數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)技巧

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)技巧目錄\h一、數(shù)的認(rèn)識(shí)\h1．?dāng)?shù)字\h1）數(shù)字的誕生和發(fā)展\h2）阿拉伯?dāng)?shù)字\h3）羅馬數(shù)字\h4）中文數(shù)字\h2．整數(shù)\h1）因數(shù)與倍數(shù)\h2）整除的特性\h3）奇數(shù)與偶數(shù)\h4）質(zhì)數(shù)與合數(shù)\h5）哥德巴赫猜想\h3．小數(shù)\h1）小數(shù)化分?jǐn)?shù)\h2）純循環(huán)小數(shù)化分?jǐn)?shù)\h4．分?jǐn)?shù)\h1）一些特殊的分?jǐn)?shù)轉(zhuǎn)換成小數(shù)\h2）通分與約分\h3）分?jǐn)?shù)比較大小\h5．近似數(shù)\h1）求近似數(shù)的方法\h2）估算法\h6．進(jìn)制\h1）二進(jìn)制數(shù)\h2）十進(jìn)制\h3）進(jìn)制轉(zhuǎn)換\h7．編碼\h1）身份證號(hào)碼\h2）車牌號(hào)\h3）郵政編碼\h4）書號(hào)\h二、數(shù)的運(yùn)算\h1．加法\h1）用湊整法做加法\h2）用補(bǔ)數(shù)法做加法\h3）用基準(zhǔn)數(shù)法做連加法\h4）用拆分法做加法（1）\h5）用拆分法做加法（2）\h6）用分組法求連續(xù)數(shù)的和\h7）用格子法做加法\h2．減法\h1）用湊整法做減法\h2）用補(bǔ)數(shù)法做減法\h3）用拆分法做減法\h3．乘法\h1）用補(bǔ)數(shù)法做乘法\h2）用中間數(shù)做乘法\h3）用拆分法做兩位數(shù)乘法\h4）用錯(cuò)位法做乘法\h5）用節(jié)點(diǎn)法做乘法\h6）用網(wǎng)格法做乘法\h7）用三角格子做乘法\h8）用面積法做兩位數(shù)乘法\h4．除法\h1）用直除法做除法\h2）用運(yùn)算律做連除法\h3）用補(bǔ)數(shù)法做除法\h4）用截位法做多位數(shù)除法\h5．乘方\h1）用基準(zhǔn)數(shù)法做三位數(shù)平方\h2）用基準(zhǔn)數(shù)法做兩位數(shù)立方\h3）用因式分解法做兩位數(shù)平方\h4）用因式分解法做兩位數(shù)立方\h6．開方\h1）完全平方數(shù)開平方\h2）完全立方數(shù)開立方\h7．混合運(yùn)算\h1）用運(yùn)算律做乘除混合運(yùn)算\h2）用整體法做復(fù)雜計(jì)算題\h8．驗(yàn)算\h9．其他\h1）用湊整法做小數(shù)\h2）用湊整法做分?jǐn)?shù)\h3）用拆分法做分?jǐn)?shù)\h4）用裂項(xiàng)法做分?jǐn)?shù)\h5）用特殊值法做特定題型\h6）用放縮法比較大小\h三、式與方程\h1．解方程的依據(jù)\h2．二元一次方程的解法\h3．常用的計(jì)算公式\h1）幾何問題基本公式\h2）代數(shù)問題基本公式\h4．常用的數(shù)量關(guān)系\h5．常用的定律和法則\h四、比和比例\h1．比與除法、分?jǐn)?shù)的關(guān)系\h2．連比\h3．比例問題\h4．正反比例\h五、常見的量\h1．時(shí)間\h2．判斷平年、閏年\h3．計(jì)算某個(gè)日期是星期幾\h4．華氏溫度與攝氏溫度的換算\h5．常用的單位換算\h六、空間與圖形\h1．幾何問題\h2．圖形與變換\h1）平移\h2）旋轉(zhuǎn)\h3）對稱\h4）放縮\h七、統(tǒng)計(jì)與概率\h1．平均數(shù)\h2．中位數(shù)\h3．眾數(shù)\h4．概率的性質(zhì)\h八、周期與規(guī)律\h1．?dāng)?shù)字中的規(guī)律\h2．算式中的規(guī)律\h1）神奇的數(shù)字規(guī)律\h2）一個(gè)數(shù)除以9的神奇規(guī)律\h3．圖形推理中的規(guī)律\h4．方陣中的規(guī)律\h5．周期中的規(guī)律\h九、綜合應(yīng)用題\h1．一般復(fù)合應(yīng)用題\h1）一般復(fù)合應(yīng)用題的解法\h2）一般復(fù)合應(yīng)用題的解題步驟\h2．典型應(yīng)用題\h1）歸一問題\h2）歸總問題\h3）和差倍問題\h4）年齡問題\h5）相遇問題\h6）追及問題\h7）相離問題\h8）流水問題\h9）植樹問題\h10）還原問題\h11）盈虧問題\h12）余數(shù)問題\h13）時(shí)鐘問題\h14）集合問題\h15）工程問題\h16）濃度問題\h17）統(tǒng)籌問題\h18）利潤問題\h19）抽屜問題\h20）排列組合問題\h21）賽制問題\h22）頁碼問題\h23）珠心算問題\h3．趣味數(shù)學(xué)\h1）雞兔同籠問題\h2）兔子繁殖問題\h3）牛吃草問題\h4）帽子問題\h5）說謊問題\h6）分金問題\h7）過河問題\h8）計(jì)時(shí)問題\h9）稱重問題\h10）取水問題\h11）火柴游戲\h12）紙牌游戲\h13）幻方與數(shù)陣\h14）棋盤游戲\h15）猜數(shù)游戲\h16）分割問題\h17）連線問題\h18）一筆畫問題\h19）數(shù)圖形問題\h20）悖論與詭辯\h21）游戲必勝策略\h22）巧記圓周率一、數(shù)的認(rèn)識(shí)1．?dāng)?shù)字1）數(shù)字的誕生和發(fā)展數(shù)字作為數(shù)學(xué)大廈的基石，是人類進(jìn)化的產(chǎn)物。數(shù)的概念的形成可能與火的使用一樣古老，它對于人類文明的意義也絕不亞于火的使用。在幾百萬年以前，我們的祖先還完全沒有數(shù)的概念。原始人類過著群居的生活。白天共同勞動(dòng)，采集果薯，捕獵鳥獸，晚上住在洞穴里，共同享用勞動(dòng)所得。逐漸對“數(shù)”產(chǎn)生了朦朧的概念，但也僅限于“有”“無”“多”“少”。他們狩獵而歸，獵物或有或無。同時(shí)，他們也會(huì)注意到一只羊與許多只羊、一頭狼與整群狼在數(shù)量上的差異。隨著文明的進(jìn)步，這些模糊不清的概念越來越難以滿足生產(chǎn)、生活的需要。由于記事和分配生活用品等方面的需要，逐漸產(chǎn)生了數(shù)的概念。最早人們利用自己的手指頭、石塊或者木棍來計(jì)數(shù)。比如，捕獲了1頭野獸，就用1塊石子代表。捕獲了3頭，就放3塊石子。公元前1500年，南美洲秘魯印加族（印第安人的一部分）習(xí)慣于“結(jié)繩計(jì)數(shù)”——每收進(jìn)一捆莊稼，就在繩子上打個(gè)結(jié)，用結(jié)的多少來記錄收成。根據(jù)我國古書《易經(jīng)》的記載，上古時(shí)期的中國人也是“結(jié)繩而治”，就是用在繩上打結(jié)的辦法來記事表數(shù)。傳說古代波斯王打仗時(shí)也常用繩子打結(jié)來計(jì)算天數(shù)。另外，用利器在樹皮上或獸皮上刻痕，也是古人常用的辦法。底格里斯河與幼發(fā)拉底河之間及兩河周圍，叫作美索不達(dá)米亞，那里產(chǎn)生過一種文化，與埃及文化一樣，也是世界上最古老的文化之一。美索不達(dá)米亞人用在樹木或者石頭上刻痕劃印來記錄流逝的日子。后來，他們逐漸以符號(hào)代替刻痕，用1個(gè)符號(hào)表示1件東西，2個(gè)符號(hào)表示2件東西，以此類推，這種計(jì)數(shù)方法延續(xù)了很久。后來又改為“書契”，即用刀在竹片或木頭上刻痕計(jì)數(shù)。直到今天，我們中國人還經(jīng)常會(huì)使用寫“正”字來計(jì)數(shù)。每寫一畫代表“一”，而“正”字正好是五畫，還包含著“逢五進(jìn)一”的意思。到了后來，人們發(fā)現(xiàn)僅僅用自然數(shù)來計(jì)數(shù)是遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠的。比如，分配物品時(shí)，3個(gè)人分2件東西，每個(gè)人該分多少呢？于是分?jǐn)?shù)就產(chǎn)生了。接著人們又發(fā)現(xiàn)很多數(shù)量具有相反的意義，比如，增加和減少、前進(jìn)和后退，為了表示這樣的量，又產(chǎn)生了負(fù)數(shù)。正數(shù)、負(fù)數(shù)和零，統(tǒng)稱為有理數(shù)。公元前2500年，畢達(dá)哥拉斯的學(xué)生在研究1與2的比例中項(xiàng)時(shí)，發(fā)現(xiàn)沒有一個(gè)能用整數(shù)比例寫成的數(shù)可以表示它，這個(gè)新數(shù)的出現(xiàn)使畢達(dá)哥拉斯感到震驚，緊接著人們又發(fā)現(xiàn)了很多不能用兩整數(shù)之比寫出來的數(shù)，如圓周率就是最重要的一個(gè)，人們就把這些數(shù)稱作無理數(shù)。有理數(shù)和無理數(shù)一起統(tǒng)稱為實(shí)數(shù)。但是后來，在解方程的時(shí)候常常需要開平方，如果被開方數(shù)是負(fù)數(shù)，這道題還有解嗎？如果沒有解，那么數(shù)學(xué)運(yùn)算就像走在死胡同中那樣處處碰壁。于是數(shù)學(xué)家們就規(guī)定用符號(hào)“i”表示“－1”的平方根，虛數(shù)就這樣誕生了。數(shù)字的概念發(fā)展到虛數(shù)以后，在很長一段時(shí)間內(nèi)，就連某些數(shù)學(xué)家也認(rèn)為數(shù)的概念已經(jīng)十分完善了?？墒?843年10月16日，英國數(shù)學(xué)家哈密爾頓又提出了“四元數(shù)”的概念。所謂四元數(shù)，就是由一個(gè)標(biāo)量（實(shí)數(shù)）和一個(gè)向量（其中x、y、z為實(shí)數(shù)）組成的數(shù)。四元數(shù)在數(shù)論、群論、量子理論以及相對論等方面有著廣泛的應(yīng)用。與此同時(shí)，人們還開展了對“多元數(shù)”理論的研究。到目前為止，數(shù)字的“家族”已發(fā)展得十分龐大。至于究竟什么時(shí)候才能把數(shù)字家族的成員全部湊齊，依然是未知數(shù)！2）阿拉伯?dāng)?shù)字阿拉伯?dāng)?shù)字，其實(shí)并不是阿拉伯人發(fā)明創(chuàng)造的，而是發(fā)源于古印度。后來被阿拉伯人掌握、改進(jìn)，并傳到了西方，西方人非常喜愛這套方便、實(shí)用的計(jì)數(shù)符號(hào)，便將這些數(shù)字稱為阿拉伯?dāng)?shù)字。慢慢地，世界各地都認(rèn)同了這個(gè)叫法。盡管后來人們知道了事情的真相，但由于習(xí)慣使然，也就一直沒有改正過來。在古代印度，進(jìn)行城市建設(shè)時(shí)需要設(shè)計(jì)和規(guī)劃，進(jìn)行祭祀時(shí)需要計(jì)算日月星辰的運(yùn)行，于是，數(shù)學(xué)計(jì)算就產(chǎn)生了。大約在公元前3000年，印度河流域居民的數(shù)字就比較先進(jìn)，而且采用了十進(jìn)位的計(jì)算方法。到公元前3世紀(jì)，印度出現(xiàn)了整套的數(shù)字，但各地區(qū)的寫法并不完全一致，其中最有代表性的是婆羅門式?，F(xiàn)代數(shù)字就是由這一組數(shù)字演化而來的。當(dāng)時(shí)，在這一組數(shù)字中，只有1～9九個(gè)符號(hào)，還沒有出現(xiàn)“0”這個(gè)數(shù)字?！?”是到了笈多王朝（公元320—550年）時(shí)期才出現(xiàn)的。這些阿拉伯?dāng)?shù)字不單單用來計(jì)數(shù)，還有著豐富的哲學(xué)內(nèi)涵。1：可以看作是數(shù)字“1”，也可以看作是一根棍子、一個(gè)拐杖、一把豎立的槍、一支蠟燭……2：可以看作是數(shù)字“2”，也可以看作是一只木馬、一個(gè)跪著的人、一個(gè)陡坡、一個(gè)滑梯、一只鵝……3：可以看作是數(shù)字“3”，也可以看作是兩根手指、斗雞眼、樹杈、立起來的W……4：可以看作是數(shù)字“4”，也可以看作是一個(gè)蹲著的人、小帆船、小紅旗、小刀……5：可以看作是數(shù)字“5”，也可以看作是大肚子、小屁股、音符……6：可以看作是數(shù)字“6”，也可以看作是小蝌蚪、一個(gè)頭和一個(gè)手臂露在外面的人……7：可以看作是數(shù)字“7”，也可以看作是拐杖、小桌子、板凳、鐮刀……8：可以看作是數(shù)字“8”，也可以看作是數(shù)學(xué)符號(hào)“∞”、花生、套環(huán)、雪人……9：可以看作是數(shù)字“9”，也可以看作是一個(gè)靠著坐的人、小嫩芽……0：可以看作是數(shù)字“0”，也可以看作是胖乎乎的人、圓形、鞋底、腳丫、瘦子的臉、雞蛋……3）羅馬數(shù)字羅馬數(shù)字是一種現(xiàn)在應(yīng)用比較少的數(shù)量表示方法。但是，它的產(chǎn)生標(biāo)志著一種古代文明的進(jìn)步。羅馬數(shù)字是在希臘數(shù)字的基礎(chǔ)上建立的一種計(jì)數(shù)方法。大約在2500年前，羅馬人還處在文化發(fā)展的初期，當(dāng)時(shí)他們用手勢來表示數(shù)字。比如，為了表示一、二、三、四個(gè)物體，就分別伸出一、二、三、四根手指；表示五個(gè)物體就伸出一只手；表示十個(gè)物體就伸出兩只手。相應(yīng)地，為了記錄下這些數(shù)字，就在羊皮上畫出Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ來代替手指的根數(shù)；要表示一只手時(shí)，就寫成“Ⅴ”形，表示大拇指與食指張開的形狀；表示兩只手時(shí)，就畫成“ⅤⅤ”形，后來又寫成一只手向上，一只手向下的“Ⅹ”，這就是羅馬數(shù)字的雛形。后來為了表示較大的數(shù)，羅馬人用符號(hào)C表示一百。C是拉丁詞century的第一個(gè)字母，century就是一百的意思。用符號(hào)M表示一千。M是拉丁詞mille的第一個(gè)字母，mille就是一千的意思。取字母C的一半，成為符號(hào)L，表示50。這樣，羅馬數(shù)字就有了下面七個(gè)基本符號(hào)：Ⅰ表示1，Ⅴ表示5，Ⅹ表示10，L表示50，C表示100，D表示500，M表示1000。若在數(shù)的上面畫一橫線，這個(gè)數(shù)就擴(kuò)大1000倍。這樣就可以表示更大的數(shù)字。用羅馬數(shù)字表示數(shù)的基本方法一般是把若干個(gè)羅馬數(shù)字寫成一列，它表示的數(shù)等于各個(gè)數(shù)字所表示的數(shù)相加的和。但是也有例外，當(dāng)符號(hào)Ⅰ、Ⅹ或C位于大數(shù)的后面時(shí)就作為加數(shù)；位于大數(shù)的前面時(shí)就作為減數(shù)。具體規(guī)則如下。（1）重復(fù)數(shù)次。一個(gè)羅馬數(shù)字重復(fù)幾次，就表示這個(gè)數(shù)的幾倍。（2）右加左減。在一個(gè)較大的羅馬數(shù)字的右邊記上一個(gè)較小的羅馬數(shù)字，表示大數(shù)字加小數(shù)字。在一個(gè)較大的羅馬數(shù)字的左邊記上一個(gè)較小的羅馬數(shù)字，表示大數(shù)字減小數(shù)字。但是，左減不能跨越等級(jí)。比如，99不可以用ⅠC表示，而用ⅩCⅠⅩ表示。（3）加線乘千。在一個(gè)羅馬數(shù)字的上方加上一條橫線或者在右下方寫M，表示將這個(gè)數(shù)字乘以1000，即是原數(shù)的1000倍。同理，如果上方有兩條橫線，即是原數(shù)的1000000倍。（4）單位限制。同樣單位最多只能出現(xiàn)3次，如40不能表示為ⅩⅩⅩⅩ，而要表示為ⅩL。羅馬數(shù)字表示大數(shù)字時(shí)寫起來就比較簡短，但計(jì)算十分不便。到現(xiàn)在已經(jīng)很少有人使用羅馬數(shù)字計(jì)數(shù)了。現(xiàn)在有的鐘表表面仍用它表示時(shí)數(shù)。此外，在書稿章節(jié)及科學(xué)分類時(shí)也有采用羅馬數(shù)字的。遺憾的是，羅馬數(shù)字里沒有0。運(yùn)算的時(shí)候不能進(jìn)位，不能做除法，即使十分簡單的運(yùn)算，也極為困難。羅馬教皇還自認(rèn)為用羅馬數(shù)字來表示任何數(shù)字不但完全夠用而且十全十美，他們甚至向外界宣布：“羅馬數(shù)字是上帝發(fā)明的，從今以后不許人們再隨意增加或減少一個(gè)數(shù)字。”0在羅馬是被禁止使用的。有一次，一位羅馬學(xué)者了解到了關(guān)于0的介紹，他認(rèn)為0對計(jì)數(shù)是很有益處的，于是便不顧羅馬教皇的禁令，在自己的著作中悄悄記載了一些關(guān)于0的用法，并把一些有關(guān)0的知識(shí)以及在運(yùn)算中所起到的作用暗中進(jìn)行傳播。這件事被羅馬教皇知道后，馬上派人把他給囚禁了起來，還大發(fā)脾氣地說：“神圣的數(shù)，不可侵犯，是上帝創(chuàng)造出來的，絕不允許0這個(gè)邪物加進(jìn)來，弄污了神圣的數(shù)！”但是黑暗終究戰(zhàn)勝不了光明，人們一旦意識(shí)到0的重要作用，就會(huì)不顧一切地沖破教會(huì)的束縛，大膽地使用起它來。725年，羅馬人開始用字母N（N是nulla的簡稱，拉丁文釋義為零）代表零。4）中文數(shù)字我們常用的計(jì)數(shù)方法除了阿拉伯?dāng)?shù)字外，還有中文數(shù)字。中文數(shù)字又分為小寫與大寫。阿拉伯?dāng)?shù)字與中文數(shù)字大小寫對照表見表1-1。表1-1阿拉伯?dāng)?shù)字與中文大小寫對照表通過上面的表格我們可以看出，不管是阿拉伯?dāng)?shù)字（1、2、3…），還是漢字小寫數(shù)碼（一、二、三……），由于筆畫簡單，都容易被涂改偽篡。所以一般文書和商業(yè)財(cái)務(wù)票據(jù)上的數(shù)字都要采用中文大寫數(shù)字：壹、貳、叁、肆、伍、陸、柒、捌、玖、拾、佰、仟。而像萬、億這類數(shù)字，本身筆畫已經(jīng)比較復(fù)雜，而且使用機(jī)會(huì)也較少，沒有必要再用別的字代替。這些漢字很早就已經(jīng)產(chǎn)生了，而用作大寫數(shù)字，屬于假借。數(shù)字的這種繁化寫法，早在唐代就已經(jīng)全面地使用了，后來逐步規(guī)范化成為一套大寫數(shù)碼，并一直沿用至今。中文大寫數(shù)字的廣泛應(yīng)用，主要是防止人篡改數(shù)字進(jìn)行經(jīng)濟(jì)犯罪而采取的有效措施。明朝初年，一起涉及12名高官、6個(gè)部的左右侍郎的重大“郭桓貪污案”，就是利用空白賬冊大做假賬，通過篡改數(shù)字大肆侵吞錢糧，累計(jì)高達(dá)2400多萬石，這個(gè)數(shù)字幾乎和當(dāng)時(shí)全國秋糧實(shí)征總數(shù)相當(dāng)。朱元璋對此大為震怒，下令將郭桓等同案犯幾萬人斬首示眾，同時(shí)制定了懲治經(jīng)濟(jì)犯罪的嚴(yán)格法令，并在財(cái)務(wù)管理上進(jìn)行技術(shù)防范——把漢字中的數(shù)字改為難以涂改的大寫，即將“一二三四五六七八九十百千”改為“壹貳叁肆伍陸柒捌玖拾佰仟”等，被稱為中國歷史上金額數(shù)字大寫的首創(chuàng)。到了現(xiàn)代社會(huì)的今天，銀行票證、流動(dòng)支票、實(shí)用發(fā)票、合同協(xié)議、賬目單據(jù)等各類經(jīng)濟(jì)文本必須標(biāo)明大寫數(shù)字，已經(jīng)成為“約定俗成”的規(guī)則。票據(jù)規(guī)定，銀行、單位和個(gè)人填寫票據(jù)與結(jié)算憑證，必須做到標(biāo)準(zhǔn)化、規(guī)范化，要求要素齊全、數(shù)字正確、字跡清晰、不錯(cuò)漏、不潦草，防止涂改。中文大寫金額數(shù)字應(yīng)用正楷或行書填寫，如壹、貳、叁、肆、伍、陸、柒、捌、玖、拾、佰、仟、萬、億、元、角、分、零、整（正）等字樣。不得用一、二（兩）、三、四、五、六、七、八、九、十、念、毛、另（或○）填寫，不得自造簡化字。如果金額數(shù)字書寫中使用繁體字，如貳、陸、億、萬、圓的，也應(yīng)受理。2．整數(shù)1）因數(shù)與倍數(shù)（1）概念因數(shù)和倍數(shù)：若整數(shù)a能夠被b整除，a叫作b的倍數(shù)，b就叫作a的因數(shù)。公因數(shù)：幾個(gè)數(shù)公有的因數(shù)，叫作這幾個(gè)數(shù)的公因數(shù)；其中最大的一個(gè)，叫作這幾個(gè)數(shù)的最大公因數(shù)。公倍數(shù)：幾個(gè)數(shù)公有的倍數(shù)，叫作這幾個(gè)數(shù)的公倍數(shù)；其中最小的一個(gè)，叫作這幾個(gè)數(shù)的最小公倍數(shù)。互質(zhì)數(shù)：如果兩個(gè)數(shù)的最大公因數(shù)是1，那么這兩個(gè)數(shù)叫作互質(zhì)數(shù)。（2）性質(zhì)因數(shù)與倍數(shù)的性質(zhì)如下。一個(gè)數(shù)的因數(shù)的個(gè)數(shù)是有限的，其中最小的因數(shù)是1，最大的因數(shù)是它本身；一個(gè)數(shù)的倍數(shù)的個(gè)數(shù)是無限的，其中最小的倍數(shù)是它本身，沒有最大的倍數(shù)。倍數(shù)和因數(shù)是相互存在的。0是任何整數(shù)的倍數(shù)。（3）因數(shù)①表示一個(gè)數(shù)的因數(shù)的方法（a）列舉法。即把一個(gè)數(shù)的因數(shù)按從小到大的順序列出來。例子：表示出36的因數(shù)。解：36的因數(shù)有1、2、3、4、6、9、12、18、36。（b）集合法。即把一個(gè)數(shù)的因數(shù)按從小到大的順序?qū)懺诩先?。例子：表示?6的因數(shù)。解：36的因數(shù)如圖1-1所示。圖1-1②求一個(gè)數(shù)的因數(shù)的方法（a）用乘法找。用乘法找就是用因數(shù)和倍數(shù)的關(guān)系來找。例子：找出36的所有因數(shù)。解：首先我們在自然數(shù)的范圍內(nèi)找出所有乘積為36的乘法算式。一般我們會(huì)從1開始找起。1×36=36,2×18=36,3×12=36,4×9=36,6×6=36所以，1、2、3、4、6、9、12、18、36都是36的因數(shù)。（b）用除法找。用除法找，就是用整除的意義來找。例子：找出36的所有因數(shù)。解：首先我們找出36除以哪些數(shù)可以整除。一般我們會(huì)從1開始找起。36÷1=36,36÷2=18,36÷3=12,36÷4=9,36÷6=6所以，1、2、3、4、6、9、12、18、36都是36的因數(shù)。③求一個(gè)數(shù)有多少個(gè)因數(shù)求一個(gè)數(shù)有多少個(gè)因數(shù)，可以將這個(gè)數(shù)分解質(zhì)因數(shù)，然后將相同的因數(shù)的積用an的形式表示出來，最后給各因數(shù)的指數(shù)加1，然后將所得的和連乘，積就是這個(gè)數(shù)的因數(shù)的個(gè)數(shù)。例子：求180的因數(shù)的個(gè)數(shù)。解：180=2×2×3×3×5=22×32×51所以，180的因數(shù)的個(gè)數(shù)為（2+1）×（2+1）×（1+1）=18（個(gè)）。④最大公因數(shù)的性質(zhì)（a）幾個(gè)數(shù)都除以它們的最大公因數(shù)，所得的幾個(gè)商是互質(zhì)數(shù)。（b）幾個(gè)數(shù)的最大公因數(shù)都是這幾個(gè)數(shù)的因數(shù)。（c）幾個(gè)數(shù)的公因數(shù)，都是這幾個(gè)數(shù)的最大公因數(shù)的因數(shù)。（d）幾個(gè)數(shù)都乘以一個(gè)自然數(shù)m，所得的積的最大公因數(shù)等于這幾個(gè)數(shù)的最大公因數(shù)乘以m。⑤求最大公因數(shù)的基本方法（a）分解質(zhì)因數(shù)法。先分解質(zhì)因數(shù)，然后把相同的因數(shù)連乘起來。幾個(gè)自然數(shù)的最大公因數(shù)必須包含這幾個(gè)自然數(shù)全部公有的質(zhì)因數(shù)，因此我們可以先把各個(gè)數(shù)分解質(zhì)因數(shù)，再把這幾個(gè)自然數(shù)全部公有的質(zhì)因數(shù)選出來并連乘起來，所得的積就是要求的最大公因數(shù)。例子：求18和24的最大公因數(shù)。解：先分別分解質(zhì)因數(shù)。18=2×3×324=2×2×2×3公有的質(zhì)因數(shù)為2和3，所以18和24的最大公因數(shù)是2×3=6。（b）短除法。先找公有的因數(shù)，然后相乘。用幾個(gè)數(shù)公有的質(zhì)因數(shù)從小到大依次作為除數(shù)，分別去除這幾個(gè)數(shù)，把除得的商寫在該數(shù)的下方，一直除到這幾個(gè)商只有公因數(shù)1為止，然后把所有的除數(shù)連乘起來，所得的積就是這幾個(gè)數(shù)的最大公因數(shù)。例子：求18和24的最大公因數(shù)。解：根據(jù)圖1-2可知，18和24的最大公因數(shù)是2×3=6。圖1-2（c）輾轉(zhuǎn)相除法。每一次都用除數(shù)和余數(shù)相除，能夠整除的那個(gè)余數(shù)，就是所求的最大公因數(shù)。具體方法：先用較小的數(shù)去除較大的數(shù)，再用出現(xiàn)的余數(shù)（第一余數(shù)）去除除數(shù)。接著再用出現(xiàn)的第二余數(shù)去除第一余數(shù)……直到?jīng)]有余數(shù)為止。最后的除數(shù)就是兩個(gè)數(shù)的最大公因數(shù)。例子：求18和24的最大公因數(shù)。解：先用24÷18=1……6；再用18÷6=3，沒有余數(shù)；所以，18和24的最大公因數(shù)是6。（d）特殊方法。如果兩個(gè)數(shù)互質(zhì)，則它們的最大公因數(shù)是1；如果較小數(shù)是較大數(shù)的因數(shù)，那么較小數(shù)就是這兩個(gè)數(shù)的最大公因數(shù)。（4）倍數(shù)①表示一個(gè)數(shù)的倍數(shù)的方法（a）列舉法。列舉法即把一個(gè)數(shù)的倍數(shù)按從小到大的順序列出來。因?yàn)橐粋€(gè)數(shù)的倍數(shù)是無限多個(gè)的，無法一一列舉，所以后面可以用省略號(hào)表示。例子：表示出2的倍數(shù)。解：2的倍數(shù)有2、4、6、8、10、…（b）集合法。集合法即把一個(gè)數(shù)的倍數(shù)按從小到大的順序?qū)懺诩先铩Ｒ驗(yàn)橐粋€(gè)數(shù)的倍數(shù)是無限多個(gè)的，無法一一列舉，所以后面可以用省略號(hào)表示。例子：表示出2的倍數(shù)。解：2的倍數(shù)如圖1-3所示。圖1-3②求一個(gè)數(shù)的倍數(shù)的方法用這個(gè)數(shù)分別去乘自然數(shù)1、2、3、4、…就可以得出這個(gè)數(shù)的倍數(shù)。例子：找出5的倍數(shù)。解：我們用5分別與自然數(shù)1、2、3、4、5、…相乘即可。5×1=5,5×2=10,5×3=15,5×4=20,5×5=25,…所以，5的倍數(shù)為5、10、15、20、25、…③最小公倍數(shù)的性質(zhì)（a）兩個(gè)數(shù)的任意公倍數(shù)都是它們最小公倍數(shù)的倍數(shù)。（b）兩個(gè)數(shù)的最大公因數(shù)與最小公倍數(shù)的乘積等于這兩個(gè)數(shù)的乘積。④求最小公倍數(shù)的基本方法（a）分解質(zhì)因數(shù)法。求兩個(gè)數(shù)的最小公倍數(shù)，先把每個(gè)數(shù)分解質(zhì)因數(shù)，再把這兩個(gè)數(shù)的公有的所有質(zhì)因數(shù)和其中每個(gè)數(shù)獨(dú)有的質(zhì)因數(shù)全部連乘起來，所得的積就是它們的最小公倍數(shù)。例子：求18和24的最小公倍數(shù)。解：先分別分解質(zhì)因數(shù)。18=2×3×324=2×2×2×3公有的質(zhì)因數(shù)為2和3，18獨(dú)有的質(zhì)因數(shù)為3，24獨(dú)有的質(zhì)因數(shù)為2和2。所以，18和24的最小公倍數(shù)2×3×3×2×2=72。（b）短除法：先找公有的因數(shù)，然后相乘。用幾個(gè)數(shù)公有的質(zhì)因數(shù)從小到大依次作為除數(shù)，分別去除這幾個(gè)數(shù)。在連除時(shí)，如果某個(gè)數(shù)不能被除數(shù)整除，就把這個(gè)數(shù)寫在下方，直到得出的商兩兩互質(zhì)為止。然后把所有的除數(shù)和商連乘起來，所得的積就是這幾個(gè)數(shù)的最小公倍數(shù)。例子：求18、24和36的最小公倍數(shù)。解：根據(jù)圖1-4可知，18、24和36的最小公倍數(shù)是2×3×3×2×1×2×1=72。圖1-4（c）利用最大公因數(shù)求最小公倍數(shù)。因?yàn)閮蓚€(gè)自然數(shù)的最大公因數(shù)與它們的最小公倍數(shù)的乘積等于這兩個(gè)數(shù)的乘積，所以，我們可以用這兩個(gè)的乘積除以它們的最大公因數(shù)，得到的結(jié)果即為這兩個(gè)數(shù)的最小公倍數(shù)。例子：求12和18的最小公倍數(shù)。解：12和18的最大公因數(shù)是6。12×18÷6=36所以，12和18的最小公倍數(shù)是36。（d）特殊方法。如果兩個(gè)數(shù)是互質(zhì)數(shù)，那么它們的最小公倍數(shù)是這兩個(gè)數(shù)的乘積；如果較大數(shù)是較小數(shù)的倍數(shù)，那么較大數(shù)就是這兩個(gè)數(shù)的最小公倍數(shù)。2）整除的特性如果一個(gè)整數(shù)a除以一個(gè)自然數(shù)b，得到一個(gè)整數(shù)商c，而且沒有余數(shù)，那么叫作a能被b整除或b能整除a，記作b|a。有些題目，可以利用數(shù)的整除特性，根據(jù)題目中的部分條件，并借助于選項(xiàng)提供的信息進(jìn)行求解。一般來說，這類題目的數(shù)量關(guān)系比較隱蔽，需要一定的數(shù)字敏感性才能發(fā)掘出來。（1）數(shù)的整除性質(zhì)①對稱性。若a能被b整除，b也能被a整除，那么a、b兩數(shù)相等。②傳遞性。若a能被b整除，b能被c整除，那么a能被c整除。③如果a、b都能被c整除，那么（a+b）、（a-b）與a×b也能被c整除。④如果a能被b整除，c是整數(shù)，那么a乘以c也能被b整除。⑤如果a能被c整除，a能被b整除，且b與c互質(zhì)，那么a能被b×c整除。⑥如果a能被b×c整除，且b與c互質(zhì)，那么a能被b整除，a也能被c整除。⑦若一個(gè)質(zhì)數(shù)能整除兩個(gè)自然數(shù)的乘積，那么這個(gè)質(zhì)數(shù)至少能整除這兩個(gè)自然數(shù)中的一個(gè)。⑧幾個(gè)數(shù)相乘，若其中有一個(gè)因子能被某一個(gè)數(shù)整除，那么它們的積也能被該數(shù)整除。（2）判斷數(shù)能否被整除判斷一個(gè)數(shù)能否被特殊數(shù)字整除的方法如下。①判斷一個(gè)數(shù)能否被2整除，只需判斷其個(gè)位數(shù)字能否被2整除。②判斷一個(gè)數(shù)能否被3整除，只需判斷其各位數(shù)字之和能否被3整除。③判斷一個(gè)數(shù)能否被5整除，當(dāng)一個(gè)數(shù)的個(gè)位為0或5時(shí)，此數(shù)能被5整除。④判斷一個(gè)數(shù)能否被7整除，將此數(shù)的個(gè)位數(shù)字截去，再從余下的數(shù)中，減去個(gè)位數(shù)字的2倍，差是7的倍數(shù)，則原數(shù)能被7整除。⑤判斷一個(gè)數(shù)能否被9整除，只需判斷其各位數(shù)字之和能否被9整除。⑥判斷一個(gè)數(shù)能否被11整除，將此數(shù)的奇位數(shù)字之和與偶位數(shù)字之和相減，若差能被11整除，則此數(shù)能被11整除。⑦判斷一個(gè)數(shù)能否被13整除，將此數(shù)的個(gè)位數(shù)字截去，再從余下的數(shù)中加上個(gè)位數(shù)字的4倍，和如果是13的倍數(shù)，則原數(shù)能被13整除。⑧判斷一個(gè)數(shù)能否被17整除，將此數(shù)的個(gè)位數(shù)字截去，再從余下的數(shù)中減去個(gè)位數(shù)字的5倍，差如果是17的倍數(shù)，則原數(shù)能被17整除。⑨判斷一個(gè)數(shù)能否被19整除，將此數(shù)的個(gè)位數(shù)字截去，再從余下的數(shù)中加上個(gè)位數(shù)字的2倍，和如果是19的倍數(shù)，則原數(shù)能被19整除。⑩判斷一個(gè)數(shù)能否被6、10、14、15等數(shù)整除，只要判斷這個(gè)數(shù)能否同時(shí)被分解出來的兩個(gè)因數(shù)整除即可。因?yàn)槲覀冎溃?=2×3，10=2×5，14=2×7，15=3×5。（3）數(shù)的整除特征一個(gè)數(shù)要想被另一個(gè)數(shù)整除，該數(shù)需含有對方所具有的質(zhì)數(shù)因子。①1與0的特性：1是任何整數(shù)的約數(shù)，0是任何非零整數(shù)的倍數(shù)。②若一個(gè)整數(shù)的末位是0、2、4、6或8，則這個(gè)數(shù)能被2整除。③若一個(gè)整數(shù)的數(shù)字和能被3（9）整除，則這個(gè)整數(shù)能被3（9）整除。④若一個(gè)整數(shù)的末尾兩位數(shù)能被4（25）整除，則這個(gè)數(shù)能被4（25）整除。⑤若一個(gè)整數(shù)的末位是0或5，則這個(gè)數(shù)能被5整除。⑥若一個(gè)整數(shù)能被2和3整除，則這個(gè)數(shù)能被6整除。⑦若一個(gè)整數(shù)的個(gè)位數(shù)字截去，再從余下的數(shù)中減去個(gè)位數(shù)的2倍，如果差是7的倍數(shù)，則原數(shù)能被7整除。⑧若一個(gè)整數(shù)的末三位數(shù)能被8（125）整除，則這個(gè)數(shù)能被8（125）整除。⑨若一個(gè)整數(shù)的末位是0，則這個(gè)數(shù)能被10整除。⑩若一個(gè)整數(shù)的奇位數(shù)字之和與偶位數(shù)字之和的差能被11整除，則這個(gè)數(shù)能被11整除（不夠減時(shí)依次加11直至夠減為止）。?若一個(gè)整數(shù)能被3和4整除，則這個(gè)數(shù)能被12整除。?若一個(gè)整數(shù)的個(gè)位數(shù)字截去，再從余下的數(shù)中加上個(gè)位數(shù)的4倍，如果差是13的倍數(shù)，則原數(shù)能被13整除。一個(gè)三位以上的整數(shù)能否被7（11或13）整除，只需看這個(gè)數(shù)的末三位數(shù)字表示的三位數(shù)與末三位數(shù)字以前的數(shù)字所組成的數(shù)的差（以大減?。┠芊癖?（11或13）整除。另外的方法：將一個(gè)多位數(shù)從后往前三位一組進(jìn)行分段。奇數(shù)段各三位數(shù)之和與偶數(shù)段各三位數(shù)之和的差若能被7（11或13）整除，則原多位數(shù)也能被7（11或13）整除。?若一個(gè)整數(shù)的個(gè)位數(shù)字截去，再從余下的數(shù)中減去個(gè)位數(shù)的5倍，如果差是17的倍數(shù)，則原數(shù)能被17整除。?若一個(gè)整數(shù)的個(gè)位數(shù)字截去，再從余下的數(shù)中加上個(gè)位數(shù)的2倍，如果差是19的倍數(shù)，則原數(shù)能被19整除。?若一個(gè)整數(shù)的末三位與3倍的前面的隔出數(shù)的差能被17整除，則這個(gè)數(shù)能被17整除。?若一個(gè)整數(shù)的末三位與7倍的前面的隔出數(shù)的差能被19整除，則這個(gè)數(shù)能被19整除。?若一個(gè)整數(shù)的末四位與5倍的前面的隔出數(shù)的差能被23（或29）整除，則這個(gè)數(shù)能被23整除。3）奇數(shù)與偶數(shù)（1）概念在整數(shù)中，不能被2整除的數(shù)叫作奇數(shù)，能被2整除的數(shù)叫作偶數(shù)。日常生活中，人們通常把奇數(shù)叫作單數(shù)，把偶數(shù)叫作雙數(shù)。奇數(shù)跟偶數(shù)是相對的。所有整數(shù)不是奇數(shù)（單數(shù)），就是偶數(shù)（雙數(shù)）。（2）性質(zhì)關(guān)于奇數(shù)和偶數(shù)，有下面一些性質(zhì)。①兩個(gè)連續(xù)整數(shù)中必有一個(gè)奇數(shù)和一個(gè)偶數(shù)。②奇數(shù)跟奇數(shù)的和是偶數(shù)；偶數(shù)跟奇數(shù)的和是奇數(shù)；任意多個(gè)偶數(shù)的和是偶數(shù)；奇偶性相同的兩數(shù)之和為偶數(shù)；奇偶性不同的兩數(shù)之和為奇數(shù)。③兩個(gè)奇（偶）數(shù)的差是偶數(shù)；一個(gè)偶數(shù)與一個(gè)奇數(shù)的差是奇數(shù)。④奇數(shù)個(gè)奇數(shù)與任意個(gè)偶數(shù)相加減時(shí)，得到的結(jié)果（和或差）必為奇數(shù)；偶數(shù)個(gè)奇數(shù)與任意個(gè)偶數(shù)相加減時(shí)，得到的結(jié)果（和或差）必為偶數(shù)。⑤奇數(shù)與奇數(shù)的積是奇數(shù)；偶數(shù)與偶數(shù)的積是偶數(shù)；奇數(shù)與偶數(shù)的積是偶數(shù)。⑥n個(gè)奇數(shù)的乘積是奇數(shù)；n個(gè)偶數(shù)的乘積是偶數(shù)；n個(gè)數(shù)相乘，其中有一個(gè)是偶數(shù)，則乘積是偶數(shù)。⑦奇數(shù)的個(gè)位一定是1、3、5、7、9；偶數(shù)的個(gè)位一定是0、2、4、6、8。所以，在十進(jìn)制里，可以用看個(gè)位數(shù)的方式判定該數(shù)是奇數(shù)（單數(shù)）還是偶數(shù)（雙數(shù)）。⑧除2之外，所有的正偶數(shù)均為合數(shù)。⑨相鄰偶數(shù)最大公約數(shù)為2，最小公倍數(shù)為它們乘積的一半。⑩偶數(shù)的平方可以被4整除，奇數(shù)的平方除以2、4、8余1。?任意兩個(gè)奇數(shù)的平方差是2、4、8的倍數(shù)。?每個(gè)奇數(shù)與2的商都余1。?著名數(shù)學(xué)家畢達(dá)哥拉斯發(fā)現(xiàn)一個(gè)有趣的奇數(shù)現(xiàn)象：將奇數(shù)連續(xù)相加，每次的得數(shù)正好是一個(gè)平方數(shù)。如：1+3=221+3+5=321+3+5+7=421+3+5+7+9=521+3+5+7+9+11=621+3+5+7+9+11+13=721+3+5+7+9+11+13+15=821+3+5+7+9+11+13+15+17=92…4）質(zhì)數(shù)與合數(shù)質(zhì)數(shù)除了1和它本身外沒有其他約數(shù)，合數(shù)除了1和它本身外還有其他約數(shù)。根據(jù)這個(gè)特點(diǎn)，即可把整數(shù)進(jìn)行區(qū)分。注意：1既不是質(zhì)數(shù)也不是合數(shù)；最小的質(zhì)數(shù)是2；除了2以外，所有的質(zhì)數(shù)都是奇數(shù)；最小的合數(shù)是4。（1）判斷質(zhì)數(shù)的方法①查表法查質(zhì)數(shù)表內(nèi)有沒有要查的數(shù)，若有它就是質(zhì)數(shù)；若沒有它就是合數(shù)（1000以內(nèi)的質(zhì)數(shù)，如圖1-5所示）。對于常用的質(zhì)數(shù)，我們最好能把它們記住，這樣對類似題目的運(yùn)算有很大幫助。100以內(nèi)的質(zhì)數(shù)：2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97。例子：請根據(jù)給出數(shù)字之間的規(guī)律，填寫空缺處的數(shù)字。2、4、7、12、19、（）A．21B．27C．30D．41圖1-5解：計(jì)算相鄰兩個(gè)數(shù)之差，我們會(huì)發(fā)現(xiàn)分別為2、3、5、7、…這是一個(gè)質(zhì)數(shù)數(shù)列，所以下一個(gè)數(shù)字應(yīng)該是19+11=30。答案是選項(xiàng)C。②試除法可以用2、3、5、7、11、13等質(zhì)數(shù)依次去除要查的數(shù)，當(dāng)除得的商比除數(shù)小的時(shí)候，就不用再除了，就可以判定要查的數(shù)是不是質(zhì)數(shù)了。如果沒有一個(gè)質(zhì)數(shù)是它的因數(shù)，那么這個(gè)數(shù)就是質(zhì)數(shù)。（2）分解質(zhì)因數(shù)把一個(gè)合數(shù)分解成若干個(gè)質(zhì)因數(shù)的乘積的形式，即求質(zhì)因數(shù)的過程，叫作分解質(zhì)因數(shù)。分解質(zhì)因數(shù)只針對合數(shù)（分解質(zhì)因數(shù)也稱分解素因數(shù)）。求一個(gè)數(shù)分解質(zhì)因數(shù)，要從最小的質(zhì)數(shù)除起，一直除到結(jié)果為質(zhì)數(shù)為止。分解質(zhì)因數(shù)的算式叫作短除法，和除法的性質(zhì)差不多，還可以用來求多個(gè)個(gè)數(shù)的公因式。不存在最大質(zhì)數(shù)的證明：（使用反證法）假設(shè)存在最大的質(zhì)數(shù)為N，則所有的質(zhì)數(shù)序列為N1、N2、N3、…、N。設(shè)M=（N1×N2×N3×N4×…×N）+1，可以證明M不能被任何質(zhì)數(shù)整除，得出M也是一個(gè)質(zhì)數(shù)。而M＞N，與假設(shè)矛盾，故可證明不存在最大的質(zhì)數(shù)。（3）分解質(zhì)因數(shù)的方法①塔式分解法對于一個(gè)較小的合數(shù)，我們可以采用塔式分解法來分解質(zhì)因數(shù)，如圖1-6的（a）和（b）所示。所以，48=2×2×2×2×3。圖1-6②短除法短除法就是在被除數(shù)的左邊寫出除數(shù)（從最小的質(zhì)數(shù)開始除起），在被除數(shù)的下面直接寫出商來。如果得出的商是質(zhì)數(shù)，就把除數(shù)和商寫成相乘的形式；如果得出的商還是合數(shù)，就按照前面的方法繼續(xù)除，直到得到的商是質(zhì)數(shù)為止，然后把所有的除數(shù)和最后的商寫成連乘的形式。例如，根據(jù)圖1-7可知，48=2×2×2×2×3。圖1-7（4）求一個(gè)合數(shù)的因數(shù)個(gè)數(shù)的簡便方法要用簡便方法求一個(gè)合數(shù)的因數(shù)個(gè)數(shù)，先把這個(gè)合數(shù)分解質(zhì)因數(shù)，再把相同質(zhì)因數(shù)用冪的形式表示，然后給每個(gè)質(zhì)因數(shù)的指數(shù)分別加1，再相乘，其積就是這個(gè)合數(shù)的因數(shù)的個(gè)數(shù)。例子：求120的因數(shù)個(gè)數(shù)。解：先分解質(zhì)因數(shù)。120=2×2×2×3×5=23×3×5這些質(zhì)因數(shù)的指數(shù)分別為3、1、1，所以，120有（3+1）×（1+1）×（1+1）=16（個(gè)）因數(shù)。5）哥德巴赫猜想1742年，德國著名數(shù)學(xué)家哥德巴赫在給歐拉的信中提出了以下兩個(gè)大膽的猜想。（1）任何不小于4的偶數(shù)，都可以是兩個(gè)質(zhì)數(shù)之和（如4=2+2）。（2）任何不小于7的奇數(shù)，都可以是三個(gè)質(zhì)數(shù)之和（如7=2+2+3）。之所以叫猜想，就是因?yàn)楦绲掳秃諢o法證明它。這就是數(shù)學(xué)史上著名的“哥德巴赫猜想”。顯然，第二個(gè)猜想是第一個(gè)猜想的推論。因此，只需證明第一個(gè)猜想是正確的就足夠了。歐拉給哥德巴赫回信時(shí)說，這個(gè)命題看來是正確的，但是他也給不出嚴(yán)格的證明。同時(shí)歐拉據(jù)此又提出了另一個(gè)命題：任何一個(gè)大于2的偶數(shù)都是兩個(gè)素?cái)?shù)之和。這個(gè)命題他也沒能給予證明。現(xiàn)在的哥德巴赫猜想陳述主要為歐拉的這個(gè)版本，又稱為“強(qiáng)哥德巴赫猜想”或“關(guān)于偶數(shù)的哥德巴赫猜想”。許多數(shù)學(xué)家都躍躍欲試，甚至一生都致力于證明哥德巴赫猜想?？墒侵钡?9世紀(jì)末，哥德巴赫猜想的證明也沒有任何進(jìn)展。證明哥德巴赫猜想的難度，遠(yuǎn)遠(yuǎn)超出了人們的想象。有的數(shù)學(xué)家把哥德巴赫猜想比喻為“數(shù)學(xué)王冠上的明珠”。20世紀(jì)的數(shù)學(xué)家們研究哥德巴赫猜想所采用的主要方法，是篩選法、圓法、密率法和三角和法等高深的數(shù)學(xué)方法。解決這個(gè)猜想的思路，就像“縮小包圍圈”一樣，逐步逼近最后的結(jié)果。設(shè)N是偶數(shù)，雖然不能證明N是兩個(gè)素?cái)?shù)之和，但足以證明它能夠?qū)懗蓛蓚€(gè)殆素?cái)?shù)（即素?cái)?shù)因子）的和，即N=A+B，其中A和B的素?cái)?shù)因子個(gè)數(shù)都不太多。用“a+b”來表示以下命題：每個(gè)大偶數(shù)N都可表示為A+B，其中A和B的素?cái)?shù)因子個(gè)數(shù)分別不超過a和b。顯然，哥德巴赫猜想就可以寫成“1+1”。在這一方向上的進(jìn)展都是用所謂的篩選法得到的。1920年，挪威數(shù)學(xué)家布朗證明了定理“9+9”，由此劃定了進(jìn)攻“哥德巴赫猜想”的“大包圍圈”。這個(gè)所謂的“9+9”，翻譯成數(shù)學(xué)語言就是：“任何一個(gè)足夠大的偶數(shù)，都可以表示成其他兩個(gè)數(shù)之和，而這兩個(gè)數(shù)中的每個(gè)數(shù)，都是9個(gè)奇質(zhì)數(shù)之積?！睆倪@個(gè)“9+9”開始，全世界的數(shù)學(xué)家集中力量“縮小包圍圈”，當(dāng)然最后的目標(biāo)就是“1+1”。1924年，德國數(shù)學(xué)家雷德馬赫證明了定理“7+7”。很快，“6+6”“5+5”“4+4”和“3+3”逐一被攻陷。1957年，中國數(shù)學(xué)家王元證明了“2+3”。1962年，中國數(shù)學(xué)家潘承洞證明了“1+5”，同年又和王元合作證明了“1+4”。1965年，蘇聯(lián)數(shù)學(xué)家證明了“1+3”。1966年，中國著名數(shù)學(xué)家陳景潤攻克了“1+2”，也就是：“任何一個(gè)足夠大的偶數(shù)，都可以表示成兩個(gè)數(shù)之和，而這兩個(gè)數(shù)中的一個(gè)就是奇質(zhì)數(shù)，另一個(gè)則是兩個(gè)奇質(zhì)數(shù)的積?！边@被世界數(shù)學(xué)界稱為“陳氏定理”。由于陳景潤的貢獻(xiàn)，人類距離哥德巴赫猜想的最后結(jié)果“1+1”僅有一步之遙了。但為了實(shí)現(xiàn)這最后的一步，也許還要?dú)v經(jīng)一個(gè)漫長的探索過程。3．小數(shù)1）小數(shù)化分?jǐn)?shù)（1）有限小數(shù)化分?jǐn)?shù)根據(jù)小數(shù)的意義，可以直接把小數(shù)寫成分母為10、100、1000、…的分?jǐn)?shù)。具體方法：把去掉小數(shù)點(diǎn)后得到的數(shù)作為分子，原來的小數(shù)是幾位小數(shù)，就在1后面加幾個(gè)0作為分母，能約分的要約分。例如，把0.36化為分?jǐn)?shù)。（2）循環(huán)小數(shù)化分?jǐn)?shù)①純循環(huán)小數(shù)化分?jǐn)?shù)任何一個(gè)純循環(huán)小數(shù)都可以化成分?jǐn)?shù)，方法如下。（a）用純循環(huán)小數(shù)的整數(shù)部分作為帶分?jǐn)?shù)的整數(shù)部分（如整數(shù)部分為0，則為真分?jǐn)?shù)）。（b）用第一個(gè)循環(huán)節(jié)的數(shù)字所組成的數(shù)作為帶分?jǐn)?shù)的分?jǐn)?shù)部分的分子。（c）帶分?jǐn)?shù)的分?jǐn)?shù)部分的分母由若干個(gè)9組成，9的個(gè)數(shù)等于循環(huán)節(jié)的位數(shù)。（d）能約分的要約分。例如，把化為分?jǐn)?shù)。②混循環(huán)小數(shù)化分?jǐn)?shù)任何一個(gè)混循環(huán)小數(shù)也都可以化成分?jǐn)?shù)，方法如下。（a）用混循環(huán)小數(shù)的整數(shù)部分作為帶分?jǐn)?shù)的整數(shù)部分（如整數(shù)部分為0，則為真分?jǐn)?shù)）。（b）用混循環(huán)小數(shù)的小數(shù)點(diǎn)右邊第一個(gè)數(shù)字到第一個(gè)循環(huán)節(jié)的末位數(shù)字所組成的數(shù)，減去小數(shù)部分不循環(huán)的數(shù)字，所組成的差作為帶分?jǐn)?shù)的分?jǐn)?shù)部分的分子。（c）帶分?jǐn)?shù)的分?jǐn)?shù)部分的分母由若干個(gè)9后面帶若干個(gè)數(shù)字0組成，其中9的個(gè)數(shù)等于循環(huán)節(jié)的位數(shù)，0的個(gè)數(shù)等于小數(shù)部分不循環(huán)的位數(shù)。（d）能約分的要約分。例如，把化為分?jǐn)?shù)。2）純循環(huán)小數(shù)化分?jǐn)?shù)我們知道，兩個(gè)有理數(shù)相除，若除不盡，商一定是循環(huán)小數(shù)。相反，一個(gè)循環(huán)小數(shù)，總能對應(yīng)地轉(zhuǎn)換成分?jǐn)?shù)。方法：（1）把純循環(huán)小數(shù)寫成x=a的形式，并確定循環(huán)節(jié)有幾位。（2）兩邊同時(shí)乘以整數(shù)倍。若循環(huán)節(jié)為1位，則×10；若循環(huán)節(jié)為2位，則×100；若循環(huán)節(jié)為3位，則×1000…（3）與原式相減，計(jì)算出x的分?jǐn)?shù)形式。能約分的約分。例子：將循環(huán)小數(shù)轉(zhuǎn)換成分?jǐn)?shù)。解：兩邊同時(shí)乘以100，兩式相減，99x=51x=51/99=17/33所以，將循環(huán)小數(shù)轉(zhuǎn)換成分?jǐn)?shù)為17/33。方法擴(kuò)展：如果不是純循環(huán)小數(shù)，可以用此擴(kuò)展方法。例子：將循環(huán)小數(shù)轉(zhuǎn)換成分?jǐn)?shù)。解：兩邊同時(shí)乘以100，因?yàn)椋ㄓ们懊娴姆椒ㄓ?jì)算）所以，100x=41+2/3=125/3x=125/300=5/12所以，循環(huán)小數(shù)轉(zhuǎn)換成分?jǐn)?shù)為5/12。4．分?jǐn)?shù)1）一些特殊的分?jǐn)?shù)轉(zhuǎn)換成小數(shù)這些分?jǐn)?shù)很特殊，也很常用，所以建議大家把它們記住。（1）分母為2的分?jǐn)?shù)轉(zhuǎn)換成小數(shù)1/2=0.5（2）分母為3的分?jǐn)?shù)轉(zhuǎn)換成小數(shù),（3）分母為4的分?jǐn)?shù)轉(zhuǎn)換成小數(shù)1/4=0.25,2/4=1/2=0.5,3/4=0.75（4）分母為5的分?jǐn)?shù)轉(zhuǎn)換成小數(shù)1/5=0.2,2/5=0.4,3/5=0.6,4/5=0.8（5）分母為6的分?jǐn)?shù)轉(zhuǎn)換成小數(shù),3/6=1/2=0.5,,（6）分母為8的分?jǐn)?shù)轉(zhuǎn)換成小數(shù)1/8=0.125,2/8=1/4=0.25,3/8=0.375,4/8=1/2=0.5,5/8=0.625,6/8=3/4=0.75,7/8=0.875（7）分母為9的分?jǐn)?shù)轉(zhuǎn)換成小數(shù)（8）分母為10的分?jǐn)?shù)轉(zhuǎn)換成小數(shù)1/10=0.1,2/10=1/5=0.2,3/10=0.3,4/10=2/5=0.4,5/10=1/2=0.5,6/10=3/5=0.6,7/10=0.7,8/10=4/5=0.8,9/10=0.9（9）分母為11的分?jǐn)?shù)轉(zhuǎn)換成小數(shù)（10）分母為7的分?jǐn)?shù)轉(zhuǎn)換成小數(shù)這個(gè)比較特殊，循環(huán)。記住這一個(gè)即可，其他的可以用1/7的小數(shù)乘以相應(yīng)的數(shù)得到。記住這些有什么好處呢？它會(huì)方便我們計(jì)算一些除法，讓我們快速得到答案。例子：計(jì)算17÷8=_______。解：17÷8=2……1因?yàn)椋?÷8=0.125所以：17÷8=2.125同理，任何整數(shù)除以8，如果不能被整除，有余數(shù)：若有余數(shù)是1，小數(shù)點(diǎn)后邊肯定是0.125。若有余數(shù)是2，小數(shù)點(diǎn)后邊肯定是0.25。若有余數(shù)是3，小數(shù)點(diǎn)后邊肯定是0.375。若有余數(shù)是4，小數(shù)點(diǎn)后邊肯定是0.5。若有余數(shù)是5，小數(shù)點(diǎn)后邊肯定是0.625。若有余數(shù)是6，小數(shù)點(diǎn)后邊肯定是0.75。若有余數(shù)是7，小數(shù)點(diǎn)后邊肯定是0.875。擴(kuò)展：如果除數(shù)是11，我們先看看下列的算式。由以上算式的規(guī)律不難看出，任何數(shù)除以11如果除不盡，有余數(shù)，商的小數(shù)部分就是這個(gè)余數(shù)×0.09…例子：計(jì)算47÷11=_______。解：先把被除數(shù)47能被11整除的部分44和余數(shù)3分解開，得到商4余3，然后用余數(shù)3乘以，積與商4相加，便是結(jié)果。所以，如果除數(shù)是99，同理，我們來看看下列的算式。由以上算式的規(guī)律不難看出，任何數(shù)除以99如果除不盡，有余數(shù)，商的小數(shù)部分就是這個(gè)余數(shù)乘以。例子：計(jì)算135÷99=_______。解：先把被除數(shù)135÷99的商和余數(shù)分別算出來，商是1，余數(shù)是36，然后用，與商的整數(shù)相加，便是結(jié)果。所以，2）通分與約分（1）概念①約分。把一個(gè)分?jǐn)?shù)的分子、分母同時(shí)除以公因數(shù)，使分?jǐn)?shù)的值不變，但分子、分母都變小，這個(gè)過程叫約分。②通分。根據(jù)分?jǐn)?shù)（式）的基本性質(zhì)，把幾個(gè)異分母分?jǐn)?shù)（式）化成與原來分?jǐn)?shù)（式）相等的同分母的分?jǐn)?shù)（式）的過程，叫作通分。③最簡分?jǐn)?shù)。分子、分母只有公因數(shù)1的分?jǐn)?shù)，或者說分子和分母互質(zhì)的分?jǐn)?shù)，叫作最簡分?jǐn)?shù)，又稱既約分?jǐn)?shù)。（2）方法①約分約分時(shí)，要注意找它的公約數(shù)，然后將所有公約數(shù)乘起來就是它們的最大公約數(shù)。如果能很快看出分子和分母的最大公約數(shù)，直接用它們的最大公約數(shù)去除比較簡便。約分的步驟如下。（a）將分子分母分解因數(shù)。（b）找出分子分母公因數(shù)。（c）消去非零公因數(shù)。②通分通分的關(guān)鍵是確定幾個(gè)分?jǐn)?shù)的最簡公分母，也就是幾個(gè)分母的最小公倍數(shù)。通分的步驟如下。（a）先求出原來幾個(gè)分?jǐn)?shù)（式）的分母的最簡公分母。（b）根據(jù)分?jǐn)?shù)（式）的基本性質(zhì)，把原來分?jǐn)?shù)（式）化成以最簡公分母為分母的分?jǐn)?shù)（式）。（3）例子①把化成最簡分?jǐn)?shù)。所以化成最簡分?jǐn)?shù)為。②約分。所以，。③通分。2的質(zhì)因數(shù)為2；6的質(zhì)因數(shù)為2、3；9的質(zhì)因數(shù)為3、3。所以，2、6、9的最小公倍數(shù)為2×3×3=18。3）分?jǐn)?shù)比較大小（1）化同法“化同法”是在比較兩個(gè)分?jǐn)?shù)大小時(shí)，將這兩個(gè)分?jǐn)?shù)的分子或分母化為相同或相近，從而達(dá)到簡化計(jì)算的目的?；ㄒ话惆ㄒ韵氯齻€(gè)層次。①將分子（分母）化為完全相同，從而只需比較分母（或分子）即可。②將分子（或分母）化為相近之后，出現(xiàn)“某一個(gè)分?jǐn)?shù)的分母較大而分子較小”或“某一個(gè)分?jǐn)?shù)的分母較小而分子較大”的情況，則可直接判斷兩個(gè)分?jǐn)?shù)的大小。③將分子（或分母）化為非常接近之后，再利用其他速算技巧進(jìn)行簡單判定。（2）差分法我們在做兩個(gè)分?jǐn)?shù)大小比較時(shí)，若其中一個(gè)分?jǐn)?shù)的分子與分母都比另外一個(gè)分?jǐn)?shù)的分子與分母分別只大一點(diǎn)點(diǎn)，這時(shí)候可以使用“差分法”來解決問題。運(yùn)用差分法，我們首先定義分子與分母都比較大的分?jǐn)?shù)叫“大分?jǐn)?shù)”，分子與分母都比較小的分?jǐn)?shù)叫“小分?jǐn)?shù)”，把這兩個(gè)分?jǐn)?shù)的分子、分母分別做差后，將得到的新的分?jǐn)?shù)定義為“差分?jǐn)?shù)”。在進(jìn)行大小比較時(shí)，我們可以用“差分?jǐn)?shù)”來代替“大分?jǐn)?shù)”，與“小分?jǐn)?shù)”進(jìn)行大小比較。①若差分?jǐn)?shù)比小分?jǐn)?shù)大，則大分?jǐn)?shù)比小分?jǐn)?shù)大。②若差分?jǐn)?shù)比小分?jǐn)?shù)小，則大分?jǐn)?shù)比小分?jǐn)?shù)小。③若差分?jǐn)?shù)與小分?jǐn)?shù)相等，則大分?jǐn)?shù)與小分?jǐn)?shù)相等。（3）變形式差分法要比較a×b與c×d的大小，如果a與c相差很小，并且b與d相差也很小，這時(shí)候可以將乘法a×b與c×d的比較轉(zhuǎn)化為除法a/d與c/b的比較，這樣就可以運(yùn)用“差分法”來解決類似的乘法問題。方法：①求出差分?jǐn)?shù)。②用差分?jǐn)?shù)代替大分?jǐn)?shù)，與小分?jǐn)?shù)比較。例子：比較與的大小關(guān)系。解：而，所以。（4）分?jǐn)?shù)大小比較的其他方法方法：①化同分子法。使所有分?jǐn)?shù)的分子相同，根據(jù)同分子分?jǐn)?shù)大小和分母的關(guān)系比較。②化同分母法。使所有分?jǐn)?shù)的分母相同，根據(jù)同分母分?jǐn)?shù)大小和分子的關(guān)系比較。③中間數(shù)比較法。確定一個(gè)中間數(shù)，使所有的分?jǐn)?shù)都和它進(jìn)行比較。④化成小數(shù)法。把所有分?jǐn)?shù)轉(zhuǎn)化成小數(shù)（求出分?jǐn)?shù)的值）后進(jìn)行比較。⑤化為整數(shù)法。把兩個(gè)分?jǐn)?shù)同時(shí)乘以其中一個(gè)分?jǐn)?shù)的分母，使其中一個(gè)分?jǐn)?shù)化成整數(shù)，與另外一個(gè)數(shù)進(jìn)行比較。⑥倒數(shù)比較法。利用倒數(shù)比較大小，然后確定原數(shù)的大小。⑦交叉相乘法。如果第一個(gè)分?jǐn)?shù)的分子與第二個(gè)分?jǐn)?shù)的分母相乘的積大于第二個(gè)分?jǐn)?shù)的分子與第一個(gè)分?jǐn)?shù)的分母相乘的積，那么第一個(gè)分?jǐn)?shù)比較大。⑧除法比較法。用一個(gè)數(shù)除以另一個(gè)數(shù)，得出的數(shù)和1進(jìn)行比較。⑨減法比較法。用一個(gè)分?jǐn)?shù)減去另一個(gè)分?jǐn)?shù)，得出的數(shù)和0比較。⑩差等比較法。如果兩個(gè)真分?jǐn)?shù)的分子和分母的差相等，那么分子和分母比較，大的那個(gè)分?jǐn)?shù)比較大。例子：（1）比較和的大小。解：本題可以用倒數(shù)比較法。的倒數(shù)為。的倒數(shù)為。所以。（2）比較和的大小。解：本題可以用化成小數(shù)法。所以，。（3）比較和的大小。解：這兩個(gè)真分?jǐn)?shù)的分子和分母的差都是1，而后一個(gè)分?jǐn)?shù)的分子和分母比較大，所以，。注意：有的題目可以用多種分?jǐn)?shù)比較方法，只是看哪種方法更簡單而已。5．近似數(shù)近似數(shù)是指與準(zhǔn)確數(shù)相近的一個(gè)數(shù)，是把一個(gè)數(shù)按照具體要求截取到指定的數(shù)位而得到的。如我國的人口數(shù)是無法絕對精確計(jì)算的，但是可以說出一個(gè)近似數(shù)，比如說我國人口有13億，13億就是一個(gè)近似數(shù)。一個(gè)近似數(shù)四舍五入到哪一位，那么就說這個(gè)近似數(shù)精確到哪一位，從左邊第一個(gè)不是0的數(shù)字起，到精確的數(shù)位止；從左邊第一個(gè)不是0的數(shù)字起，到末位數(shù)字為止的所有數(shù)字，都叫作這個(gè)數(shù)的有效數(shù)字。近似數(shù)的加減一般可按下列法則進(jìn)行：①確定計(jì)算結(jié)果能精確到哪一個(gè)數(shù)位。②把已知數(shù)中超過這個(gè)數(shù)位的尾數(shù)“四舍五入”到這個(gè)數(shù)位的下一位。③進(jìn)行計(jì)算，并且把算得的數(shù)的末一位“四舍五入”。1）求近似數(shù)的方法求近似數(shù)的方法一般有以下三種。（1）四舍五入法四舍五入是一種精確度相對較高的計(jì)數(shù)保留法，與其他方法本質(zhì)相同。但特殊之處在于，采用四舍五入法，能夠使被保留部分與實(shí)際值之間的差值不超過最后一位數(shù)量級(jí)的1/2。假如0～9等概率出現(xiàn)，對大量的被保留數(shù)據(jù)，這種保留法的誤差總和是最小的。這也是我們使用這種方法為近似數(shù)的基本保留法的原因。在數(shù)學(xué)運(yùn)算中，我們經(jīng)常使用四舍五入法來取近似值。比如，在遇到多位小數(shù)時(shí)，可截取若干位，如被舍部分的頭一位數(shù)滿五，就在所取數(shù)的末位加1，不滿五的就舍去。例如，圓周率π=3.14159265…若取五位小數(shù)，則為3.14159；若取四位小數(shù)，則為3.1416。四舍時(shí)，近似數(shù)比準(zhǔn)確數(shù)??；五入時(shí)，近似數(shù)比準(zhǔn)確數(shù)大。但是在四舍五入中，舍去的概率有4/9，而進(jìn)一的概率有5/9，兩者并不相等。所以又有“四舍六入”的說法。按照這種說法，若被舍部分的頭一位是5，是舍是入則需要看前一位數(shù)，如果前一位數(shù)是奇數(shù)，則進(jìn)一；如果前一位數(shù)是偶數(shù)，則去尾。當(dāng)然，這種方法并不常用，我們通常還是用“四舍五入法”。（2）進(jìn)一法進(jìn)一法是去掉多余部分的數(shù)字后，在保留部分的最后一個(gè)數(shù)字上加1。這樣得到的近似值為過剩近似值（即比準(zhǔn)確值大）。在我們的現(xiàn)實(shí)生活中四舍五入法不一定隨時(shí)都適用，有時(shí)為了使結(jié)果更符合客觀現(xiàn)實(shí)或者使結(jié)果有意義，會(huì)用到進(jìn)一法（即省略的位上只要大于零都要進(jìn)一位）。例子：一個(gè)袋子能裝50斤玉米，現(xiàn)有180斤玉米，需要幾個(gè)袋子才能裝完？解：180斤÷50斤／袋=3.6袋此時(shí)就需要用進(jìn)一法，需要4個(gè)袋子才能裝完。（3）去尾法去尾法是去掉數(shù)字的小數(shù)部分，只取其整數(shù)部分。其取值比準(zhǔn)確值小。這種方法常常被用在生活中。如“裁布制衣”問題，在布料制成衣服后還有多余時(shí)，通常舍去小數(shù)部分，只保留整數(shù)部分。例子：制作一件衣服需要用布2.4米，現(xiàn)有50米布，可以做這樣的衣服多少件？解：50米÷2.4米／件=件結(jié)果是，如果按照四舍五入法截取近似值，那么應(yīng)該得21件。但是我們應(yīng)該知道，做衣服不能四舍五入，剩下的布雖然能做0.8件，但是不夠做成1件，是需要舍棄的。所以類似的題目，我們只能采取去尾法。即50米布可以做這樣的衣服20件。去尾法一般可以把所要求去尾的數(shù)值化成小數(shù)，然后直接去掉小數(shù)部分，取整數(shù)部分的值。一般可以用符號(hào)“（）”表示。例如：（3.1415）≈3（π）≈3（3.98）≈32）估算法什么是估算？估算就是在精確度要求不太高的情況下，進(jìn)行粗略的估值。也就是大致推算。估算一般有三種情況：一是推算最大值；二是推算最小值；三是推算大約多少?！肮浪惴ā焙翢o疑問是速算第一法，也是學(xué)生計(jì)算能力中很重要的一個(gè)方面，在所有計(jì)算進(jìn)行前都要首先考慮能否先行估算。一般在選擇題中選項(xiàng)相差較大，或者在被比較的數(shù)據(jù)相差較大的情況下使用。比如對于一些選擇題，我們可以根據(jù)數(shù)量關(guān)系、各數(shù)字之間的特性等判斷出答案的一個(gè)大致范圍，然后結(jié)合選項(xiàng)提供的信息來得出唯一的正確答案。還有的估算是要先對參與計(jì)算的數(shù)值取其近似值，把一個(gè)比較復(fù)雜的計(jì)算題變成可以口算的簡單計(jì)算，得出一個(gè)近似值。如估算32×55的最大值，可以把它們都放大一些，按照比原來大的整十?dāng)?shù)來計(jì)算，所以最大是40×60=2400；如果估算32×55的最小值，則把它們都縮小一些，按照比原來小的整十?dāng)?shù)計(jì)算，所以最小是30×50=1500；至于大約等于多少，可以采用“四舍五入法”取接近的數(shù)來計(jì)算，大約在30×60=1800；如果想精度高一點(diǎn)，還可以只四舍五入一個(gè)數(shù)，變成30×55=1650左右。進(jìn)行估算的前提是選項(xiàng)或者待比較的數(shù)字相差必須比較大，并且這個(gè)差別的大小決定了“估算”時(shí)候的精度要求。一般來說，各元素的大小關(guān)系較為隱蔽，需要經(jīng)過一定的對比分析才能得到。估算的功能分為兩方面，一是數(shù)學(xué)上的功能，例如培養(yǎng)數(shù)感（如判斷24×12=2408計(jì)算結(jié)果的合理性），為精確計(jì)算做準(zhǔn)備（如要計(jì)算492÷12時(shí)，往往先用480÷10或490÷10或500÷10來試商）。二是估算在生活中的應(yīng)用，當(dāng)無法精確計(jì)算或沒有必要精確計(jì)算時(shí)，有時(shí)用估算也能解決問題。下面介紹試商的方法。在求商的時(shí)候，有時(shí)不能一次得出準(zhǔn)確的商，需要先估算一下，然后再進(jìn)行調(diào)整。如果商大了要調(diào)??；如果商小了要調(diào)大，這個(gè)過程叫作試商。（1）試商的方法①四舍五入法當(dāng)除數(shù)接近整十、整百的數(shù)時(shí)，常可以用四舍五入法試商。例如，如果除數(shù)是29，可以當(dāng)成30去試除；如果除數(shù)是82，可以當(dāng)成80去試除。②去尾法把除數(shù)直接去尾成整十、整百的數(shù)試除。用這種方法，一般初商有時(shí)會(huì)偏大，需要適當(dāng)調(diào)小。例如，246÷42，用去尾法，把除數(shù)當(dāng)成40去試除，得到初商6。再調(diào)整為5。③進(jìn)一法把除數(shù)直接進(jìn)一成整十、整百的數(shù)試除。用這種方法，一般初商有時(shí)會(huì)偏小，需要適當(dāng)調(diào)大。例如，246÷48，用進(jìn)一法，把除數(shù)當(dāng)成50去試除，得到初商4。再調(diào)整為5。④同舍同入法把被除數(shù)和除數(shù)一起舍或者入，然后試除。例如，257÷38，試商時(shí)可以把被除數(shù)當(dāng)成260，除數(shù)當(dāng)成40，進(jìn)行試商（同入）。382÷41，試商時(shí)可以把被除數(shù)當(dāng)成380，除數(shù)當(dāng)成40，進(jìn)行試商（同舍）。⑤同頭無除試商法如果被除數(shù)和除數(shù)首位相同（同頭），但卻不夠除（無除），一般可以用9、8或7來試商。例如，3452÷38，被除數(shù)前兩位為34，除數(shù)為38，頭相同但不夠除，此時(shí)初商可以用9、8或7來試商。⑥折半法當(dāng)被除數(shù)的前兩位接近除數(shù)的一半時(shí)，可以用5或4來試商。例如，1928÷38，被除數(shù)的前兩位正好等于除數(shù)的一半，所以可以用5來試商。如果被除數(shù)的前兩位比除數(shù)的一半大一點(diǎn)點(diǎn)，那么也可以用5來試商；如果被除數(shù)的前兩位比除數(shù)的一半小一點(diǎn)點(diǎn)，則可以用4來試商。（2）除數(shù)是兩位數(shù)的除法巧妙試商除法的目的是求商，但從被除數(shù)中突然看不出含有多少商時(shí)，可以試商。如果除數(shù)是兩位數(shù)的除法，可以采用下面一些巧妙試商方法，提高計(jì)算速度。①用“商五法”試商方法：（a）當(dāng)除數(shù)（兩位數(shù)）的10倍的一半，與被除數(shù)相等（或相近）時(shí)，可以直接試商5。（b）當(dāng)被除數(shù)前兩位不夠除，且被除數(shù)的前兩位恰好等于（或接近）除數(shù)的一半時(shí)，可以直接試商5。例子：計(jì)算2385÷45=_______。解：符合（b），前兩位不夠除，而且23與45的一半很接近，可以試商5。所以，2385÷45=53。②同頭無除商8、9方法：被除數(shù)和除數(shù)最高位上的數(shù)字相同，且被除數(shù)的前兩位不夠除，這時(shí)，商定在被除數(shù)高位數(shù)起的第三位上面，直接用商8或商9。例子：計(jì)算4176÷48=_______。解：被除數(shù)和除數(shù)最高位上的數(shù)字相同，且被除數(shù)的前兩位不夠除，第三位可以試商8或9。所以，4176÷48=87。③用“商九法”試商方法：當(dāng)被除數(shù)的前兩位數(shù)字臨時(shí)組成的數(shù)小于除數(shù)，且前三位數(shù)字臨時(shí)組成的數(shù)與除數(shù)之和，大于或等于除數(shù)的10倍時(shí)，可以一次定商為9。例子：計(jì)算4508÷49=_______。解：因?yàn)?5＜49，且450+49=499＞490，被除數(shù)的第三位上可定商為9。所以，4508÷49=92。④用“差數(shù)試商法”試商當(dāng)除數(shù)是11、12、13、…、18和19，被除數(shù)前兩位又不夠除的時(shí)候，可以用“差數(shù)試商法”，即根據(jù)被除數(shù)前兩位臨時(shí)組成的數(shù)與除數(shù)的差來試商的方法。方法：（a）若差數(shù)是1或2，則初商為9。（b）若差數(shù)是3或4，則初商為8。（c）若差數(shù)是5或6，則初商為7。（d）若差數(shù)是7或8，則初商是6。（e）若差數(shù)是9，則初商為5。（f）若不準(zhǔn)確，則調(diào)小1。為了便于記憶，我們可將它編成下面的口訣。差一差二商個(gè)九，差三差四八當(dāng)頭；差五差六初商七，差七差八先商六；差數(shù)是九五上陣，試商快速無憂愁。例子：計(jì)算1278÷17=_______。解：17與12的差為5，初商為7，經(jīng)試除，商7正確。所以，1278÷17=75。6．進(jìn)制進(jìn)制也叫作進(jìn)位制，是人們規(guī)定的一種進(jìn)位方法。對于任何一種進(jìn)制——X進(jìn)制，就表示某一位置上的數(shù)運(yùn)算時(shí)是逢X進(jìn)一位。二進(jìn)制就是逢二進(jìn)一，十進(jìn)制就是逢十進(jìn)一，十六進(jìn)制就是逢十六進(jìn)一，以此類推，X進(jìn)制就是逢X進(jìn)一位。對于任何一個(gè)數(shù)，我們都可以用不同的進(jìn)位制來表示。比如，十進(jìn)數(shù)57，可以用二進(jìn)制表示為111001，也可以用五進(jìn)制表示為212，還可以用八進(jìn)制表示為71，用十六進(jìn)制表示為39，它們所代表的數(shù)值都是一樣的。1）二進(jìn)制數(shù)二進(jìn)制是計(jì)算機(jī)技術(shù)中廣泛采用的一種數(shù)制，它是用0和1兩個(gè)數(shù)碼來表示的數(shù)。在現(xiàn)實(shí)生活和計(jì)數(shù)器中，如果表示數(shù)的“器件”只有兩種狀態(tài)，如電燈的“亮”與“滅”，開關(guān)的“開”與“關(guān)”。一種狀態(tài)表示數(shù)碼0，另一種狀態(tài)表示數(shù)碼1，1加1應(yīng)該等于2，因?yàn)闆]有數(shù)碼2，只能向上一個(gè)數(shù)位進(jìn)一，就是采用“滿二進(jìn)一”的原則，這和十進(jìn)制采用“滿十進(jìn)一”的原則完全相同。1+1=1010+1=1111+1=100100+1=101101+1=110110+1=111111+1=1000…可見二進(jìn)制的10表示二，100表示四，1000表示八，10000表示十六……進(jìn)位規(guī)則是“逢二進(jìn)一”，借位規(guī)則是“借一當(dāng)二”。0=000000001=000000012=000000103=000000114=000001005=000001016=000001107=000001118=000010009=0000100110=00001010…當(dāng)前的計(jì)算機(jī)系統(tǒng)使用的基本上是二進(jìn)制系統(tǒng)，數(shù)據(jù)在計(jì)算機(jī)中主要是以二進(jìn)制的補(bǔ)碼形式存儲(chǔ)的。計(jì)算機(jī)的運(yùn)行和計(jì)算都是基于二進(jìn)制的，只是結(jié)果用其他進(jìn)制表現(xiàn)出來。其實(shí)把二進(jìn)制三位一組分開就是八進(jìn)制，四位一組就是十六進(jìn)制。（1）二進(jìn)制數(shù)據(jù)的表示二進(jìn)制數(shù)據(jù)一般可寫為（an-1an-2…a1a0.a-1…a-m）2的形式。例如，（1101.01）2表示二進(jìn)制數(shù)1101.01。二進(jìn)制數(shù)據(jù)可以采用位置計(jì)數(shù)法，其位權(quán)是以2為底的冪。同一個(gè)數(shù)碼1，在不同數(shù)位上表示的數(shù)值是不同的。如11111，從右往左數(shù)，第一位的1表示一，第二位的1表示二，第三位的1表示四，第四位的1表示八，第五位的1表示十六。例如，二進(jìn)制數(shù)據(jù)1101.01，逢二進(jìn)一，其權(quán)的大小順序?yàn)?3、22、21、20、2-1、2-2。對于有n位整數(shù)、m位小數(shù)的二進(jìn)制數(shù)據(jù)，用加權(quán)系數(shù)展開式表示，可寫為例子：將二進(jìn)制數(shù)據(jù)1101.01寫成加權(quán)系數(shù)的形式。解：(1101.01)2=1×23+1×22+0×21+1×20+0×2-1+1×2-2（2）二進(jìn)制數(shù)的運(yùn)算①加法二進(jìn)制數(shù)的加法有四種情況。0+0=00+1=11+0=11+1=10（進(jìn)位）②減法二進(jìn)制數(shù)的減法有四種情況。0-0=01-0=11-1=00-1=1③乘法二進(jìn)制數(shù)的乘法有四種情況。0×0=01×0=00×1=01×1=1④除法二進(jìn)制數(shù)的除法有兩種情況。0÷1=01÷1=1⑤拈加法拈加法是二進(jìn)制數(shù)除加、減、乘、除法以外的一種特殊算法。拈加法運(yùn)算與加法運(yùn)算類似，但不需要進(jìn)位。此算法在博弈論中被廣泛應(yīng)用。2）十進(jìn)制在古代世界獨(dú)立開發(fā)的有文字的計(jì)數(shù)體系中，除了古巴比倫文明的楔形數(shù)字采用六十進(jìn)制，瑪雅數(shù)字采用二十進(jìn)制外，其余的幾乎全部為十進(jìn)制。人類算術(shù)采用十進(jìn)制，可能跟人類有十根手指有關(guān)。我們有個(gè)成語叫“屈指可數(shù)”，從古至今，人們數(shù)數(shù)都離不開手指，而一般人的手指恰好有十根。亞里士多德稱：人類普遍使用十進(jìn)制，只不過是絕大多數(shù)人生來就有十根手指這樣一個(gè)解剖學(xué)事實(shí)的結(jié)果。不過，這些十進(jìn)制計(jì)數(shù)體系并不是按位的。它們不知道位值制。所謂位值制，就是一個(gè)數(shù)碼表示多少，要看它所在的位置而定?，F(xiàn)在人們?nèi)粘Ｉ钪兴豢苫蛉钡氖M(jìn)位值制，就是中國人民的一項(xiàng)偉大發(fā)明。早在商代，中國就已經(jīng)采用了十進(jìn)位值制。從現(xiàn)已發(fā)現(xiàn)的商代陶文和甲骨文中可以看到，當(dāng)時(shí)就已經(jīng)用一、二、三、四、五、六、七、八、九、十、百、千、萬十三個(gè)數(shù)字來計(jì)十萬以內(nèi)的任何自然數(shù)。十進(jìn)位值制的計(jì)數(shù)法是古代世界中最先進(jìn)、最科學(xué)的計(jì)數(shù)法，在世界數(shù)學(xué)史上也有著非常重要的意義。英國著名的科學(xué)史學(xué)家李約瑟教授曾對十進(jìn)制這種中國商代就已出現(xiàn)的計(jì)數(shù)法予以很高的評(píng)價(jià)：“如果沒有這種十進(jìn)制，就幾乎不可能出現(xiàn)我們現(xiàn)在這個(gè)統(tǒng)一化的世界了?！痹谟?jì)算數(shù)學(xué)方面，中國大約在商周時(shí)期就已經(jīng)有了四則運(yùn)算，到春秋戰(zhàn)國時(shí)期整數(shù)和分?jǐn)?shù)的四則運(yùn)算已相當(dāng)完備。其中，出現(xiàn)于春秋時(shí)期的正整數(shù)乘法歌訣“九九歌”，堪稱是先進(jìn)的十進(jìn)位計(jì)數(shù)法與簡明的中國語言文字相結(jié)合的結(jié)晶。從此，“九九歌”成為數(shù)學(xué)的普及和發(fā)展最基本的基礎(chǔ)之一，一直延續(xù)至今。其變化只是古代的“九九歌”是從“九九八十一”開始，到“二二如四”止；而現(xiàn)在的“九九乘法口訣”是從“一一得一”到“九九八十一”。十進(jìn)位值制有以下兩個(gè)主要特點(diǎn)。（1）滿十進(jìn)一，滿二十進(jìn)二……以此類推。（2）按權(quán)展開，第一位權(quán)為100，第二位權(quán)為101……以此類推。一個(gè)數(shù)的數(shù)值，等于每位上的數(shù)值乘以該位對應(yīng)的權(quán)值之和。十進(jìn)位值制最重要的思想是位權(quán)概念。對于形式化的進(jìn)制表示，我們可以從0開始，對數(shù)字的各個(gè)數(shù)位進(jìn)行編號(hào)，即個(gè)位起往左依次編號(hào)為0、1、2、…；相對應(yīng)地，小數(shù)點(diǎn)后的數(shù)位則是－1、－2、…十進(jìn)制數(shù)的位權(quán)是以10為底的冪。數(shù)位由高向低，以降冪的方式排列。比如，一個(gè)十進(jìn)制數(shù)123，其中百位上的1表示1個(gè)102，即100；十位上的2表示2個(gè)101，即20；個(gè)位上的3表示3個(gè)100，即3?？梢姡跀?shù)制中，各位數(shù)字所表示值的大小不僅與該數(shù)字本身的大小有關(guān)，還與該數(shù)字所在的位置有關(guān)，我們稱這種關(guān)系為數(shù)的位權(quán)。3）進(jìn)制轉(zhuǎn)換（1）二進(jìn)制數(shù)、十六進(jìn)制數(shù)轉(zhuǎn)換為十進(jìn)制數(shù)二進(jìn)制數(shù)、十六進(jìn)制數(shù)轉(zhuǎn)換為十進(jìn)制數(shù)的規(guī)律是相同的。把二進(jìn)制數(shù)（或十六進(jìn)制數(shù)）按位權(quán)形式展開為多項(xiàng)式和的形式，求和即為其對應(yīng)的十進(jìn)制數(shù)——簡稱“按權(quán)求和”。例子：①把（110.01）2轉(zhuǎn)換成十進(jìn)制數(shù)。解：（110.01）2=1×22+1×21+0×20+0×2-1+1×2-2=4+2+0+0+0.25=6.25②把（1A2B.C）16轉(zhuǎn)換為十進(jìn)制數(shù)。解：(1A2B.C)16=1×163+10×162+2×161+11×160+12×16-1=4096+2560+32+11+0.75=6699.75（2）十進(jìn)制數(shù)轉(zhuǎn)換為二進(jìn)制數(shù)或十六進(jìn)制數(shù)①正整數(shù)轉(zhuǎn)換為二進(jìn)制數(shù)一個(gè)十進(jìn)制正整數(shù)轉(zhuǎn)換為二進(jìn)制數(shù)通常采用除二取余法，即用2連續(xù)去除這個(gè)十進(jìn)制數(shù)，直到商為0，然后逆序排列余數(shù)即可——簡稱除二取余法。例子：將25轉(zhuǎn)換為二進(jìn)制數(shù)。解：25÷2=12……112÷2=6……06÷2=3……03÷2=1……11÷2=0……1所以，25=（11001）2。②負(fù)整數(shù)轉(zhuǎn)換為二進(jìn)制數(shù)將該負(fù)整數(shù)對應(yīng)的正整數(shù)先轉(zhuǎn)換成二進(jìn)制數(shù)，然后對其“取補(bǔ)”，再對取補(bǔ)后的結(jié)果加1——簡稱取反加一。例子：將－52換算成二進(jìn)制數(shù)。解：先取得52的二進(jìn)制數(shù)：00110100對所得到的二進(jìn)制數(shù)取反：11001011將取反后的數(shù)值加1：11001100所以，－52=（11001100）2。③小數(shù)轉(zhuǎn)換為二進(jìn)制數(shù)對被轉(zhuǎn)換的小數(shù)乘以2（如有整數(shù)部分可分開計(jì)算），記下其整數(shù)部分；取其小數(shù)部分再乘以2，再次記下其整數(shù)部分；然后繼續(xù)取小數(shù)部分乘以2……直到小數(shù)部分為0或者已經(jīng)取到了足夠位數(shù)。每次記下的整數(shù)部分按先后次序排列，就構(gòu)成了二進(jìn)制小數(shù)的序列——簡稱乘二取整，正序排列。例子：把0.2轉(zhuǎn)換為二進(jìn)制數(shù)。解：0.2×2=0.4……00.4×2=0.8……00.8×2=1.6……10.6×2=1.2……10.2×2=0.4……0所以，0.2=（0.00110011）2。同理，把十進(jìn)制數(shù)轉(zhuǎn)換為十六進(jìn)制數(shù)時(shí)，將基數(shù)2轉(zhuǎn)換成16就可以了。例子：將25轉(zhuǎn)換為十六進(jìn)制數(shù)。解：25÷16=1……91÷16=0……1所以，25=（19）16。（3）二進(jìn)制數(shù)與十六進(jìn)制數(shù)之間的轉(zhuǎn)換由于4位二進(jìn)制數(shù)恰好有16個(gè)組合狀態(tài)，即1位十六進(jìn)制數(shù)與4位二進(jìn)制數(shù)是一一對應(yīng)的。（0）16=（0000）2（1）16=（0001）2（2）16=（0010）2（3）16=（0011）2（4）16=（0100）2（5）16=（0101）2（6）16=（0110）2（7）16=（0111）2（8）16=（1000）2（9）16=（1001）2（A）16=（1010）2（B）16=（1011）2（C）16=（1100）2（D）16=（1101）2（E）16=（1110）2（F）16=（1111）2所以，十六進(jìn)制數(shù)與二進(jìn)制數(shù)的轉(zhuǎn)換是十分簡單的。①十六進(jìn)制數(shù)轉(zhuǎn)換成二進(jìn)制數(shù)只要將每一位十六進(jìn)制數(shù)用對應(yīng)的4位二進(jìn)制數(shù)替代即可——簡稱位分四位。例子：將（1A2B3）16轉(zhuǎn)換為二進(jìn)制數(shù)。解：1A2B300011010001010110011所以，（1A2B3）16=（00011010001010110011）2。②二進(jìn)制數(shù)轉(zhuǎn)換為十六進(jìn)制數(shù)只需把上述過程反過來即可。先將二進(jìn)制數(shù)從右向左每4位分成一組，最后一組不足4位時(shí)在前面加0補(bǔ)齊4位。然后依次寫出每組4位二進(jìn)制數(shù)所對應(yīng)的十六進(jìn)制數(shù)——簡稱四位合一位。例子：將二進(jìn)制數(shù)（111010110）2轉(zhuǎn)換為十六進(jìn)制數(shù)。解：0001110101101D6所以，（111010110）2=（1D6）16。7．編碼編碼是用預(yù)先規(guī)定的方法將文字、數(shù)字或其他對象編成數(shù)碼，或?qū)⑿畔?、?shù)據(jù)轉(zhuǎn)換成規(guī)定的電脈沖信號(hào)。下面我們介紹幾種生活中常見的編碼。1）身份證號(hào)碼我們現(xiàn)在使用的居民身份證號(hào)碼，是根據(jù)《中華人民共和國國家標(biāo)準(zhǔn)》（GB11643—1999）中有關(guān)公民身份號(hào)碼的規(guī)定，由17位數(shù)字本體碼和1位數(shù)字校驗(yàn)碼組成。公民身份號(hào)碼是特征組合碼，排列順序從左至右依次為6位數(shù)字地址碼，8位數(shù)字出生日期碼，3位數(shù)字順序碼和1位數(shù)字校驗(yàn)碼。（1）地址碼中國內(nèi)地居民身份證號(hào)碼中的地址碼的數(shù)字編碼規(guī)則如下。第1、2位表示省（自治區(qū)、直轄市、特別行政區(qū)）。第3、4位表示市（地級(jí)市、自治州、盟及國家直轄市所屬市轄區(qū)和縣的匯總碼）。其中，01～20、51～70表示?。ㄖ陛犑校?；21～50表示地區(qū)（自治州、盟）。第5、6位表示縣（市轄區(qū)、縣級(jí)市、旗）。其中，01～18表示市轄區(qū)或地區(qū)（自治州、盟）轄縣級(jí)市；21～80表示縣（旗）；81～99表示省直轄縣級(jí)市。（2）出生日期碼身份證號(hào)碼第7位到第14位表示編碼對象出生的年、月、日，其中年份用4位數(shù)字表示，年、月、日之間不用分隔符。例如，1981年5月11日就用19810511表示。（3）順序碼身份證號(hào)碼第15位到第17位是地址碼所標(biāo)識(shí)的區(qū)域范圍內(nèi)，對同年、月、日出生的人員編訂的順序號(hào)。其中第17位奇數(shù)分給男性，偶數(shù)分給女性。也就是說，看一個(gè)身份證號(hào)碼的倒數(shù)第2位，就可以知道這個(gè)人是男是女。（4）校驗(yàn)碼身份證號(hào)碼的第18位，也就是最后一位是校驗(yàn)碼。作為尾號(hào)的校驗(yàn)碼，是由號(hào)碼編制單位按統(tǒng)一的公式計(jì)算出來的。身份證號(hào)校驗(yàn)碼的計(jì)算方法如下。①將前面的身份證號(hào)碼17位數(shù)分別乘以不同的系數(shù)。從第1位到第17位的系數(shù)分別為7、9、10、5、8、4、2、1、6、3、7、9、10、5、8、4、2。②將這17位數(shù)字和系數(shù)相乘的結(jié)果相加。③用加出來的和除以11，看余數(shù)是多少。④余數(shù)只可能有0、1、2、3、4、5、6、7、8、9、10這11個(gè)數(shù)字。其分別對應(yīng)的最后一位身份證的號(hào)碼為1、0、Ⅹ、9、8、7、6、5、4、3、2。（即余數(shù)0對應(yīng)1，余數(shù)1對應(yīng)0，余數(shù)2對應(yīng)Ⅹ……）Ⅹ是羅馬數(shù)字的10，所以用Ⅹ來代替兩位的阿拉伯?dāng)?shù)字10，可以保證公民的身份證符合國家標(biāo)準(zhǔn)，否則就會(huì)有人的身份證號(hào)成了19位。2）車牌號(hào)車牌號(hào)是標(biāo)識(shí)車輛身份的號(hào)牌，車牌號(hào)對車的意義就像身份證號(hào)對人一樣。（1）車牌顏色白色代表軍牌、警牌。藍(lán)色代表普通的小車。黃色代表普通的大型車輛。黑色代表外國人員在中國投資者，或者重要人物使用。（2）車牌號(hào)編碼除了現(xiàn)在的自選個(gè)性車牌以外，目前我國使用的九二式機(jī)動(dòng)車號(hào)牌由中文與英文字母的發(fā)牌機(jī)關(guān)代碼與五位號(hào)碼組成。比如“鄂A12345”，“鄂”代表湖北??；A是省會(huì)武漢市公安局車輛管理所發(fā)牌代碼，代表此車是由武漢市公安局車輛管理所發(fā)牌；后面五位數(shù)是序號(hào)。五位序號(hào)會(huì)從00000（某些地區(qū)從00001開始）開始按數(shù)字順序發(fā)牌直到99999，超過這個(gè)數(shù)字就采用英文字母為字首，從A0000開始排到A9999，再接著從B0000到B9999，以此類推到Z9999。如果這260萬個(gè)號(hào)碼再用完，接下來有兩種方式接著編號(hào)，第一種是把英文字母放在第二位，從0A000排列到0A999，再接著1A000到1A999，以此類推到9Z999。第二種是前兩位都使用英文字母，從AA000到AA999，再到AB000～AB999，以此類推到AZ999后開始BA000～BA999、BB000～BB999，一路延伸到ZZ999。如果這樣數(shù)字還用完了，接著就采用英文字母放在第三位、第四位、第五位，或者按照一、三位字母，一、四位字母等繼續(xù)排列。這是一般規(guī)律，但大多數(shù)地區(qū)并不按這種完全順延的規(guī)則編號(hào)。這就出來個(gè)“號(hào)段”的概念，在五位號(hào)碼中，每個(gè)首位數(shù)字或字母代表一個(gè)有一萬個(gè)號(hào)的號(hào)段。中國的車牌原則上是每個(gè)地級(jí)行政區(qū)劃占用一個(gè)發(fā)牌代碼，但中國每個(gè)地級(jí)行政區(qū)劃都分為不同的區(qū)、縣、市之類，為在車牌上加以區(qū)別，便采取了不同號(hào)段的方式。另外，往往把0字頭最小的1000以內(nèi)或者2000以內(nèi)的小號(hào)碼預(yù)留給當(dāng)?shù)卣畽C(jī)關(guān)也是很多地方的慣例。還有很多城市的出租車有特別的字首號(hào)段，最多的是用英文字母T（Taxi的第一個(gè)字母），北京地區(qū)用B，等等。3）郵政編碼郵政編碼又稱郵遞區(qū)號(hào)，是一個(gè)國家或地區(qū)為實(shí)現(xiàn)郵件分揀自動(dòng)化和郵政網(wǎng)絡(luò)數(shù)位化，加快郵件傳遞速度，而把全國按片劃分的編碼方式。郵政編碼通常是用阿拉伯?dāng)?shù)字組成，代表投遞郵件的郵局的一種專用代號(hào)，也是這個(gè)局投遞范圍內(nèi)的居民和單位通信的代號(hào)。郵政編碼是實(shí)現(xiàn)郵件機(jī)器分揀的郵政通信專用代號(hào)，是實(shí)現(xiàn)郵政現(xiàn)代化的必需工具，最終目的是使信件在傳遞過程中提高速度和準(zhǔn)確性，因此在交寄信件、包裹時(shí)務(wù)必寫明郵政編碼。為了實(shí)現(xiàn)郵件分揀自動(dòng)化和郵政網(wǎng)絡(luò)數(shù)字化，加快郵件傳遞速度，目前世界上已有140多個(gè)國家先后實(shí)行了郵政編碼制度，并以此作為衡量一個(gè)國家通信技術(shù)和郵政服務(wù)水平的標(biāo)準(zhǔn)之一。各國郵政編碼規(guī)則并不統(tǒng)一。我國的郵政編碼采用四級(jí)六位數(shù)編碼結(jié)構(gòu)。前兩位數(shù)字表示?。ㄖ陛犑?、自治區(qū)）；前三位數(shù)字表示郵區(qū)；前四位數(shù)字表示縣（市）；最后兩位數(shù)字表示投遞局（所）。4）書號(hào)書號(hào)，全稱為國際標(biāo)準(zhǔn)書號(hào)（InternationalStandardBookNumbe