第五章 概率及其分布

第五章概率及概率分布教育研究中所收集到的數(shù)據(jù)，除了描述樣本分析結(jié)果外（描述統(tǒng)計(jì)），更重要的是利用這些數(shù)據(jù)的信息對(duì)總體的某種特征作出具有一定可靠程度的估計(jì)與推斷（推斷統(tǒng)計(jì)）。概率分布理論是處理這些數(shù)據(jù)變量的數(shù)學(xué)計(jì)基礎(chǔ)，也是推論統(tǒng)計(jì)的基礎(chǔ)。一、概率的定義1.后驗(yàn)概率（或統(tǒng)計(jì)概率）

隨機(jī)事件的頻率當(dāng)n無(wú)限增大時(shí)，隨機(jī)事件A的頻率會(huì)穩(wěn)定在一個(gè)常數(shù)P，這個(gè)常數(shù)就是隨機(jī)事件A的概率。（5．2）（5．1）2.先驗(yàn)概率（古典概率）古典概率模型要求滿(mǎn)足兩個(gè)條件：⑴試驗(yàn)的所有可能結(jié)果是有限的；⑵每一種可能結(jié)果出現(xiàn)的可能性相等。（5．3）例：將一枚硬幣拋3次，觀察正（H）反面（T）出現(xiàn)的情況。那么所有可能的結(jié)果有8個(gè)，HHH，HHT，HTH，THH，HTT，THT，TTH，TTT，即n=8。如果一次正面朝上為事件A，那么事件A就包括三種可能的結(jié)果：HTT，THT，TTH，m=3，那么拋3次硬幣恰好有1次正面朝上的概率就是P（A）=m/n=3/8。54張撲克，每張出現(xiàn)的可能性相等，因此每張出現(xiàn)的概率為1/54，如果我們將隨機(jī)事件A規(guī)定為紅桃，那么事件A就由13個(gè)基本事件組成，也就是m=13，n=54，這時(shí)紅桃出現(xiàn)的概率為P（A）=13/54=0.241。

二．概率的基本性質(zhì)1．任何隨機(jī)事件Ａ的概率都是在0與1之間的正數(shù)，即0≤P（A）≤12．不可能事件的概率等于零，即P（A）=03．必然事件的概率等于1，即P（A）=1

三．概率的加法定理和乘法定理概率的加法定理若事件Ａ發(fā)生，則事件Ｂ就一定不發(fā)生，這樣的兩個(gè)事件為互不相容事件。兩互不相容事件和的概率，等于這兩個(gè)事件概率之和，即（5．4）（5．5）概率的乘法定理若事件Ａ發(fā)生不影響事件Ｂ是否發(fā)生，這樣的兩個(gè)事件為互相獨(dú)立事件。兩個(gè)互相獨(dú)立事件積的概率，等于這兩個(gè)事件概率的乘積，即（5．6）（5．7）例1：某一學(xué)生從５個(gè)試題中任意抽取一題，進(jìn)行口試。如果抽到每一題的概率為1／5，則抽到試題１或試題２的概率是多少？如果前一個(gè)學(xué)生把抽過(guò)的試題還回后，后一個(gè)學(xué)生再抽，則４個(gè)學(xué)生都抽到試題1的概率是多少？

計(jì)算抽到第一題或第二題的概率應(yīng)為抽到第一題的概率和抽到第二題的概率之和，即四個(gè)學(xué)生都抽到第一題即四個(gè)學(xué)生同時(shí)抽到第一題，其概率應(yīng)為抽到第一題的概率的乘積，即例2：從30個(gè)白球和20個(gè)黑球共50個(gè)球中隨機(jī)抽取兩次（放回抽樣），問(wèn)抽出一個(gè)黑球和一個(gè)白球的概率是多少？抽出一個(gè)白球的概率為3／5,抽出一個(gè)黑球的概率為2／5。抽出一個(gè)黑球和一個(gè)白球的情況應(yīng)包括先抽出一個(gè)黑球、后抽出一個(gè)白球和先抽出一個(gè)白球、后抽出一個(gè)黑球兩種情況。因此：四．二項(xiàng)分布二項(xiàng)分布（bionimaldistribution）是一種具有廣泛用途的離散型隨機(jī)變量的概率分布，它是由貝努里創(chuàng)始的，因此又稱(chēng)為貝努里分布。1．二項(xiàng)試驗(yàn)滿(mǎn)足以下條件的試驗(yàn)稱(chēng)為二項(xiàng)試驗(yàn)：一次試驗(yàn)只有兩種可能的結(jié)果，即成功和失?。桓鞔卧囼?yàn)相互獨(dú)立，即各次試驗(yàn)之間互不影響；各次試驗(yàn)中成功的概率相等，失敗的概率也相等。2．二項(xiàng)分布函數(shù)二項(xiàng)分布是一種離散型隨機(jī)變量的概率分布。用n次方的二項(xiàng)展開(kāi)式來(lái)表達(dá)在n次二項(xiàng)試驗(yàn)中成功事件出現(xiàn)的不同次數(shù)（X＝0，1…）的概率分布，叫做二項(xiàng)分布。二項(xiàng)展開(kāi)式的通式（即二項(xiàng)分布函數(shù)）：這個(gè)公式可以用來(lái)直接求出成功事件恰好X次的概率。二項(xiàng)展開(kāi)式的要點(diǎn)：項(xiàng)數(shù)：二項(xiàng)展開(kāi)式中共有n＋1項(xiàng)。方次：p的方次，從0

→n為升冪；q的方次從0→n為降冪。每項(xiàng)p與q方次之和等于n。系數(shù)：各項(xiàng)系數(shù)是成功事件次數(shù)的組合數(shù)。例３：從男生占２/５的學(xué)校中隨機(jī)抽?。秱€(gè)學(xué)生，問(wèn)正好抽到４個(gè)男生的概率是多少？最多抽到２個(gè)男生的概率是多少？解：將n=6，p=2/5，q=3/5，X=4代入（5．8）式，則恰好抽到4個(gè)男生的概率為最多抽到２個(gè)男生的概率，等于１個(gè)也沒(méi)有抽到、抽到１個(gè)和抽到兩個(gè)男生的概率之和，即3．二項(xiàng)分布圖以成功事件出現(xiàn)的次數(shù)為橫坐標(biāo)，以成功事件出現(xiàn)不同次數(shù)的概率為縱坐標(biāo)，繪制直方圖或多邊圖，即為二