第五章(流體波動)

第五章 流體波動流體的波動，是流體微團(tuán)由于受力的作用，偏離平衡位置，并圍繞某個平衡位置產(chǎn)生振動，振動在空間的傳播而形成的。波動是流體運(yùn)動的一種重要形式；尤其是地球物理流體力學(xué)和大氣動力學(xué)中的一種最為重要的流體運(yùn)動形式。重力水面波大氣500hPa等壓面高度的擾動第一節(jié)波動的基本概念第二節(jié)重力表面波和界面波主要內(nèi)容第一節(jié)波動的基本概念一、波動的數(shù)學(xué)模型一維水面波（微擾動）簡介：振動—改變周圍流體的受力情況—振動傳播重力浮力輻散輻合H微擾動擾動高度是一個波動函數(shù)正弦波（簡諧波）的形式大家熟悉的簡諧振動：一維簡諧波的形式：其波動解為：擾動高度波動圖象：反映了不同質(zhì)點(diǎn)同一時刻分布圖象。同樣，任何物理量的擾動可表示成波動的形式，即：縱波：流體質(zhì)點(diǎn)振動方向與傳播的方向一致。如聲波。橫波：振動方向與傳播方向垂直(垂直和水平橫波)。波動與振動密切相關(guān)，在此基礎(chǔ)上對波動進(jìn)行劃分：垂直橫波：垂直方向振動，水平方向傳播，如重力波。水平橫波：水平方向振動（南北振動），水平方向傳播（東西傳播），例如大氣長波。波動二、波參數(shù)廣義上：任何物理量在空間上、時間上的周期變化，均可稱為波動，并可以將其表示為波動函數(shù)的形式： 引入波動的概念之后，如果描述波動？波參數(shù)物理參數(shù)---波參數(shù)表示了什么含義？波動的一般形式。（1）振幅A：質(zhì)點(diǎn)離平衡位置的最大距離位移。物理量距平衡狀態(tài)的最大距離。（2）周期T：完成一次全振動所需要時間，或波向前傳播一個波長距離所需時間。

頻率f

：單位時間內(nèi)的振動次數(shù)，與周期互為倒數(shù)：

T=1/f（3）波長L

：波動在一個周期中傳播的距離，固定時刻相鄰的兩同位相質(zhì)點(diǎn)間的距離。LL（4）位相：表示流體波動狀態(tài)的物理量。

等位相面：位相相等的各點(diǎn)所構(gòu)成的平面（波面或波陣面）。

=常數(shù) 等位相面是平面，稱為平面波；等位相面是球面的，稱為球面波。 等位相面（5）波數(shù)k：以相角表示的單位距離內(nèi)含有波長為L

的波的數(shù)目。（6）圓頻率：以相角表示的單位時間內(nèi)振動的次數(shù)。波參數(shù)是表征波動的重要參數(shù)。因此，研究波動主要在于求解各種表征波動的參數(shù)及其形成機(jī)制。（7）相速c：等位相（波面）的傳播速度。相速c=常數(shù)三、二維、三維波動上面討論的波動局限于一維情況，實(shí)際上，大多數(shù)波動并非是一維的，這涉及到二維、三維波動的問題。同樣，可以把二維、三維波動表示為如下的形式：其中：位相的普遍形式：y方向的波數(shù)x方向的波數(shù)z方向的波數(shù)圓頻率垂直等位相面（波面）。（即為波動傳播的方向）定義波數(shù)矢量為：定義其模稱為全波數(shù)：xy二維為例xy波長：二維為例定義等位相面：=常數(shù)相速度：注意：共線，均為波移動的方向。不滿足矢量運(yùn)算法則。而x，y，z方向上的移速：顯然第二節(jié)重力表面波和界面波日常生活中，最形象且最直觀的波動，就是由于重力作用所產(chǎn)生的水面波動（重力表面波）以及發(fā)生于不同性質(zhì)流體界面的界面波，下面詳細(xì)地討論此類波動。重力水面波界面波水空氣流體2流體1考慮一維水面波（水渠波）。假設(shè)水面平靜時水面高度為H（為一常數(shù)。一、水面（表面）重力波一旦給水面一個小的擾動，水面將不會再保持平靜的狀態(tài)，而要發(fā)生起伏不平的變化，水面高度h將隨空間位置和時間而變化，即：水面的擾動高度，或者是相對于平靜水面的偏差。Hxz

可以為正也可以為負(fù)，并滿足：也就是認(rèn)為水面受到擾動后產(chǎn)生的起伏是很小的。流體波動是流體的一種特定的運(yùn)動形態(tài)，應(yīng)該遵循流體運(yùn)動所滿足的基本方程。不計粘性和旋轉(zhuǎn)效應(yīng)，不可壓縮流體的一維波動水平運(yùn)動方程為：垂直方向近似滿足靜力平衡，流體壓力可近似地表示為：進(jìn)一步有：流體壓力梯度力可用自由表面高度的梯度來表示。xzp0z-z自由表面形式的不可壓縮流體的連續(xù)方程為：水平運(yùn)動方程變化為：問題：波動的研究對象是物理變量的擾動部分；方程是非線性的。（方程的線性化問題－－－小擾動線性化方法） 描寫波動運(yùn)動的基本方程組?。ㄎⅲ_動線性化方法：①任何物理量可以表示為：②基本量（平均量）滿足原來的方程③擾動量為一小量，其二階以上項(xiàng)為高階小量，可以略去。基本量（平均量）擾動量方程的線性化：（基本態(tài)為靜止的）假如考慮上述的水面重力波為微擾動，也就是說與波動有關(guān)的量都為微量，二次以上高階小量可以近似地略去。波動方程：描寫水面重力波的閉合方程組。重力浮力輻散輻合H重力波形成機(jī)制的討論：①小擾動，重力作用壓力梯度力引起流體運(yùn)動；②（輻合、輻散）（擾動隨時間變化）

擾動重力作用輻合、輻散水面波

波動方程的求解：為了求解上式，假設(shè)波動的形式解為：將其代入以上方程，可得：水面重力波的相速公式。同樣，為了求得，仍作如下假設(shè)：這就是水面重力波的流速場。不難求得：，于是最后有：例5-2-1如圖所示，流速為