)間軸所圍圖形的面積表示位移教學(xué)中常會(huì)遇到一些學(xué)生對(duì)“勻變速直線運(yùn)動(dòng)的vt圖像與時(shí)間軸所圍圖形的面積表示位移”這一知識(shí)點(diǎn)難以理解、接受的問(wèn)題，為解答學(xué)生的這種疑問(wèn)，特撰寫如下學(xué)習(xí)思路，希望能對(duì)學(xué)生有所幫助。本文結(jié)合高一物理教材，用極限思想以及微元法講述為什么勻變速直線運(yùn)動(dòng)的vt圖像與時(shí)間軸所圍圖形的面積能表示位移，適合高一學(xué)生學(xué)習(xí)參考。教材中先講到，對(duì)于勻速直線運(yùn)動(dòng)的情形，物體的位移x=vt，結(jié)合vt圖像來(lái)看，勻速直線運(yùn)動(dòng)的vt圖像與時(shí)間軸圍成了一個(gè)矩形。如圖1所示，這個(gè)矩形的長(zhǎng)、寬分別是物體運(yùn)動(dòng)的速度v、時(shí)間t，再看位移公式x=vt，這種計(jì)算方式與數(shù)學(xué)中計(jì)算矩形面積的方法一致，因此我們說(shuō)，勻速直線運(yùn)動(dòng)的vt圖像與時(shí)間軸所圍圖形的面積（陰影部分）表示物體的位移。那么對(duì)于勻變速直線運(yùn)動(dòng)的情形，我們?cè)撛鯓永斫饽兀渴紫?，我們可以?gòu)建一個(gè)勻變速直線運(yùn)動(dòng)的簡(jiǎn)單模型，比如，某物體做勻變速直線運(yùn)動(dòng)，在4s的時(shí)間內(nèi)，速度從M均勻增大到10m/s?？梢韵犬嫵鏊\(yùn)動(dòng)過(guò)程的vt圖像如圖2所示。在沒(méi)有學(xué)習(xí)勻變速直線運(yùn)動(dòng)位移的情況下，怎樣計(jì)算該過(guò)程物體的位移呢？我們可以采用估算的方法，即用已學(xué)過(guò)的勻速直線運(yùn)動(dòng)的位移計(jì)算方法來(lái)估算勻變速直線運(yùn)動(dòng)的位移，思路如下：第一步：用物體的初速度2m/s乘以運(yùn)動(dòng)時(shí)間4s，即：x=2m/sX4s=8m用這個(gè)位移粗略代表該勻變速直線運(yùn)動(dòng)的位移，反映在vt圖像上，如圖3所示，即圖中矩形面積即該位移?？梢钥吹?，在vt圖像下方，有一個(gè)空白的三角形區(qū)域。這個(gè)位移估算結(jié)果明顯小于真實(shí)位移，因?yàn)檫@個(gè)勻加速運(yùn)動(dòng)過(guò)程的初速度是全過(guò)程的最小速度，后面每時(shí)每刻的速度都比這個(gè)速度大。那么怎樣能使估算更接近真實(shí)值呢，可以采取分段取速度的方法，具體如下：

第二步：將運(yùn)動(dòng)過(guò)程按時(shí)間等分成兩段，前*、后*，前2s用2m/s的速度算位移，后2s用第2s末的速度6m/s算位移，表達(dá)式為：x=2m/sX2s+6m/sX2s=16m上述表達(dá)式是將該勻變速直線運(yùn)動(dòng)的位移分兩段來(lái)估算，每段均用勻速直線運(yùn)動(dòng)的位移粗略代表該段勻變速直線運(yùn)動(dòng)的位移，前2s的最小速度為2m/s，后2s的最小速度為6m/s，對(duì)比前一次的估算，因?yàn)楹?s的速：度比前一次的大，所以這個(gè)位移比前一次更接近真O實(shí)的位移。該位移反映在v-t圖像上，如圖4所6示，這兩段的位移即兩個(gè)矩形條的面積，與前一次的面積對(duì)比，可以發(fā)現(xiàn)，后一次的兩個(gè)矩形條把前一次的三角形空白區(qū)域填補(bǔ)了一部分。因?yàn)閮啥斡玫亩际怯米钚∷俣葋?lái)估算的位移，因此，這個(gè)位移估算結(jié)果仍然小于真實(shí)的位移，怎樣進(jìn)一步減小誤差呢？思路如下：第三步：?jiǎn)慰辞?s或者單看后2s的運(yùn)動(dòng)情形，都是勻變速直線運(yùn)動(dòng)，估算其位移與前述第一步、第二步的思路相同。因此，我們可再次按照前述第二步的方法，分段取速度，即分別將前2s、后2s再次按時(shí)間等分成2段，全程共4段，即第，s、第2s、第3s、第4s，所取速度分別是2m/s、4m/s、6m/s、8m/s,位移估算表達(dá)式為：x=2m/sX1s+4m/sX1s+6m/sX1s+8m/sX1s=20m與第二步相比，又多取了兩次速度，因此本次的位移估算更進(jìn)一步接近真實(shí)值。該位移反映在v-t圖像上，如圖5所示，4個(gè)矩形條，與前一次 圖5相比，再次填補(bǔ)了原先的三角形空白區(qū)域的一部分。因?yàn)?段運(yùn)動(dòng)均用的是最小速度來(lái)估算的位移，這個(gè)結(jié)果仍然小于真實(shí)值，那么怎樣進(jìn)一步減小誤差呢？第四步：?jiǎn)慰疵恳幻氲倪\(yùn)動(dòng)情形，要想使位移估算更準(zhǔn)確一些，方法仍與第一步、第二步相同?？傮w思路也就是說(shuō)，把勻變速直線運(yùn)動(dòng)過(guò)程按時(shí)間分成多份，每份均按勻速直線運(yùn)動(dòng)處理，每份的位移總和，來(lái)近似替代全過(guò)程的勻變速直線運(yùn)動(dòng)的位移。用極限思維想一想，繼續(xù)把運(yùn)動(dòng)時(shí)間分成一千份、一萬(wàn)份……當(dāng)把運(yùn)動(dòng)時(shí)間分成無(wú)限多份時(shí)，每份位移總和就等于全過(guò)程勻變速直線運(yùn)動(dòng)的位移，表現(xiàn)在v-t圖像上，每份的勻速直線運(yùn)動(dòng)的位移就是一個(gè)個(gè)無(wú)限窄的矩形條，已經(jīng)把圖像與時(shí)間軸所圍的區(qū)域填滿，至此可以得出結(jié)論：

勻變速直線運(yùn)動(dòng)的vt圖像與時(shí)間軸所圍圖形的面積表示位移。對(duì)于非勻變速直線運(yùn)動(dòng)的情形，用上述方法同樣可以得出這個(gè)結(jié)論，由此可將該結(jié)論推廣為：任意直線運(yùn)動(dòng)的vt圖像與時(shí)間軸所圍圖形的面積均表示位移。上述所用到的方法即微元法，用到了極限思想，這樣的思想、方法是高等數(shù)學(xué)的基本方法。如果您能理解并接受“勻變速直線運(yùn)動(dòng)的vt圖像與時(shí)間軸所圍圖形的面積表示位移”，那么根據(jù)幾何知識(shí)計(jì)算面積的方法即可得出勻變速直線運(yùn)動(dòng)的位移，再代入速度與時(shí)間的關(guān)系式，即可得到勻變速直線運(yùn)動(dòng)位移與時(shí)間的關(guān)系式。如圖6所示，vt圖像與時(shí)間軸所圍的圖形為直角梯形，其面積計(jì)算如下:2(v0+將速度時(shí)間關(guān)系式V=V2(v0+x=1[%+(%+at)]t，化簡(jiǎn)即得1x=vt+2at2即得到兩個(gè)勻變速直線運(yùn)動(dòng)的位移計(jì)算公式。以上學(xué)習(xí)思路源自高一物理教材，略作變通。圖6理解這一觀念，需學(xué)生多動(dòng)腦筋思考。理解時(shí)，應(yīng)抓住兩點(diǎn)：第一、將運(yùn)動(dòng)過(guò)程按時(shí)間分段，每段用初速度估算位移，分段越多，結(jié)果越接近真實(shí)值；第