圓錐曲線知識題型總結

PAGE1高二選修1圓錐曲線知識點及典型例題總結1.圓錐曲線的定義：橢圓中，與兩個定點F，F(xiàn)的距離的和等于常數(shù)，且此常數(shù)一定要大于，當常數(shù)等于時，軌跡是線段FF，當常數(shù)小于時，無軌跡；雙曲線中，與兩定點F，F(xiàn)的距離的差的絕對值等于常數(shù)，且此常數(shù)一定要小于|FF|，定義中的“絕對值”與＜|FF|不可忽視。若＝|FF|，則軌跡是以F，F(xiàn)為端點的兩條射線，若﹥|FF|，則軌跡不存在。若去掉定義中的絕對值則軌跡僅表示雙曲線的一支。如（1）已知定點，在滿足下列條件的平面上動點P的軌跡中是橢圓的是A．B．C．D．（2）方程表示的曲線是_____如已知點及拋物線上一動點P（x,y）,則y+|PQ|的最小值是_____2.圓錐曲線的標準方程（標準方程是指中心（頂點）在原點，坐標軸為對稱軸時的標準位置的方程）：（1）橢圓：焦點在軸上時（）焦點在軸上時＝1（）。如（1）已知方程表示橢圓，則的取值范圍為____雙曲線：焦點在軸上：=1，焦點在軸上：＝1（）。如（1）雙曲線的離心率等于，且與橢圓有公共焦點，則該雙曲線的方程_______（2）設中心在坐標原點，焦點、在坐標軸上，離心率的雙曲線C過點，則C的方程為_______拋物線：開口向右時，開口向左時，開口向上時，開口向下時。3.圓錐曲線焦點位置的判斷（首先化成標準方程，然后再判斷）：（1）橢圓：由,分母的大小決定，焦點在分母大的坐標軸上。（2）雙曲線：由,項系數(shù)的正負決定，焦點在系數(shù)為正的坐標軸上；（3）拋物線：焦點在一次項的坐標軸上，一次項的符號決定焦點具體位置及開口方向。特別提醒：（1）在求解橢圓、雙曲線問題時，首先要判斷焦點位置，焦點F，F(xiàn)的位置，是橢圓、雙曲線的定位條件，它決定橢圓、雙曲線標準方程的類型，而方程中的兩個參數(shù)，確定橢圓、雙曲線的形狀和大小，是橢圓、雙曲線的定形條件；在求解拋物線問題時，首先要判斷開口方向；（2）在橢圓中，最大，，在雙曲線中，最大，。4.圓錐曲線的幾何性質：（1）橢圓（以（）為例）：①范圍：；②焦點：兩個焦點；③對稱性：兩條對稱軸，一個對稱中心（0,0），四個頂點，其中長軸長為2，短軸長為2；④準線：兩條準線；⑤離心率：，橢圓，越小，橢圓越圓；越大，橢圓越扁。如（1）若橢圓的離心率，則的值是__（2）以橢圓上一點和橢圓兩焦點為頂點的三角形的面積最大值為1時，則橢圓長軸的最小值為_雙曲線（以（）為例）：①范圍：或；②焦點：兩個焦點；③對稱性：兩條對稱軸，一個對稱中心（0,0），④兩個頂點，實軸長為2，虛軸長為2，特別地，當實軸和虛軸的長相等時，稱為等軸雙曲線，其方程可設為；⑤離心率：，雙曲線，等軸雙曲線，越小，開口越小，越大，開口越大；⑥兩條漸近線：。如（1）雙曲線的漸近線方程是，則該雙曲線的離心率等于______（2）雙曲線的離心率為，則= （3）設雙曲線（a>0,b>0）中，離心率e∈[,2],則兩條漸近線夾角θ的取值范圍是________拋物線（以為例）：①范圍：；②焦點：一個焦點，其中的幾何意義是：焦點到準線的距離；③對稱性：一條對稱軸，沒有對稱中心，只有一個頂點（0,0）；④準線：一條準線；⑤離心率：，拋物線。如設，則拋物線的焦點坐標為________5、點和橢圓（）的關系：（1）點在橢圓外；（2）點在橢圓上＝1；（3）點在橢圓內6．直線與圓錐曲線的位置關系：（1）相交：直線與橢圓相交；直線與雙曲線相交，但直線與雙曲線相交不一定有，當直線與雙曲線的漸近線平行時，直線與雙曲線相交且只有一個交點，故是直線與雙曲線相交的充分條件，但不是必要條件；直線與拋物線相交，但直線與拋物線相交不一定有，當直線與拋物線的對稱軸平行時，直線與拋物線相交且只有一個交點，故也僅是直線與拋物線相交的充分條件，但不是必要條件。如（1）若直線y=kx+2與雙曲線x2-y2=6的右支有兩個不同的交點，則k的取值范圍是_______；（2）直線y―kx―1=0與橢圓恒有公共點，則m的取值范圍是_______（3）過雙曲線的右焦點直線交雙曲線于A、B兩點，若│AB︱＝4，則這樣的直線有_____條（2）相切：直線與橢圓相切；直線與雙曲線相切；直線與拋物線相切；（3）相離：直線與橢圓相離；直線與雙曲線相離；直線與拋物線相離。特別提醒：（1）直線與雙曲線、拋物線只有一個公共點時的位置關系有兩種情形：相切和相交。如果直線與雙曲線的漸近線平行時,直線與雙曲線相交,但只有一個交點；如果直線與拋物線的軸平行時,直線與拋物線相交,也只有一個交點；（2）過雙曲線＝1外一點的直線與雙曲線只有一個公共點的情況如下：①P點在兩條漸近線之間且不含雙曲線的區(qū)域內時，有兩條與漸近線平行的直線和分別與雙曲線兩支相切的兩條切線，共四條；②P點在兩條漸近線之間且包含雙曲線的區(qū)域內時，有兩條與漸近線平行的直線和只與雙曲線一支相切的兩條切線，共四條；③P在兩條漸近線上但非原點，只有兩條：一條是與另一漸近線平行的直線，一條是切線；④P為原點時不存在這樣的直線；（3）過拋物線外一點總有三條直線和拋物線有且只有一個公共點：兩條切線和一條平行于對稱軸的直線。如（1）過點作直線與拋物線只有一個公共點，這樣的直線有______（2）過點(0,2)與雙曲線有且僅有一個公共點的直線的斜率的取值范圍為______（3）求橢圓上的點到直線的最短距離7.圓錐曲線上的點P到焦點F的距離的計算方法：（1）已知拋物線方程為，若拋物線上一點到軸的距離等于5，則它到拋物線的焦點的距離等于____；（2）若該拋物線上的點到焦點的距離是4，則點的坐標為_____（3）拋物線上的兩點A、B到焦點的距離和是5，則線段AB的中點到軸的距離為______8.橢圓或雙曲線上的一點與兩焦點所構成的三角形問題：常利用定義和正弦、余弦定理求解。如（1）短軸長為，離心率的橢圓的兩焦點為、，過作直線交橢圓于A、B兩點，則的周長為________（2）設P是等軸雙曲線右支上一點，F(xiàn)1、F2是左右焦點，若，|PF1|=6，則該雙曲線的方程為（3）橢圓的焦點為F1、F2，點P為橢圓上的動點，當eq\o(PF2,\s\up6(→))·eq\o(PF1,\s\up6(→))<0時，點P的橫坐標的取值范圍是 （4）雙曲線的虛軸長為4，離心率e＝，F(xiàn)1、F2是它的左右焦點，若過F1的直線與雙曲線的左支交于A、B兩點，且是與等差中項，則＝__________（5）已知雙曲線的離心率為2，F(xiàn)1、F2是左右焦點，P為雙曲線上一點，且，．求該雙曲線的標準方程9.弦長公式：若直線與圓錐曲線相交于兩點A、B，且分別為A、B的橫坐標，則＝，若分別為A、B的縱坐標，則＝，特別地，拋物線的焦點弦（過焦點的弦）一般不用弦長公式計算，而是將焦點弦用定義轉化后求解。過拋物線y2=4x的焦點作直線交拋物線于A（x1，y1），B（x2，y2）兩點，若x1+x2=6，那么|AB|等于_______10.圓錐曲線的中點弦問題：遇到中點弦問題常用“韋達定理”或“點差法”求解。如（1）如果橢圓弦被點A（4，2）平分，那么這條弦所在的直線方程是（2）已知直線y=－x+1與橢圓相交于A、B兩點，且線段AB的中點在直線L：x－2y=0上，則此橢圓的離心率為_______11.常見結論（1）以為漸近線（即與雙曲線共漸近線）的雙曲線方程為為參數(shù)，≠0）。如與雙曲線有共同的漸近線，且過點的雙曲線方程為_______（2）中心在原點，坐標軸為對稱軸的橢圓、雙曲線方程可設為；13．動點軌跡方程：（1）求軌跡方程的步驟：建系、設點、列式、化簡、確定點的范圍；（2）求軌跡方程的常用方法：①直接法：直接利用條件建立之間的關系；如已知動點P到定點F(1,0)和直線的距離之和等于4，求P的軌跡方程；②待定系數(shù)法：已知所求曲線的類型，求曲線方程――先根據條件設出所求曲線的方程，再由條件確定其待定系數(shù)。如線段AB過x軸正半軸上一點M（m，0），端點A、B到x軸距離之積為2m，以x軸為對稱軸，過A、O、B三點作拋物線，則此拋物線方程為 ③定義法：先根據條件得出動點的軌跡是某種已知曲線，再由曲線的定義直接寫出動點的軌跡方程；如(1)由動點P向圓作兩條切線PA、PB，切點分別為A、B，∠APB=600，則動點P的軌跡方程為 （2）點M與點F(4,0)的距離比它到直線的距離小于1，則點M的軌跡方程是_____(3)一動圓與兩圓⊙M：和⊙N：都外切，則動圓圓心的軌跡為 ④相關點法：動點依賴于另一動點的變化