2024屆內(nèi)蒙古烏蘭察布市名校八年級數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末檢測模擬試題含解析

2024屆內(nèi)蒙古烏蘭察布市名校八年級數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末檢測模擬試題注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上。2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑，如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號?；卮鸱沁x擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題(每小題3分,共30分)1．在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A（2，m）和點(diǎn)B（n，－3）關(guān)于y軸對稱，則的值是（）A．－1 B．1 C．5 D．－52．如圖，已知直線AB：y=x+分別交x軸、y軸于點(diǎn)B、A兩點(diǎn),C（3，0），D、E分別為線段AO和線段AC上一動(dòng)點(diǎn)，BE交y軸于點(diǎn)H,且AD＝CE，當(dāng)BD＋BE的值最小時(shí)，則H點(diǎn)的坐標(biāo)為（）A．（0，4） B．（0，5） C．（0，） D．（0，）3．如圖，正方形中，，點(diǎn)在邊上，且，將沿對折至，延長交邊于點(diǎn)，連接，，則下列結(jié)論：①≌；②；③；④，其中正確的個(gè)數(shù)是（）個(gè)A．1 B．2 C．3 D．44．如圖，四個(gè)圖標(biāo)分別是北京大學(xué)、人民大學(xué)、浙江大學(xué)和寧波大學(xué)的?；盏闹匾M成部分，其中是軸對稱圖形的有（）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)5．下列圖形經(jīng)過折疊不能圍成棱柱的是（）.A． B． C． D．6．如圖，ABCD是正方形場地，點(diǎn)E在DC的延長線上，AE與BC相交于點(diǎn)F，有甲、乙、丙三名同學(xué)同時(shí)從點(diǎn)A出發(fā)，甲沿著A﹣B﹣F﹣C的路徑行走至C，乙沿著A﹣F﹣E﹣C﹣D的路徑行走至D，丙沿著A﹣F﹣C﹣D的路徑行走至D，若三名同學(xué)行走的速度都相同，則他們到達(dá)各自的目的地的先后順序（由先至后）是（）A．甲乙丙 B．甲丙乙 C．乙丙甲 D．丙甲乙7．下列因式分解結(jié)果正確的是（）A．x2+3x+2=x（x+3）+2 B．4x2﹣9=（4x+3）（4x﹣3）C．a(chǎn)2﹣2a+1=（a+1）2 D．x2﹣5x+6=（x﹣2）（x﹣3）8．若關(guān)于的方程的解為正數(shù)，則的取值范圍是（）A． B． C．且 D．且9．一正多邊形的內(nèi)角和與外角和的和是1440°，則該正多邊形是（）A．正六邊形 B．正七邊形 C．正八邊形 D．正九邊形10．民族圖案是數(shù)學(xué)文化中的一塊瑰寶．下列圖案中，既不是中心對稱圖形也不是軸對稱圖形的是（）

A． B．C． D．二、填空題(每小題3分,共24分)11．一次函數(shù)y＝(2m－6)x＋5中，y隨x的增大而減小，則m的取值范圍是________．12．若分式的值為0，則實(shí)數(shù)的值為_________．13．一個(gè)容器由上下豎直放置的兩個(gè)圓柱體A，B連接而成，向該容器內(nèi)勻速注水，容器內(nèi)水面的高度h(厘米)與注水時(shí)間t(分鐘)的函數(shù)關(guān)系如圖所示，若上面A圓柱體的底面積是10厘米2，下面B圓柱體的底面積是50厘米2，則每分鐘向容器內(nèi)注水________厘米1．14．已知，分別是的整數(shù)部分和小數(shù)部分，則的值為_______．15．如圖，學(xué)校大門口的電動(dòng)伸縮門，其中間部分都是四邊形的結(jié)構(gòu)，這是應(yīng)用了四邊形的______．16．在直角坐標(biāo)系內(nèi)，已知A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A(－1，1)，B(2，3)，若M為x軸上的一點(diǎn)，且MA＋MB最小，則M的坐標(biāo)是________．17．如圖，在△ABC中，∠ABC＝∠ACB，AB的垂直平分線交AC于點(diǎn)M，交AB于點(diǎn)N．連接MB，若AB＝8，△MBC的周長是14，則BC的長為____．18．在彈性限度內(nèi)，彈簧伸長的長度與所掛物體的質(zhì)量呈正比，某彈簧不掛物體時(shí)長15cm，當(dāng)所掛物體質(zhì)量為3kg時(shí)，彈簧長1．8cm．寫出彈簧長度L（cm）與所掛物體質(zhì)量x（kg）之間的函數(shù)表達(dá)式．三、解答題(共66分)19．（10分）如圖，直線l1：y=2x+1與直線l2：y=mx+4相交于點(diǎn)P（1，b）(1)求b，m的值(2)垂直于x軸的直線x=a與直線l1，l2分別相交于C，D，若線段CD長為2，求a的值20．（6分）如圖，方格紙中每個(gè)小正方形的邊長為1，四邊形ABCD的頂點(diǎn)都在格點(diǎn)上．(1)在方格紙上建立平面直角坐標(biāo)系，使四邊形ABCD的頂點(diǎn)A，C的坐標(biāo)分別為(﹣5，﹣1)，(﹣3，﹣3)，并寫出點(diǎn)D的坐標(biāo)；(2)在(1)中所建坐標(biāo)系中，畫出四邊形ABCD關(guān)于x軸的對稱圖形A1B1C1D1，并寫出點(diǎn)B的對應(yīng)點(diǎn)B1的坐標(biāo)．21．（6分）觀察下列算式：由上可以類似地推出：用含字母的等式表示(1)中的一-般規(guī)律(為非零自然數(shù))；用以上方法解方程：22．（8分）如圖所示，四邊形是正方形，是延長線上一點(diǎn)．直角三角尺的一條直角邊經(jīng)過點(diǎn)，且直角頂點(diǎn)在邊上滑動(dòng)(點(diǎn)不與點(diǎn)重合)，另一直角邊與的平分線相交于點(diǎn)．(1)求證:;(2)如圖(1)，當(dāng)點(diǎn)在邊的中點(diǎn)位置時(shí)，猜想與的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想;(3)如圖(2)，當(dāng)點(diǎn)在邊(除兩端點(diǎn))上的任意位置時(shí)，猜想此時(shí)與有怎樣的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想．23．（8分）如圖，是等邊三角形，為上兩點(diǎn)，且，延長至點(diǎn)，使，連接．（1）如圖1，當(dāng)兩點(diǎn)重合時(shí)，求證：；（2）延長與交于點(diǎn)．①如圖2，求證：；②如圖3，連接，若，則的面積為______________．24．（8分）計(jì)算題：（1）（2）25．（10分）先化簡，再求值：，其中是滿足的整數(shù)．26．（10分）（1）計(jì)算：（2）解方程：

參考答案一、選擇題(每小題3分,共30分)1、D【分析】利用“關(guān)于y軸對稱的點(diǎn)，縱坐標(biāo)相同，橫坐標(biāo)互為相反數(shù)”求出m、n的值，然后代入代數(shù)式進(jìn)行計(jì)算即可得解．【題目詳解】解：∵A（2，m）和B（n，-3）關(guān)于y軸對稱，∴m=-3，n=-2，∴m+n=-3-2=-1．故選：D．【題目點(diǎn)撥】本題考查了關(guān)于x軸、y軸對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)，解決本題的關(guān)鍵是掌握好對稱點(diǎn)的坐標(biāo)規(guī)律：（1）關(guān)于x軸對稱的點(diǎn)，橫坐標(biāo)相同，縱坐標(biāo)互為相反數(shù)；（2）關(guān)于y軸對稱的點(diǎn)，縱坐標(biāo)相同，橫坐標(biāo)互為相反數(shù)；（3）關(guān)于原點(diǎn)對稱的點(diǎn)，橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)都互為相反數(shù)．2、A【分析】作EF⊥BC于F，設(shè)AD=EC=x．利用勾股定理可得BD+BE=+=+，要求BD+BE的最小值，相當(dāng)于在x軸上找一點(diǎn)M（x，0），使得點(diǎn)M到G（，3），K（，）的距離之和最小．【題目詳解】解：由題意A（0，），B（-3，0），C（3，0），∴AB=AC=8，作EF⊥BC于F，設(shè)AD=EC=x．∵EF∥AO，∴，∴EF=，CF=，∵OH∥EF，∴，∴OH=，∴BD+BE=+=+，要求BD+BE的最小值，相當(dāng)于在x軸上找一點(diǎn)M（x，0），使得點(diǎn)M到K（，3），G（，）的距離之和最小．設(shè)G關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)G′（，），直線G′K的解析式為y=kx+b，則有，解得k=，b=，∴直線G′K的解析式為y=x，當(dāng)y=0時(shí)，x=，∴當(dāng)x=時(shí)，MG+MK的值最小，此時(shí)OH===4，∴當(dāng)BD+BE的值最小時(shí)，則H點(diǎn)的坐標(biāo)為（0，4），故選A．【題目點(diǎn)撥】本題考查一次函數(shù)圖象上的點(diǎn)的特征、軸對稱最短問題、勾股定理、平行線分線段成比例定理等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會用轉(zhuǎn)化的思想思考問題，屬于中考選擇題中的壓軸題．3、C【分析】根據(jù)翻折變換的性質(zhì)和正方形的性質(zhì)可證Rt△ABG≌Rt△AFG；在直角△ECG中，根據(jù)勾股定理可證BG=GC；通過證明∠AGB=∠AGF=∠GFC=∠GCF，由平行線的判定可得AG∥CF；求得∠GAF=45°，即可得到∠AGB+∠AED=180°-∠GAF=115°．【題目詳解】∵△AFE是由△ADE折疊得到，

∴AF=AD，∠AFE=∠AFG=∠D=90°，

又∵四邊形ABCD是正方形，

∴AB=AD，∠B=∠D，

∴AB=AF，∠B=∠AFG=90°，

在Rt△ABG和Rt△AFG中，

∵，

∴Rt△ABG≌Rt△AFG（HL），

故①正確；

∵正方形ABCD中，AB=6，CD=1DE，

∵EF=DE=CD=2，

設(shè)BG=FG=x，則CG=6-x．

在直角△ECG中，根據(jù)勾股定理，得（6-x）2+42=（x+2）2，

解得x=1．

∴BG=1，CG=6-1=1；

∴BG=CG；

∴②正確．

∵CG=BG，BG=GF，

∴CG=GF，

∴△FGC是等腰三角形，∠GFC=∠GCF．

又∵Rt△ABG≌Rt△AFG；

∴∠AGB=∠AGF，∠AGB+∠AGF=2∠AGB=180°-∠FGC=∠GFC+∠GCF=2∠GFC=2∠GCF，

∴∠AGB=∠AGF=∠GFC=∠GCF，

∴AG∥CF；

∴③正確

∵∠BAG=∠FAG，∠DAE=∠FAE，

又∵∠BAD=90°，

∴∠GAE=45°，

∴∠AGB+∠AED=180°-∠GAE=115°．

∴④錯(cuò)誤．

故選：C．【題目點(diǎn)撥】此題考查翻折變換的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，解題的關(guān)鍵是注意數(shù)形結(jié)合思想與方程思想的應(yīng)用．4、B【解題分析】根據(jù)如果一個(gè)圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個(gè)圖形叫做軸對稱圖形，這條直線叫做對稱軸進(jìn)行分析即可．【題目詳解】北京大學(xué)和寧波大學(xué)的?；帐禽S對稱圖形，共2個(gè)，故選B．【題目點(diǎn)撥】此題主要考查了軸對稱圖形，關(guān)鍵是掌握軸對稱圖形的概念．5、B【解題分析】試題分析：三棱柱的展開圖為3個(gè)矩形和2個(gè)三角形，故B不能圍成.考點(diǎn)：棱柱的側(cè)面展開圖.6、B【分析】本題考查了正方形的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)的應(yīng)用，題目比較典型，難度適中．根據(jù)正方形的性質(zhì)得出AB=BC=CD=AD，∠B=∠ECF，根據(jù)直角三角形得出AF＞AB，EF＞CF，分別求出甲、乙、丙行走的距離，再比較即可．【題目詳解】解：∵四邊形ABCD是正方形，∴AB=BC=CD=AD，∠B=90°，甲行走的距離是AB+BF+CF=AB+BC=2AB；乙行走的距離是AF+EF+EC+CD；丙行走的距離是AF+FC+CD，∵∠B=∠ECF=90°，∴AF＞AB，EF＞CF，∴AF+FC+CD＞2AB，AF+FC+CD＜AF+EF+EC+CD，∴甲比丙先到，丙比乙先到，即順序是甲丙乙，故選B．【題目點(diǎn)撥】本題考查1.正方形的性質(zhì)；2.線段的性質(zhì)：兩點(diǎn)之間線段最短；3.比較線段的長短．7、D【分析】根據(jù)因式分解的方法進(jìn)行計(jì)算即可判斷．【題目詳解】A．因?yàn)閤2+3x+2=（x+1）（x+2），故A錯(cuò)誤；B．因?yàn)?x2﹣9=（2x+3）（2x﹣3），故B錯(cuò)誤；C．因?yàn)閍2﹣2a+1=（a﹣1）2，故C錯(cuò)誤；D．因?yàn)閤2﹣5x+6=（x﹣2）（x﹣3），故D正確．故選：D．【題目點(diǎn)撥】本題考查了因式分解-十字相乘法、公式法，解決本題的關(guān)鍵是掌握因式分解的方法．8、D【題目詳解】去分母得，m﹣1=2x﹣2，解得，x=，∵方程的解是正數(shù)，∴＞0，解這個(gè)不等式得，m＞﹣1，∵m=1時(shí)不符合題意，∴m≠1，則m的取值范圍是m＞﹣1且m≠1．故選D．【題目點(diǎn)撥】解題關(guān)鍵是要掌握方程的解的定義，使方程成立的未知數(shù)的值叫做方程的解．要注意分母不能為0，這個(gè)條件經(jīng)常忘掉．9、C【分析】依題意，多邊形的內(nèi)角與外角和為1440°，多邊形的外角和為360°，根據(jù)內(nèi)角和公式求出多邊形的邊數(shù)．【題目詳解】解：設(shè)多邊形的邊數(shù)為n，根據(jù)題意列方程得，（n﹣2）?110°+360°＝1440°，n﹣2＝6，n＝1．故這個(gè)多邊形的邊數(shù)為1．故選：C．【題目點(diǎn)撥】考查了多邊形的外角和定理和內(nèi)角和定理，熟練記憶多邊形的內(nèi)角和公式是解答本題的關(guān)鍵．10、B【分析】根據(jù)軸對稱圖形與中心對稱圖形的概念，軸對稱圖形兩部分沿對稱軸折疊后可重合；【題目詳解】A、不是軸對稱圖形，是中心對稱圖形，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；B、是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，故本選項(xiàng)正確；C、不是軸對稱圖形，是中心對稱圖形，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；D、是軸對稱圖形，也是中心對稱圖形，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤．故選B．二、填空題(每小題3分,共24分)11、m＜1【解題分析】解：∵y隨x增大而減小，∴k＜0，∴2m-6＜0，∴m＜1．12、【分析】根據(jù)分式值為0的條件①分母不為0，②分子等于0計(jì)算即可.【題目詳解】解：由題意得且由解得；由解得或1（舍去）所以實(shí)數(shù)的值為.故答案為：.【題目點(diǎn)撥】本題考查了分式值為零的條件，熟練掌握分式值為0時(shí)滿足得條件是解題的關(guān)鍵，易錯(cuò)點(diǎn)在于容易忽視分式的分母不為0.13、2【分析】設(shè)每分鐘向容器內(nèi)注水a(chǎn)厘米1，圓柱體A的高度為h，根據(jù)10分鐘注滿圓柱體A；再用9分鐘容器全部注滿，容器的高度為10，即可求解．【題目詳解】解：設(shè)每分鐘向容器內(nèi)注水a(chǎn)厘米1，圓柱體A的高度為h，由題意得由題意得：，解得：a=2，h=4，故答案為：2．【題目點(diǎn)撥】主要考查了函數(shù)圖象的讀圖能力，要能根據(jù)函數(shù)圖象的性質(zhì)和圖象上的數(shù)據(jù)分析得出函數(shù)的類型和所需要的條件，結(jié)合實(shí)際意義得到正確的結(jié)論．14、【分析】先求出介于哪兩個(gè)整數(shù)之間，即可求出它的整數(shù)部分，再用減去它的整數(shù)部分求出它的小數(shù)部分，再代入即可.【題目詳解】∵，∴＝，∴，∴，∴.【題目點(diǎn)撥】此題考查的是帶根號的實(shí)數(shù)的整數(shù)部分和小數(shù)部分的求法，找到它的取值范圍是解決此題的關(guān)鍵.15、不穩(wěn)定性【分析】生活中常見的伸縮門、升降機(jī)等，這是應(yīng)用了四邊形不穩(wěn)定性進(jìn)行制作的，便于伸縮．【題目詳解】解：學(xué)校大門做成伸縮門，這是應(yīng)用了四邊形不穩(wěn)定性的特性．故答案為：不穩(wěn)定性．【題目點(diǎn)撥】本題考查了四邊形的特征，學(xué)校大門做成的伸縮門，這是應(yīng)用了四邊形不穩(wěn)定性制作的．16、(，0)【分析】取點(diǎn)A關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)A′（-1，-1），連接A′B，已知兩點(diǎn)坐標(biāo)，可用待定系數(shù)法求出直線A′B的解析式，從而確定出占M的坐標(biāo).【題目詳解】解：取點(diǎn)A關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)A′（-1，-1），連接A′B，與x軸交點(diǎn)即為MA＋MB最小時(shí)點(diǎn)M的位置，

∵A′（-1，-1），B（2，3），

設(shè)直線A'B的解析式為y=kx+b，則有：，解得：，∴直線A′B的解析式為：，當(dāng)y=0時(shí)，x=，即M（，0）.故答案為：（，0）.【題目點(diǎn)撥】利用軸對稱找線段和的最小值，如果所求的點(diǎn)在x軸上，就取x軸的對稱點(diǎn)，如果所求的點(diǎn)在y軸上，就取y軸的對稱點(diǎn)，求直線解析式，確定直線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)，即為所求．17、1【解題分析】根據(jù)線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端點(diǎn)的距離相等的性質(zhì)可得AM=BM，然后求出△MBC的周長=AC+BC，再代入數(shù)據(jù)進(jìn)行計(jì)算即可得解．【題目詳解】∵M(jìn)、N是AB的垂直平分線∴AM=BM，∴△MBC的周長=BM+CM+BC=AM+CM+BC=AC+BC，∵AB＝8，△MBC的周長是14，∴BC=14-8=1．故答案為：1．【題目點(diǎn)撥】線段垂直平分線的性質(zhì),等腰三角形的性質(zhì)．18、L=2．6x+3．【題目詳解】解：設(shè)彈簧總長度L（cm）與所掛物體質(zhì)量x（kg）之間符合一次函數(shù)關(guān)系為L=kx+3．由題意得1．8=3k+3，解得k=2．6，所以該一次函數(shù)解析式為L=2．6x+3．考點(diǎn)：根據(jù)實(shí)際問題列一次函數(shù)關(guān)系式．三、解答題(共66分)19、（1）-1；（2）或.【分析】（1）由點(diǎn)P（1，b）在直線l1上，利用一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，即可求出b值，再將點(diǎn)P的坐標(biāo)代入直線l2中，即可求出m值；（2）由點(diǎn)C、D的橫坐標(biāo)，即可得出點(diǎn)C、D的縱坐標(biāo)，結(jié)合CD=2即可得出關(guān)于a的含絕對值符號的一元一次方程，解之即可得出結(jié)論．【題目詳解】（1）∵點(diǎn)P（1，b）在直線l1：y=2x+1上，∴b=2×1+1=3；∵點(diǎn)P（1，3）在直線l2：y=mx+4上，∴3=m+4，∴m=﹣1．（2）當(dāng)x=a時(shí)，yC=2a+1；當(dāng)x=a時(shí)，yD=4﹣a．∵CD=2，∴|2a+1﹣（4﹣a）|=2，解得：a=或a=，∴a=或a=．20、（1）B（﹣4，﹣5）、D（﹣1，﹣2）；（2）C1的坐標(biāo)為：（﹣3，3）．【解題分析】（1）根據(jù)已知點(diǎn)坐標(biāo)進(jìn)而得出坐標(biāo)軸的位置，進(jìn)而得出答案；（2）利用關(guān)于x軸對稱點(diǎn)的性質(zhì)得出對應(yīng)點(diǎn)坐標(biāo)進(jìn)而得出答案．【題目詳解】（1）如圖所示：點(diǎn)B（﹣4，﹣5）、D（﹣1，﹣2）；（2）如圖所示：四邊形A1B1C1D1，即為所求，點(diǎn)C的對應(yīng)點(diǎn)C1的坐標(biāo)為：（﹣3，3）．【題目點(diǎn)撥】此題主要考查了軸對稱變換，正確得出對應(yīng)點(diǎn)位置是解題關(guān)鍵．21、（1）；（2）；（3）【分析】（1）根據(jù)題目給出數(shù)的規(guī)律即可求出答案（2）觀察發(fā)現(xiàn)，各組等式的分子分母均為1，分母中的第一個(gè)數(shù)與等式的個(gè)數(shù)n一致，第二個(gè)數(shù)為n+1，據(jù)此可得規(guī)律；

（3）按照所發(fā)現(xiàn)的規(guī)律，將各項(xiàng)展開后，合并后得，得出方程，然后解分式方程即可【題目詳解】解:由此推斷得：它的一般規(guī)律是：將方程化為：，即解得:，經(jīng)檢驗(yàn)是原分式方程的解．【題目點(diǎn)撥】本題考查了裂項(xiàng)法的規(guī)律發(fā)現(xiàn)及其應(yīng)用，善于根據(jù)所給的幾組等式，觀察出其規(guī)律，是解題的關(guān)鍵．22、（1）詳見解析；（2），理由詳見解析；（3），理由詳見解析【分析】（1）根據(jù)，等量代換即可證明；（2）DE=EF，連接NE，在DA邊上截取DN=EB，證出△DNE≌△EBF即可得出答案；（3）在邊上截取，連接，證出即可得出答案．【題目詳解】(1)證明:∵，∴，∴;(2)理由如下:如圖，取的中點(diǎn)，連接，∵四邊形為正方形，∴，∵分別為中點(diǎn)∴，∴又∵∴∴，又∵，平分∴．∴在和中，∴(3).理由如下:如圖，在邊上截取，連接，∵四邊形是正方形，，∴，∴為等腰直角三角形，∵∴，∵平分，，∴，∴，在和中∴，∴．【題目點(diǎn)撥】此題主要考查了正方形的性質(zhì)以及全等三角形的判定與性質(zhì)等知識，解決本題的關(guān)鍵就是求證△DNE≌△EBF．23、（1）見解析；（1）①見解析；②1．【分析】（1）當(dāng)D、E兩點(diǎn)重合時(shí)，則AD=CD，然后由等邊三角形的性質(zhì)可得∠CBD的度數(shù)，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和三角形的外角性質(zhì)可得∠F的度數(shù)，于是可得∠CBD與∠F的關(guān)系，進(jìn)而可得結(jié)論；（1）①過點(diǎn)E作EH∥BC交AB于點(diǎn)H，連接BE，如圖4，則易得△AHE是等邊三角形，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)和已知條件可得EH=CF，∠BHE=∠ECF=110°，BH=EC，于是可根據(jù)SAS證明△BHE≌△ECF，可得∠EBH=∠FEC，易證△BAE≌△BCD，可得∠ABE=∠CBD，從而有∠FEC=∠CBD，然后根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理可得∠BGE=∠BCD，進(jìn)而可得結(jié)論；②易得∠BEG=90°，于是可知△BEF是等腰直角三角形，由30°角的直角三角形的性質(zhì)和等腰直角三角形的性質(zhì)易求得BE和BF的長，過點(diǎn)E作EM⊥BF于點(diǎn)F，過點(diǎn)C作CN⊥EF于點(diǎn)N，如圖5，則△BEM、△EMF和△CFN都是等腰直角三角形，然后利用等腰直角三角形的性質(zhì)和30°角的直角三角形的性質(zhì)可依次求出BM、MC、CF、FN、CN、GN的長，進(jìn)而可得△GCN也是等腰直角三角形，于是有∠BCG=90°，故所求的△BCG的面積=，而BC和CG可得，問題即得解決．【題目詳解】解：（1）∵△ABC是等邊三角形，∴∠ABC=∠ACB=60°，當(dāng)D、E兩點(diǎn)重合時(shí)，則AD=CD，∴，∵，∴∠F=∠CDF，∵∠F+∠CDF=∠ACB=60°，∴∠F=30°，∴∠CBD=∠F，∴；（1）①∵△ABC是等邊三角形，∴∠ABC=∠ACB=60°，AB=AC，過點(diǎn)E作EH∥BC交AB于點(diǎn)H，連接BE，如圖4，則∠AHE=∠ABC=60°，∠AEH=∠ACB=60°，∴△AHE是等邊三角形，∴AH=AE=HE，∴BH=EC，∵，CD=CF，∴EH=CF，又∵∠BHE=∠ECF=110°，∴△BHE≌△ECF（SAS），∴∠EBH=∠FEC，EB=EF，∵BA=BC，∠A=∠ACB=60°，AE=CD，∴△BAE≌△BCD（SAS），