基于隨機共振的混沌振子和差分振子的原理和應用

基于隨機共振的混沌振子和差分振子的原理和應用

隨機共振檢測機電設備早期故障的微弱信號檢測一直是故障診斷領域的研究熱點。目前,微弱信號檢測方法主要集中于兩個方面:一是利用現(xiàn)代信號處理方法對噪聲進行抑制或消除,當噪聲頻率與信號頻率相等或接近時,該類方法在抑制噪聲的同時,亦不可避免地損傷到有用信號,極大地影響了微弱信號檢測的效果;二是利用一些非線性系統(tǒng)自身的特性對微弱信號進行檢測,常用的非線性方法有隨機共振、混沌振子和差分振子等。隨機共振系統(tǒng)結構參數(shù)嚴重影響著輸出結果,如何自適應選擇系統(tǒng)參數(shù)以達到最優(yōu)輸出,始終是困擾各種隨機共振算法的難題。文獻提出了以待檢測頻率達到最大值為最終判據(jù)的自適應掃頻隨機共振法,文獻提出了以近似熵為信號復雜性判據(jù)的自適應隨機共振法。這兩種方法均是以不斷調(diào)整系統(tǒng)參數(shù)為前提的,嚴重影響了算法的求解速度?；煦缯褡右暂敵鱿鄨D的顯著變化來檢測微弱信號,李崇晟采用符號序列統(tǒng)計量來識別振子的狀態(tài)變化,李月以系統(tǒng)輸出周期解的平均面積為判據(jù)實現(xiàn)了微弱信號的定量檢測,這兩種方法在一定程度上達到了客觀、自動識別振子狀態(tài)的目的。李楠等人將差分振子用于同步發(fā)電機轉子匝間短路故障檢測,驗證了方法的有效性,但在信號幅值檢測方面缺少分析和探討。本文另辟蹊徑,提出了并聯(lián)隨機共振的思想,設法從相同數(shù)據(jù)不同參數(shù)隨機共振輸出結果中提取相同的信號成分,同時提出了利用Hu氏不變矩對混沌振子狀態(tài)進行自動識別及定量表征,探討了差分振子相圖的大小與待檢測信號幅值之間的關系,取得了一些有益的結果,最終將三種方法應用于工業(yè)現(xiàn)場機電設備早期故障的微弱特征提取中,取得了較好的效果。1信號的低頻特性工程實測的振動信號中,低頻成分承載著反映設備運行狀態(tài)的信息。但在實測信號的頻譜中,信號的低頻成分常常被強大的背景噪聲所淹沒難以識別。隨機共振法將高頻部分的能量轉移到低頻部分以達到信噪比增強的目的。1.1雙勢由初始狀態(tài)決定隨機共振的數(shù)學模型是一個雙穩(wěn)態(tài)系統(tǒng),可以用Langevin方程來描述x′=-V′(x)+u(t)+n(t)(1)其中V(x)為對稱雙勢阱函數(shù)V(x)=a2x2-b4x4(2)式中a,b為非線性系統(tǒng)的結構參數(shù),對稱雙勢阱的位置為x=±√a/b,勢壘高度ΔV=a2/(4b)。u(t)=Asin(2πf0t)為周期正弦信號,A為幅值。n(t)為白噪聲,且滿足E[n(t)]=0,E[n(t)n(t-τ)]=2Dδ(τ),D表示其噪聲強度。式(1)描述了一個質(zhì)點的布朗運動。在沒有周期信號和噪聲的作用時,質(zhì)點處于兩個勢阱的任意一個勢阱中,由初始狀態(tài)決定。在周期信號的作用下,質(zhì)點在勢阱中以ω=2πf0的頻率運動,只要A小于臨界值Ac(Ac=√4a3/27b),質(zhì)點只能做局部周期性的運動。然而,當引入噪聲時,即使A<Ac,質(zhì)點也可以從一個勢阱躍入到另一個勢阱,即出現(xiàn)隨機共振現(xiàn)象。1.2相同信號頻率成分隨機共振的參數(shù)設置對隨機共振輸出的影響很大,是應用隨機共振進行檢測的關鍵。對于同一組輸入信號,當系統(tǒng)結構參數(shù)不同時,雙穩(wěn)態(tài)系統(tǒng)的輸出亦有較大差別,但這些輸出中均不同程度地實現(xiàn)了高頻噪聲能量向低頻有效信號的轉移,并包含著相同的信號頻率成分,從而提供了從不同輸出結果中提取相同信號成分的可能?；诖?本文提出了并聯(lián)隨機共振的方法。并聯(lián)隨機共振不需要對待檢測信號的性質(zhì)進行研究,而是從多個隨機共振的輸出結果中提取待檢測信號特征。其基本原理原理如圖1所示。圖1中,輸入信號為同一組帶有強噪聲的微弱待檢測信號,隨機共振1和隨機共振2為具有不同系統(tǒng)參數(shù)的兩個隨機共振雙穩(wěn)系統(tǒng),同一輸入信號經(jīng)過兩個不同的隨機共振系統(tǒng)之后,其輸出信號亦有所不同,但均包含了相同的有效信號頻率成分,只需從中提取相同的信號成分即可。鑒于互相關分析原理簡單,物理意義明確,本文采用互相關分析來提取兩個不同隨機共振輸出結果中的相同信號頻率成分,從而實現(xiàn)微弱信號的并聯(lián)隨機共振檢測。1.3軸承保持架故障的早期預警2008年9月18日,某冶金企業(yè)在對第9架棒材軋機檢修時發(fā)現(xiàn):該軋機Ⅰ軸軸承保持架斷裂,滾動體嚴重變形、Ⅱ軸齒輪輕微打齒。分析該事故的原因,是因為Ⅰ軸軸承損壞,導致Ⅰ軸發(fā)生軸向竄動,進而導致Ⅰ軸與Ⅱ軸的嚙合齒輪出現(xiàn)打齒故障。為檢測本方法的有效性,現(xiàn)提取在線監(jiān)測系統(tǒng)9月4日保存的振動加速度信號(即故障發(fā)生前14天左右的振動信號),利用并聯(lián)隨機共振方法進行微弱信號的檢測,期望今后能實現(xiàn)早期故障的預警。當時該軋機驅動電機的轉速為1022r/min,軸承型號為HM926747,依據(jù)設備傳動鏈及故障診斷原理可計算軸承保持架的故障特征頻率理論值為7.317Hz。振動信號的采樣頻率為4000Hz,采樣點數(shù)為2048。信號的時域波形及其幅值譜如圖2所示。圖2中的時域波形較為平穩(wěn),幅值譜中高頻成分較為突出但低頻分量幾乎被噪聲完全淹沒,無法直接找到軸承的故障特征頻率。對原始振動信號先進行Hilbert包絡解調(diào)預處理,然后再分別輸入傳統(tǒng)隨機共振和并聯(lián)隨機共振,得到如圖3所示結果。從圖3(a)和3(c)中可以看出,傳統(tǒng)隨機共振輸出信號的幅值譜中只能找到21.48Hz的頻率成分,大約是保持架故障特征頻率7.317Hz的3倍頻左右,不能夠確定該軸承保持架是否發(fā)生了故障。圖3(b)和(d)為并聯(lián)隨機共振輸出結果的幅值譜,7.813,15.63,21.48Hz的頻率成分較為突出,其中7.813Hz與理論計算值7.317Hz相接近,而15.63,21.48Hz的頻率分別與理論計算值的2倍頻和3倍頻相接近,因此可以確定該軸承保持架出現(xiàn)了故障。從上述案例可以看出,隨機共振參數(shù)設置對系統(tǒng)的輸出有著重要的影響,并聯(lián)隨機共振可以在一定程度上減小這種影響,對微弱信號的檢測更為有效。2混沌系統(tǒng)噪聲的免疫特性利用混沌振子檢測微弱信號主要基于混沌系統(tǒng)的兩個基本特性:一是混沌系統(tǒng)對噪聲的免疫特性,即噪聲對混沌振子相圖狀態(tài)的變化影響很小;二是混沌系統(tǒng)對初始值的敏感性,即混沌振子初始值的微小擾動會引起混沌振子相圖狀態(tài)的顯著變化。2.1混沌振子檢測混沌振子采用Holmes型Duffing方程作為檢測器,其形式如下x″(t)+cx′(t)-x(t)+x3(t)=fcos(ωt)(3)式中c為阻尼比,-x(t)+x3(t)為非線性恢復力,fcos(ωt)為周期驅動力。為了檢測任意的周期信號,令t=ωτ,代入式(3)中(轉換后用t代替τ),則得到如下的狀態(tài)方程{x′=ω0yy′=ω0(-cy+x-x3+F0cos(ω0t))(4)當加入被測微弱周期信號和外部噪聲后,式(4)變?yōu)閧˙x=ω0y˙y=ω0(-cy+x-x3+F0cos(ω0t)+F1cos(ω1t+θ)+Ν(t))(5)式中ω0為內(nèi)部周期驅動力的角頻率,F0為周期驅動力的幅值,ω1為待測微弱周期信號的角頻率,F1為待測信號的幅值,θ為待測信號的相位;N(t)為服從正態(tài)分布的隨機噪聲。當c固定時,逐漸增大周期驅動力的幅值F0,混沌振子相圖隨之變化,相繼呈現(xiàn)出小尺度周期、混沌和大尺度周期三種狀態(tài)。混沌振子檢測就是利用了混沌振子相圖從混沌狀態(tài)向大尺度周期狀態(tài)轉變這一過程。混沌振子相圖從混沌狀態(tài)向大尺度周期狀態(tài)轉變時周期驅動力幅值的臨界值記為Fr,當F0+F1>Fr時,混沌振子相圖就會從混沌狀態(tài)轉變?yōu)榇蟪叨戎芷跔顟B(tài)。因此,在應用混沌振子檢測微弱信號時,一般將周期驅動力的幅值F0設置成為略小于臨界值Fr,然后將待檢測信號輸入到系統(tǒng)中,若信號中含有待檢測頻率成分,則有F0+F1>Fr,混沌振子相圖從混沌狀態(tài)向大尺度周期狀態(tài)轉變。2.2混沌振子狀態(tài)混沌振子相圖的定量刻畫有助于微弱信號的客觀、自動檢測。本文利用Hu氏不變矩定量識別混沌振子相圖的狀態(tài),以期實現(xiàn)微弱信號的自動識別。對于二值圖像,在R2平面上任意正整數(shù)p和q的p+q階矩為mpq=∑y∑xf(x,y)xpyq(6)式中f(x,y)為圖像在點(x,y)上的灰度。mpq依賴于該圖像在坐標系中的位置,不具備平移不變性,而p+q階的中心距μpq滿足平移不變性,其定義為μpq=∑y∑x(x-ˉx)p?(y-ˉy)q?f(x,y)(7)式中(ˉx,ˉy)為圖像的質(zhì)心。{ˉx=m10/m00ˉy=m01/m00(8)對μpq進行正規(guī)化處理得到ηpq,其表達式如下ηpq=μpqμ1+p+q200p+q≥2(9)ηpq滿足平移和伸縮不變性,但不滿足旋轉不變性。Hu通過研究得到7個完備的2階、3階不變矩,其中φ1表征了圖像的發(fā)散程度,φ1越大,圖像越發(fā)散,對應于混沌振子相圖越明顯收斂于大尺度周期,因此可利用φ1描述混沌振子相圖的狀態(tài)。φ1的表達式如下φ1=η20+η02(10)在混沌振子的相圖識別中,將混沌振子的相圖作為一個二值圖像處理,在計算不變矩時,相圖所經(jīng)過的坐標點的灰度值都定義為f(x,y)=1,相圖沒有經(jīng)過的坐標點的灰度值定義為f(x,y)=0。在式(4)中設:系統(tǒng)阻尼比c=0.5,待檢測頻率ω0=94.2(即f0=30Hz),逐漸增大內(nèi)部周期驅動力的幅值F0,可發(fā)現(xiàn)混沌振子的相圖相繼出現(xiàn)小尺度周期狀態(tài)、混沌狀態(tài)和大尺度周期狀態(tài),其中后兩種狀態(tài)的相圖如圖4所示,且混沌狀態(tài)下的周期驅動力幅值F0=0.57,大尺度周期狀態(tài)的周期驅動力幅值F0=0.58,因此可以說該混沌振子從混沌狀態(tài)向大尺度周期狀態(tài)躍變的閾值為F0=0.58。同時計算F0為不同值時混沌振子相圖的不變矩φ1的值,如圖5所示。從圖5中可以看出,在F0由0.57變?yōu)?.58時,不變矩φ1的值有較大的躍變,由1.327躍變到2.441,而此時混沌振子的相圖則由混沌狀態(tài)進入到大尺度周期狀態(tài)。鑒于此,可以利用φ1的變化來識別混沌振子的狀態(tài)。輸入信號噪聲的強度亦會影響混沌振子相圖的發(fā)散程度,進而相圖的不變矩φ1的值亦有所變化。圖6為不同噪聲強度下不變矩φ1的變化趨勢。從圖6可以看出,不同噪聲強度下φ1的值在混沌振子相圖從混沌狀態(tài)向大尺度周期狀態(tài)轉變時都會出現(xiàn)躍變,保持了良好的穩(wěn)定性。當φ1>2.5時,不同噪聲下的混沌振子相圖都呈現(xiàn)為大尺度周期狀態(tài)。工業(yè)現(xiàn)場采集的振動信號,其信噪比各不相同,Hu氏不變矩的穩(wěn)定性有利于該方法的推廣應用。2.3承東北部故障識別2008年4月17日,某高線廠檢修時發(fā)現(xiàn)增速箱Ⅰ軸軸承內(nèi)圈出現(xiàn)嚴重點蝕現(xiàn)象。在線監(jiān)測系統(tǒng)3月份發(fā)現(xiàn)振動異常,但是不能確定具體的故障部位?，F(xiàn)提取2月1日的振動加速度信號進行分析,期望能在早期數(shù)據(jù)中發(fā)現(xiàn)設備的微弱故障信息。該設備的電機轉速為954r/min,軸承型號為162250B,采樣頻率2000Hz,采樣點數(shù)2048。依據(jù)設備傳動鏈及故障診斷原理可計算得軸承內(nèi)圈的故障特征頻率為15.9Hz。圖7為設備空載時的原始振動信號及其幅值譜。從圖7(b)的幅值譜中可以看出,低頻部分頻率小于29.3Hz時,其有效頻率信息被噪聲淹沒,已無法識別?，F(xiàn)利用混沌振子對15.9Hz的特征頻率進行檢測。首先將混沌振子的待檢測頻率設置為15.9Hz,逐漸增大周期驅動力的幅值,并繪制不同狀態(tài)下的Hu氏不變矩φ1的趨勢圖,如圖8所示。從圖8中可以看出周期驅動力幅值F0從0.6875變?yōu)?.7125時,振子相圖的不變矩出現(xiàn)躍變,依前述可知此時即為混沌振子由混沌狀態(tài)向大尺度周期狀態(tài)突變的過程。因此,可判斷該振子的閾值Fr=0.7125,且不變矩φ1的判決閾值為2.181。將混沌振子的初始值F0設置為0.700(略小于閾值),然后輸入待檢測信號。待檢測信號輸入前后的混沌振子相圖如圖9所示?；煦缯褡虞斎氪龣z測信號后,振子相圖的不變矩φ1=2.2327,大于前述確定的判決閾值2.181,因此可判斷該振子相圖處于大尺度周期狀態(tài)(從圖9(b)中亦可肉眼觀察出該相圖處于大尺度周期狀態(tài)),亦即原始振動信號中包含15.9Hz這一特征頻率,進而可以確認該軸承的內(nèi)圈存在故障隱患。本案例中,混沌振子成功檢測出了該設備的早期故障,比在線監(jiān)測系統(tǒng)發(fā)現(xiàn)異常時間提前了一個月左右。3待檢測頻率對信號相圖收斂的影響差分振子法是以差分振子相圖的變化來表征信號中待檢測頻率的存在與否,若差分振子相圖收斂于極環(huán),則信號中存在待檢測頻率成分;若差分振子相圖收斂于極點,則不存在待檢測頻率。3.1差分振子的數(shù)學模型差分振子是以差分方程為基礎,以二維離散系統(tǒng)為模型,其檢測器形式如下{xk+1=axk+bykyk+1=cxk+dyk+pcos(2kπfe+2kπfdfs)?Τ(k)(11)式中p為放大倍數(shù),fe為系統(tǒng)激勵頻率,T(k)為待檢測信號,fd為待檢測頻率,fs為待檢測信號的采樣頻率。設α=-(a+d),β=ad-bc,利用消元法消去變量yk,可得到一元差分方程xk+1+αxk+βxk-1=0(12)若α,β滿足以下條件|α(1+β)4β|<1(β>0)(13)則系統(tǒng)固有頻率可以通過下式進行估計ωn=arccos(-α(1+β)4β),ωn∈[0,π](14)3.2激勵頻率fe對差分振子相圖的影響差分振子的參數(shù)對差分振子的檢測效果影響很大,甚至會出現(xiàn)誤判的情況。首先考察α,β對差分振子相圖的影響。令T(k)=0,固定β,使β=0.98,改變α的值,差分振子相圖的變化如圖10所示。從圖10中可以看出,當α∈[0.95,1]時,差分振子的相圖最為簡潔,當α過小或過大時,差分振子相圖變得復雜起來。固定α值,改變β的值亦可得到相似的結果。因此,在利用差分振子對信號進行檢測時,通常將α和β的值設定在區(qū)間[0.95,1]內(nèi)。為考察系統(tǒng)激勵頻率fe對差分振子相圖的影響,固定其他參數(shù),只改變fe的值,觀察差分振子相圖的變化。向差分振子中輸入一個頻率為50Hz的正弦信號,并設α=0.95,β=0.98,p=1。不同激勵頻率下的差分振子相圖如圖11所示。由式(14)可以計算得到差分振子檢測系統(tǒng)的固有頻率fn=ωn/2π=0.33Hz。從圖11可以看出:激勵頻率fe等于或者極為接近系統(tǒng)固有頻率fn時,差分振子相圖明顯收斂于極環(huán),可以對信號進行正常地檢測。而當激勵頻率fe遠離系統(tǒng)固有頻率fn的值時,不論信號中是否存在待檢測頻率,振子相圖均收斂于極點,差分振子將無法對信號進行檢測。因此,使用差分振子檢測信號時,通常將激勵頻率設置為系統(tǒng)固有頻率。實驗表明,差分振子的初始值只是對差分振子相圖在坐標平面中的位置和形狀有影響,而對于差分振子相圖的收斂性影響極小,可以忽略不計。3.3信號幅值a的影響文獻和成功地利用差分振子檢測出微弱信號中的周期成分,但對待檢測信號幅值的確定缺少論述。大量仿真實驗發(fā)現(xiàn),差分振子相圖極環(huán)的大小與信號時域波形幅值的大小有著密切的關系?，F(xiàn)構造一個仿真信號如下y=A?sin(2π?30?t)+noise(15)固定信號中噪聲的類型和強度,僅改變有效正弦成分的幅值A,輸入同一差分振子得到如圖12所示結果。從圖12中可以看出,隨著信號幅值的增大,差分振子相圖也隨之不斷的增大。若將差分振子相圖所占的面積用一個外接正方形來衡量,則差分振子幅值的增加與正方形的邊長具有線性比例關系,幅值每增加0.25,對應正方形的邊長增加20,如圖13所示。不同的噪聲強度下,差分振子相圖的大小與信號幅值仍然具有穩(wěn)定的線性比例關系,如圖14所示。在差分振子各參數(shù)設置相同的條件下,差分振子相圖的大小反映了信號幅值的相對大小,通過信號幅值與差分振子相圖關系曲線圖,可以得到幅值的變化量,從而彌補了差分振子不能夠檢測信號幅值的缺憾。3.4振動信號分析2008年12月9日,某高線廠在線監(jiān)測系統(tǒng)發(fā)出報警,第25架精軋機的振動幅值超標,12月15日檢修時發(fā)現(xiàn),該精軋機齒輪箱一軸軸承內(nèi)圈嚴重磨損?，F(xiàn)利用差分振子對本次故障發(fā)生前20天左右的振動信號進行分析,期望能更早地發(fā)現(xiàn)故障特征以實現(xiàn)故障的早期診斷。該軋機驅動電機轉速為975r/min,軸承型號162250Y,采樣頻率4000Hz,采樣點數(shù)2048。依據(jù)設備傳動鏈和故障診斷原理可計算該軸承內(nèi)圈的故障特征頻率為43.158Hz。11月19日、20日、21日這三天的振動信號時域波形及其幅值譜如圖15所示。從圖15中可以發(fā)現(xiàn),19日到20日時域波形的振動幅值略有增加,但是幅度變化不大。對應的幅值譜中,頻譜低頻信息全部被噪聲淹沒,在低頻段無法得到任何設備運行的狀態(tài)信息。將這三組振動信號輸入同一個差分振子中,其相圖變化如圖16所示。在圖16中,19日的差分振子相圖收斂于極點,說明此信號中不含待檢測頻率。20日、21日的差分振子相圖收斂于極環(huán),說明此時信號中確實已含有待檢測頻率(即軸承內(nèi)圈故障特征頻率已開始顯現(xiàn)),相比較21日收斂于極環(huán)的狀態(tài)更加清晰、簡明。20日的差分振子相圖極環(huán)所占的正方形面積(10×10)明顯小于21日極環(huán)所占正方形的面積(23×23),說明21日的軸承內(nèi)圈故障頻率的單頻幅值比20日有所增加,故障信息更加明顯。圖16中的三個差分振子相圖明確表征出19日軸承沒有明顯的故障特征,20日開始出現(xiàn)輕微故障,并有惡化的趨勢,21日時故障特征表現(xiàn)得更為明顯。4故障表現(xiàn)分析2005年1月2日,某高線廠第20架軋機出現(xiàn)嚴重的振動超標報警,被迫停機檢修。開箱檢查結果為:該軋機齒輪箱一軸軸承保持架斷裂、滾動體變形、內(nèi)圈嚴重磨損。軋機驅動電機的轉速為1088r/min,軸承型號為162250Y,經(jīng)計算軸承保持架的故障頻率為5.126Hz,內(nèi)圈的故障頻率為11.667Hz,滾動體的故障特征頻率為94.836Hz。現(xiàn)利用前述三種非線性方法對2004年11月1日(即故障發(fā)生前兩個月)的早期數(shù)據(jù)進行分析,原始的振動信號時域波形及其幅值譜如圖17所示。從圖17可以看出信號的低頻部分被噪聲完全淹沒,無法看出設備運行狀態(tài)的任何信息。圖18(a)為該信號的包絡解調(diào)譜,亦看不出任何有用信息?，F(xiàn)利用并聯(lián)隨機共振對該信號進行分析,結果如圖18(b)所示。圖18(b)并聯(lián)隨機共振輸出的幅值譜