8-6-1直線與直線的垂直-人教A高中數(shù)學(xué)課件

高一數(shù)學(xué)第二冊(cè)第八章：

立體幾何初步空間點(diǎn)、線、面之間的位置關(guān)系直線與直線的垂直一、學(xué)習(xí)目標(biāo)理解并掌握異面直線所成的角，會(huì)求任意兩條直線所成的角.二、問題導(dǎo)學(xué)1.異面直線(1)定義：不同在

的兩條直線.(2)畫法：任何一個(gè)平面內(nèi)2.兩條直線的位置關(guān)系一個(gè)沒有3.兩個(gè)定理(1)基本事實(shí)4①文字語言：平行于同一條直線的兩條直線

.②符號(hào)語言：直線a，b，c，a∥b，c∥b?

.③作用：證明空間兩條直線平行.(2)等角定理①內(nèi)容：如果空間中兩個(gè)角的兩條邊分別對(duì)應(yīng)平行，那么這兩個(gè)角

.②作用：證明兩個(gè)角相等或互補(bǔ).平行a∥c相等或互補(bǔ)一.平面內(nèi)兩直線的夾角(1)定義：平面內(nèi)兩條直線相交成4個(gè)角，其中不大于90°的角稱為這兩條直線所成的角(或夾角)；規(guī)定兩直線平行時(shí)夾角為0°，垂直時(shí)夾角為90°.(2)范圍：兩條直線夾角α的取值范圍是0°≤α≤90°.三、點(diǎn)撥精講二、異面直線所成的角1.定義：已知兩條異面直線a，b，經(jīng)過空間

一點(diǎn)O分別作直線a′∥a，b′∥b，則異面直線a與b所成的角(或夾角)就是直線a′與b′所成的

(或

).2.范圍：

.特別地，當(dāng)θ＝

時(shí)，a與b互相垂直，記作

.任意銳角直角0°<θ≤90°90°a⊥b思考辨析判斷正誤SIKAOBIANXIPANDUANZHENGWU1.和兩條異面直線都相交的兩直線必是異面直線.(

)2.異面直線所成角的大小與點(diǎn)O的位置無關(guān)，所以求解時(shí)，可根據(jù)需要合理選擇該點(diǎn).(

)3.如果兩條平行直線中的一條與某一條直線垂直，則另一條直線也與這條直線垂直.(

)√××√例1

如圖，在正方體ABCD－EFGH中，O為側(cè)面ADHE的中心，求：題型一、求異面直線所成的角(1)BE與CG所成的角；解∵CG∥FB，∴∠EBF是異面直線BE與CG所成的角.在Rt△EFB中，EF＝FB，∴∠EBF＝45°，∴BE與CG所成的角為45°.(2)FO與BD所成的角.解連接FH，∵FB∥AE，F(xiàn)B＝AE，AE∥HD，AE＝HD，∴FB＝HD，F(xiàn)B∥HD，∴四邊形FBDH是平行四邊形，∴BD∥FH，∴∠HFO或其補(bǔ)角是FO與BD所成的角，連接HA，AF，則△AFH是等邊三角形，又O是AH的中點(diǎn)，∴∠HFO＝30°，∴FO與BD所成的角為30°.反思感悟求兩異面直線所成角的三個(gè)步驟(1)作：根據(jù)所成角的定義，用平移法作出異面直線所成的角.(2)證：證明作出的角就是要求的角.(3)計(jì)算：求角的值，常利用解三角形得出.可用“一作二證三計(jì)算”來概括.同時(shí)注意異面直線所成角的范圍是0°<θ≤90°.跟蹤訓(xùn)練1

如圖所示，在長(zhǎng)方體ABCD－EFGH中，AB＝AD＝

，AE＝2.(1)求直線BC和EG所成的角；解連接AC(圖略).∵EG∥AC，∴∠ACB即是BC和EG所成的角.∴tan∠ACB＝1，∴∠ACB＝45°，∴直線BC和EG所成的角是45°.(2)求直線AE和BG所成的角.解∵AE∥BF，∴∠FBG即是AE和BG所成的角.∴∠FBG＝60°，∴直線AE和BG所成的角是60°.題型二、直線與直線垂直例2

如圖，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，CD1與DC1相交于點(diǎn)O，求證：AO⊥A1B.證明如圖，∵ABCD－A1B1C1D1是正方體，∴A1D1綉B(tài)C，∴四邊形A1D1CB是平行四邊形，∴A1B∥D1C，∴直線AO與A1B所成角即為直線AO與D1C所成角，連接AC，AD1，易證AC＝AD1，又O為CD1的中點(diǎn)，∴AO⊥D1C，∴AO⊥A1B.

要證明兩異面直線垂直，應(yīng)先構(gòu)造兩異面直線所成的角.若能證明這個(gè)角是直角，即得到兩直線垂直.反思感悟跟蹤訓(xùn)練2

如圖在正三棱柱ABC－A′B′C′中，E為棱AC的中點(diǎn)，AB＝BB′＝2.求證：BE⊥AC′.證明取CC′的中點(diǎn)F，連EF，BF，∴EF∥AC′，∴BE和EF所成角∠BEF∵E為AC的中點(diǎn)，F(xiàn)為CC′的中點(diǎn)，在△BEF中BE2＋EF2＝BF2，∴BE⊥EF，即BE⊥AC′.四、課堂小結(jié)1.知識(shí)清單：(1)平面內(nèi)兩直線的夾角.(2)異面直線所成的角.(3)利用異面直線所成的角證明兩直線垂直.2.方法歸納：轉(zhuǎn)化與化歸.3.常見誤區(qū)：容易忽視異面直線所成角θ的范圍是0°<θ≤90°.五、當(dāng)堂檢測(cè)1.垂直于同一條直線的兩條直線一定A.平行

B.相交

C.異面

D.以上都有可能√2.在三棱錐S－ABC中，與SA是異面直線的是A.SB

B.SCC.BC D.AB√3.在正方體AC1中，E，F(xiàn)分別是線段BC，CD1的中點(diǎn)，則直線A1B與直線EF的位置關(guān)系是A.相交

B.異面

C.平行

D.垂直√4.如圖，在三棱錐A－BCD中，E，F(xiàn)，G分別是AB，BC，AD的中點(diǎn)，∠GEF＝120°，則BD與AC所成角的度數(shù)為________.60°解析依題意知，EG∥BD，EF∥AC，所以∠GEF或其補(bǔ)角即為異面直線AC與BD所成的角，又∠GEF＝120°，所以異面直線BD與AC所成的角為60°.5.在如圖所示的正方體中，M，N分別為棱B