《第一章全等三角形的輔助線》知識點與同步訓練含答案解析

《第一章全等三角形的協(xié)助線》知識點與同步訓練含答案分析《第一章全等三角形的協(xié)助線》知識點與同步訓練含答案分析/《第一章全等三角形的協(xié)助線》知識點與同步訓練含答案分析全等三角形協(xié)助線的作法知識精講一．中點類協(xié)助線作法見到中線(中點)，我們能夠聯(lián)想的內(nèi)容不過是倍長中線或許是與中點有關的一條線段， 特別是在波及線段的等量關系時，倍長中線的應用更是較為常有，常有增添方法以以下圖（AD是ABC底邊的中線)．AAAMFBDCBCBDCDNEE圖1圖2圖3二．角均分線類協(xié)助線作法有以下三種作協(xié)助線的方式：1．由角均分線上的一點向角的兩邊作垂線；2．過角均分線上的一點作角均分線的垂線，進而形成等腰三角形；3．OA OB，這類對稱的圖形應用得也較為廣泛．A A AO P O P O PB B B三．截長補短類協(xié)助線作法截長補短法，是初中數(shù)學幾何題中一種協(xié)助線的增添方法，也是把幾何題化難為易的一種思想．所謂“截長”，就是將三者中最長的那條線段一分為二，使此中的一條線段等于已知的兩條較短線段中的一條，而后證明此中的另一段與已知的另一條線段相等；所謂“補短” ，就是將一個已知的較短的線段延伸至與另一個已知的較短的長度相等，而后求出延伸后的線段與最長的已知線段的關系．有的是采納截長補短后，使之組成某種特定的三角形進行求解．三點分析一．考點：全等三角形協(xié)助線的作法二．重難點：中點類、角均分線類、截長補短類協(xié)助線作法三．易錯點：1．協(xié)助線不過一個指導方法，出現(xiàn)有關條件或結論時不必定要作協(xié)助線或許是依照模型作協(xié)助線，重點是怎樣分析題目；2．協(xié)助線不是隨意都能夠作的，比方“作一條線段等于此外一條線段且與某條線段夾角是多少度”這類協(xié)助線就不必定能作出來．題模精講題模一：中點類例 已知：△ABC中，AD是BC邊上的中線， AB 8，AC 6，試求AD的取值范圍．【答案】 1 AD 7【分析】 該題觀察了三角形三邊關系和三角形的全等．ABCDE延伸AD至E，使得DEAD，連結CE在△ABD和△ECD中BDCD1.ADBEDC∴△ABD≌△ECD（SAS）ADED∴ABCE∴AE的取值范圍為CEACAECEAC2AE141AD7例以下圖，在ABC中，ABAC，延伸AB到D，使BDAB，E為AB的中點，連結CE、CD，求證：CD2EC．AEB CD【答案】【分析】簡單證明

看法析解法一：以下圖，延伸EBF≌ EAC，進而BF

CEAC

到F，而

，使AC

EFAB

CE，連結BD，故

BF．BF BD．注意到

CBD

BAC

ACB

BAC

ABC，CBF

ABC

FBA

ABC

CAB，故所以

CBFCD

CF

CBD，而2CE．

BC

公用，故

CBF≌

CBD，F(xiàn)

AEB CD解法二：以下圖，取由于G是CD的中點，

CD的中點G，連結B是AD的中點，

BG

．故BG是

DAC

的中位線，進而

BG

1AC

1AB

BE，由BG∥AC可得 GBC進而EC GC，CD 2CE

ACB．

2ABC

2EBC

，故

BCE

≌

BCG，AEB

CGD題模二：角均分線類例 如圖， A①商討線段 AB、CD②商討線段 BE與CE

D 180，BE均分和BC之間的等量關系．之間的地點關系．

ABC

，CE

均分

BCD

，點

E在

AD

上．DEAB

C【答案】

看法析【分析】

①AB CD BC；②在線段BC上取點F，使在 ABE和 FBE中

BEFB

CE．證明以下：AB，連結EF．AB FBABE FBEBE BEABE≌FBE∴AEBFEB，BAEBFE∵AD180而BFECFE180∴CDECFE在CDE和CFE中CDE CFEDCE FCECE CECDE≌CFE∴ DEC

FEC

，CD

CF∴

AB

CD

BC，

BEC

BEF

CEF

90DEAB F C例 如圖，已知 AB AC， BAC 90，BD為∠ABC的均分線，CE⊥BE，求證：BD 2CE．AD EB C【答案】 看法析【分析】 延伸CE，交BA的延伸線于點 F．BD為∠ABC的均分線，CE⊥BE，∴△BEF≌△BEC，∴BC BF，CE FE．∵ BAC 90，CE⊥BE，∴ ABD ACF，又∵AB AC，∴△ABD≌△ACF，∴BD CF．∴BD 2CE．FADEB C例1.2.3已知MAN120，AC均分∠MAN，點B、D分別在AN、AM上．（1）如圖1，若ABCADC90，請你探究線段AD、AB、AC之間的數(shù)目關系，并證明之；（2）如圖2，若ABCADC180，則（1）中的結論能否仍舊建立？若建立，給出證明；若不建立，請說明原因．【答案】 看法析【分析】（1）關系是：ADABAC．證明：∵AC均分∠MAN，MAN120∴CADCAB60又ADCABC90，∴ACDACB30則ADAB1AC（直角三角形一銳角為30°，則它所對直角邊為斜邊一半）2ADABAC；（2）仍建立．證明：過點 C分別作AM、AN的垂線，垂足分別為 E、FAC均分∠MAN∴CECF（角均分線上點到角兩邊距離相等）∵ABCADC180，ADCCDE180∴CDEABC又CEDCFB90，∴△CED≌△CFB（AAS）∵EDFB，∴ADABAEEDAFFBAEAF由（1）知AEAFAC，ADABAC．題模三：截長補短類例 以下圖， ABC是邊長為腰三角形，以 D為極點作一個 60的

1MDN

，點

M

的正三角形， BDC是頂角為、N分別在AB、AC上，求 AMN

120的等的周長．ANMBCD【答案】看法析【分析】以下圖，延伸AC到E使CEBM．在BDM與CDE中，由于BDCD，MBDECD90，BMCE，所以BDM≌CDE，故MDED．由于BDC120，MDN60，所以BDMNDC60．又由于 BDM CDE，所以 MDN EDN 60．在 MND與 END中，DN DN， MDN EDN 60，DM所以 MND≌ END，則NE MN，所以 AMN的周長為2．

DE

，ANMB CED例 閱讀以下資料：如圖1，在四邊形 ABCD中，已知∠ACB=∠BAD=105°，∠ABC=∠ADC=45°.求證：CD=AB.小剛是這樣思慮的：由已知可得，∠ CAB=30°，∠DAC=75°，∠DCA=60°，∠ACB+∠DAC=180°，由求證及特別角度數(shù)可聯(lián)想到結構特別三角形 .即過點A作AE⊥AB交BC的延伸線于點 E，則AB=AE，E=∠D.在△ADC與△CEA中，∵∴△ADC≌△CEA，得CD=AE=AB.請你參照小剛同學思慮問題的方法，解決下邊問題：如圖2，在四邊形 ABCD中，若∠ACB+∠CAD=180°，∠B=∠D，請問：CD與AB能否相等？若相等，請你給出證明；若不相等，請說明原因 .【答案】 看法析【分析】 該題觀察的是全等三角形的判斷與性質．CD與AB相等．證明以下：作AEAB交BC的延伸線于點E，∴BE∵BD∴DE，∵ACBDAC180，ACBECA180，∴DACECA，∵在△DAC和△ECA中EDACECAAC CA∴△DAC≌△ECACDAECDAB.隨堂練習隨練

1.1

以下圖，已知

ABC

中，

AD

均分

BAC

，E、

F

分別在

BD

、

AD

上．

DE

CD

，EF

AC

．求證：

EF

∥

AB．AFB

E

D

C【答案】【分析】

∴

看法析延伸AD到M，使3 M，AC

DM ADEM．

，連結

EM

，利用

SAS證明

ADC

≌

MDE

，又ACEF，∴EMEF，∴1M，∴13，∵AD均分BAC，∴23，12，∴EF∥AB．A3F1B E D CM隨練1.2已知ABC中，A60，BD、CE分別均分ABC和.ACB，BD、CE交于點O，試判斷BE、CD、BC的數(shù)目關系，并加以證明．AEO DBC【答案】看法析【分析】BECDBC，原因是：在BC上截取BFBE，連結OF，利用SAS證得BEO≌BFO，∴12，∵A60，∴BOC901A120，∴DOE120，2∴ADOE180，∴AEOADO180，13180，∵24180，∴12，∴34，利用AAS證得CDO≌CFO，∴CDCF，∴BCBFCFBECD．AEO D142 3B F C隨練1.3 如圖，在△ABC中， BAC別是∠BAC、∠ABC的角均分線．求證：（1）BQ CQ；

60，

ACB

40，P、Q分別在

BC、CA上，而且

AP、BQ分（2）BQ AQ AB BP．【答案】看法析【分析】該題觀察的是全等三角形．（1）∵BQ是ABC的角均分線，∴QBC1ABC．2∵ABCACBBAC180，且BAC60，ACB40，ABC80，∴QBC140，802∴QBCC，BQCQ；（2）延伸AB至M，使得BMBP，連結MP．∴MBPM，∵△ABC中BAC60，C40，∴ABC80，∵BQ均分ABC，∴QBC40C，BQCQ，∵ ABC M BPM，∴ M BPM 40 C，AP均分BAC，∴ MAP CAP，在△AMP和△ACP中，CMAPCAPAPAP∴△AMP≌△ACP，AMAC，∵∴

AMABBMABBPAQ

ABBQ

BP，

AC

AQ

QC

AQ

BQ，隨練1.4 五邊形ABCDE中，AB AE，BC DE CD， ABC AED 180，求證：AD均分∠CDE．ABECD【答案】看法析【分析】延伸DE至F，使得EFBC，連結AC.∵ABCAED180，AEFAED180，∴ABCAEF∵ABAE，BCEF，∴△ABC≌△AEF．∴EFBC，ACAF∵BCDECD，∴CDDEEFDF∴△ADC≌△ADF，∴ADCADF即AD均分∠CDE．AFBECD隨練1.5如圖，△ABC中，BACBC，AD是BC邊上的高，假如CDABBD，我們就稱△ABC為“高和三角形”．請你依照這必定義回答以下問題：（1）若BAC90，C30，則△ABC____“高和三角形”（填“是”或“不是”）；（2）一般地，假如△ABC是“高和三角形”，則B與C之間的關系是____，并證明你的結論【答案】（1）是（2）B2C；看法析【分析】該題觀察的是全等三角形．（1）如圖，Rt△ABC中，BAC90，B60，C30在BC上截取BEAB，則△ABE為等邊三角形ABBEAEBAE60，BAC90∴ EAC 30 CAEECABECADBC，且△ABE為等邊三角形∴BDDEDCDEECBDAB∴是高和三角形．E（2）如上圖，在△ABC中，在DC上截取DE BD．CDABBDCEABCEACBEA2CAD是BC邊上的高且BDDE∴△ABD≌△AED（SAS）∴ AEB BB2C隨練1.6 以下圖， BAC DAE 90，M是BE的中點，AB AC，AD AE，求證AM CD．AEB M CD【答案】 看法析【分析】 以下圖，設 AM交DC于H，要證明 AM CD，實質上就是證明 AHD 90，而條件BM ME不好運用，我們能夠倍長中線 AM到F，連結BF交AD于點N，交CD于點O．簡單證明 AME≌ FMB則AE FB， EAF F，進而AE∥FB， ANF 90而 CAD DAB 90， DAB ABN 90，故 CAD ABN進而 CAD≌ ABF，故 D F而 D DON FOH F 90故 AHD 90，亦即AM CD．AEB M CN HOD

F隨練1.7 已知：如圖，在△ ABC中， ABC 3 C， 1 2，BE⊥AE．求證： AC AB 2BE．【答案】看法析【分析】延伸BE交AC于M，∵BE⊥AE，∴AEBAEM90在△ABE中，∵13AEB180，∴3901同理，4902∵12，∴34，∴ABAM∵BE⊥AE，∴BM2BE，ACABACAMCM，∵∠4是△BCM的外角，∴ 4 5 C∵ABC3C，∴ABC3545∴3C4525C，∴5C∴CMBM，∴ACABBM2BE自我總結課后作業(yè)作業(yè)1 已知：如圖，E是BC的中點，點 A在DE上，且 BAE CDE．求證：AB CD．【答案】 看法析．【分析】 延伸DE到F，使EF DE，連結BF，∵E是BC的中點，∴ BE CE，∵在△BEF和△CED中BE CEBEF CEDEF

DE∴△BEF≌△CED．∴ F CDE，BF∵ BAE CDE，∴

CD．BAE

F．ABBF，又∵BF CD，∴AB CD．作業(yè)2如圖，在ABC中，D為BC邊上的中點，AE均分BAC交BC于E，DF//AE交AC于F，AC2，AB1，求CF的長．【答案】32【分析】解：延伸DF交BA延伸線與點G，延伸FD到H使得HDFD，連結BH．AE均分BAC，DG//AE，BAEEACDFCAFGDGA，F(xiàn)AGA，又DHDF，CDDB，易得CFDBHD，CFBH，CFDBHDAGF，則BHBGCF，設AFx，則BG1x，CFACAF2xBHBG1x，解得，x1，CF2x3．22作業(yè)3 如圖，在△ABC中， C 2 B，AD均分∠BAC，求證： AB AC CD．ABCD【答案】看法析【分析】在AB上截取點E，使得AEAC．∵AD均分∠BAC，∴EADCAD，∴△ADE≌△ADC（SAS）．∴AEDC，EDCD．∵C2B，∴AED=2B．∵AEDBEDB，∴BEDB，∴BEDE．∴CDBEABAEABAC．AEB

D

C作業(yè)4已知：AOB90，OM是∠AOB的均分線，將三角板的直角極點P在射線OM上滑動，兩直角邊分別與OA、OB交于C、D．1）PC和PD的數(shù)目關系是__________．2）請你證明（1）得出的結論．【答案】 看法析【分析】 （1）PC PD．2）過P分別作PE⊥OB于E，PF⊥OA于F，∴ CFP DEP 90，∵OM是∠AOB的均分線，∴ PE PF，∵ 1 FPD 90，且 AOB 90，F(xiàn)PE90，∴ 2 FPD 90，∴ 1 2，在△CFP和△DEP中CPF DEPPF PE ，∴△CFP≌△DEP，∴PC PD．1 2作業(yè)5 已知：如圖，△ ABC中，AB AC，BD均分∠ABC，BC上有動點P．（1）DP⊥BC時（如圖 1），求證： BP DC CP；（2）DP均分∠BDC時（如圖 2），BD、CD、CP三者有何數(shù)目關系？【答案】 （1）看法析（2）BD CD CP【分析】 （1）證明：在 BP上截取PM PC，連結DM，DP⊥BC，DMDC，∴ C DMC，ABAC，∴ ABC C DMP，BD均分∠ABC，∴ ABC 2 DBC C，DMC2DBC，∵DMCDBCBDM，∴DBCMDB，∴DMBMDC，∴BPBMPMDCCP．2）解：BDCDCP，原因是：在 BD上截取DM DC，連結PM，DP均分∠BDC，∴ MDP CDP，在△MDP和△CDP中DM DCMDP CDPDP DP∴△MDP≌△CDP（SAS），∴CP MP， C DMP，CABC2DBC，∴ DMP 2 DBC DBC MPB，∴ DBC MPB，BMMPCP，BDCDCP．作業(yè)6 已知等腰 ABC， A 100， ABC的均分線交 AC于D，則BD AD BC．ADBC【答案】看法析【分析】如圖，在BC上截取BEBD，連結DE，過D作DF∥BC，交AB于F，于是32，ADFECD．又∵12，∴13，故DFBF．明顯FBCD是等腰梯形．∴BFDC，DFDC．∵1ABC1118010020，2222BEDBDE1180280，2∴DEC180BED100，∴FADDEC100，∴AFD≌EDC，ADEC．又∵BEBD，∴BCBDECBDAD．AF3D1B2CE作業(yè)7 如圖，在△ABC中，AB AC，D是三角形外一點，且 ABD 60，BD DC AB．求證：ACD 60【答案】【分析】∵BD CD∵ ABD∴AE AB

看法析延伸BD至E，使CD DE，連結AE，AD，AB，BE BD DE，∴BE AB，60，∴△ABE是等邊三角形，AC， E 60，AC AE在△ACD和△ADE中， CD DE，AD AD∴△ACD≌△ADE