五年級(jí)奧數(shù)數(shù)論余數(shù)性質(zhì)（C級(jí)）學(xué)生版

余數(shù)性質(zhì)余數(shù)性質(zhì)知識(shí)框架知識(shí)框架帶余除法的定義及性質(zhì)定義：一般地，如果a是整數(shù)，b是整數(shù)（b≠0）,若有a÷b=q……r，也就是a＝b×q＋r,0≤r＜b；我們稱上面的除法算式為一個(gè)帶余除法算式。這里：(1)當(dāng)時(shí)：我們稱a可以被b整除，q稱為a除以b的商或完全商(2)當(dāng)時(shí)：我們稱a不可以被b整除，q稱為a除以b的商或不完全商一個(gè)完美的帶余除法講解模型:如圖這是一堆書，共有a本，這個(gè)a就可以理解為被除數(shù)，現(xiàn)在要求按照b本一捆打包，那么b就是除數(shù)的角色，經(jīng)過打包后共打包了c捆，那么這個(gè)c就是商，最后還剩余d本，這個(gè)d就是余數(shù)。這個(gè)圖能夠讓學(xué)生清晰的明白帶余除法算式中4個(gè)量的關(guān)系。并且可以看出余數(shù)一定要比除數(shù)小。余數(shù)的性質(zhì)⑴被除數(shù)除數(shù)商余數(shù)；除數(shù)（被除數(shù)余數(shù)）商；商（被除數(shù)余數(shù)）除數(shù)；⑵余數(shù)小于除數(shù)．余數(shù)定理：a與b的和除以c的余數(shù)，等于a,b分別除以c的余數(shù)之和，或這個(gè)和除以c的余數(shù)。例如：23，16除以5的余數(shù)分別是3和1，所以23+16＝39除以5的余數(shù)等于4，即兩個(gè)余數(shù)的和3+1.當(dāng)余數(shù)的和比除數(shù)大時(shí)，所求的余數(shù)等于余數(shù)之和再除以c的余數(shù)。例如：23，19除以5的余數(shù)分別是3和4，所以23+19＝42除以5的余數(shù)等于3+4=7除以5的余數(shù)為2a與b的差除以c的余數(shù)，等于a,b分別除以c的余數(shù)之差。例如：23，16除以5的余數(shù)分別是3和1，所以23－16＝7除以5的余數(shù)等于2，兩個(gè)余數(shù)差3－1＝2.當(dāng)余數(shù)的差不夠減時(shí)時(shí)，補(bǔ)上除數(shù)再減。例如：23，14除以5的余數(shù)分別是3和4，23－14＝9除以5的余數(shù)等于4，兩個(gè)余數(shù)差為3＋5－4＝4a與b的乘積除以c的余數(shù)，等于a,b分別除以c的余數(shù)的積，或者這個(gè)積除以c所得的余數(shù)。例如：23，16除以5的余數(shù)分別是3和1，所以23×16除以5的余數(shù)等于3×1＝3。當(dāng)余數(shù)的和比除數(shù)大時(shí)，所求的余數(shù)等于余數(shù)之積再除以c的余數(shù)。例如：23，19除以5的余數(shù)分別是3和4，所以23×19除以5的余數(shù)等于3×4除以5的余數(shù)，即2.乘方：如果a與b除以m的余數(shù)相同，那么與除以m的余數(shù)也相同．棄九法原理在公元前9世紀(jì)，有個(gè)印度數(shù)學(xué)家名叫花拉子米，寫有一本《花拉子米算術(shù)》，他們?cè)谟?jì)算時(shí)通常是在一個(gè)鋪有沙子的土板上進(jìn)行，由于害怕以前的計(jì)算結(jié)果丟失而經(jīng)常檢驗(yàn)加法運(yùn)算是否正確，他們的檢驗(yàn)方式是這樣進(jìn)行的：例如：檢驗(yàn)算式1234除以9的余數(shù)為11898除以9的余數(shù)為818922除以9的余數(shù)為4678967除以9的余數(shù)為7178902除以9的余數(shù)為0這些余數(shù)的和除以9的余數(shù)為2而等式右邊和除以9的余數(shù)為3，那么上面這個(gè)算式一定是錯(cuò)的。上述檢驗(yàn)方法恰好用到的就是我們前面所講的余數(shù)的加法定理，即如果這個(gè)等式是正確的，那么左邊幾個(gè)加數(shù)除以9的余數(shù)的和再除以9的余數(shù)一定與等式右邊和除以9的余數(shù)相同。而我們?cè)谇笠粋€(gè)自然數(shù)除以9所得的余數(shù)時(shí)，常常不用去列除法豎式進(jìn)行計(jì)算，只要計(jì)算這個(gè)自然數(shù)的各個(gè)位數(shù)字之和除以9的余數(shù)就可以了，在算的時(shí)候往往就是一個(gè)9一個(gè)9的找并且劃去，所以這種方法被稱作“棄九法”。所以我們總結(jié)出棄九發(fā)原理：任何一個(gè)整數(shù)模9同余于它的各數(shù)位上數(shù)字之和。以后我們求一個(gè)整數(shù)被9除的余數(shù)，只要先計(jì)算這個(gè)整數(shù)各數(shù)位上數(shù)字之和，再求這個(gè)和被9除的余數(shù)即可。利用十進(jìn)制的這個(gè)特性，不僅可以檢驗(yàn)幾個(gè)數(shù)相加，對(duì)于檢驗(yàn)相乘、相除和乘方的結(jié)果對(duì)不對(duì)同樣適用注意：棄九法只能知道原題一定是錯(cuò)的或有可能正確，但不能保證一定正確。例如：檢驗(yàn)算式9+9=9時(shí)，等式兩邊的除以9的余數(shù)都是0，但是顯然算式是錯(cuò)誤的但是反過來，如果一個(gè)算式一定是正確的，那么它的等式2兩端一定滿足棄九法的規(guī)律。這個(gè)思想往往可以幫助我們解決一些較復(fù)雜的算式迷問題。同余定理定義若兩個(gè)整數(shù)a、b被自然數(shù)m除有相同的余數(shù)，那么稱a、b對(duì)于模m同余，用式子表示為：a≡b(modm)，左邊的式子叫做同余式。同余式讀作：a同余于b，模m。同余的重要性質(zhì)及舉例。〈1〉a≡a（modm）（a為任意自然）；〈2〉若a≡b（modm），則b≡a（modm）〈3〉若a≡b（modm），b≡c（modm）則a≡c（modm）；〈4〉若a≡b（modm），則ac≡bc（modm）〈5〉若a≡b（modm），c≡d（modm），則ac=bd（modm）；〈6〉若a≡b（modm）則an≡bm（modm）其中性質(zhì)〈3〉常被稱為"同余的可傳遞性"，性質(zhì)〈4〉、〈5〉常被稱為"同余的可乘性，"性質(zhì)〈6〉常被稱為"同余的可開方性"注意：一般地同余沒有"可除性"，但是：如果：ac=bc（modm）且（c，m）=1則a≡b（modm）整數(shù)分類：〈1〉用2來將整數(shù)分類，分為兩類：1，3，5，7，9，……（奇數(shù)）；0，2，4，6，8，……（偶數(shù)）〈2〉用3來將整數(shù)分類，分為三類：0，3，6，9，12，……（被3除余數(shù)是0）1，4，7，10，13，……（被3除余數(shù)是1）2，5，8，11，14，……（被3除余數(shù)是2）〈3〉在模6的情況下，可將整數(shù)分成六類，分別是：0（mod6）：0，6，12，18，24，……1（mod6）：1，7，13，19，25，……2（mod6）：2，8，14，20，26，……3（mod6）：3，9，15，21，27，……4（mod6）：4，10，16，22，29，……5（mod6）：5，11，17，23，29，……余數(shù)判別法當(dāng)一個(gè)數(shù)不能被另一個(gè)數(shù)整除時(shí)，雖然可以用長(zhǎng)除法去求得余數(shù)，但當(dāng)被除位數(shù)較多時(shí)，計(jì)算是很麻煩的．建立余數(shù)判別法的基本思想是：為了求出“N被m除的余數(shù)”，我們希望找到一個(gè)較簡(jiǎn)單的數(shù)R，使得：N與R對(duì)于除數(shù)m同余．由于R是一個(gè)較簡(jiǎn)單的數(shù)，所以可以通過計(jì)算R被m除的余數(shù)來求得N被m除的余數(shù)．⑴整數(shù)N被2或5除的余數(shù)等于N的個(gè)位數(shù)被2或5除的余數(shù)；⑵整數(shù)N被4或25除的余數(shù)等于N的末兩位數(shù)被4或25除的余數(shù)；⑶整數(shù)N被8或125除的余數(shù)等于N的末三位數(shù)被8或125除的余數(shù)；⑷整數(shù)N被3或9除的余數(shù)等于其各位數(shù)字之和被3或9除的余數(shù)；⑸整數(shù)N被11除的余數(shù)等于N的奇數(shù)位數(shù)之和與偶數(shù)位數(shù)之和的差被11除的余數(shù)；（不夠減的話先適當(dāng) 加11的倍數(shù)再減）；⑹整數(shù)N被7，11或13除的余數(shù)等于先將整數(shù)N從個(gè)位起從右往左每三位分一節(jié)，奇數(shù)節(jié)的數(shù)之和與偶數(shù)節(jié)的數(shù)之和的差被7，11或13除的余數(shù)就是原數(shù)被7，11或13除的余數(shù)．中國(guó)剩余定理——中國(guó)古代趣題趣題一中國(guó)數(shù)學(xué)名著《孫子算經(jīng)》里有這樣的問題：“今有物，不知其數(shù)，三三數(shù)之，剩二，五五數(shù)之，剩三，七七數(shù)之，剩二，問物幾何？”答曰：“二十三。”此類問題我們可以稱為“物不知其數(shù)”類型，又被稱為“韓信點(diǎn)兵”。韓信點(diǎn)兵又稱為中國(guó)剩余定理，相傳漢高祖劉邦問大將軍韓信統(tǒng)御兵士多少，韓信答說，每3人一列余1人、5人一列余2人、7人一列余4人、13人一列余6人……。劉邦茫然而不知其數(shù)。我們先考慮下列的問題：假設(shè)兵不滿一萬，每5人一列、9人一列、13人一列、17人一列都剩3人，則兵有多少？首先我們先求5、9、13、17之最小公倍數(shù)9945（注：因?yàn)?、9、13、17為兩兩互質(zhì)的整數(shù)，故其最小公倍數(shù)為這些數(shù)的積），然后再加3，得9948（人）。孫子算經(jīng)的作者及確實(shí)著作年代均不可考，不過根據(jù)考證，著作年代不會(huì)在晉朝之后，以這個(gè)考證來說上面這種問題的解法，中國(guó)人發(fā)現(xiàn)得比西方早，所以這個(gè)問題的推廣及其解法，被稱為中國(guó)剩余定理。中國(guó)剩余定理（ChineseRemainderTheorem）在近代抽象代數(shù)學(xué)中占有一席非常重要的地位。趣題二我國(guó)明朝有位大數(shù)學(xué)家叫程大位，他在解答“物不知其數(shù)”問題（即：有物不知其數(shù)，三三數(shù)之剩二，五五數(shù)之剩三，七七數(shù)之剩二，問物幾何？）時(shí)用四句詩概括出這類問題的優(yōu)秀解法：“三人同行七十稀，五樹梅花廿一枝，七子團(tuán)圓正月半，除百零五便得知．”這首詩就是解答此類問題的金鑰匙，它被世界各國(guó)稱為“中國(guó)剩余定理”（ChineseRemainderTheorem），是我國(guó)古代數(shù)學(xué)的一項(xiàng)輝煌成果．詩中的每一句話都表示一個(gè)步驟：三人同行七十稀，是說除以3所得的余數(shù)用70乘．五樹梅花廿一枝，是說除以5所得的余數(shù)用21乘．七子團(tuán)圓正月半，是說除以7所得的余數(shù)用15乘．除百零五便得知，是說把上面乘得的3個(gè)積加起來，減去105的倍數(shù)，減得差就是所求的數(shù)．此題的中國(guó)剩余定理的解法是：用70乘3除所得的余數(shù)，21乘5除所得的余數(shù)，15乘7除所得的余數(shù)，把這3個(gè)結(jié)果加起來，如果它大于105，則減去105，所得的差如果仍比105大，則繼續(xù)減去105，最后所得的整數(shù)就是所求．也就是，，為什么70，21，15，105有此神奇效用？70，21，15，105是從何而來？先看70，21，15，105的性質(zhì)：70被3除余1，被5，7整除，所以70a是一個(gè)被3除余a而被5與7整除的數(shù)；21是5除余1，被3與7整除的數(shù)，因此21b是被5除余b，被3與7整除的數(shù)；同理15c是被7除余c，被3、5整除的數(shù)，105是3，5，7的最小公倍數(shù)．也就是說，是被3除余a，被5除余b，被7除余c的數(shù)，這個(gè)數(shù)可能是解答，但不一定是最小的，因此還要減去它們的公倍數(shù)．了解了“剩余定理”的秘密后，對(duì)類似于上面的題目，我們都可以用中國(guó)剩余定理來解答．核心思想和方法對(duì)于這一類問題，我們有一套看似繁瑣但是一旦掌握便可一通百通的方法，下面我們就以《孫子算經(jīng)》中的問題為例，分析此方法:今有物，不知其數(shù)，三三數(shù)之，剩二，五五數(shù)之，剩三，七七數(shù)之，剩二，問物幾何？題目中我們可以知道，一個(gè)自然數(shù)分別除以3，5，7后，得到三個(gè)余數(shù)分別為2，3，2.那么我們首先構(gòu)造一個(gè)數(shù)字，使得這個(gè)數(shù)字除以3余1，并且還是5和7的公倍數(shù)。先由，即5和7的最小公倍數(shù)出發(fā)，先看35除以3余2，不符合要求，那么就繼續(xù)看5和7的“下一個(gè)”倍數(shù)是否可以，很顯然70除以3余1類似的，我們?cè)贅?gòu)造一個(gè)除以5余1，同時(shí)又是3和7的公倍數(shù)的數(shù)字，顯然21可以符合要求。最后再構(gòu)造除以7余1，同時(shí)又是3，5公倍數(shù)的數(shù)字，45符合要求，那么所求的自然數(shù)可以這樣計(jì)算：，其中k是自然數(shù)。也就是說滿足上述關(guān)系的數(shù)有無窮多，如果根據(jù)實(shí)際情況對(duì)數(shù)的范圍加以限制，那么我們就能找到所求的數(shù)。例如對(duì)上面的問題加上限制條件“滿足上面條件最小的自然數(shù)”，那么我們可以計(jì)算得到所求如果加上限制條件“滿足上面條件最小的三位自然數(shù)”,我們只要對(duì)最小的23加上[3,5,7]即可，即23+105=128。重難點(diǎn)重難點(diǎn)一個(gè)自然數(shù)被9除的余數(shù)和這個(gè)自然數(shù)所有數(shù)字之和被9除的余數(shù)相同。同余在解答競(jìng)賽題中有著廣泛的應(yīng)用．在這一講中，我們將深入理解同余的概念和性質(zhì)，悟出它的一些運(yùn)用技巧和方法．例題精講例題精講一個(gè)兩位數(shù)除315，余數(shù)是42，求這樣的兩位數(shù)。在下面的空格中填上適當(dāng)?shù)臄?shù)。盒子里放有編號(hào)1到10的十個(gè)球，小紅先后三次從盒子中共取出九個(gè)球，如果從第二次起，每次取出的球的編號(hào)的和都比上一次的兩倍還多一，那么剩下的球的編號(hào)為____。10個(gè)自然數(shù)，和為100，分別除以3。若用去尾法，10個(gè)商的和為30；若用四舍五入法，l0個(gè)商的和為34．10個(gè)數(shù)中被3除余l(xiāng)的有________個(gè)．托瑪想了一個(gè)正整數(shù)，并且求出了它分別除以3、6和9的余數(shù)．現(xiàn)知這三余數(shù)的和是15．試求該數(shù)除以18的余數(shù)．一個(gè)正整數(shù)，它分別除以7、11和13的余數(shù)．現(xiàn)知這三余數(shù)的和是28．試求該數(shù)除以91的余數(shù)．用1、9、8、8這四個(gè)數(shù)字能排成幾個(gè)被11除余8的四位數(shù)？用2、0、0、7、7、2、4這七個(gè)數(shù)字排被11除余6的最小和最大的七位數(shù)？將七位數(shù)“1357924”重復(fù)寫287次組成一個(gè)2009位數(shù)“…”。刪去這個(gè)數(shù)中所有位于奇數(shù)位上的數(shù)字；按上述方法一直刪除下去直到剩下一個(gè)數(shù)字為止，則最后剩下的數(shù)字是30粒珠子依8粒紅色、2粒黑色、8粒紅色、2粒黑色…的次序串成一圈，一只螞蚱從第2粒黑珠子起跳，每次跳過6粒珠子落在下一粒珠子上，這只螞蚱至少要跳次才能落到黑珠子上。如果1＝1！，1×2＝2！，1×2×3＝3！……1×2×3×……×99×100＝100！那么1！+2！+3！+……+100！的個(gè)位數(shù)字是多少？如果1＝1！，1×2＝2！，1×2×3＝3！……1×2×3×……×99×100＝100！那么1！+3！+5！+7！+……+99！的末兩位數(shù)字是多少？有2個(gè)三位數(shù)相乘的積是一個(gè)五位數(shù)，積的后四位是3205，第一個(gè)數(shù)各個(gè)位的數(shù)字之和是11，第二個(gè)數(shù)的各個(gè)位數(shù)字之和是15，求兩個(gè)三位數(shù)的和。設(shè)的各位數(shù)字之和為，的各位數(shù)字之和為，的各位數(shù)字之和為，的各位數(shù)字之和為，那么對(duì)任意的自然數(shù)n，證明能被1897整除．若為自然數(shù)，證明．在3×3的方格表中已如右圖填入了9個(gè)質(zhì)數(shù)。將表中同一行或同一列的3個(gè)數(shù)加上相同的自然數(shù)稱為一次操作。問：你能通過若干次操作使得表中9個(gè)數(shù)都變?yōu)橄嗤臄?shù)嗎？為什么？一個(gè)三位數(shù)除以17和19都有余數(shù)，并且除以17后所得的商與余數(shù)的和等于它除以19后所得到的商與余數(shù)的和．那么這樣的三位數(shù)中最大數(shù)是多少，最小數(shù)是多少？從1，2，3，……，n中，任取57個(gè)數(shù)，使這57個(gè)數(shù)必有兩個(gè)數(shù)的差為13，