概率論第五章課件ppt

概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院王艷娥第五章大數(shù)定律和中心極限定理

大數(shù)定律中心極限定理

概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)是研究隨機(jī)現(xiàn)象統(tǒng)計(jì)規(guī)律性的學(xué)科.隨機(jī)現(xiàn)象的規(guī)律性只有在相同的條件下進(jìn)行大量重復(fù)試驗(yàn)時(shí)才會(huì)呈現(xiàn)出來.也就是說,要從隨機(jī)現(xiàn)象中去尋求必然的法則,應(yīng)該研究大量隨機(jī)現(xiàn)象.

研究大量的隨機(jī)現(xiàn)象，常常采用極限形式，由此導(dǎo)致對極限定理進(jìn)行研究.極限定理的內(nèi)容很廣泛，其中最重要的有兩種:與大數(shù)定律中心極限定理本章要解決的問題：

1．為何能以某事件發(fā)生的頻率作為該事件的概率的估計(jì)？

2．為何能以樣本均值作為總體期望的估計(jì)？

3．為何正態(tài)分布在概率論中占有極其重要的地位？

4．大樣本統(tǒng)計(jì)推斷的理論基礎(chǔ)是什么？大數(shù)定律中心極限定理答復(fù)

1.隨著試驗(yàn)次數(shù)增大,事件發(fā)生的頻率穩(wěn)定于某個(gè)常數(shù);2.實(shí)踐中大量測量值的算術(shù)平均值也具有穩(wěn)定性.

人們正是研究了這些穩(wěn)定性得到了大數(shù)定律.大數(shù)定律的客觀背景大量拋擲硬幣正面出現(xiàn)頻率字母使用頻率生產(chǎn)過程中的廢品率

設(shè){Xn}為隨機(jī)變量序列，a為常數(shù)，若任給

>0,使得則稱{Xn}依概率收斂于a.可記為性質(zhì):一.依概率收斂5.1大數(shù)定律函數(shù)g(x,y)在(a,b)連續(xù),設(shè)則a意思是:當(dāng)時(shí),Xn落在內(nèi)的概率越來越大.而意思是:,當(dāng)即Xn落在內(nèi).二.幾個(gè)常用的大數(shù)定律定理1（切比雪夫大數(shù)定理）

設(shè)X1,X2,…是相互獨(dú)立的隨機(jī)變量序列，且期望存在E(Xi)≤mi，它們都有有限的方差，并且方差有共同的上界，即D(Xi)=si

2≤K,i=1,2,…，則對任給

>0,有切比雪夫

切比雪夫大數(shù)定理表明，獨(dú)立隨機(jī)變量序列{Xn}，如果方差有共同的上界，則與其數(shù)學(xué)期望

偏差很小的切比雪夫大數(shù)定理給出了平均值穩(wěn)定性的科學(xué)描述概率接近于1.

即當(dāng)n充分大時(shí)，差不多不再是隨機(jī)的了，取值接近于其數(shù)學(xué)期望的概率接近于1.

證明切比雪夫大數(shù)定律主要的數(shù)學(xué)工具是切比雪夫不等式.

設(shè)隨機(jī)變量X有期望E(X)和方差，則對于任給>0,作為切比雪夫大數(shù)定理的特殊情況,有下面的定理.定理2（獨(dú)立同分布下的大數(shù)定理）

設(shè)X1,X2,…是獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量序列，且E(Xi)=

，D(Xi)=

2>0

，i=1,2,…,則即對任給

>0,有

設(shè)fA是n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中事件A發(fā)生的次數(shù)，p是事件A在每次試驗(yàn)中發(fā)生的概率，則對任給的ε>0，或定理3.伯努利大數(shù)定理伯努利下面給出定理2的一種特例.證明:因?yàn)閒A~b(n,p)第i次試驗(yàn)事件A發(fā)生第i次試驗(yàn)事件A不發(fā)生則由切比雪夫大數(shù)定理設(shè)

伯努利大數(shù)定律表明，當(dāng)重復(fù)試驗(yàn)次數(shù)n充分大時(shí)，事件A發(fā)生的頻率fA/n與事件A的概率p有較大偏差的概率很小.

伯努利大數(shù)定律提供了通過試驗(yàn)來確定事件概率的方法.任給ε>0，

下面給出的獨(dú)立同分布下的大數(shù)定理，不要求隨機(jī)變量的方差存在.

設(shè)隨機(jī)變量序列X1,X2,…獨(dú)立同分布，具有有限的數(shù)學(xué)期E(Xi)=μ,

i=1,2,…，則對任給ε>0，定理4（辛欽大數(shù)定理）辛欽

例如要估計(jì)某地區(qū)的平均畝產(chǎn)量，要收割某些有代表性的地塊，例如n塊.計(jì)算其平均畝產(chǎn)量，則當(dāng)n

較大時(shí)，可用它作為整個(gè)地區(qū)平均畝產(chǎn)量的一個(gè)估計(jì).這一講我們介紹了大數(shù)定律

大數(shù)定律以嚴(yán)格的數(shù)學(xué)形式表達(dá)了隨機(jī)現(xiàn)象最根本的性質(zhì)之一：它是隨機(jī)現(xiàn)象統(tǒng)計(jì)規(guī)律的具體表現(xiàn).大數(shù)定律在理論和實(shí)際中都有廣泛的應(yīng)用.平均結(jié)果的穩(wěn)定性休息片刻繼續(xù)下一講

在實(shí)際問題中，常常需要考慮許多隨機(jī)因素所產(chǎn)生總影響.

例如：炮彈射擊的落點(diǎn)與目標(biāo)的偏差，就受著許多隨機(jī)因素的影響.中心極限定理的客觀背景空氣阻力所產(chǎn)生的誤差，對我們來說重要的是這些隨機(jī)因素的總影響.如瞄準(zhǔn)時(shí)的誤差，炮彈或炮身結(jié)構(gòu)所引起的誤差等等.

觀察表明，如果一個(gè)量是由大量相互獨(dú)立的隨機(jī)因素的影響所造成，而每一個(gè)別因素在總影響中所起的作用不大.

則這種量一般都服從或近似服從正態(tài)分布.

自從高斯指出測量誤差服從正態(tài)分布之后，人們發(fā)現(xiàn)，正態(tài)分布在自然界中極為常見.

現(xiàn)在我們就來研究獨(dú)立隨機(jī)變量之和所特有的規(guī)律性問題.

當(dāng)n無限增大時(shí)，這個(gè)和的極限分布是什么呢？在什么條件下極限分布會(huì)是正態(tài)的呢？

由于無窮個(gè)隨機(jī)變量之和可能趨于∞，故我們不研究n個(gè)隨機(jī)變量之和本身而考慮它的標(biāo)準(zhǔn)化的隨機(jī)變量的分布函數(shù)的極限.的分布函數(shù)的極限.

可以證明，滿足一定的條件，上述極限分布是標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布.考慮

在概率論中，習(xí)慣于把和的分布收斂于正態(tài)分布這一類定理都叫做中心極限定理.定理1（獨(dú)立同分布下的中心極限定理）

它表明，當(dāng)n充分大時(shí)，n個(gè)具有期望和方差的獨(dú)立同分布的r.v