第三章應變理論課件

第三章

應變理論§3-1§3-2§3-3§3-4§3-5§3-6§3-7位移和變形小應變張量（幾何方程）轉(zhuǎn)動張量主應變和應變不變量變形協(xié)調(diào)方程位移場的單值條件由應變求位移目

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應變理論研究方法用運動學觀點研究物體的變形主要內(nèi)容介紹應變的概念及性質(zhì),討論變形體研究的另一個基本關(guān)系：變形與位移之間的關(guān)系應變協(xié)調(diào)方程適用范圍任何連續(xù)介質(zhì)§3-1

位移和變形圖1各點位移矢量的集合確定了物體的位移場。在彈性力學中，通常假定位移場足夠光滑，存在三階以上的連續(xù)偏導數(shù)。在載荷作用下，物體內(nèi)各質(zhì)點會產(chǎn)生位移，導致構(gòu)型變化（位置和形狀）。物體形狀的變化稱為變形，其中包括體積改變和形狀畸變。首先定義位移場。設變形前物體內(nèi)一點

,其坐標為 矢徑為 。變形后，該點變成 ，設其坐標為 ，矢徑為 （如圖1所示）。于是，變形前后位置矢量之差稱為點的位移矢量，記為 ，因而（1）設 在坐標系中的分量為即，因此（2）或顯然，位移分量 都是點

的坐標 的連續(xù)函數(shù)，當考慮動力學問題時，它們也是時間的函數(shù)。§3-1位移和變形§3-1位移和變形由于要求物體變形前后都是連續(xù)體，因此點 變形后坐標 與變形前 是一一對性的，即拉格朗日描述法而且反函數(shù)亦存在，即歐拉描述法這說明雅克比行列式這被稱為連續(xù)性公理，表示變形前物體的體元、面元和線元變形后仍為體元、面元和線元，物體既不會撕裂也不會重疊。物體的變形是由一點鄰域內(nèi)的局部幾何變化來描述的，即由過該點P任一微分線元長度的變化和過點P任意兩個微分線元之間夾角的變化來描述的。根據(jù)任意微分線元長度的變化（dS0變?yōu)閐S)，按照拉格朗日描述可以定義描述大變形的格林應變張量，即§3-1位移和變形這是格林應變張量的位移分量表達式，是二階對稱張量§3-1

位移和變形引進位移梯度在笛卡爾坐標系中的定義為則格林應變張量可用實體符號寫成：按照歐拉描述還可以定義描述大變形的阿爾曼西（Almansi,E)應變張量，即它也是二階對稱張量由此可見：物體無變形（線元長度不變，僅作剛體運動）的充分必要條件是應變張量處處為零?！?-1

位移和變形線性彈性力學的研究對象是位移比物體尺寸小得多的小變形情況。這時位移分量的一階導數(shù)遠小于1，即略去二階小量后有在小變形情況下，忽略二階小量后拉格朗日描述與歐拉描述沒有區(qū)別！即有稱為柯西應變張量或小應變張量其實體表示形式為是二階對稱張量，只有六個獨立分量。§3-1

位移和變形在笛卡爾坐標系中，其常用形式為這是一組線性微分方程，稱為應變-位移公式或幾何方程。根據(jù)它可以從位移分量導出應變分量，或由應變分量積分得到位移分量。若已知該直平行六面體各

棱長度的變化以及直平行

六面體各平面間夾角的改

變量，該點鄰域內(nèi)變形將

被決定。在小變形理論中，用正應變描述微元線段長

度的變化，以拉伸為正，

壓縮為負；而剪應變描述

兩微元線段所夾角度的變

化。圖2§3-1位移和變形設過點P取一個微小的直平行六面體，它的各個面分別與坐標面相平行，如圖2所示。若變形使夾角減小，則剪應變?yōu)檎羰箠A角增大，則剪應變?yōu)樨?。在小變形理論中，正應變和剪應?/p>

分別定義為定義六個變形分量，即三個正應變，和三個剪應變§3-1位移和變形和，沿 軸和 軸的方向取，如圖3。經(jīng)過彈性體內(nèi)的任意一點兩個微小長度的線段假定彈性體受力以后,三點分別移動到?！?-2小應變張量（幾何方程）圖3求線段

和示。設 點在的正應變，即

和 ，用位移分量表方向的位移分量是 ，則 點在 方向的位移分量，由于 坐標的改變，可用泰勒級數(shù)表示為在略去二階及更高階的微量以后簡化為線段 的正應變是（3）§3-2小應變張量（幾何方程）由于位移是微小的， 方向的位移所引起的線段

的伸縮，是更高一階微小的，略去不計。同樣線段的正應變是（4）求出線段

與 之間的直角改變，也就是剪應變 ，用位移分量來表示?！?-2小應變張量（幾何方程）由圖可見，剪應變是由兩部分組成的：一部分是由 方向的位移 引起的，即 方向的線段

的角 ；另一個部分是由 方向的位移 引起的，即方向的線段 的轉(zhuǎn)角

。圖§3-2小應變張量（幾何方程）設 點在 方向的位移分量是位移分量將是 。線段，則 點在 方向的的轉(zhuǎn)角是同樣可得線段的轉(zhuǎn)角是§3-2小應變張量（幾何方程）于是可見，

與 之間的直角的改變（以減小時為正），也就是剪應變 ，為（5）綜合（3）、（4）、(5)三式，得出平面問題中表明形變分量與位移分量之間的關(guān)系式，即幾何方程在平面問題中的簡化形式,也就是§3-2小應變張量（幾何方程）同理得可得其他分量該方程組稱為幾何方程，又稱柯西方程，它給出了6個應變分量與3個位移分量之間的關(guān)系。（6）§3-2 小應變張量（幾何方程）如果對式（6）中后一列的3個式子兩邊同除2，并令張量形式為§3-2小應變張量（幾何方程）根據(jù)格林應變張量可以定義變形前后線元長度之比為伸長比，即為變形前線元方向的單位矢量其中為線元的方向余弦變形后，線元方向的單位矢量為其中方向余弦§3-2小應變張量（幾何方程）即討論線元間夾角余弦的變化考慮變形前的兩個任意線元,其單位矢量分別為方向余弦分別為夾角余弦為變形后兩線元單位矢量分別變?yōu)榉较蛴嘞曳謩e為變形后兩線元夾角余弦為§3-2小應變張量（幾何方程）對小變形情況有：§3-2小應變張量（幾何方程）應變張量 （或）給出了物體變形狀態(tài)的全部信息。通常定義 方向線元的工程正應變 為變形前后線元長度的相對變化，即其展開形式為當取分別為時，有所以，小應變張量 的三個對角分量分別等于坐標軸方向三個線元的工程正應變，以伸長為正，縮短為負?！?-2小應變張量（幾何方程）再看線元的轉(zhuǎn)動，根據(jù)前面導出的結(jié)果，可知任意線元變形后的方向余弦為可由位移梯度分量 和線元正應變計算任意方向線元變形后的方向余弦?？紤]兩線元間的夾角變化§3-2小應變張量（幾何方程）若變形前兩線元互相垂直，即令 為變形后線元間直角的減小量，則由上式可得通常定義兩正交線元間的直角減小量為工程剪應變，即若 為坐標軸方向的單位矢量，例如其余的方向余弦均為零，則由上式得§3-2 小應變張量（幾何方程）§3-2小應變張量（幾何方程）小應變張量的六個分量的幾何意義：當指標i=j時，表示沿坐標軸i方向線性工程正應變，以伸長為正，縮短為負；當時，的兩倍表示坐標軸i與j方向兩個正交線元間的工程剪應變。以銳化（直角減小）為正，鈍化（直角增大）為負。應變張量與應力張量都是二階對稱張量。應變張量與應力張量一樣，也具有不變性和對稱性。在坐標變換時，新老坐標中的應變張量分量 應滿足轉(zhuǎn)軸公式 ，由此可根據(jù)九個應變分量 求出任意方向的正應變和剪應變，小應變張量完全表征了一點的應變狀態(tài)。應變張量可分解為應變球量和應變偏量之和。例1.已知位移分量為式中 為常數(shù)。試求應變分量，并指出所研究物體的受力狀況。解：應變分量為物體的受力狀況為等直桿兩端承受著扭矩作用。例

題的位移為,則點如圖4設過點一微元線段從物體中任意取出。若令點 的坐標為 ，則點 的坐標為變形后， 變成 。令點的位移為于是圖4§3-3轉(zhuǎn)動張量§3-3轉(zhuǎn)動張量其中§3-3轉(zhuǎn)動張量若令則表示位移矢量 的旋度， 則分別表示物體內(nèi)微元體繞相應的坐標軸的旋轉(zhuǎn)分量，而 則代表微元體的剛性轉(zhuǎn)角。§3-3

轉(zhuǎn)動張量結(jié)論：點P鄰域內(nèi)的任意點M的位移由三部分組成包含 的剛性平動；包含 的剛性轉(zhuǎn)動；包括應變分量 的純變形。并且上述三步的次序是可以交換的。令（*）§3-3轉(zhuǎn)動張量（**）稱（*）式為點 的無限小應變張量，（**）式為點的無限小轉(zhuǎn)動張量?？梢姂儚埩渴菍ΨQ張量。而轉(zhuǎn)動張量是反對稱張量，元素

和 分別為無限小應變分量和無限小轉(zhuǎn)動分量。注：由定義的變形分量排成形式，它不構(gòu)成張量。通常稱工程應變應變分量 、轉(zhuǎn)動分量 與位移分量 的關(guān)系用張量記號可表示為不難得到

和導數(shù)之間如下關(guān)系§3-3轉(zhuǎn)動張量§3-4

主應變和應變不變量由下圖可知，在小變形理論中物體內(nèi)某點鄰域的變形由剛性平移、剛體轉(zhuǎn)動以及純變形三部分組成，而且微元線段

PM方向的改變實際是由剛體轉(zhuǎn)動和切變形所引起的。如果在變形過程中該微元段的方向保持不變，則稱該方向上線段的應變?yōu)橹鲬?，相應的方向稱為應變主方向（與主應力相對應）。應變主方向的方向余弦l，m，n滿足方程：特征方程組由，上式有非零解的必要條件是系數(shù)行列式為零，即此式為應變張量的特征方程，其根為主應變。其中：§3-4

主應變和應變不變量此式為應變張量的第一、第二、第三不變量?！?-4主應變和應變不變量應變張量的第一、第二、第三不變量用主應變表示為類似結(jié)論所有主應變都是實數(shù)。與兩個不同的主應變對應的主方向彼此正交。§3-4主應變和應變不變量若特征方程式有重根時，相應的主方向是不確定的，對于一對重根，在平面內(nèi)的任意兩個正交方向都可選為主方向，第三方向與該平面垂直。若特征方程式三個根均相等時，則過

P

點的任意三個垂直方向均可選為主方向。此時該點鄰域內(nèi)的變形為均勻膨脹或壓縮狀態(tài)。在物體內(nèi)點

P

處至少存在三個彼此正交的方向，變形后仍保持正交。參考于這三個正交的方向，切應變?yōu)榱?，而主應變即為對應的法向分量?！?-4主應變和應變不變量§3-4主應變和應變不變量的正六面體，變形后其相對體積沿主方向取出邊長為變化為（略去高階小量）：因此第一應變不變量 表示每單位體積變形后的體積變化，又稱體積應變。例題物體內(nèi)部一點的應變場可用張量表示為試求：（1）在方向上的線應變（2）

和 兩垂直方向間夾角的變化量（3）應變主應變、應變主方向和應變不變量（作業(yè)）解：1）2）例題由幾何方程可知位移與應變的關(guān)系為§3-5變形協(xié)調(diào)方程通過對上式直接求導可得同一坐標平面上應變分量之間的關(guān)系，例如，由§3-5變形協(xié)調(diào)方程板書！同理可得§3-5變形協(xié)調(diào)方程下面推導不同坐標平面內(nèi)應變分量之間的關(guān)系。例如，由板書！同理可得因此為保證物體變形后仍為連續(xù)體，應變分量之間必須滿足上述變形協(xié)調(diào)條件（也稱相容性方程）?！?-5變形協(xié)調(diào)方程應變協(xié)調(diào)方程——圣維南

（Saint

Venant）方程§3-5變形協(xié)調(diào)方程圣維南（A.J.Saint-Venant）1797年生于法國，

1886年逝世。1825年畢業(yè)于巴黎橋梁公路學校，后從事工程設計工作，1837年回該校任教，1868年當選為法國科學院院士。在彈性力學、塑性力學、流體力學等方面做出了貢獻。他的力作用的局部思想被稱為“圣維南原理”?！?-5變形協(xié)調(diào)方程圣維南（A.J.Saint-Venant）應變協(xié)調(diào)方程的物理意義：物體變形后每一單元體都發(fā)生形狀改變，如變形不滿足一定的關(guān)系，變形后的單元體將不能重新組合成連續(xù)體，其間將產(chǎn)生縫隙或出現(xiàn)相互嵌入現(xiàn)象。為使變形后的物體保持連續(xù)體，應變分量必須滿足一定的關(guān)系。注：應變協(xié)調(diào)方程是變形連續(xù)的必要和充分條件！§3-5變形協(xié)調(diào)方程例1.設物體變形時產(chǎn)生的應變分量為試確定系數(shù)之間應滿足的關(guān)系式。例

題解：該應變狀態(tài)屬于平面應變狀態(tài)，這些應變分量應滿足變形協(xié)調(diào)條件。由應變分量可得：將上式代入到，得：例

題在物體內(nèi)任意一點上，即x，y為任意值時，上式皆成立，因此得：上式即為系數(shù)應變應滿足的條件，而系數(shù)可為任意常數(shù)。例

題利用位移和轉(zhuǎn)動分量的全微分，則輪換x,y,z，可得dv，dw和dwy，dwz保證單值連續(xù)的條件是：積分與積分路徑無關(guān)。§3-6位移場的單值條件通過位移積分表達式，計算出位移應是單值連續(xù)的（16）（17）（18）§3-6位移場的單值條件轉(zhuǎn)角位移：也是單值連續(xù)的，則問題得證?！?-6位移場的單值條件上述積分與積分路徑無關(guān)，利用格林公式對于（16）式的位移單值連續(xù)性條件要求§3-6位移場的單值條件對于（17）式的單值連續(xù)性條件要求§3-6位移場的單值條件對于（18）式的位移單值連續(xù)性條件要求§3-6位移場的單值條件對上述9個方程聯(lián)立，求得代入轉(zhuǎn)角位移的積分表達式§3-6位移場的單值條件其余兩式同理可得類似的變形協(xié)調(diào)方程。ωx單值連續(xù)的必要與充分條件為：由此可證：變形協(xié)調(diào)方程是

單連通域位移

單值連續(xù)的必

要和充分條件?！?-6位移場的單值條件對于滿足協(xié)調(diào)方程的應變，可以通過對幾何方程積分求出與之對應的位移。由笛卡爾坐標系中的幾何方程積分§3-7

由應變求位移3.7.1線積分法一種由線積分求位移的通用步驟：（1）求位移分量，因為可見，只要導出 的三個一階偏導數(shù)與應變分量的表達式，就可由上式積分出位移 。由幾何方程可得§3-7

由應變求位移3.7.1線積分法先考慮注意到對求導§3-7

由應變求位移，3.7.1線積分法仿照對 的處理方法，為了求得還需導出它的另外兩個偏導數(shù)和故§3-7

由應變求位移3.7.1線積分法于是可得用同樣的思路可求得偏導數(shù)，然后代入求 的公式就能積分出位移分量

。只要應變滿足協(xié)調(diào)方程，以上各式中的積分均與路徑無關(guān)。一般取與坐標軸平行的折線為積分路徑即可?！?-7

由應變求位移3.7.1線積分法（1）求求解思路§3-7

由應變求位移3.7.1線積分法（2）求§3-7

由應變求位移3.7.1線積分法（3）求上式中出現(xiàn)的六個積分常數(shù)

和 分別對應于剛體平移和剛體轉(zhuǎn)動的六個自由度，須由外部約束條件決定。如果獨立的約束條件少于六個，則物體是可動的；如果多于六個，則約束可能引起附加的應力場?！?-7

由應變求位移3.7.2

直接積分法下面以無應變狀態(tài)

為例，說明處理常數(shù)時應注意的問題。當應變不為零時，處理過程類似，只是多了一些來自非零應變的積分項。由正應變表達式分別對積分§3-7

由應變求位移3.7.2直接積分法代入§3-7

由應變求位移3.7.2直接積分法同理，由第三式有將 代入后有上式對任意 值均應成立，有故同理可由得§3-7

由應變求位移由得無應變的剛體運動只有六個自由度，而求解中出現(xiàn)了12個常數(shù)。其中多余的六個常數(shù)屬于求導后的高階方程組，所

以要求更多的積分常數(shù)。但我們只關(guān)心右上角方程組的解，故位移表達式代入其中，有§3-7

由應變求位移3.7.2直接積分法對任意均應成立獨立常數(shù)降為6個積分常數(shù)積分常數(shù)是剛體平移是剛體轉(zhuǎn)動§3-7

由應變求