基于有限時(shí)間控制的永磁同步電機(jī)位置伺服系統(tǒng)控制

基于有限時(shí)間控制的永磁同步電機(jī)位置伺服系統(tǒng)控制

1有限時(shí)間穩(wěn)定性控制方法近年來，控制理論在開發(fā)和應(yīng)用于永通道電氣工程及其驅(qū)動(dòng)理論方面取得了很大進(jìn)展。通常PMSM采用線性模型和線性控制,但是永磁同步電機(jī)是一個(gè)典型的非線性多變量耦合系統(tǒng)。特別是實(shí)際的伺服電機(jī)系統(tǒng)容易受到未知負(fù)載和摩擦等非線性因素的影響。一般的線性控制器,不能很好地兼顧動(dòng)態(tài)響應(yīng)和抗干擾能力的要求,容易受電機(jī)參數(shù)變化和負(fù)載擾動(dòng)等不確定性的影響。為了克服這些問題,近年來有許多新的非線性控制技術(shù)應(yīng)用于永磁同步電機(jī)伺服系統(tǒng),如滑模變結(jié)構(gòu)控制、自適應(yīng)控制、自抗擾技術(shù)和智能控制等。從優(yōu)化的角度看,有限時(shí)間收斂的控制方法是時(shí)間最優(yōu)的控制方法。在控制系統(tǒng)中,收斂性能是一個(gè)比較關(guān)鍵的性能指標(biāo)。系統(tǒng)的有限時(shí)間收斂是指系統(tǒng)的狀態(tài)在有限時(shí)間內(nèi)達(dá)到平衡點(diǎn)(然后會(huì)一直停留在平衡點(diǎn)上)。研究表明,對(duì)有不確定和擾動(dòng)情況的系統(tǒng)進(jìn)行控制時(shí),和無限時(shí)間控制技術(shù)(指數(shù)收斂或一般其他的漸近收斂)相比,有限時(shí)間穩(wěn)定系統(tǒng)在原點(diǎn)附近具有更快的收斂性,而且具有更好的魯棒性和抗干擾性。一般說來,有限時(shí)間控制器設(shè)計(jì)方法分為開環(huán)控制方法、非連續(xù)狀態(tài)反饋控制方法和連續(xù)狀態(tài)反饋控制方法。開環(huán)控制方法缺乏抗干擾能力和魯棒性,在實(shí)際應(yīng)用中局限很大。以bang-bang控制為代表的非連續(xù)反饋控制方法存在控制器不易實(shí)現(xiàn),容易產(chǎn)生抖動(dòng)等問題。因此基于系統(tǒng)狀態(tài)的連續(xù)反饋控制方法很值得研究[8,9,10,11,12,13,14]。本文首先根據(jù)永磁同步電機(jī)的數(shù)學(xué)模型,將給定的期望位置信號(hào)與反饋位置信號(hào)進(jìn)行比較,得到二階的誤差信號(hào)模型。然后在文獻(xiàn)的基礎(chǔ)上,利用反步構(gòu)造法,提出了一種基于反饋線性化和有限時(shí)間控制技術(shù)的永磁同步電機(jī)控制策略。對(duì)于本文所涉及的二階系統(tǒng),還沒有現(xiàn)成的基于有限時(shí)間控制的擾動(dòng)分析結(jié)果。而在實(shí)際系統(tǒng)中,抗干擾性能是一個(gè)很重要的指標(biāo)。本文重點(diǎn)通過數(shù)學(xué)分析,證明了當(dāng)干擾存在時(shí),位置誤差可以收斂到原點(diǎn)的一個(gè)區(qū)域內(nèi),同時(shí)還給出了該區(qū)域與控制參數(shù)之間的關(guān)系。通過調(diào)節(jié)控制器參數(shù)可以使?fàn)顟B(tài)誤差收斂到一個(gè)小的區(qū)域內(nèi)。與基于PD和反饋線性化的控制方案相比,該狀態(tài)誤差的收斂區(qū)域的界可以更小。2基于矢量控制的雙閉環(huán)解耦控制在假設(shè)磁路不飽和,忽略磁滯、渦流損耗的影響,空間磁場(chǎng)呈正弦分布的條件下,在隨轉(zhuǎn)子旋轉(zhuǎn)的d-q坐標(biāo)系上,永磁同步電機(jī)的數(shù)學(xué)模型為˙id=-Rsid/Ld+npωiq+ud/Ld,˙iq=-npωid-Rsiq/Lq-npφfω/Lq+uq/Lq,˙ω=npφfiq/J-Bω/J-Τl/J+d1(t),˙θ=ω。}(1)式中:ud、uq為定子繞組d-q軸電壓;id、iq為定子繞組d-q軸電流;Ld、Lq為定子繞組直、交軸電感;Rs為定子電阻;φf為轉(zhuǎn)子永久磁體產(chǎn)生的磁勢(shì);np為電機(jī)極對(duì)數(shù);J為轉(zhuǎn)動(dòng)慣量;B為粘滯摩擦系數(shù),Tl為負(fù)載轉(zhuǎn)矩;ω電機(jī)轉(zhuǎn)子機(jī)械角速度;θ為電機(jī)轉(zhuǎn)角;d1(t)是系統(tǒng)的外部和內(nèi)部干擾。由狀態(tài)方程可知,d-q軸電流id和iq之間存在耦合關(guān)系,不能獨(dú)立調(diào)節(jié),不易實(shí)現(xiàn)轉(zhuǎn)矩線性化控制。在實(shí)際控制過程中,為實(shí)現(xiàn)轉(zhuǎn)子磁場(chǎng)定向的矢量控制,通常采用id=0的控制策略。由于電流環(huán)的響應(yīng)較快,采用PI控制,選取適當(dāng)?shù)碾娏髡{(diào)節(jié)器參數(shù)時(shí),一般能保證d-q軸電流反饋的信號(hào)id、iq可以較好地跟蹤給定信號(hào)i*d、i*q(假設(shè)iq對(duì)i*q的跟蹤誤差是有界的)。所以只要保持電流指令i*d=0,就近似實(shí)現(xiàn)了PMSM中電流的獨(dú)立控制,即實(shí)現(xiàn)了的轉(zhuǎn)速與電流的近似解耦。而只要用i*d來進(jìn)行外環(huán)控制器的設(shè)計(jì)即可。圖1為基于矢量控制的雙閉環(huán)解耦控制結(jié)構(gòu)?？紤]到有限時(shí)間控制技術(shù)對(duì)系統(tǒng)擾動(dòng)的有較好的抑制作用,有可能降低負(fù)載轉(zhuǎn)矩等擾動(dòng)對(duì)位置跟蹤性能的影響,在位置環(huán)設(shè)計(jì)了基于有限時(shí)間控制技術(shù)的控制器,內(nèi)環(huán)仍采用PI控制器。3永磁同步電機(jī)pmsm位置判斷控制目標(biāo)為:在永磁同步電機(jī)位置伺服系統(tǒng)中,設(shè)計(jì)一個(gè)基于反步構(gòu)造的有限時(shí)間的控制器,使位置輸出能夠跟蹤給定位置信號(hào)。假設(shè)給定位置信號(hào)θ*二階可導(dǎo),且各階導(dǎo)數(shù)有界。定義誤差狀態(tài)eθ=θ*-θ,由式(1)可以得出位置誤差系統(tǒng)的狀態(tài)方程為¨eθ=¨θ*-npφfi*q/J+Bω/J+Τl/J+d(t),(2)其中:d(t)=npφf(i*q-iq)/J-d1(t),是系統(tǒng)的總擾動(dòng)。假設(shè)1系統(tǒng)(2)的總擾動(dòng)d(t)是有界的,滿足|d(t)|≤l。(3)下面設(shè)計(jì)基于反步構(gòu)造的有限時(shí)間反饋控制器,分析其抗擾性能以及控制律參數(shù)與位置誤差收斂域之間的關(guān)系?？紤]非線性系統(tǒng)˙x=f(x),f(0)=0,x∈Rn,(4)其中f(x)為連續(xù)的向量函數(shù)。引理1對(duì)任何x,y∈R,0<p=p1/p2<1,其中p1,p2為互質(zhì)的正奇數(shù),則有不等式|xq-yq|≤21-q|x-y|q成立。引理2對(duì)任何x,y∈R,若c,d∈R+,γ(x,y)為任意正的實(shí)函數(shù),則下列不等式成立:|x|c|y|d≤cγ(x,y)|x|c+d/(c+d)+cγ-cd(x,y)|y|c+d/(c+d)引理3對(duì)任何xi∈R,i=1,…,n,0<p<1,則不等式(|x1|+?+|xn|)p≤|x1|p+?+|xn|p成立。定理1若系統(tǒng)(2)滿足假設(shè)1,對(duì)于永磁同步電機(jī)(PMSM)位置伺服系統(tǒng),采用反饋控制器i*q=Jnpφf×[¨θ*+BJω+ΤlJ+(2-1q)21-1/qk1+q1k2(˙eqθ+kq1eθ)2/q-1]?(5)則置誤差eθ可以收斂到區(qū)域|eθ|≤(k3/k1)q/(q+1)(2l/((2-1q)21-1/qkq+11k3))q/(2-q)。(6)其中:1<q=q1/q2<2,q1和q2是正奇數(shù);l為干擾d(t)的界,k1>0,且k2>21-1/q1+q(23-1/qqk1(1+q))q+1k1+qq+1(4(1+q)k1)1/q,k3=k2-21-1/q1+q(23-1/qqk1(1+q))q-1k1-q1+q(4(1+q)k1)1/q。證明令x1=eθ,x2=˙eθ,利用反饋線性化,則系統(tǒng)(2)化為雙積分線性系統(tǒng)為˙x1=x2,˙x2=u+d(t),(7)其中u=¨θ*-pφfi*q/J+Bω/J+Τl/J。取Lyapunov函數(shù)V1(x1)=x21/2,求導(dǎo)可得˙V1(x1)=x1x2≤x1(x2-x*2)+x1x*2,(8)其中,k1>0,1<q=q1/q2<2,q1和q2是正奇數(shù)。設(shè)計(jì)x*2=-k1x1/q1,則有˙V1(x1)≤x1(x2-x*2)-k1x1+1/q1。(9)取Lyapunov函數(shù)V2(x1,x2)=V1(x1)+1(2-1q)21-1/qk1+q1∫x2x*2(sq-x*q2)2-1qds,于是有˙V2≤-k1x1+1/q1+x1(x2-x*2)+121-1qk1+q1(?x*q2)?x1x2∫x2x*2(sq-x*q2)1-1qds+1(2-1q)21-1/qk1+q1ξ2-1q2u+1(2-1q)21-1/qk1+q1ξ2-1q2d(t)。(10)其中ξ2=xq2-x*q2。又因?yàn)?x*q2/?x1=-kq1,|d(t)|≤l,由式(9)整理可知˙V2≤-k1x1+1/q1+x1(x2-x*2)+121-1qk1x2∫x2x*2(sq-x*q2)1-1qds+1(2-1q)21-1/qkq+11ξ2-1q2u+1(2-1q)21-1/qk1+q1ξ2-1q2l。(11)即˙V2≤-k1x1+1/q1+x1(x2-x*2)+121-1qk1|x2||x2-x*2|ξ1-1/q2+1(2-1q)21-1/qkq+11ξ2-1q2u+1(2-1q)21-1/qk1+q1ξ2-1q2l。(12)由引理1可知|x2-x2*|≤21-1q|ξ2|1q,(13)故V˙2≤-k1x11+1/q+21-1q|x1||ξ2|1/q+1k1|x2||ξ2|+1(2-1q)21-1/qk1q+1ξ22-1qu+1(2-1q)21-1/qk11+qξ22-1ql。(14)由引理2得21-1/qx1(x2-x2*)≤21-1/q|x1|ξ21/q≤k1x11+1/q/4+(23-1/qqk1(1+q))qξ21+1/q。(15)注意到x2=(ξ2+x2*q)1q,由引理3可得|x2|≤|ξ2|1q+|x2*|=|ξ2|1q+k1|x1|1/q。由引理2得|x2ξ2|/k1≤ξ21+1/q/k1+|x1|1/q|ξ2|≤ξ21+1/q/k1+k14x11+1/q+11+q(4k1(1+q))1/qξ21+1/q。(16)整理式(14)、(15)、(16)得V˙2≤-k1x11+1/q+k14|x1|1+1/q+21-1q11+q(23-1/qqk1(1+q))qξ21+1/q+1k1ξ21+1/q+k14x11+1/q+qq+1(4(1+q)k1)1/qξ21+1/q+1(2-1q)21-1/qk1q+1ξ22-1q(u+l)。(17)若控制律u設(shè)計(jì)為u=-(2-1/q)21-1/qk11+qk2(x2q+k1qx1)2/q-1,(18)其中,k1>0,k2>21-1/q1+q(23-1/qqk1(1+q))q+1k1+qq+1(4(1+q)k1)1/q。代入式(17)則有V˙2≤-k12x11+1/q-k3ξ21+1/q+l(2-1q)21-1/qk1q+1ξ22-1q,(19)其中:k3=k2-21-1/q11+q(23-1/qqk1(1+q))q-1k1-q1+q(41+q)1/q。令Ω1={(x1,x2):|ξ2|≤(2l(2-1q)21-1/qk1q+1k3)q2-q}。若(x1,x2)∈ˉΩ1,易驗(yàn)證V˙2≤-(k1x11+1/q+k3ξ21+1/q)/2。(20)初始狀態(tài)(x1(0),x2(0))存在兩種情況。一種情況是在Ω1外,由于V˙2<0,存在t1>0使得(x1(t1),x2(t1))∈bdΩ1,其中bdΩ1是Ω1的邊界;另一種情況是初始狀態(tài)在Ω1內(nèi),即(x1,x2)∈Ω1。如果(x1,x2)在Ω1內(nèi)且不超出其范圍,就不需要證明。我們只需要證明(x1,x2)會(huì)脫離Ω1的情況。對(duì)于這種情況,仍然存在t1>0使(x1(t1),x2(t1))∈bdΩ1。下面證明(x1(t),x2(t))∈Ω1對(duì)于任意t∈[t1,∞)成立。令m=min(x1,x2)∈bdΩ1k3ξ21+1/q/2,即m=k32(2l(2-1q)21-1/qk1q+1k3)1+q2-q。對(duì)于任意(x1(t),x2(t))∈bdΩ1有V˙2≤-m<0。由于V2(x1,x2)是連續(xù)的,于是存在s1>0使(x1(t),x2(t))∈Ω1對(duì)于t∈[t1,t1+s1)成立。假設(shè)存在h∈[t1,+∞),使(x1(h),x2(h))∈ˉΩ1,得到存在δ∈(t1,h),使(x1(δ),x2(δ))∈bdΩ1成立。注意到V˙2(x1(δ),x2(δ))≤-m<0和V2的連續(xù)性,即存在s2>0,使V2(x1(t),x2(t))在[δ-s2,δ)上是單調(diào)遞減的。因此有m=k3ξ21+1/q(δ)/2≤k3ξ21+1/q(δ-s2)/2<m,這是矛盾的。因此對(duì)任意t∈[t1,+∞),有狀態(tài)(x1(t),x2(t))∈Ω1。注意到|ξ2|≤(2l/((2-1q)21-1/qk1q+1k3))q/(2-q),t>t1。可得V˙2≤-k12x11+1/q-k3ξ21+1/q+l(2-1q)21-1/qk1q+1(2l(2-1q)21-1/qk1q+1k3)2q-12-q,t>t1。(21)若k12x11+1/q≥l(2-1q)21-1/qk1q+1(2l(2-1q)21-1/qk1q+1k3)2q-12-q,則有V˙2≤-k3ξ21+1/q。所以,x1將收斂于區(qū)域|x1|≤(k3/k1)q/(1+q)(l/((2-1q)21-1/qk1q+1k3))q/(2-q)。(22)將式(18)代入式(7)可得位置環(huán)的控制器為iq*=Jnpφf×[θ¨*+BJω+ΤlJ+(2-1q)21-1/qk11+qk2(e˙θq+k1qeθ)2/q-1]。證畢。當(dāng)式(18)取q=1時(shí),控制律將退化為PD控制器,即u=-k12k2(x2+k1x1)。(23)此時(shí),永磁同步電機(jī)位置環(huán)的控制器為iq*=J[θ¨*+Bω/J+Τl/J+k12k2(e˙θ+k1eθ)]/(npφf)?(24)其中,k1>0,k2>3/k1,采用和定理1相似的證明方法,可以證明系統(tǒng)的狀態(tài)將會(huì)收斂于區(qū)域|x1|≤(k3/k1)12(2l/k12k3),(25)其中k3=k2-3/k1。通過比較式(22)和式(25)可知,兩種控制器設(shè)計(jì)下穩(wěn)態(tài)誤差收斂區(qū)域調(diào)節(jié)性能的差別。在實(shí)際應(yīng)用中,為了提高系統(tǒng)抗擾動(dòng)能力,一般調(diào)節(jié)增益到盡可能的大,這樣可以保證穩(wěn)態(tài)誤差界比較小,如調(diào)節(jié)k1、k3使得式(22)中(2-1/q)21-1/qk11+qk3>2l、k1、k3越大,穩(wěn)態(tài)誤差界越小。然而,考慮到能量限幅和穩(wěn)定性因素,k1、k3不能無限制的增大。因此,僅依靠增益調(diào)節(jié)的方法調(diào)節(jié)能力有限。但由式(25)可知,基于有限時(shí)間控制的控制系統(tǒng)誤差收斂域中存在冪項(xiàng)q/(2-q),調(diào)節(jié)參數(shù)q足夠接近2時(shí),可以使閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差區(qū)域任意小。在控制能量不需要明顯增大的情況下,進(jìn)一步提高了閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差和抗干擾性能。4基于pd控制的永磁共步電機(jī)位置控制比較在Matlab下對(duì)永磁同步電機(jī)位置伺服系統(tǒng)進(jìn)行了仿真。仿真中所采用永磁同步電機(jī)的參數(shù)為:額定功率P=0.75kW,d-q軸電感L=0.01H,額定轉(zhuǎn)速nN=2500r/min,極對(duì)數(shù)np=4,轉(zhuǎn)子慣量J=7.24×10-4kg·m2,定子電阻Rs=1.9Ω,阻尼系數(shù)B=0.02μN(yùn)·m·s·rad-1,轉(zhuǎn)子永磁磁鏈ψf=0.353Wb,額定力矩TN=2.67N·m。在電流環(huán)都采用PI控制器情況下,永磁同步電機(jī)位置伺服系統(tǒng)的位置環(huán)分別采用基于反饋線性化和反步構(gòu)造有限時(shí)間控制技術(shù)的控制器(5)及基于PD和反饋線性化的控制器(24),對(duì)兩者進(jìn)行了比較。其電流環(huán)系數(shù)相同,均為比例增益kp=30,積分增益kI=600。為了公平比較,兩種控制器參數(shù)的選取基于原則:①滿足定理1條件;②控制量在同一個(gè)級(jí)別;③控制效果相對(duì)較優(yōu)。根據(jù)參數(shù)調(diào)節(jié)經(jīng)驗(yàn),基于有限時(shí)間控制器的參數(shù)選取為k1=12,q=21/17,k2=1.8?；赑D控制的控制器參數(shù)選取為:k1=6.08,k2=7.04。給定位置信號(hào)為θ=20π(rad),干擾信號(hào)為sin(10t)+cos(10t),在1.5s時(shí)突加負(fù)載轉(zhuǎn)矩,突加負(fù)載轉(zhuǎn)矩Tl=10N·m。圖2(a)、(b)是兩種控制器情況下的階躍響應(yīng)對(duì)比。圖2(a)中雖然二者都有較好的控制效果,沒有超調(diào)且很快到達(dá)穩(wěn)態(tài),但在相同級(jí)別的控制量(見圖3)情況下,基于有限時(shí)間的控制器具有更快的響應(yīng)時(shí)間。在干擾信號(hào)作用下,穩(wěn)態(tài)波動(dòng)也更小,抗擾動(dòng)性能較好。圖2(b)是兩種控制器的抗負(fù)載擾