歷年中考數(shù)學(xué)圖形證明題講解

歷年中考數(shù)學(xué)重難點(diǎn)專題講座第二講圖形位置關(guān)系第一部分真題精講【例1】(2010，豐臺(tái)，一模)已知：如圖，AB為⊙O的直徑，⊙O過AC的中點(diǎn)D，DE⊥BC于點(diǎn)E．（1）求證：DE為⊙O的切線；（2）若DE=2，tanC=，求⊙O的直徑．【思路分析】本題和大興的那道圓題如出一轍，只不過這兩個(gè)題的三角形一個(gè)是躺著一個(gè)是立著，讓人懷疑他們是不是串通好了…近年來此類問題特別愛將中點(diǎn)問題放進(jìn)去一并考察，考生一定要對(duì)中點(diǎn)以及中位線所引發(fā)的平行等關(guān)系非常敏感，尤其不要忘記圓心也是直徑的中點(diǎn)這一性質(zhì)。對(duì)于此題來說，自然連接OD，在△ABC中OD就是中位線，平行于BC。所以利用垂直傳遞關(guān)系可證OD⊥DE。至于第二問則重點(diǎn)考察直徑所對(duì)圓周角是90°這一知識(shí)點(diǎn)。利用垂直平分關(guān)系得出△ABC是等腰三角形，從而將求AB轉(zhuǎn)化為求BD，從而將圓問題轉(zhuǎn)化成解直角三角形的問題就可以輕松得解?！窘馕觥浚?）證明：聯(lián)結(jié)OD．∵D為AC中點(diǎn)，O為AB中點(diǎn)，∴OD為△ABC的中位線．∴OD∥BC．∵DE⊥BC，∴∠DEC=90°.∴∠ODE=∠DEC=90°.∴OD⊥DE于點(diǎn)D.∴DE為⊙O的切線．（2）解：聯(lián)結(jié)DB．∵AB為⊙O的直徑，∴∠ADB=90°．∴DB⊥AC．∴∠CDB=90°.∵D為AC中點(diǎn)，∴AB=AC．在Rt△DEC中，∵DE=2，tanC=，∴EC=.（三角函數(shù)的意義要記牢）由勾股定理得：DC=.在Rt△DCB中，BD=．由勾股定理得：BC=5.∴AB=BC=5.∴⊙O的直徑為5.【例2】（2010，海淀，一模）已知：如圖，為的外接圓，為的直徑，作射線，使得平分，過點(diǎn)作于點(diǎn).（1）求證：為的切線；（2）若，，求的半徑.【思路分析】本題是一道典型的用角來證切線的題目。題目中除垂直關(guān)系給定以外，就只給了一條BA平分∠CBF?？吹竭@種條件，就需要大家意識(shí)到應(yīng)該通過角度來證平行。用角度來證平行無外乎也就內(nèi)錯(cuò)角同位角相等，同旁內(nèi)角互補(bǔ)這么幾種。本題中，連OA之后發(fā)現(xiàn)∠ABD=∠ABC，而OAB構(gòu)成一個(gè)等腰三角形從而∠ABO=∠BAO，自然想到傳遞這幾個(gè)角之間的關(guān)系，從而得證。第二問依然是要用角的傳遞，將已知角∠BAD通過等量關(guān)系放在△ABC中，從而達(dá)到計(jì)算直徑或半徑的目的。【解析】證明：連接.∵，∴.∵，∴.∴.在中．∴．【例5】2010，通州，一模如圖，平行四邊形ABCD中，以A為圓心，AB為半徑的圓交AD于F，交BC于G，延長(zhǎng)BA交圓于E.（1）若ED與⊙A相切，試判斷GD與⊙A的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論；（2）在（1）的條件不變的情況下，若GC＝CD＝5，求AD的長(zhǎng).【思路分析】本題雖然是圓和平行四邊形的位置關(guān)系問題，但是依然考察的是如何將所有條件放在最基本的三角形中求解的能力。判斷出DG與圓相切不難，難點(diǎn)在于如何證明。事實(shí)上，除本題以外，門頭溝，石景山和宣武都考察了圓外一點(diǎn)引兩條切線的證明。這類題目最重要是利用圓半徑相等以及兩個(gè)圓心角相等來證明三角形相似。第二問則不難，重點(diǎn)在于如何利用角度的倍分關(guān)系來判斷直角三角形中的特殊角度，從而求解。【解析】（1）結(jié)論：與相切證明：連接∵點(diǎn)、在圓上，∴∵四邊形是平行四邊形，∴∴∵∴∴（做多了就會(huì)發(fā)現(xiàn)，基本此類問題都是要找這一對(duì)角，所以考生要善于把握已知條件往這個(gè)上面引）在和∴∴∵與相切∴∴∴∴與相切（2）∵，四邊形是平行四邊形∴，，∵∴∴∴（很多同學(xué)覺得題中沒有給出特殊角度，于是無從下手，其實(shí)用倍分關(guān)系放在RT三角形中就產(chǎn)生了30°和60°的特殊角）∴∴.【總結(jié)】經(jīng)過以上五道一模真題，我們可以得出這類題型的一般解題思路。要證相切，做輔助線連接圓心與切點(diǎn)自不必說，接下來就要考慮如何將半徑證明為是圓心到切線的距離，即“連半徑，證垂直”。近年來中考基本只要求了這一種證明切線的思路，但是事實(shí)上證明切線有三種方式。為以防遇到，還是希望考生能有所了解。第一種就是課本上所講的先連半徑，再證垂直。這樣的前提是題目中所給條件已經(jīng)暗含了半徑在其中。例如圓外接三角形，或者圓與線段交點(diǎn)這樣的。把握好各種圓的性質(zhì)關(guān)系就可以了。第二種是在題目沒有給出交點(diǎn)狀況的情況下，不能貿(mào)然連接，于是可以先做垂線，然后通過證明垂線等于半徑即可，就是所謂的“先證垂直后證半徑”。例如大家看這樣一道題，如圖△ABC中，AB=AC，點(diǎn)O是BC的中點(diǎn)，與AB切于點(diǎn)D，求證：與AC也相切。該題中圓0與AC是否有公共點(diǎn)是未知的，所以只能通過O做AC的垂線，然后證明這個(gè)距離剛好就是圓半徑。如果考生想當(dāng)然認(rèn)為有一個(gè)交點(diǎn)，然后直接連AC與圓交點(diǎn)這樣證明，就誤入歧途了。第三種是比較棘手的一種，一方面題目中并未給出半徑，也未給出垂直關(guān)系，所以屬于半徑和垂直都要證明的題型。例如看下面一道題：如圖，中，AB=AC，=，O、D將BC三等分，以O(shè)B為圓心畫，求證：與AC相切。本題中并未說明一定過A點(diǎn)，所以需要證明A是切點(diǎn)，同時(shí)還要證明O到AC垂線的垂足和A是重合的，這樣一來就非常麻煩。但是換個(gè)角度想，如果連接AO之后再證明AO=OB，AO⊥AC，那么就非常嚴(yán)密了。（提示：做垂線，那么垂足同時(shí)也是中點(diǎn)，通過數(shù)量關(guān)系將AO，BO都用AB表示出來即可證明相等，而△AOC中利用直角三角形斜邊中線長(zhǎng)是斜邊一半的逆定理可以證出直角。）至于本類題型中第二問的計(jì)算就比較簡(jiǎn)單了，把握好圓周角，圓心角，以及可能出現(xiàn)的弦切角所構(gòu)成的線段，角關(guān)系，同時(shí)將條件放在同一個(gè)RT△當(dāng)中就可以非常方便的求解?？傊?，此類題目難度不會(huì)太大，所以需要大家做題速度快，準(zhǔn)確率高，為后面的代幾綜合體留出空間。第二部分發(fā)散思考【思考1】（2009，海淀，一模）如圖，已知AB為⊙O的弦，C為⊙O上一點(diǎn)，∠C=∠BAD，且BD⊥AB于B.（1）求證：AD是⊙O的切線；（2）若⊙O的半徑為3，AB=4，求AD的長(zhǎng).【思路分析】此題為去年海淀一模題，雖然較為簡(jiǎn)單,但是統(tǒng)計(jì)下來得分率卻很低.因?yàn)轭}目中沒有給出有關(guān)圓心的任何線段，所以就需要考生自己去構(gòu)造。同一段弧的圓周角相等這一性質(zhì)是非常重要的，延長(zhǎng)DB就會(huì)得到一個(gè)和C一樣的圓周角，利用角度關(guān)系，就很容易證明了。第二問考解三角形的計(jì)算問題，利用相等的角建立相等的比例關(guān)系，從而求解?！舅伎?】2009，西城，一模已知：如圖，AB為⊙O的弦，過點(diǎn)O作AB的平行線，交⊙O于點(diǎn)C，直線OC上一點(diǎn)D滿足∠D=∠ACB.（1）判斷直線BD與⊙O的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論；（2）若⊙O的半徑等于4，，求CD的長(zhǎng).【思路分析】本題也是非常典型的通過角度變換來證明90°的題目。重點(diǎn)在于如何利用∠D=∠ACB這個(gè)條件，去將他們放在RT三角形中找出相等，互余等關(guān)系。尤其是將∠OBD拆分成兩個(gè)角去證明和為90°。【思考3】2009，北京已知：如圖，在△ABC中，AB=AC,AE是角平分線，BM平分∠ABC交AE于點(diǎn)M,經(jīng)過B,M兩點(diǎn)的⊙O交BC于點(diǎn)G,交AB于點(diǎn)F,FB恰為⊙O的直徑.（1）求證：AE與⊙O相切；（2）當(dāng)BC=4,cosC=時(shí)，求⊙O的半徑.【思路分析】這是一道去年北京中考的原題，有些同學(xué)可能已經(jīng)做過了。主要考點(diǎn)還是切線判定，等腰三角形性質(zhì)以及解直角三角形，也不會(huì)很難。放這里的原因是讓大家感受一下中考題也無非就是如此出法，和我們前面看到的那些題是一個(gè)意思?！舅伎?】2009，西城，二模如圖，等腰△ABC中，AC=BC，⊙O為△ABC的外接圓，D為上一點(diǎn)，CE⊥AD于E.求證：AE=BD+DE．【思路分析】前面的題目大多是有關(guān)切線問題，但是未必所有的圓問題都和切線有關(guān)，去年西城區(qū)這道模擬題就是無切線問題的代表。此題的關(guān)鍵在于如何在圖形中找到和BD相等的量來達(dá)到轉(zhuǎn)化的目的。如果圖形中所有線段現(xiàn)成的沒有，那么就需要自己去截一段，然后去找相似或者全等三角形中的線段關(guān)系?！舅伎?】.2009，東城，二模如圖，已知⊙O是△ABC的外接圓，AB是⊙O的直徑，D是AB延長(zhǎng)線的一點(diǎn)，AE⊥CD交DC的延長(zhǎng)線于E，CF⊥AB于F，且CE＝CF．求證：DE是⊙O的切線；若AB＝6，BD＝3，求AE和BC的長(zhǎng)．【思路分析】又是一道非常典型的用角證平行的題目。題目中雖未給出AC評(píng)分角EAD這樣的條件，但是通過給定CE=CF，加上有一個(gè)公共邊，那么很容易發(fā)現(xiàn)△EAC和△CAF是全等的。于是問題迎刃而解。第二問中依然要注意找到已知線段的等量線段，并且利用和，差等關(guān)系去轉(zhuǎn)化。第三部分思考題解析【思考1解析】1）證明:如圖,連接AO并延長(zhǎng)交⊙O于點(diǎn)E,連接BE,則∠ABE=90°.∴∠EAB+∠E=90°.∵∠E=∠C,∠C=∠BAD，∴∠EAB+∠BAD=90°.∴AD是⊙O的切線.（2）解：由（1）可知∠ABE=90°.∵AE=2AO=6,AB=4,∴.∵∠E=∠C=∠BAD,BD⊥AB,∴∴∴.【思考2解析】解：（1）直線BD與⊙O相切．證明：如圖3，連結(jié)OB．-∵∠OCB=∠CBD+∠D，∠1=∠D，∴∠2=∠CBD．∵AB∥OC，∴∠2=∠A．∴∠A=∠CBD．∵OB=OC，∴，∵， ∴．∴．∴∠OBD=90°．∴直線BD與⊙O相切．（2）解：∵∠D=∠ACB，，∴．在Rt△OBD中，∠OBD=90°，OB=4，，∴，．∴．【思考3解析】OBGE