八年級數(shù)學(xué)上冊知識講解及鞏固練習(xí)：等腰三角形性質(zhì)定理（基礎(chǔ)）知識講解

PAGE等腰三角形性質(zhì)定理（基礎(chǔ)）責(zé)編：杜少波【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1.了解等腰三角形的有關(guān)概念,掌握等腰三角形的軸對稱性2.利用軸對稱變換推導(dǎo)等腰三角形的性質(zhì)，并加深對軸對稱變換的認(rèn)識．3.掌握等腰三角形的下列性質(zhì)：等腰三角形的兩個底角相等；等腰三角形三線合一．4.會利用等腰三角形的性質(zhì)進(jìn)行簡單的推理、判斷、計算和作圖．【要點(diǎn)梳理】要點(diǎn)一、等腰三角形的定義1.等腰三角形有兩條邊相等的三角形，叫做等腰三角形，其中相等的兩條邊叫做腰，另一邊叫做底，兩腰所夾的角叫做頂角，底邊與腰的夾角叫做底角.如圖所示，在△ABC中，AB＝AC，△ABC是等腰三角形，其中AB、AC為腰，BC為底邊,∠A是頂角，∠B、∠C是底角．2.等腰三角形的作法已知線段a,b(如圖).用直尺和圓規(guī)作等腰三角形ABC,使AB=AC=b,BC=a.作法：1.作線段BC=a；2.分別以B,C為圓心，以b為半徑畫弧，兩弧相交于點(diǎn)A;3.連接AB,AC.△ABC為所求作的等腰三角形.3.等腰三角形的對稱性(1)等腰三角形是軸對稱圖形；(2)∠B＝∠C；(3)BD＝CD，AD為底邊上的中線.(4)∠ADB＝∠ADC＝90°，AD為底邊上的高線.結(jié)論：等腰三角形是軸對稱圖形，頂角平分線(底邊上的高線或中線)所在的直線是它的對稱軸.4.等邊三角形三條邊都相等的三角形叫做等邊三角形.也稱為正三角形.等邊三角形是一類特殊的等腰三角形，有三條對稱軸，每個角的平分線(底邊上的高線或中線)所在的直線就是它的對稱軸.要點(diǎn)詮釋：（1）等腰直角三角形的兩個底角相等，且都等于45°,等腰三角形的底角只能為銳角，不能為鈍角（或直角），但頂角可為鈍角（或直角）.∠A＝180°－2∠B，∠B＝∠C＝.（2）用尺規(guī)作圖時，畫圖的痕跡一定要保留，這些痕跡一般是畫的輕一些,能看清就可以了，題目中要求作的圖要畫成實(shí)線，最后一定要點(diǎn)題，即“xxx即為所求”.(3)等邊三角形與等腰三角形的關(guān)系：等邊三角形是特殊的等腰三角形，等腰三角形不一定是等邊三角形.等邊三角形是中考中常考的知識點(diǎn)，并且有關(guān)它的計算也很常見，因此對于等邊三角形的特殊數(shù)據(jù)要熟記于心，比如邊長為a的等邊三角形它的高是，面積是.【高清課堂：389301等腰三角形的性質(zhì)及判定，知識要點(diǎn)】要點(diǎn)二、等腰三角形的性質(zhì)1.等腰三角形的性質(zhì)性質(zhì)1：等腰三角形的兩個底角相等，簡稱“在同一個三角形中，等邊對等角”．推論：等邊三角形的各個內(nèi)角都等于60°.性質(zhì)2：等腰三角形的頂角平分線、底邊上中線和高線互相重合.簡稱“等腰三角形三線合一”．2.等腰三角形的性質(zhì)的作用證明兩條線段或兩個角相等的一個重要依據(jù)．3.尺規(guī)作圖：已知底邊和底邊上的高已知線段a，h（如圖）用直尺和圓規(guī)作等腰三角形ABC,使底邊BC＝a,BC邊上的高線為h.作法：1.作線段BC=a.2.作線段BC的垂直平分線l,交BC與點(diǎn)D.3.在直線l上截取DA=h,連接AB,AC.△ABC就是所求作的等腰三角形.【典型例題】類型一、等腰三角形中有關(guān)度數(shù)的計算題【高清課堂：389301等腰三角形的性質(zhì)及判定：例1】 1、如圖，在△ABC中，D在BC上，且AB＝AC＝BD，∠1＝30°，求∠2的度數(shù).

【答案與解析】解：∵AB＝AC

∴∠B＝∠C

∵AB＝BD

∴∠2＝∠3

∵∠2＝∠1＋∠C

∴∠2＝∠1＋∠B

∵∠2＋∠3＋∠B＝180°

∴∠B＝180°－2∠2

∴∠2＝∠1＋180°－2∠2

∴3∠2＝∠1＋180°

∵∠1＝30°

∴∠2＝70°【總結(jié)升華】解該題的關(guān)鍵是要找到∠2和∠1之間的關(guān)系，顯然∠2＝∠1＋∠C，只要再找出∠C與∠2的關(guān)系問題就好解決了，而∠C＝∠B，所以把問題轉(zhuǎn)化為△ABD的角之間的關(guān)系，問題就容易的多了.關(guān)于角度問題可以通過建立方程進(jìn)行解決.【高清課堂：389301等腰三角形的性質(zhì)及判定：例1練習(xí)】 舉一反三：【變式】已知：如圖，D、E分別為AB、AC上的點(diǎn)，AC＝BC＝BD，AD＝AE，DE＝CE，求∠B的度數(shù)．【答案】解：∵AC＝BC＝BD，AD＝AE，DE＝CE，∴設(shè)∠ECD＝∠EDC＝，∠BCD＝∠BDC＝，則∠AED＝∠ADE＝2，∠A＝∠B＝180°－4在△ABC中，根據(jù)三角形內(nèi)角和得，＋＋180°－4＋180°－4＝180°①又∵A、D、B在同一直線上，∴2＋＋＝180°②由①，②解得＝36°∴∠B＝180°－4＝180°－144°＝36°.類型二、等腰三角形中的分類討論2、（2016秋?威海期中）在等腰三角形中，已知一個角為40°，那么另兩個角的度數(shù)是．【思路點(diǎn)撥】由一個等腰三角形內(nèi)角為40°，分別從40°是等腰三角形頂角與40°是底角的角度去分析求解即可求得答案．【答案與解析】解：(1)當(dāng)40°的角為頂角時，由三角形內(nèi)角和定理可知：兩個底角的度數(shù)之和＝180°－40°＝140°，又由等腰三角形的性質(zhì)可知：兩底角相等，故每個底角的度數(shù)；(2)當(dāng)40°的角為底角時，另一個底角也為40°，則頂角的度數(shù)＝180°－40°－40°＝100°．∴另兩個角為70°，70°或40°，100°．【總結(jié)升華】此題考查了等腰三角形的性質(zhì)．此題比較簡單，注意掌握分類討論思想的應(yīng)用，小心別漏解．【高清課堂：389301等腰三角形的性質(zhì)及判定：例2（2）】 3、已知等腰三角形的周長為13，一邊長為3，求其余各邊．【答案與解析】解：(1)3為腰長時，則另一腰長也為3，底邊長＝13－3－3＝7；(2)3為底邊長時，則兩個腰長的和＝13－3＝10，則一腰長．這樣得兩組：①3，3，7②5，5，3．由三角形三邊關(guān)系可知：兩邊之和大于第三邊，3＋3＜7，故不能構(gòu)成三角形，應(yīng)舍去．∴等腰三角形的周長為13，一邊長為3，其余各邊長為5，5．【總結(jié)升華】唯獨(dú)等腰三角形的邊有專用名詞“腰”“底”，別的三角形沒有，此題沒有說明邊長為3的邊是腰還是底，所以做此題應(yīng)分類討論．同時結(jié)合三角形內(nèi)角和定理、三角形兩邊之和大于第三邊、兩邊之差小于第三邊，來驗證討論哪些情況符合，哪些情況不符合，從而決定取舍，最后得到正確答案．舉一反三：【變式】計算：（1）一個等腰三角形的一邊長為8cm，周長為20cm，求其它兩邊的長．（2）已知等腰三角形的一邊長等于6cm，一邊長等于7cm，求它的周長．（3）已知等腰三角形的一邊長等于5cm，一邊長等于12cm，求它的周長．【答案】解：（1）①底邊長為8，則腰長為：（20﹣8）÷2=6，所以另兩邊的長為6cm，6cm，能構(gòu)成三角形；②腰長為8，則底邊長為：20﹣8×2=4，底邊長為8cm，另一個腰長為4cm，能構(gòu)成三角形．因此另兩邊長為8cm、4cm或6cm、6cm；（2）①6是腰長時，周長=6+6+7=19；②6是底邊時，7是腰，周長=6+7+7=20；綜上，它的周長為19或20；（3）分兩種情況：當(dāng)腰為5cm時，5+5＜12，所以不能構(gòu)成三角形；當(dāng)腰為12cm時，12+12＞5，12﹣12＜5，所以能構(gòu)成三角形，周長是：12+12+5=29cm．類型三、等腰三角形的性質(zhì)及其運(yùn)用4、如圖，△ABC是等腰三角形，D，E分別是腰AB及AC延長線上的一點(diǎn)，且BD=CE，連接DE交底BC于G．求證GD=GE．【思路點(diǎn)撥】過E作EF∥AB交BC延長線于F，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)及平行線的性質(zhì)可推出∠F=∠FCE，從而可得到BD=CE=EF，再根據(jù)AAS判定△DGB≌△EGF，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可證得結(jié)論．【答案與解析】證明：過E作EF∥AB交BC延長線于F．∵AB=AC，∴∠B=∠ACB，∵EF∥AB，∴∠F=∠B，∵∠ACB=∠FCE，∴∠F=∠FCE，∴CE=EF，∵BD=CE，∴BD=EF，在△DBG與△GEF中，，∴△DGB≌△EGF（AAS），∴GD=GE．【總結(jié)升華】此題主要考查等腰三角形的性質(zhì)及全等三角形的判定與性質(zhì)的綜合運(yùn)用．5、如圖，已知△ABC為等邊三角形，點(diǎn)D、E分別在BC、AC邊上，且AE=CD，AD與BE相交于點(diǎn)F．

（1）求證：△ABE≌△CAD；

（2）求∠BFD的度數(shù)．【思路點(diǎn)撥】（1）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可知∠BAC=∠C=60°，AB=CA，結(jié)合AE=CD，可證明△ABE≌△CAD（SAS）；

（2）根據(jù)∠BFD=∠ABE+∠BAD，∠ABE=∠CAD，可知∠BFD=∠CAD+∠BAD=∠BAC=60°．【答案與解析】（1）證明：∵△ABC為等邊三角形，

∴∠BAC=∠C=60°，AB=CA，

即∠BAE=∠C=60°，

在△ABE和△CAD中，，∴△ABE≌△CAD（SAS）．

（2）解：∵∠BFD=∠ABE+∠BAD，

又∵△ABE≌△CAD，

∴∠ABE=∠CAD．

∴∠BFD=∠CAD+∠BAD=∠BAC=60°．【總結(jié)升華】本題考查三角形全等的性質(zhì)和判定方法以及等邊三角形的性質(zhì)．判定兩個三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．判定兩個三角形全等，先根據(jù)已知條件或求證的結(jié)論確定三角形，然后再根據(jù)三角形全等的判定方法，看缺什么條件，再去證什么條件．舉一反三：【變式】如圖，將一個鈍角△ABC（其中∠ABC=120°）繞點(diǎn)B順時針旋轉(zhuǎn)得△A1BC1，使得C點(diǎn)落在AB的延長線上的點(diǎn)C1處，連接AA1．

（1）寫出旋轉(zhuǎn)角的度數(shù)