材料力學(xué)(II)第二章 材料力學(xué) 孫訓(xùn)方

第二章考慮材料塑性的極限分析§2－1塑性材料簡(jiǎn)化的應(yīng)力-應(yīng)變曲線§2－2拉壓桿系的極限荷載§2－3等直圓桿扭轉(zhuǎn)時(shí)的極限扭矩§2－4梁的極限彎矩

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塑性鉸1§2－1塑性材料簡(jiǎn)化的應(yīng)力—應(yīng)變曲線

圖a所示為低碳鋼拉伸時(shí)的應(yīng)力—應(yīng)變曲線，bc表示卸載規(guī)律。工程中有時(shí)要考慮材料塑性來計(jì)算構(gòu)件的承載能力，低碳鋼等塑性材料在應(yīng)力超過比例極限后，應(yīng)力和應(yīng)變?yōu)榉蔷€性關(guān)系，使分析極為復(fù)雜。為了簡(jiǎn)化計(jì)obec(a)2算，工程中把低碳鋼等塑性材料的拉伸、壓縮時(shí)的應(yīng)力—應(yīng)變關(guān)系簡(jiǎn)化為圖b所示的曲線。即認(rèn)為材料屈服前服從胡克定律，屈服后不考慮強(qiáng)化，拉伸和壓縮時(shí)材料的屈服極限和彈性模量分別相等。該曲線稱為彈性─理想塑性模型，這種材料稱為彈性─理想塑性材料(通常簡(jiǎn)稱為理想彈塑性材料)。同樣，也可將塑性材料的t－g曲線簡(jiǎn)化為圖c所示的曲線。b(b)(c)3§2－2拉壓桿系的極限荷載

圖a所示的靜定結(jié)構(gòu)中，各桿的材料相同，其應(yīng)力—應(yīng)變關(guān)系如圖b所示。隨著載荷增加，當(dāng)其中任一桿橫截面上的應(yīng)力達(dá)到屈服極限時(shí)，該結(jié)構(gòu)成為幾何可變的機(jī)構(gòu)，喪失承載能力。可見靜定拉壓桿系結(jié)構(gòu)，考慮材料的塑性，也不能提高結(jié)構(gòu)的承載能力。超靜定桿系結(jié)構(gòu)見下例。BCAF(a)(b)4例2－1圖a所示超靜定桿系結(jié)構(gòu)中，三桿的材料相同，s－e關(guān)系如圖b所示，彈性模量為E。三桿的橫截面積均為A。試分析當(dāng)荷載F逐漸增加時(shí)三桿的應(yīng)力和結(jié)點(diǎn)A位移的變化情況。(b)(a)l5解：(1)

應(yīng)力1.當(dāng)F較小時(shí)，三桿均處于彈性工作狀態(tài)，解此超靜定結(jié)構(gòu)，得到三桿的軸力，除以其橫截面面積后得三桿的應(yīng)力分別為可見F(c)6由于FN3=σsA，使超靜定結(jié)構(gòu)成為靜定結(jié)構(gòu)，荷載還可以繼續(xù)增加，由結(jié)點(diǎn)A的平衡方程，得1、2桿的軸力為2.F增加到Fs時(shí)，3桿首先屈服，1、2桿仍處于彈性工作狀態(tài)。Fs稱為屈服載荷。令s3＝ss，F(xiàn)=Fs。由(2)式得應(yīng)力為(4)7極限荷載和屈服荷載的比值為當(dāng)a＝45°時(shí)，F(xiàn)u/Fs＝1.41，即考慮材料塑性將使結(jié)構(gòu)的承載能力提高1.41倍。3.

繼續(xù)增加荷載，3桿的應(yīng)力保持s3＝ss不變，1、2桿的應(yīng)力增加，直到1、2桿也發(fā)生屈服(s1=s2=ss)，整個(gè)結(jié)構(gòu)屈服，從而喪失承載能力。這種狀態(tài)稱為極限狀態(tài)，相應(yīng)的荷載為極限荷載，用Fu表示。令FN1=

FN2=FN3=ssA，由結(jié)點(diǎn)A的平衡方程得8(2)

A點(diǎn)的位移

1.

F=Fs時(shí)，s3＝ss，3桿屈服，1、2桿仍處于彈性工作狀態(tài)，由圖d可得A點(diǎn)的位移為2.繼續(xù)增加荷載，3桿的應(yīng)力s3＝ss保持不變，增加部分的荷載將由1、2桿承擔(dān)，使1、2桿的彈性變形不斷增加，直到1、2桿剛剛出現(xiàn)塑性變形，A點(diǎn)的位移為A(d)1329外力F和A點(diǎn)位移Δ之間的關(guān)系，如圖e所示。F<Fs時(shí)，結(jié)構(gòu)的剛度由三根桿組成，F(xiàn)≥Fs時(shí)，3桿屈服，結(jié)構(gòu)的剛度由1,2桿組成，所以O(shè)a和ab的斜率不同。(7)(e)ab10

由于一次超靜定桿系結(jié)構(gòu)中，存在一個(gè)多余約束的桿(例如，例2－1中的3桿)當(dāng)某一桿發(fā)生塑性變形時(shí)，結(jié)構(gòu)成為靜定結(jié)構(gòu)，還可以繼續(xù)承載，直到結(jié)構(gòu)中另外的桿發(fā)生塑性變形，使結(jié)構(gòu)喪失承載能力，達(dá)到極限狀態(tài)。(a)l11§2－3等直圓桿扭轉(zhuǎn)時(shí)的極限扭矩

圖a所示圓截面桿，其t－g的關(guān)系如圖b所示。本節(jié)討論等直圓桿極限扭矩及扭轉(zhuǎn)殘余應(yīng)力問題。12Ⅰ.

極限扭矩

(1)由塑性材料制成的受扭圓截面桿，一般把tmax=ts(圖c)作為破壞條件，并以此建立強(qiáng)度條件。邊緣屈服時(shí)的扭矩稱為屈服扭矩，并用Ts表示，其值為僅當(dāng)tmax=ts時(shí)，圓桿不會(huì)發(fā)生明顯的屈服變形，扭矩還可以繼續(xù)增加。do(c)13

(2)若扭矩增加到某個(gè)值時(shí)，圓桿進(jìn)入彈塑性工作狀態(tài)，根據(jù)平面假設(shè)，其g的變化規(guī)律如圖d所示。根據(jù)圖b所示的t~g關(guān)系，t的分布規(guī)律如圖e所示，即靠近邊緣處已進(jìn)入塑性狀態(tài)，其余部分仍處于彈性狀態(tài)。設(shè)彈性區(qū)的直徑為ds。取dA=2prdr，扭矩為o(d)d(e)14單位長度的扭轉(zhuǎn)角為

(3)當(dāng)扭矩增加到T=Tu時(shí)，橫截面上各點(diǎn)的切應(yīng)力均達(dá)到ts(圖f)，圓桿進(jìn)入完全塑性狀態(tài)，即為極限狀態(tài)，Tu稱為極限扭矩，其值為式中，右邊第一項(xiàng)為彈性區(qū)的扭矩，第二項(xiàng)為塑性區(qū)的扭矩。(f)15由(1)式和(4)式可得可見，Tu=4Ts/3。若采用極限狀態(tài)為破壞條件，將使承載能力提高4/3倍。(f)16Ⅱ.殘余應(yīng)力＋

扭矩達(dá)到Tu時(shí)，卸去全部荷載，即反向加Me=πd3τs/12，由于卸載時(shí)，t－g為線性關(guān)系(圖a)，所以，，切應(yīng)力的分布規(guī)律如圖b所示，將它與極限狀態(tài)的切應(yīng)力(圖c)疊加，得殘余應(yīng)力，其分布規(guī)律如圖d所示。取dA=2prdr，其扭矩為＝Me=?TuMe=Tu(b)(c)Me=0(d)ts17扭矩T＝0，說明殘余應(yīng)力是自相平衡的。18§2－4梁的極限彎矩·塑性鉸Ⅰ.純彎曲梁的極限彎矩

圖a所示矩形截面純彎曲梁，其材料的s－e關(guān)系如圖b所示。b(b)(a)h/2h/219

(1)一般認(rèn)為smax=ss為梁的破壞條件，把上、下邊緣屈服時(shí)的彎矩稱為屈服彎矩，并用Ms表示圖c，其值為僅梁的上、下邊緣處屈服，梁不會(huì)發(fā)生明顯的屈服變形，彎矩還可以繼續(xù)增加。(c)20(d)(e)

(2)當(dāng)彎矩增加到

時(shí)，梁進(jìn)入彈塑性工作狀態(tài)，根據(jù)平面假設(shè)，e

分布規(guī)律如圖d所示。按照?qǐng)Db所示的s－e關(guān)系，s的分布規(guī)律如圖e所示。即梁的上、下邊緣附近處為塑性變形，其余部分仍為彈性變形。21

(3)當(dāng)彎矩增加到M=Mu時(shí)，整個(gè)橫截面上的應(yīng)力均達(dá)到ss(圖f)，梁進(jìn)入完全塑性狀態(tài)，也稱為極限狀態(tài)，Mu稱為極限彎矩。由分離體(圖g)橫截面上的法向內(nèi)力所組成的合力等于零，即(f)zxy(g)得(2)22式中，At和Ac分別代表受拉區(qū)和受壓區(qū)的面積。由(2)式確定中性軸z的位置。對(duì)于水平形心軸為對(duì)稱軸的截面(例如，矩形等)，水平形心軸即為中性軸。對(duì)于水平軸不是對(duì)稱軸的截面，例如T形截面，中性軸和水平形心軸不重合。隨彎矩的增加，中性軸上移。到M=Mu時(shí)，中性軸位置如圖所示。中性軸上移802080zzc20(中性軸)(形心軸)y23橫截面上法向微內(nèi)力組成極限彎矩，即式中，St、Sc分別表示受拉區(qū)和受壓區(qū)面積對(duì)中性軸z的靜矩，均取正值。令(塑性彎曲截面系數(shù))(4)則(5)24對(duì)于b×h的矩形截面，由(6)和(1)式，得25例2－4求圖示T形截面梁的極限彎矩，ss＝235MPa。26解：1.確定中性軸的位置

設(shè)中性軸z到截面底邊的距離為y。并設(shè)中性軸以下為受拉區(qū)，以上為受壓區(qū)，根據(jù)At=Ac，有2.求St、Sc3.求Mu得274.殘余應(yīng)力當(dāng)矩形截面梁的彎矩達(dá)到Mu時(shí)，卸去