直線一級擺LQR控制設計與仿真

內(nèi)蒙古科技大學控制系統(tǒng)仿真課程設計題 目：直線一級擺LQR控制設計與仿真學生姓名：薛敏杰學號：0967112205專業(yè)：測控技術與儀器班級：2009-2指導教師：張勇摘要倒立擺是一個典型的快速、多變量、非線性、強耦合的自然不穩(wěn)定系統(tǒng)，是自動控制理論中的典型試驗設備,也是教學和科研中不可多得的典型物理模型［1］。通過對倒立擺系統(tǒng)的研究,不僅可以解決控制中的理論問題，還能將控制理論所涉及的力學、數(shù)學和電學等多個基礎學科有機地結(jié)合起來，其控制方法和思路對處理一般工業(yè)過程具有廣泛的用途。因此對倒立擺系統(tǒng)的研究具有重要的理論和應用價值，相關的科研成果已經(jīng)應用到航天科技和機器人學等諸多領域。1系統(tǒng)概述一級倒立擺系統(tǒng)由沿著光滑導軌自由運動的小車以及通過轉(zhuǎn)軸與小車連接的擺桿組成。在軌道一端安裝位移傳感器,用來測量小車的位移。在連接處安裝角度傳感器，用來測量擺桿與豎直方向的角度，電機通過傳送帶控制小車沿導軌滑動，使倒立擺穩(wěn)定在豎直位置?？刂颇康氖?小車和擺組成的系統(tǒng)在受到干擾后，小車處于軌道的中心位置，擺桿保持垂直位置。倒立擺主要有兩個方面的用途。第一，作為一個非線性自然不穩(wěn)定系統(tǒng)，倒立擺系統(tǒng)是進行控制理論教學及開展各種控制實驗的理想實驗平臺。對倒立擺系統(tǒng)的研究能有效直觀地反映控制中的許多典型問題:如非線性問題、魯棒性問題、鎮(zhèn)定問題、隨動問題以及跟蹤問題等。第二，由于倒立擺系統(tǒng)具有高階次、不穩(wěn)定、多變量、非線性和強耦合等特性，其作為控制理論研究中的一個嚴格的控制對象，通過對倒立擺的控制，用來檢驗新的控制方法是否有較強的處理非線性和不穩(wěn)定性問題的能力。對倒立擺的控制涉及到控制科學中處理非線性、高階次、強耦合對象的關鍵技術，許多現(xiàn)代控制理論的研究人員一直將它視為研究對象。因而倒立擺被譽為“控制領域中的一顆明珠”。通過對倒立擺的研究不僅可以解決控制中的理論問題，還能將控制理論涉及的三個主要基礎學科一力學、數(shù)學和電學進行有機合應用。同時，其控制方法在軍工、航天、機器人和一般工業(yè)過程領域中都有著廣泛的用途，如機器人行走過程中的平衡控制、海上鉆井平臺的穩(wěn)定控制、火箭發(fā)射中的垂直度控制和衛(wèi)星飛行中的姿態(tài)控制、太空探測器著陸控制和測量儀器展開穩(wěn)定控制等。因此，倒立擺提供了一個從控制理論通往實踐的橋梁。關鍵詞：LQR控制；牛頓一歐拉方法；Matlab目錄TOC\o"1-5"\h\z\o"CurrentDocument"第一章開發(fā)環(huán)境及其系統(tǒng)組成 1\o"CurrentDocument"1.1開發(fā)環(huán)境要求 11.2系統(tǒng)組成 1\o"CurrentDocument"第二章直線倒立擺的建模、LQR設計與仿真 2\o"CurrentDocument"2.1倒立擺的相關基礎知識 22.2基于牛頓一歐拉方法的直線一級倒立擺系統(tǒng)的數(shù)學模型 2\o"CurrentDocument"2.3系統(tǒng)的可控性分析 6\o"CurrentDocument"2.4線性二次最優(yōu)控制LQR的基本原理 82.5LQR控制器設計 92.6系統(tǒng)的仿真 112.7結(jié)論 13\o"CurrentDocument"課設體會 14\o"CurrentDocument"參考文獻 15第一章開發(fā)環(huán)境及其系統(tǒng)組成1.1開發(fā)環(huán)境要求硬件要求：1、 PentiumII、PentiumIII、AMDAthlon或者更高；2、 內(nèi)存至少256MB，推薦512MB以上；3、 至少有一個PCI插槽；軟件要求：1、 MicrosoftWindowsXP；2、 MicrosoftVisualC++6.0；3、 Matlab6.5。1.2系統(tǒng)組成直線倒立擺系統(tǒng)總體結(jié)構如圖1.1所示（以直線一級倒立擺為參考直線倒立擺系統(tǒng)總體結(jié)構如圖1.1所示（以直線一級倒立擺為參考）。圖1.1直線倒立擺系統(tǒng)總體結(jié)構圖直線一級倒立擺系統(tǒng)工作原理：數(shù)據(jù)采集卡（也稱運動控制卡，安裝于計算機機箱的PCI插槽上）采集到旋轉(zhuǎn)編碼器數(shù)據(jù)和電機尾部編碼器數(shù)據(jù)，旋轉(zhuǎn)編碼器與擺桿同軸，電機與小車通過皮帶連接，所以通過計算就可以得到擺桿的角位移以及小車位移，角位移差分得角速度，位移差分可得速度，然后根據(jù)自動控制中的各種理論轉(zhuǎn)化的算法計算出控制量?？刂屏坑捎嬎銠C通過運動控制卡下發(fā)給伺服驅(qū)動器，由驅(qū)動器實現(xiàn)對電機控制，電機尾部編碼器連接到驅(qū)動器形成閉環(huán)，從而可以實現(xiàn)閉環(huán)控制。第二章直線倒立擺的建模、LQR設計與仿真2.1倒立擺的相關基礎知識倒立擺控制系統(tǒng)是一個復雜的、不穩(wěn)定的、非線性系統(tǒng)，是進行控制理論教學及開展各種控制實驗的理想實驗平臺。對倒立擺系統(tǒng)的研究能有效的反映控制中的許多典型問題：如非線性問題、魯棒性問題、鎮(zhèn)定問題、隨動問題以及跟蹤問題等。通過對倒立擺的控制，用來檢驗新的控制方法是否有較強的處理非線性和不穩(wěn)定性問題的能力。同時，其控制方法在軍工、航天、機器人和一般工業(yè)過程領域中都有著廣泛的用途，如機器人行走過程中的平衡控制、火箭發(fā)射中的垂直度控制和衛(wèi)星飛行中的姿態(tài)控制等。最常見的典型倒立擺有三種，它們是直線型倒立擺，平面型倒立擺，環(huán)型倒立擺等，它們是目前國內(nèi)外廣泛采用的模型，這也是研究各種控制算法的基礎。倒立擺的控制問題就是使擺桿盡快地達到一個平衡位置，并且使之沒有大的振蕩和過大的角度和速度。當擺桿到達期望的位置后，系統(tǒng)能克服隨機擾動而保持穩(wěn)定的位置。2.2基于牛頓一歐拉方法的直線一級倒立擺系統(tǒng)的數(shù)學模型在忽略了空氣阻力和各種摩擦之后，可將直線一級倒立擺系統(tǒng)抽象成小車和勻質(zhì)桿組成的系統(tǒng)，如圖2-1所示。圖2-1直線一級倒立擺模型我們可以做以下假設，如表2-1所示。

參數(shù)名稱l擺桿轉(zhuǎn)動軸心到桿質(zhì)心的長度m擺桿的質(zhì)量M小車質(zhì)量g重力加速度0擺桿與豎直向下方向的夾角0擺桿與豎直向上方向的夾角R系統(tǒng)摩擦系數(shù)F作用在系統(tǒng)上的外力X小車的位置I擺動質(zhì)桿的轉(zhuǎn)動慣量表2-1有關系統(tǒng)參數(shù)圖示方向為矢量方向。下面我們對這個系統(tǒng)作受力分析，圖1-2是系統(tǒng)中小車與擺桿的受力分析圖。其中，錯誤！未找到引用源。為小車與擺桿相互作用力的水平，P為小車與垂直方向的分量。而在實際倒立擺系統(tǒng)中檢測和執(zhí)行裝置的正負方向已經(jīng)完全確定，因而矢量方向的定義圖示方向為矢量方向。如圖2-2所示，圖2-2小車及擺桿受力分析應用Newton方法來建立系統(tǒng)的動力學方程過程如下：分析小車水平方向所受的合力，可以的以下方程：TOC\o"1-5"\h\zMx=F-bX-N (1-1)由擺桿水平方向的受力進行分析可以得到下面的等式：N=m-(x+lsin0)dt2 (1-2)即：N=mX+ml0cos0-ml02sin0 (1-3)把這個等式代到式(1-1)中，就得到系統(tǒng)的第一運動方程：(M+m)x+bx+ml9cos9一ml92sin9=F(1-4)為了推出系統(tǒng)的第二運動方程，我們對擺桿垂直方向上的合力進行分析，可以得到卜面的方程:P一mg(M+m)x+bx+ml9cos9一ml92sin9=F(1-4)為了推出系統(tǒng)的第二運動方程，我們對擺桿垂直方向上的合力進行分析，可以得到卜面的方程:P一mg=一ml9sin9-ml9’2cos9力矩平衡方程如下：(1-5)一Plsin。一Nlcos9=I。(1-6)此方程中力矩的方向，由于9=k+$,cos$=-cos9,sin$=-sin9，故等式前有負號。合并這兩個方程約去p和N，由I=1ml2得到第二個運動方程:3tml29+mglsin9=-mlxcos93(1-7)設9=兀+$（$是擺桿與垂直向上方向之間的夾角），假設錯誤！未找到引用源。與1（單位是弧度）相比很小，即$?1，則可以進行近似處理:d9-一cos9=-1，sin9=-$，（ ）2=0用u來代表被控對象的輸入力尸，線性化后兩個運動方程如下:41$-g$=x3(M+m)x+bx一ml$=u(1-8)對式（1-8）進行拉普拉斯變換，得到4—l中(s)s2一g中(s)=X(s)s2<3(M+m)X(s)s2+bX(s)s一ml①(s)s2=U(s)(1-9)由于輸出為角度錯誤！未找到引用源。，求解方程組的第一個方程，可以得到:(1-10)把上式代入方程組的第二個方程，得到:+m)(I+ml2)g①(s)s2+b(I+ml2)g一+ml sml s2(M中(s)s一ml①(s)s2=U(s)(1-11)整理后得傳遞函數(shù):其中ml S2①(s) qU其中ml S2①(s) qU(s) 4bml2 (M+m)mgl bmglq q q(1-12)q=[(M+m)(I+ml2)一(ml)2]設系統(tǒng)狀態(tài)空間方程為：X=AX+Buy=CX+Du整理后得到系統(tǒng)狀態(tài)空間方程：(1-13)0 I 00 0 00 0 00 o M4/(1-14)(1-15)以小車加速度為控制量，擺桿角度為被控對象，此時系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為:(1-16)又實際系統(tǒng)的模型參數(shù)如下表2-2:參數(shù)名稱實際值

l擺桿轉(zhuǎn)動軸心到桿質(zhì)心的長度0.25m擺桿的質(zhì)量0.111kgg重力加速度9.81m/s2R系統(tǒng)摩擦系數(shù)0.1Nl擺桿轉(zhuǎn)動軸心到桿質(zhì)心的長度0.25m擺桿的質(zhì)量0.111kgg重力加速度9.81m/s2R系統(tǒng)摩擦系數(shù)0.1N/m/sec表1-2實際物理參數(shù)將表2.1中的物理參數(shù)代入上面的系統(tǒng)狀態(tài)方程和傳遞函數(shù)中得到系統(tǒng)精確模型。系統(tǒng)狀態(tài)空間方程：x-0100-「x--0-,,x?0000?x0+10000100,一0029.40_0_3-x]u(1-19)系統(tǒng)傳遞函數(shù):y=「x1=-10001x0+-01000100—1————_?0*u(1-20)廣一29.4(1-21)2.3系統(tǒng)的可控性分析對于時間連續(xù)性系統(tǒng):\X=AX+Bu〈頃=CX+DU(1-22)系統(tǒng)完全可控的條件是:當且僅當向量組B,AB,...,An-iB是線性無關的，或錯誤！未找到引用源。維矩陣B；AB；An-iB］的秩為n錯誤！未找到引用源。。系統(tǒng)的輸出可控的條件為：當且僅當矩陣IcB；CAB■.CA2B ；CAn-iB'：D］錯誤！未找到引用源。的秩等于輸出向量錯誤！未找到引用源。的維數(shù)。應用以上原理對系統(tǒng)進行可控性分析：錯誤！未找到引用源。

錯誤！未找到引用源。c錯誤！未找到引用源。c=10000010代入式（1-34）式（1-35），并在MATLAB中計算（程序見程序-1）可得:(1-23)\rank(U)=4(1-23)[rank(V)=2程序-1:求矩陣的秩clear;TOC\o"1-5"\h\zA=[ 0 1 0 0;0 0 0 0;0 0 0 1;0029.40];B=[ 0 1 0 3]';C=[ 1 0 0 0;0 1 0 0];D=[00]';cona=[BA*BA"2*BA”3*B];cona2=[C*BC*A*BC*A"2*BC*A"3*BD];rank(cona)rank(cona2)Uc=ctrb(A,B);Vo=obsv(A,C);rank(Uc)rank(Vo)運行結(jié)果:ans=4ans=2可以看出，系統(tǒng)的狀態(tài)完全可控性矩陣的秩等于系統(tǒng)的狀態(tài)變量的維數(shù)，系統(tǒng)的輸出完全可控性矩陣的秩等于系統(tǒng)輸出向量錯誤！未找到引用源。的維數(shù)，所以系統(tǒng)可控，因此可以對系統(tǒng)進行控制器的設計，使系統(tǒng)穩(wěn)定。2.4線性二次最優(yōu)控制LQR的基本原理LQR(linearquadraticregulator)即線性二次型調(diào)節(jié)器，其對象是現(xiàn)代控制理論中以狀態(tài)空間形式給出的線性系統(tǒng)，而目標函數(shù)為對象狀態(tài)和控制輸入的二次型函數(shù)。LQR最優(yōu)設計指設計出的狀態(tài)反饋控制器K要使二次型目標函數(shù)J取最小值，而K由權矩陣Q和R唯一決定，故此Q、R的選擇尤為重要。另外LQR理論是現(xiàn)代控制理論中發(fā)展最早也最為成熟的一種狀態(tài)設計法，且LQR可得到狀態(tài)反饋的最優(yōu)控制規(guī)律，易于構成閉環(huán)最優(yōu)控制。前面我們已經(jīng)得到了直線一級倒立擺系統(tǒng)的比較精確的動力學模型，并對系統(tǒng)的穩(wěn)定性與可控性進行了分析，下面我們針對直線一級倒立擺系統(tǒng)應用LQR法設計與調(diào)節(jié)控制器，控制擺桿保持豎直向上平衡的同時，跟蹤小車的位置。最優(yōu)控制研究的主要問題是：根據(jù)已建立的被控對象的數(shù)學模型，選擇一個容許控制律，使得被控對象按照預定的要求運行，并使給定的某一性能指標達到極小值(極大值)。從數(shù)學的觀點來看，最優(yōu)控制研究的問題是求解一類帶有約束條件的泛函極值問題，屬于變分學的范疇。然而，經(jīng)典的變分理論只能解決控制無約束，即容許控制屬于開集的一類最優(yōu)控制問題，而工程實踐中遇的多為控制有約束，即容許控制屬于閉集的一類最優(yōu)控制問題。為了滿足工程實踐的需求，20世紀50年代中期，出現(xiàn)了現(xiàn)代變分理論，其中最常用的方法是動態(tài)規(guī)劃和極小值原理。在最優(yōu)控制系統(tǒng)中，由于受控對象是一個動態(tài)系統(tǒng)，每個變量都是時間的函數(shù)，所以是動態(tài)的最優(yōu)化問題。在動態(tài)最優(yōu)化問題中，目標函數(shù)不再是普通函數(shù)，而是時間函

數(shù)的函數(shù)，稱為泛函數(shù)，簡稱泛函。如果系統(tǒng)是線性的，性能泛函是狀態(tài)變量（或/和）控制變量的二次型函數(shù)的積分，則這樣的最優(yōu)控制問題稱為線性二次型最優(yōu)控制問題，簡稱線性二次型。這種最優(yōu)控制的解最簡單，應用十分廣泛，是現(xiàn)代控制理論中最核心的成果之一。線性二次型問題解出的控制規(guī)律狀態(tài)變量的線性函數(shù)，因而通過狀態(tài)反饋便可實現(xiàn)閉環(huán)控制，這在工程上具有重要的意義。2.5LQR控制器設計在前面的基本理論分析中，我們已經(jīng)得到了直線一級倒立擺系統(tǒng)的比較精確的動力學模型，下面主要針對應用LQR法對控制器的設計與調(diào)節(jié)做論述與分析。設控制擺桿保持豎直向上平衡的同時，跟蹤小車的位置。而直線一級倒立擺系統(tǒng)的系統(tǒng)狀態(tài)方程為：00-「X00-「X[「0-00X10+01029.40_0_31000「X1=「10001X+「010001000Xy=u(1-27)應用線性反饋控制器，其中錯誤！未找到引用源。是施加在小車上的階躍輸入，四個狀態(tài)量二’二’爪'分別代表小車的位移、小車的加速度、擺桿角度、擺桿角速度，輸出錯誤！未找到引用源。包括小車的位置和擺桿的角度。設計控制器使得當給系統(tǒng)施加一個階躍輸入時，擺桿會擺動，然后仍然回到垂直位置，小車也會到達新的位置。假設全狀態(tài)反饋可以實現(xiàn)（四個狀態(tài)量都可測），找出確定反饋控制規(guī)律的向量錯誤！未找到引用源。。在Matlab中得到最優(yōu)控制器的對應錯誤！未找到引用源。。lqr函數(shù)允許選擇兩個參數(shù)一一錯誤！未找到引用源。和錯誤！未找到引用源。，這兩個參數(shù)用來平衡輸入量和狀態(tài)量的權重。最簡單的情況是假設錯誤！未找到引用源。，錯誤！未找到引用源。當然也可以通過改變錯誤！未找到引用源。矩陣中的非零元素來調(diào)節(jié)控制器以得到期望的響應。TOC\o"1-5"\h\z0 10 00 0 0 00 0 10(1-28)其中，Q“代表小車的位置的權重，而％3是擺桿角度的權重。輸入的權重R是1。下面來求K錯誤！未找到引用源。，Matlab語句是K=lqr(A,B,Q,R)。若是令％=1000，錯誤！未找到引用源。求得K=[-31.623-20.15172.71813.155] (1-29)程序-2：求解較優(yōu)的狀態(tài)反饋控制器向量錯誤！未找到引用源。clear;TOC\o"1-5"\h\zA=[ 0 1 0 0;0 0 0 0;0 0 0 1;0 0 29.4 0];B=[ 0 1 0 3]';C=[ 1 0 0 0;0 0 1 0];D=[00]';Q11=1000;Q33=:70;Q=[Q11000;0000;00Q330;0000];R=1;K=lqr(A,B,Q,R)運行結(jié)果：K=-31.623-20.15172.71813.1552.6系統(tǒng)的仿真在具體操作實物之前，先對所設計控制器進行仿真操作，以便驗證所設計的控制器的實際控制效果，也可以防止在沒有進行仿真前直接操作倒立擺時發(fā)生一些不必要的事故或是造成不必要的人物損傷。在Matlab的Simulink實時控制工具箱建立以下仿真模塊如圖2-3:LORConlrollerLQRScop$2UnearlStage￥LORConlrollerLQRScop$2UnearlStage￥=Ax*BuV=CxfrDup.01-0;0;0J圖2-3仿真模型圖雙擊“LinearlStage”模塊打開直線一級倒立擺的模型設置窗口如下:圖2-4系統(tǒng)狀態(tài)空間模型輸入窗口把參數(shù)A,B,C,D的值設置為實際系統(tǒng)模型的值。雙擊“LQR”模塊打開LQR控制器參數(shù)的設置窗口：圖2-5反饋增益矩陣輸入窗口把上面計算得到的反饋增益矩陣K輸入到Gain中。運行結(jié)果如圖2-4所示：圖2-4仿真結(jié)果圖由圖2-4可以看出，系統(tǒng)能較好的跟蹤階躍信號，擺桿的超調(diào)量足夠小，穩(wěn)態(tài)誤差、上升時間與調(diào)整時間也符合設計指標要求。這時如果再增大Q,系統(tǒng)的響應還會有所改善,但是在保證Q足夠小并兼顧其它響應指標時，系統(tǒng)響應已經(jīng)能夠滿足要求了。2.7結(jié)論該文應用牛頓-歐拉方法建立了直線一級倒立擺的數(shù)學模型，并設計了LQR控制器。用MATLAB語言實現(xiàn)了控制系統(tǒng)的仿真，得到了直線一級倒立擺各狀態(tài)變量及控制量的響應曲線，通過仿真，說明所設計控制器的有效性；利用固高倒立擺系統(tǒng)和計算機實現(xiàn)了直線一級倒立擺的實物系統(tǒng)的控制，給出了直線一級倒立擺穩(wěn)定時和受干擾時各狀態(tài)變量的響應曲線和控制量曲線，在系統(tǒng)受到干擾時，小車能迅速調(diào)整，使整個系統(tǒng)在很短的時間內(nèi)恢復平衡，表明設計的LQR控制器能夠?qū)χ本€一級倒立擺系統(tǒng)進行有效的實時控制。課設體會通過為期一周的仿真課程設計，在張老師的指導與講解下，我們學習了Matla仿真設計，認識并了解了什么是LQR（