專題03二次根式的運(yùn)算（4個(gè)知識點(diǎn)11種題型2種中考考法）

專題03二次根式的運(yùn)算（4個(gè)知識點(diǎn)11種題型2種中考考法）【目錄】倍速學(xué)習(xí)四種方法【方法一】脈絡(luò)梳理法知識點(diǎn)1：二次根式的加法和減法知識點(diǎn)2：二次根式的乘法和除法知識點(diǎn)3：分母有理化知識點(diǎn)4：有理化因式【方法二】實(shí)例探索法題型1：二次根式的加法和減法題型2：二次根式加法和減法的應(yīng)用題型3：二次根式的乘法題型4：二次根式的除法題型5：分母有理化題型6：解含二次根式的方程或不等式題型7：有理化因式題型8：二次根式的混合運(yùn)算題型9：二次根式的應(yīng)用題型10：分母有理化與完全平方公式綜合題型11：利用分母有理化比較二次根式的大小【方法三】仿真實(shí)戰(zhàn)法考法1：二次根式的加減法考法2：二次根式的混合運(yùn)算【方法四】成果評定法【倍速學(xué)習(xí)四種方法】【方法一】脈絡(luò)梳理法知識點(diǎn)1：二次根式的加法和減法（1）法則：二次根式相加減，先把各個(gè)二次根式化成最簡二次根式，再把被開方數(shù)相同的二次根式進(jìn)行合并，合并方法為系數(shù)相加減，根式不變．（2）步驟：①如果有括號，根據(jù)去括號法則去掉括號．②把不是最簡二次根式的二次根式進(jìn)行化簡．③合并被開方數(shù)相同的二次根式．（3）合并被開方數(shù)相同的二次根式的方法：二次根式化成最簡二次根式，如果被開方數(shù)相同則可以進(jìn)行合并．合并時(shí)，只合并根式外的因式，即系數(shù)相加減，被開方數(shù)和根指數(shù)不變．知識點(diǎn)2：二次根式的乘法和除法（1）積的算術(shù)平方根性質(zhì)：＝?（a≥0，b≥0）（2）二次根式的乘法法則：?＝（a≥0，b≥0）（3）商的算術(shù)平方根的性質(zhì)：＝（a≥0，b＞0）（4）二次根式的除法法則：＝（a≥0，b＞0）規(guī)律方法總結(jié)：在使用性質(zhì)?＝（a≥0，b≥0）時(shí)一定要注意a≥0，b≥0的條件限制，如果a＜0，b＜0，使用該性質(zhì)會(huì)使二次根式無意義，如（）×（）≠﹣4×﹣9；同樣的在使用二次根式的乘法法則，商的算術(shù)平方根和二次根式的除法運(yùn)算也是如此．知識點(diǎn)3：分母有理化分母有理化是指把分母中的根號化去．分母有理化常常是乘二次根式本身（分母只有一項(xiàng)）或與原分母組成平方差公式．例如：①＝＝；②＝＝．知識點(diǎn)4：有理化因式兩個(gè)含二次根式的代數(shù)式相乘時(shí)，它們的積不含二次根式，這樣的兩個(gè)代數(shù)式成互為有理化因式．一個(gè)二次根式的有理化因式不止一個(gè)．例如：﹣的有理化因式可以是+，也可以是a（+），這里的a可以是任意有理數(shù)．【方法二】實(shí)例探索法題型1：二次根式的加法和減法1．（2022秋?嘉定區(qū)期中）計(jì)算：+﹣m．【解答】解：+﹣m＝+×m﹣m×＝+﹣5＝﹣．2．（2022秋?寶山區(qū)期中）計(jì)算：（6﹣）﹣（+）．【解答】解：原式＝6×﹣﹣﹣＝6×﹣﹣﹣＝﹣﹣﹣＝3﹣．3．（2022秋?寶山區(qū)期中）計(jì)算：﹣（﹣）．【解答】解：原式＝×3﹣×（2﹣4）＝﹣×（﹣2）＝+＝2．4．（2022秋?嘉定區(qū)校級月考）計(jì)算：+﹣2x2．【解答】解：原式＝+x﹣2x＝x﹣2x＝﹣x．5．（2022秋?虹口區(qū)校級月考）計(jì)算：﹣．【解答】解：原式＝2×（﹣）﹣（）＝﹣+＝﹣．6．（2022秋?嘉定區(qū)月考）計(jì)算：．【解答】解：原式＝＝+﹣＝．7．（2022秋?徐匯區(qū)校級期中）計(jì)算：（x＞0）．【解答】解：原式＝?2+2×﹣x?+2×＝3+﹣+＝+．8．（2022秋?徐匯區(qū)校級期末）計(jì)算：2+﹣12．【解答】解：2+﹣12＝4+5﹣4＝5．9．（2022秋?浦東新區(qū)校級月考）計(jì)算：．【解答】解：＝?3﹣2a?+8?＝．10．（2022秋?寶山區(qū)期中）計(jì)算：4mn﹣（﹣m）（n＞0）．【解答】解：4mn﹣（﹣m）＝2mn﹣mn+mn＝mn．題型2：二次根式加法和減法的應(yīng)用12．（2022秋?虹口區(qū)校級期中）化簡：+（5≤x≤8）＝．【解答】解：原式＝+＝+，∵5≤x≤8，∴1≤x﹣4≤4，6≤x+1≤9，∴≥1，≤3，∴原式＝﹣1+3﹣＝﹣+2．故答案為：﹣+2．13．（2022秋?虹口區(qū)校級月考）計(jì)算：＝．【解答】解：設(shè)＝（x＞y＞z＞0），兩邊平方得：13+2+2+2＝x+y+z+2+2+2，比較系數(shù)得：x+y+z＝13①，xy＝5②，xz＝7③，yz＝35④，由②得：x＝，代入③得：＝7，即：z＝，代入④得：y2＝52，∴y＝5，∴x＝1，z＝7，∴原式＝1+．故答案為：1+．14.解不等式：．【答案】．【解析】由，得：，即，所以．15.解方程：．【答案】．【解析】由，得：，則，化簡，得：．16．（2022秋?靜安區(qū)校級期中）已知y＝﹣，化簡+﹣．【解答】解：∵y＝﹣＜0，∴y＜0，x﹣3≤0，∴x≤3，∴+﹣＝+|y﹣1|﹣|x﹣3|＝|x﹣4|+|y﹣1|﹣|x﹣3|＝4﹣x+1﹣y﹣3+x＝2﹣y．題型3：二次根式的乘法17．（2022秋·上海青浦·八年級?？计谥校┯?jì)算：________．【答案】【詳解】解：，∵，∴，18．（2022秋·上海寶山·八年級上海市泗塘中學(xué)校考期中）計(jì)算：___________．【答案】【詳解】解：由題意可得：，19．（2022秋·上?！ぐ四昙墝ｎ}練習(xí)）計(jì)算：．【答案】【詳解】20．（2021秋·上海浦東新·八年級上海市建平中學(xué)西校?？茧A段練習(xí)）計(jì)算：．【答案】【詳解】解：．21．（2021秋·上海·八年級期中）計(jì)算：【答案】【詳解】解：原式

題型4：二次根式的除法22．（2022秋·上海奉賢·八年級校聯(lián)考期中）計(jì)算：______．【答案】【詳解】解：．23．（2022秋·上?！ぐ四昙壗y(tǒng)考期中）計(jì)算：______．【答案】【詳解】解：，24．（2022秋·上?！ぐ四昙壭？茧A段練習(xí)）計(jì)算：________．【答案】【詳解】解：．25．（2022秋·上海·八年級?？茧A段練習(xí)）_______．【答案】【詳解】解：，26．（2021秋·上?！ぐ四昙壠谥校┯?jì)算：【答案】【詳解】解：＝＝＝＝．題型5：分母有理化27．（2022秋?長寧區(qū)校級期中）分母有理化：＝．【解答】解：原式＝＝﹣3﹣，故答案為：﹣3﹣．28．（2022秋·上海黃浦·八年級上海外國語大學(xué)附屬大境初級中學(xué)?？计谥校┓帜赣欣砘篲_____．【答案】【分析】根據(jù)，則可得原式的倒數(shù)為，繼而化簡得出，則可得原式為，然后分子分母同乘以即可得出答案．【詳解】解：，∴原式的倒數(shù)，∴原式；題型6：解含二次根式的方程或不等式29．（2022秋?奉賢區(qū)校級期中）不等式x＞2+2x的解集是．【解答】解：x＞2+2x，x﹣2x＞2，x＜，x＜﹣2﹣4；故答案為：x＜﹣2﹣4．30．（2022秋·上海普陀·八年級?？计谥校┎坏仁降慕饧莀___________．【答案】【詳解】解：，∴，即，∴，即．31.解關(guān)于x的不等式：（1）； （2）．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）由， 得：，則，所以， 解得：；（2）由， 得：， 則， 所以．32.解關(guān)于x的方程：（1）； （2）．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）由，得：，即，所以原方程的解為：；（2）由，得， 所以原方程的解為：．題型7：有理化因式33．（2022秋?奉賢區(qū)校級期中）的一個(gè)有理化因式是（）A． B． C． D．【解答】解：A、根據(jù)二次根式的乘法法則，不是的一個(gè)有理化因式，故A不符合題意；B、?＝2?＝2（x﹣y），是的一個(gè)有理化因式，故B符合題意；C、根據(jù)二次根式的乘法法則，+不是的一個(gè)有理化因式，故B不符合題意；D、根據(jù)二次根式的乘法法則，﹣不是的一個(gè)有理化因式，故B不符合題意．故選：B．34．（2022秋?虹口區(qū)校級期中）寫出a+b的一個(gè)有理化因式：．【解答】解：∵（a+b）（a﹣b）＝（a）2﹣（b）2＝a2x﹣b2y，∴a+b的一個(gè)有理化因式：a﹣b，故答案為：a﹣b．題型8：二次根式的混合運(yùn)算35．（2022秋·上海普陀·八年級?？计谥校┯?jì)算：【答案】．【詳解】解：．36．（2022秋·上海松江·八年級?？计谥校┯?jì)算：【答案】【詳解】解：．37．（2022秋·上海普陀·八年級校考期中）計(jì)算：【答案】【詳解】解：．38．（2022秋·上海普陀·八年級?？计谥校┗喍胃剑海敬鸢浮俊驹斀狻拷猓涸疆?dāng)時(shí)，原式，當(dāng)時(shí)，原式．39．（2022秋·上海·八年級?？茧A段練習(xí)）計(jì)算：【答案】【詳解】解：，由二次根式被開方式非負(fù)可知，即，，．40．（2022秋·上?！ぐ四昙壣虾Ｊ悬S浦大同初級中學(xué)校考階段練習(xí)）計(jì)算：【答案】【詳解】解：41．（2021秋·上?！ぐ四昙壭？茧A段練習(xí)）【答案】【詳解】解：．42．（2022秋·上海奉賢·八年級校聯(lián)考期中）計(jì)算：．【答案】【詳解】解：．43．（2022秋·上?！ぐ四昙壣虾Ｊ羞M(jìn)才實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？计谥校┗啞敬鸢浮俊驹斀狻拷猓?===．44．（2022秋·上海黃浦·八年級上海外國語大學(xué)附屬大境初級中學(xué)校考期中）計(jì)算：．【答案】【詳解】解：，根據(jù)與得：，∴原式45．（2021秋·上?！ぐ四昙壭？茧A段練習(xí)）已知非零實(shí)數(shù)a，b滿足，求代數(shù)式的值．【答案】3【詳解】解：非零實(shí)數(shù)a，b滿足，由題意可知，，，，，，．題型9：二次根式的應(yīng)用46．（2021秋·上海普陀·八年級?？计谥校┑妊切斡袃蓷l邊長分別為2cm、3cm，它的周長為_____．【答案】/cm【詳解】解：當(dāng)2為腰時(shí)，三邊為2，2，3，因?yàn)?+2＜3，不能構(gòu)成三角形，當(dāng)3為腰時(shí)，三邊為3，3，2，符合三角形三邊關(guān)系定理，周長為：2+3+3＝（2+6）（cm）．故答案為：（2+6）cm．47．（2022秋·上海寶山·八年級統(tǒng)考期中）我國南宋時(shí)期數(shù)學(xué)家秦九韶曾提出利用三角形的三邊求面積的公式，即三角形的三邊長為、、，記，那么其面積．如果某個(gè)三角形的三邊長分別為，，時(shí)，其面積介于整數(shù)和之間，那么的值是______．【答案】【詳解】∵三角形的三邊長為、、，記，面積，∴當(dāng)三角形的三邊長分別為，，時(shí)，，∴面積，∵，，∴，∴，∵介于整數(shù)和之間，∴．故答案為：．48．（2022秋·上海·八年級專題練習(xí)）已知三角形三邊之長能求出三角形的面積嗎？海倫公式告訴你計(jì)算的方法是：，其中表示三角形的面積，分別表示三邊之長，表示周長之半，即．我國宋代數(shù)學(xué)家秦九韶提出的“三斜求積術(shù)”與這個(gè)公式基本一致，所以這個(gè)公式也叫“海倫-秦九韶公式”．請你利用公式解答下列問題．（1）在中，已知，，，求的面積；（2）計(jì)算（1）中的邊上的高．【答案】（1）；（2）【詳解】解：（1），所以，答：的面積是．（2）邊上的高，答：邊的高是．故答案為（1）；（2）．題型10：分母有理化與完全平方公式綜合49．（2022秋?寶山區(qū)校級期中）已知：x＝，y＝，求x2+xy+y2的平方根．【解答】解：∵x＝＝（）2＝5+2，y＝＝5﹣2，∴x+y＝10，xy＝1，∴x2+xy+y2＝（x+y）2﹣xy＝102﹣1＝100﹣1＝99．∴x2+xy+y2的平方根為±3．50．（2022秋·上海虹口·八年級?？计谥校┮阎蟮闹担敬鸢浮俊驹斀狻拷猓骸?，，∴．51．已知，，求的值．【答案】．【解析】∵，，∴．∴．52.已知，求代數(shù)式的值．【答案】．【解析】∵，，∴，∴．題型11：利用分母有理化比較二次根式的大小53.不求方根的值比較與的大?。敬鸢浮浚窘馕觥俊?，，又，∴．【方法三】仿真實(shí)戰(zhàn)法考法1：二次根式的加減法1．（2018?上海）下列計(jì)算﹣的結(jié)果是（）A．4 B．3 C．2 D．【解答】解：﹣＝3﹣＝2．故選：C．考法2：二次根式的混合運(yùn)算2．（2017?上海）計(jì)算：+（﹣1）2﹣+（）-1．【解答】解：原式＝3+2﹣2+1﹣3+2＝+2．【方法四】成功評定法一、單選題1．（2022秋·上海靜安·八年級新中初級中學(xué)?？计谥校┫铝姓f法中，正確的是（

）A．與互為倒數(shù)B．若則C．若與是同類二次根式，則與3不一定相等D．若，則【答案】C【分析】根據(jù)二次根式的性質(zhì)及運(yùn)算法則計(jì)算判斷即可．【詳解】A.，不是互為倒數(shù)，選項(xiàng)錯(cuò)誤；B.若，由于，則，選項(xiàng)錯(cuò)誤；C.若與是同類二次根式，則與3不一定相等，選項(xiàng)正確；D.由可得，結(jié)合可得，，則，選項(xiàng)錯(cuò)誤；故選：C【點(diǎn)睛】本題考查了二次根式的混合運(yùn)算，熟記相關(guān)概念是解題是解題的關(guān)鍵．2．（2022秋·上海·八年級專題練習(xí)）若，，，則a，b，c的大小關(guān)系是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用平方差公式計(jì)算a，利用完全平方公式和二次根式的化簡求出b，利用二次根式大小的比較辦法，比較b、c得結(jié)論．【詳解】解：a=2019×2021-2019×2020=（2020-1）（2020+1）-（2020-1）×2020=20202-1-20202+2020=2019；∵20222-4×2021=（2021+1）2-4×2021=20212+2×2021+1-4×2021=20212-2×2021+1=（2021-1）2=20202，∴b=2020；∵，∴c＞b＞a．故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了完全平方公式、平方差公式、二次根式的化簡、二次根式大小的比較等知識點(diǎn)．變形2019×2021-2019×2020、，利用完全平方公式計(jì)算出其值，是解決本題的關(guān)鍵．3．（2021秋·上海普陀·八年級?？计谥校┫铝薪Y(jié)論正確的是（）A．的有理化因式可以是B．C．不等式（2﹣）x＞1的解集是x＞﹣（2+）D．是最簡二次根式【答案】D【分析】根據(jù)分母有理化，最簡二次根式的定義，不等式的解法以及二次根式的性質(zhì)即可求出答案．【詳解】解：A、有理化因式可以是，故A不符合題意．B、原式＝|1﹣|＝﹣1，故B不符合題意．C、∵（2﹣）x＞1，∴x＜，∴x＜﹣2﹣，故C不符合題意．D、是最簡二次根式，故D符合題意．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了分母有理化，解一元一次不等式以及最簡二次根式，本題屬于基礎(chǔ)題型．4．（2021秋·上海普陀·八年級校考期中）已知a＝，b＝2+，則a，b的關(guān)系是（）A．相等 B．互為相反數(shù)C．互為倒數(shù) D．互為有理化因式【答案】A【分析】求出a與b的值即可求出答案．【詳解】解：∵a＝＝+2，b＝2+，∴a＝b，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了分母有理化，解題的關(guān)鍵是求出a與b的值，本題屬于基礎(chǔ)題型．5．（2021秋·上海·八年級期中）“分母有理化”是我們常用的一種化簡的方法，如：，除此之外，我們也可以用平方之后再開方的方式來化簡一些有特點(diǎn)的無理數(shù)，如：對于，設(shè)，易知，故，由，解得，即．根據(jù)以上方法，化簡后的結(jié)果為（）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)題中給的方法分別對和進(jìn)行化簡，然后再進(jìn)行合并即可.【詳解】設(shè)，且，∴，∴，∴，∴，∵，∴原式，故選D．【點(diǎn)睛】本題考查了二次根式的混合運(yùn)算，涉及了分母有理化等方法，弄清題意，理解和掌握題中介紹的方法是解題的關(guān)鍵.6．（2022秋·上海·八年級專題練習(xí)）已知m、n是正整數(shù)，若+是整數(shù)，則滿足條件的有序數(shù)對（m，n）為（）A．（2，5） B．（8，20） C．（2，5），（8，20） D．以上都不是【答案】C【分析】根據(jù)二次根式的性質(zhì)分析即可得出答案．【詳解】解：∵+是整數(shù)，m、n是正整數(shù)，∴m=2，n=5或m=8，n=20，當(dāng)m=2，n=5時(shí)，原式=2是整數(shù)；當(dāng)m=8，n=20時(shí)，原式=1是整數(shù)；即滿足條件的有序數(shù)對（m，n）為（2，5）或（8，20），故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了二次根式的性質(zhì)和二次根式的運(yùn)算，估算無理數(shù)的大小的應(yīng)用，題目比較好，有一定的難度．二、填空題7．（2022秋·上海青浦·八年級?？计谥校┯?jì)算：．【答案】【分析】先根據(jù)二次根式有意義的條件判斷x和y的符號，根據(jù)二次根式的除法法則計(jì)算即可．【詳解】解：由題意可知，，，∴，，原式故答案為：．【點(diǎn)睛】此題考查二次根式的除法運(yùn)算，解題關(guān)鍵在于掌握運(yùn)算法則．8．（2021秋·上海·八年級?？计谥校┯?jì)算：；．【答案】【分析】（1）先將二次根式化簡，然后合并同類項(xiàng)即可；（2）根據(jù)二次根式的除法運(yùn)算進(jìn)行計(jì)算求解即可．【詳解】解：（1），故答案為：；（2），故答案為：．【點(diǎn)睛】此題考查了二次根式的化簡與除法運(yùn)算，熟練掌握二次根式的化簡與二次根式的運(yùn)算法則是解答此題的關(guān)鍵．9．（2022秋·上海·八年級?？计谥校┑挠欣砘蚴綖椋敬鸢浮浚ù鸢覆晃ㄒ唬痉治觥扛鶕?jù)有理化因式的定義求解即可．【詳解】解：∵．∴的有理化因式為．故答案為：（答案不唯一）．【點(diǎn)睛】本題考查了有理化因式，如果兩個(gè)含有二次根式的非零代數(shù)式相乘，它們的積不含有二次根式，就說這兩個(gè)非零代數(shù)式互為有理化因式．單項(xiàng)二次根式的有理化因式是它的同類二次根式；其他代數(shù)式的有理化因式可用平方差公式來進(jìn)行分步確定．10．（2023·上?！ぐ四昙壖倨谧鳂I(yè)）比較大?。海ㄌ睢啊?、“”或“”）．【答案】【分析】運(yùn)用平方法來比較二次根式的大小即可．【詳解】解：，∵，∴，∴，∴，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了比較二次根式大小的方法，兩邊同時(shí)平方，轉(zhuǎn)化為比較冪的大小，此法的依據(jù)是：兩個(gè)正數(shù)的平方是正數(shù)，平方大的數(shù)就大；兩個(gè)負(fù)數(shù)的平方也是正數(shù)，平方大的數(shù)反而小．11．（2022秋·上海徐匯·八年級上海市徐匯中學(xué)?？计谥校┮阎?jiǎng)t的倒數(shù)為．【答案】【分析】根據(jù)分母有理化，倒數(shù)的定義即乘積為1的兩個(gè)數(shù)互為倒數(shù)，計(jì)算即可．【詳解】∵，∴的倒數(shù)為，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了倒數(shù)，分母有理化，熟練掌握定義，靈活進(jìn)行分母有理化是解題的關(guān)鍵．12．（2022秋·上海奉賢·八年級校考期中）計(jì)算：=．【答案】/【分析】根據(jù)完全平方公式展開，然后利用根式的乘方和乘法法則運(yùn)算即可．【詳解】故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了完全平方公式與根式的混合運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是熟練運(yùn)用乘法公式．13．（2022秋·上海普陀·八年級?？计谥校┯?jì)算：．【答案】【分析】根據(jù)二次根式的混合運(yùn)算進(jìn)行計(jì)算即可求解．【詳解】解：，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了二次根式的乘除法混合運(yùn)算，掌握二次根式的運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．14．（2020秋·上海浦東新·八年級?？计谥校┎坏仁降慕饧牵敬鸢浮縳＜．【分析】首先判斷出＜0，再根據(jù)解一元一次不等式的步驟得x＜，最后進(jìn)行分母有理化即可得到結(jié)果．【詳解】解：∵＜0，解不等式得，x＜，∴x＜，故答案為：x＜．【點(diǎn)睛】此題主要考查了二次根式的應(yīng)用，注意要掌握分母有理化的方法．15．（2023秋·上海徐匯·八年級上海市徐匯中學(xué)?？计谀M足等式的正整數(shù)對的個(gè)數(shù)有個(gè)【答案】8【分析】先將等式變?yōu)椋贸?，從而得出，寫出正整?shù)對即可得出答案．【詳解】解：等式可變?yōu)椋?，∵，∴，即，∴，則正整數(shù)對可以是：，，，，，，，，∴滿足已知等式的正整數(shù)對共有8個(gè)．故答案為：8．【點(diǎn)睛】本題主要考查了因式分解的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是的得到．16．（2022秋·上海靜安·八年級上海市市西中學(xué)?？计谥校┍容^大?。海敬鸢浮浚尽痉治觥肯惹蟪雠c的倒數(shù)，然后進(jìn)行大小比較．【詳解】∵而，∴．故答案為：＞．【點(diǎn)睛】本題考查了實(shí)數(shù)大小比較：利用平方法或倒數(shù)法進(jìn)行比較大?。?7．（2021秋·上?！ぐ四昙壠谥校┮阎猘+b＝﹣8，ab＝6，則的值為．【答案】【分析】先根據(jù)，判斷出，，再將原式化簡成進(jìn)行求解．【詳解】解：∵，，∴，，∴．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查二次根式的化簡求值，解題的關(guān)鍵是掌握二次根式的性質(zhì)進(jìn)行化簡求值．18．（2022秋·上海徐匯·八年級上海市徐匯中學(xué)?？计谥校┰O(shè)為的小數(shù)部分，為的小數(shù)部分，則值為．【答案】【分析】運(yùn)用完全平方公式化簡，后估算法確定整數(shù)部分和小數(shù)部分，最后分母有理化計(jì)算即可．【詳解】∵，且，為的小數(shù)部分，∴；∵，且，為的小數(shù)部分，∴；∴，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了完全平方公式，二次根式的性質(zhì)，無理數(shù)的估算，分母有理化，二次根式的加減運(yùn)算，熟練掌握完全平方公式，二次根式的性質(zhì)，無理數(shù)的估算，分母有理化是解題的關(guān)鍵．三、解答題19．（2022秋·上海奉賢·八年級校考期中）計(jì)算：．【答案】【分析】先把各二次根式化為最簡二次根式，然后合并同類二次根式即可．【詳解】解：．【點(diǎn)睛】本題考查二次根式的加減運(yùn)算，二次根式的性質(zhì)．掌握二次根式的性質(zhì)和二次根加減運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．20．（2022秋·上海奉賢·八年級?？计谥校┯?jì)算：．【答案】【分析】直接根據(jù)二次根式乘除混合運(yùn)算的法則進(jìn)行計(jì)算即可．【詳解】解：．【點(diǎn)睛】本題考查了二次根式的乘除混合運(yùn)算，熟練掌握二次根式乘除混合運(yùn)算的法則是解題的關(guān)鍵．21．（2022秋·上海青浦·八年級?？计谥校┯?jì)算：【答案】【分析】先根據(jù)二次根式的性質(zhì)，完全平方公式和分母有理化化簡，再計(jì)算加減即可．【詳解】解：原式【點(diǎn)睛】本題考查二次根式的混合運(yùn)算，掌握分母有理化和二次根式混合運(yùn)算的法則是解題的關(guān)鍵．22．（2022秋·上海靜安·八年級新中初級中學(xué)?？计谥校┯?jì)算：【答案】【分析】先化簡，再合并同類二次根式即可．【詳解】原式．【點(diǎn)睛】本題考查二次根式的化簡及加減運(yùn)算，零次冪，解題的關(guān)鍵是根據(jù)二次根式的性質(zhì)進(jìn)行化簡．23．（2022秋·上海徐匯·八年級上海市徐匯中學(xué)?？计谥校┯?jì)算：【答案】【分析】根據(jù)二次根式的乘除混合計(jì)算法則求解即可．【詳解】解：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次根式的乘除混合計(jì)算，熟知相關(guān)計(jì)算法則是解題的關(guān)鍵．24．（2022秋·上海徐匯·八年級上海市南洋模范中學(xué)?？计谥校┮阎蟮闹怠敬鸢浮?【分析】根據(jù)的值先求出和的值，再對要求的式子進(jìn)行化簡，然后代值計(jì)算即可．【詳解】解:∵，∴，∴，故答案為5.【點(diǎn)睛】此題考查了二次根式的化簡求值，用到的知識點(diǎn)是通分和配方法的應(yīng)用，熟練掌握運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．25．（2022秋·上海閔行·八年級上海市閔行區(qū)莘松中學(xué)?？计谥校┫然?，再求值：，其中.【答案】，【分析】首先對第一個(gè)式子的分子利用平方差公式分解，第二個(gè)式子利用完全平方公式分解，然后約分，合并同類二次根式即可化簡，然后代入數(shù)值計(jì)算即可．【詳解】解：原式當(dāng)時(shí)，原式【點(diǎn)睛】本題考查了二次根式的化簡求值，正確理解平方差公式和完全平方公式對分子進(jìn)行變形是關(guān)鍵．26．（2021秋·上海·八年級期