橢圓教案帶詳解

橢圓專項(xiàng)拿出事先準(zhǔn)備好的自制教具：木板、細(xì)繩、圖釘、鉛筆，同桌一起合作畫橢圓．精心設(shè)計(jì)了三個(gè)問題：1、在作圖時(shí),細(xì)繩的兩端位置是固定的還是運(yùn)動(dòng)的？2、在作圖時(shí)，繩子的長(zhǎng)度變了沒有？闡明了什么？

3在作圖時(shí)，繩子長(zhǎng)度與兩定點(diǎn)距離大小有如何的關(guān)系？通過觀察后思考：在移動(dòng)筆尖的過程中，細(xì)繩的長(zhǎng)度保持不變，即筆尖到兩個(gè)定點(diǎn)的距離之和等于常數(shù).運(yùn)用上述實(shí)驗(yàn)總結(jié)出橢圓定義；橢圓有哪些性質(zhì)？1．橢圓的定義在平面內(nèi)與兩定點(diǎn)F1，F(xiàn)2的距離的和等于常數(shù)(不小于|F1F2|)的點(diǎn)的軌跡叫做橢圓．這兩定點(diǎn)叫做橢圓的焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)間的距離叫做橢圓的焦距．集合P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a＞0，c＞0，且a，c為常數(shù)：(1)若a＞c，則集合P為橢圓；(2)若a＝c，則集合P為線段；(3)若a＜c，則集合P為空集．2．橢圓的原則方程和幾何性質(zhì)原則方程eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)eq\f(y2,a2)＋eq\f(x2,b2)＝1(a>b>0)圖形性質(zhì)范疇－a≤x≤a－b≤y≤b－b≤x≤b－a≤y≤a對(duì)稱性對(duì)稱軸：坐標(biāo)軸；對(duì)稱中心：原點(diǎn)頂點(diǎn)A1(－a，0)，A2(a，0)B1(0，－b)，B2(0，b)A1(0，－a)，A2(0，a)B1(－b，0)，B2(b，0)軸長(zhǎng)軸A1A2的長(zhǎng)為2a；短軸B1B2的長(zhǎng)為2b焦距|F1F2|＝2c離心率e＝eq\f(c,a)∈(0，1)a，b，c的關(guān)系c2＝a2－b21．(·浙江寧波高二檢測(cè))已知橢圓eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,b2)＝1過點(diǎn)(－2，eq\r(3))，則其焦距為(D)A．8 B．12C．2eq\r(3) D．4eq\r(3)[解析]把點(diǎn)(－2，eq\r(3))代入eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,b2)＝1，得b2＝4，∴c2＝a2－b2＝12.∴c＝2eq\r(3)，∴2c＝4eq\r(3).2．(·廣東文)已知橢圓eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,m2)＝1(m＞0)的左焦點(diǎn)為F1(－4,0)，則m＝(B)A．2 B．3C．4 D．9[解析]∵橢圓eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,m2)＝1(m>0)的左焦點(diǎn)為F1(－4，0)，∴c＝4＝eq\r(25－m2)，∴m2＝9，∴m＝3，選B．3．已知F1、F2是橢圓eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,9)＝1的兩個(gè)焦點(diǎn)，過點(diǎn)F2的直線交橢圓于點(diǎn)A、B，若|AB|＝5，則|AF1|＋|BF1|＝(A)A．11 B．10C．9 D．16[解析]由方程知a2＝16，∴2a＝8，由橢圓定義知，|AF1|＋|AF2|＝8，|BF1|＋|BF2|＝8，∴|AF1|＋|AF2|＋|BF1|＋|BF2|＝|AF1|＋|BF1|＋|AB|＝16，∴|AF1|＋|BF1|＝11，故選A．4．(·山東濟(jì)寧高二檢測(cè))設(shè)P是橢圓eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,12)＝1上一點(diǎn)，P到兩焦點(diǎn)F1、F2的距離之差為2，則△PF1F2是(B)A．銳角三角形 B．直角三角形C．鈍角三角形 D．等腰直角三角形[解析]由橢圓定義，知|PF1|＋|PF2|＝2a＝8.又|PF1|－|PF2|＝2，∴|PF1|＝5，|PF2|＝3.又|F1F2|＝2c＝2eq\r(16－12)＝4，∴△PF1F2為直角三角形．5．對(duì)于常數(shù)m、n，“mn>0”是“方程mx2＋ny2＝1的曲線是橢圓”的(B)A．充足而不必要條件 B．必要而不充足條件C．充足必要條件 D．既不充足也不必要條件[解析]若方程mx2＋ny2＝1的曲線是橢圓，則m>0，n>0，從而mn>0，但當(dāng)mn>0時(shí)，可能有m＝n>0，也可能有m<0，n<0，這時(shí)方程mx2＋ny2＝1不表達(dá)橢圓，故選B．1、橢圓方程的求解求滿足下列條件的橢圓的原則方程：(1)焦點(diǎn)在y軸上，焦距是4，且通過點(diǎn)M(3,2)；(2)a︰c＝13︰5，且橢圓上一點(diǎn)到兩焦點(diǎn)的距離的和為26.[解析](1)由焦距是4可得c＝2，且焦點(diǎn)坐標(biāo)為(0，－2)，(0,2)．由橢圓的定義知，2a＝eq\r(32＋2＋22)＋eq\r(32＋2－22)＝8，因此a＝4，因此b2＝a2－c2＝16－4＝12.又焦點(diǎn)在y軸上，因此橢圓的原則方程為eq\f(y2,16)＋eq\f(x2,12)＝1.(2)由題意知，2a＝26，即a＝13，又eq\f(a,c)＝eq\f(13,5)，因此c＝5，因此b2＝a2－c2＝132－52＝144，由于焦點(diǎn)所在的坐標(biāo)軸不擬定，因此橢圓的原則方程為eq\f(x2,169)＋eq\f(y2,144)＝1或eq\f(y2,169)＋eq\f(x2,144)＝1.變式探究：設(shè)橢圓的中心是坐標(biāo)原點(diǎn)，長(zhǎng)軸在x軸上，離心率e＝eq\f(\r(3),2)，已知點(diǎn)P(0，eq\f(3,2))到橢圓的最遠(yuǎn)距離是eq\r(7)，求橢圓的原則方程.[解析]依題意可設(shè)橢圓方程為eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)，則e2＝eq\f(c2,a2)＝eq\f(a2－b2,a2)＝1－eq\f(b2,a2)＝eq\f(3,4)，因此eq\f(b2,a2)＝eq\f(1,4)，即a＝2b.設(shè)橢圓上的點(diǎn)(x，y)到點(diǎn)P的距離為d，則d2＝x2＋(y－eq\f(3,2))2＝a2(1－eq\f(y2,b2))＋y2－3y＋eq\f(9,4)＝－3(y＋eq\f(1,2))2＋4b2＋3.若b<eq\f(1,2)，則當(dāng)y＝－b時(shí)，d2有最大值，從而d有最大值，于是(eq\r(7))2＝(b＋eq\f(3,2))2，由于b>0，從而解得b＝eq\r(7)－eq\f(3,2)<eq\f(1,2)，與b<eq\f(1,2)矛盾．因此必有b≥eq\f(1,2)，此時(shí)當(dāng)y＝－eq\f(1,2)時(shí)，d2有最大值，從而d有最大值，因此4b2＋3＝(eq\r(7))2，解得b2＝1，a2＝4.于是所求橢圓的原則方程為eq\f(x2,4)＋y2＝1.2、焦點(diǎn)三角形問題的探索已知F1、F2是橢圓eq\f(x2,100)＋eq\f(y2,64)＝1的兩個(gè)焦點(diǎn)，P是橢圓上任一點(diǎn)，若∠F1PF2＝eq\f(π,3)，求△F1PF2的面積.[解析]設(shè)|PF1|＝m，|PF2|＝n.根據(jù)橢圓定義有m＋n＝20，又c＝eq\r(100－64)＝6，∴在△F1PF2中，由余弦定理得m2＋n2－2mncoseq\f(π,3)＝122，∴m2＋n2－mn＝144，∴(m＋n)2－3mn＝144，∴mn＝eq\f(256,3)，∴S△F1PF2＝eq\f(1,2)|PF1||PF2|sin∠F1PF2＝eq\f(1,2)×eq\f(256,3)×eq\f(\r(3),2)＝eq\f(64\r(3),3).3、軌跡方程問題如圖所示，在圓C：(x＋1)2＋y2＝25內(nèi)有一點(diǎn)A(1,0)．Q為圓C上一點(diǎn)，AQ的垂直平分線與C，Q的連線交于點(diǎn)M，求點(diǎn)M的軌跡方程.[解析]如圖所示，連接MA，由題知點(diǎn)M在線段CQ上，從而有|CQ|＝|MQ|＋|MC|.又點(diǎn)M在AQ的垂直平分線上，因此|MA|＝|MQ|，故|MA|＋|MC|＝|CQ|＝5.又A(1,0)，C(－1,0)，故點(diǎn)M的軌跡是以(1,0)，(－1,0)為焦點(diǎn)的橢圓，且2a＝5，c＝1，故a＝eq\f(5,2)，b2＝a2－c2＝eq\f(25,4)－1＝eq\f(21,4).故點(diǎn)M的軌跡方程為eq\f(x2,\f(25,4))＋eq\f(y2,\f(21,4))＝1.變式探究：（1）已知點(diǎn)P(x0，y0)是橢圓eq\f(x2,8)＋eq\f(y2,4)＝1上一點(diǎn)，A點(diǎn)的坐標(biāo)為(6,0)，求線段PA中點(diǎn)M的軌跡方程.[解析]設(shè)M(x，y)，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(x0＋6,2)＝x,\f(y0＋0,2)＝y(tǒng)))，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x0＝2x－6,y0＝2y))，∵點(diǎn)P在橢圓eq\f(x2,8)＋eq\f(y2,4)＝1上，∴eq\f(x\o\al(2,0),8)＋eq\f(y\o\al(2,0),4)＝1.把eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x0＝2x－6,y0＝2y))，代入eq\f(x\o\al(2,0),8)＋eq\f(y\o\al(2,0),4)＝1，得eq\f(2x－62,8)＋eq\f(2y2,4)＝1，即eq\f(x－32,2)＋y2＝1為所求．（2）已知?jiǎng)狱c(diǎn)P與平面上兩定點(diǎn)A(－eq\r(2)，0)、B(eq\r(2)，0)連線的斜率的積為定值－eq\f(1,2).(1)試求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程C；(2)設(shè)直線l：y＝kx＋1與曲線C交于M、N兩點(diǎn)，當(dāng)|MN|＝eq\f(4\r(2),3)時(shí)，求直線l的方程．[解析](1)設(shè)點(diǎn)P(x，y)，則依題意有eq\f(y,x＋\r(2))·eq\f(y,x－\r(2))＝－eq\f(1,2)，整頓得eq\f(x2,2)＋y2＝1.由于x≠±eq\r(2)，因此求得的曲線C的方程為eq\f(x2,2)＋y2＝1(x≠±eq\r(2))．(2)由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(x2,2)＋y2＝1,y＝kx＋1))，消去y得，(1＋2k2)x2＋4kx＝0.解得x1＝0，x2＝eq\f(－4k,1＋2k2)(x1、x2分別為M、N的橫坐標(biāo))，由|MN|＝eq\r(1＋k2)|x1－x2|＝eq\r(1＋k2)×|eq\f(4k,1＋2k2)|＝eq\f(4,3)eq\r(2)，解得，k＝±1.因此直線l的方程為x－y＋1＝0或x＋y－1＝0.4、點(diǎn)差法的運(yùn)用(·黑龍江哈師大附中高二期中測(cè)試)若過橢圓eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,4)＝1內(nèi)一點(diǎn)(2,1)的弦被該點(diǎn)平分，則該弦所在直線的方程是_x＋2y－4＝0__.[解析]設(shè)弦兩端點(diǎn)A(x1，y1)、B(x2，y2)，則eq\f(x\o\al(2,1),16)＋eq\f(y\o\al(2,1),4)＝1，eq\f(x\o\al(2,2),16)＋eq\f(y\o\al(2,2),4)＝1，兩式相減并把x1＋x2＝4，y1＋y2＝2代入得，eq\f(y1－y2,x1－x2)＝－eq\f(1,2)，∴所求直線方程為y－1＝－eq\f(1,2)(x－2)，變式探究：設(shè)橢圓C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)過點(diǎn)(0,4)，離心率為eq\f(3,5).(1)求橢圓C的方程；(2)求過點(diǎn)(3,0)且斜率為eq\f(4,5)的直線被C所截線段的中點(diǎn)坐標(biāo)．[解析](1)將點(diǎn)(0,4)代入橢圓C的方程，得eq\f(16,b2)＝1，∴b＝4，又e＝eq\f(c,a)＝eq\f(3,5)，則eq\f(a2－b2,a2)＝eq\f(9,25)，∴1－eq\f(16,a2)＝eq\f(9,25)，∴a＝5，∴橢圓C的方程為eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,16)＝1.(2)過點(diǎn)(3,0)且斜率為eq\f(4,5)的直線方程為y＝eq\f(4,5)(x－3)，設(shè)直線與橢圓C的交點(diǎn)為A(x1，y1)、B(x2，y2)，將直線方程y＝eq\f(4,5)(x－3)代入橢圓方程得eq\f(x2,25)＋eq\f(x－32,25)＝1，即x2－3x－8＝0，由韋達(dá)定理得x1＋x2＝3，因此線段AB中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為eq\f(x1＋x2,2)＝eq\f(3,2)，縱坐標(biāo)為eq\f(4,5)(eq\f(3,2)－3)＝－eq\f(6,5)，即所截線段的中點(diǎn)坐標(biāo)為(eq\f(3,2)，－eq\f(6,5))．5、離心率與離心率范疇問題(·甘肅金昌市永昌一中高二期末)已知F1，F(xiàn)2分別是橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的左，右焦點(diǎn)，若直線l：x＝eq\f(a2,c)上存在一點(diǎn)P，使得線段PF1的垂直平分線過點(diǎn)F2，則離心率的范疇是__[eq\f(\r(3),3)，1)__.[解析]由題意得F1(－c,0))，F(xiàn)2(c,0)，設(shè)點(diǎn)P(eq\f(a2,c)，m)，則由中點(diǎn)公式可得線段PF1的中點(diǎn)K(eq\f(a2－c2,2c)，eq\f(m,2))，∴線段PF1的斜率與KF2的斜率之積等于－1，∴eq\f(m－0,\f(a2,c)＋c)·eq\f(\f(m,2)－0,\f(a2－c2,2c)－c)＝－1，∴m2＝－(eq\f(a2,c)＋c)·(eq\f(a2,c)－3c)≥0，∴a4－2a2c2－3c4≤0，∴3e4＋2e2－1≥0，∴e2≥eq\f(1,3)，或e2≤－1(舍去)，∴e≥eq\f(\r(3),3).又橢圓的離心率0＜e＜1，故eq\f(\r(3),3)≤e＜1，故答案為[eq\f(\r(3),3)，1)．6、橢圓綜合問題已知橢圓C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1和F2，離心率e＝eq\f(\r(2),2)，連接橢圓的四個(gè)頂點(diǎn)所得四邊形的面積為4eq\r(2).(1)求橢圓C的原則方程；(2)設(shè)A、B是直線l：x＝2eq\r(2)上的不同兩點(diǎn)，若eq\o(AF1,\s\up6(→))·eq\o(BF2,\s\up6(→))＝0，求|AB|的最小值．[解析](1)由題意得：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(e＝\f(c,a)＝\f(\r(2),2),a2＝b2＋c2,S＝\f(1,2)×2a×2b＝4\r(2)))，解得：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝2,b＝\r(2),c＝\r(2))).因此橢圓的原則方程為：eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,2)＝1.(2)由(1)知，F(xiàn)1、F2的坐標(biāo)分別為F1(－eq\r(2)，0)、F2(eq\r(2)，0)，設(shè)直線l：x＝2eq\r(2)上的不同兩點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別為A(2eq\r(2)，y1)、B(2eq\r(2)，y2)，則eq\o(AF1,\s\up6(→))＝(－3eq\r(2)，－y1)、eq\o(BF2,\s\up6(→))＝(－eq\r(2)，－y2)，由eq\o(AF1,\s\up6(→))·eq\o(BF2,\s\up6(→))＝0得y1y2＋6＝0，即y2＝－eq\f(6,y1)，不妨設(shè)y1>0，則|AB|＝|y1－y2|＝y(tǒng)1＋eq\f(6,y1)≥2eq\r(6)，當(dāng)y1＝eq\r(6)、y2＝－eq\r(6)時(shí)取等號(hào)，因此|AB|的最小值是2eq\r(6).一、選擇題1．在△ABC中，AB＝BC，cosB＝－eq\f(7,18).若以A、B為焦點(diǎn)的橢圓通過點(diǎn)C，則該橢圓的離心率e＝(C)A．eq\f(3,4) B．eq\f(3,7) C．eq\f(3,8) D．eq\f(3,18)[解析]設(shè)|AB|＝x>0，則|BC|＝x，AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC·cosB＝x2＋x2－2x2·(－eq\f(7,18))＝eq\f(25,9)x2，∴|AC|＝eq\f(5,3)x，由條件知，|CA|＋|CB|＝2a，AB＝2c，∴eq\f(5,3)x＋x＝2a，x＝2c，∴e＝eq\f(c,a)＝eq\f(2c,2a)＝eq\f(x,\f(8,3)x)＝eq\f(3,8).2．已知F1、F2是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，滿足eq\o(MF1,\s\up6(→))·eq\o(MF2,\s\up6(→))＝0的點(diǎn)M總在橢圓內(nèi)部，則橢圓離心率的取值范疇是(C)A．(0,1) B．(0，eq\f(1,2)] C．(0，eq\f(\r(2),2)) D．[eq\f(\r(2),2)，1)[解析]依題意得，c<b，即c2<b2，∴c2<a2－c2,2c2<a2，故離心率e＝eq\f(c,a)<eq\f(\r(2),2)，又0<e<1，∴0<e<eq\f(\r(2),2)，故選C．3．若點(diǎn)O和點(diǎn)F分別為橢圓eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1的中心和左焦點(diǎn)，點(diǎn)P為橢圓上的任意一點(diǎn)，則eq\o(OP,\s\up6(→))·eq\o(FP,\s\up6(→))的最大值為(C)A．2 B．3 C．6 D．8[解析]由題意可知O(0,0)，F(xiàn)(－1,0)，設(shè)點(diǎn)P為(x，y)，則eq\o(OP,\s\up6(→))＝(x，y)，eq\o(FP,\s\up6(→))＝(x＋1，y)，∴eq\o(OP,\s\up6(→))·eq\o(FP,\s\up6(→))＝x(x＋1)＋y2＝x2＋x＋y2＝x2＋x＋3－eq\f(3,4)x2＝eq\f(1,4)x2＋x＋3＝eq\f(1,4)(x＋2)2＋2.∵x∈[－2,2]，∴當(dāng)x＝2時(shí)，eq\o(OP,\s\up6(→))·eq\o(FP,\s\up6(→))取最大值．(eq\o(OP,\s\up6(→))·eq\o(FP,\s\up6(→)))max＝eq\f(1,4)(2＋2)2＋2＝6，故選C．4．(·全國(guó)Ⅲ理，10)已知橢圓C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右頂點(diǎn)分別為A1，A2，且以線段A1A2為直徑的圓與直線bx－ay＋2ab＝0相切，則C的離心率為(A)A．eq\f(\r(6),3) B．eq\f(\r(3),3) C．eq\f(\r(2),3) D．eq\f(1,3)[解析]由題意知以A1A2為直徑的圓的圓心為(0,0)，半徑為a.又直線bx－ay＋2ab＝0與圓相切，∴圓心到直線的距離d＝eq\f(2ab,\r(a2＋b2))＝a，解得a＝eq\r(3)b，∴eq\f(b,a)＝eq\f(1,\r(3))，∴e＝eq\f(c,a)＝eq\f(\r(a2－b2),a)＝eq\r(1－\f(b,a)2)＝eq\r(1－\f(1,\r(3))2)＝eq\f(\r(6),3).二、填空題5．橢圓eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1的左焦點(diǎn)為F，直線x＝m與橢圓相交于點(diǎn)A、B.當(dāng)△FAB的周長(zhǎng)最大時(shí)，△FAB的面積是_3__.[解析]如圖，當(dāng)直線x＝m，過右焦點(diǎn)(1,0)時(shí)，△FAB的周長(zhǎng)最大，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1,\f(x2,4)＋\f(y2,3)＝1))，解得y＝±eq\f(3,2)，∴|AB|＝3.∴S＝eq\f(1,2)×3×2＝3.6．(·江蘇，10)如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，F(xiàn)是橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的右焦點(diǎn)，直線y＝eq\f(b,2)與橢圓交于B，C兩點(diǎn)，且∠BFC＝90°，則該橢圓的離心率是__eq\f(\r(6),3)__.[解析]由題意可得B(－eq\f(\r(3),2)a，eq\f(b,2))，C(eq\f(\r(3),2)a，eq\f(b,2))，F(xiàn)(c,0)，則由∠BFC＝90°得eq\o(BF,\s\up6(→))·eq\o(CF,\s\up6(→))＝(c＋eq\f(\r(3),2)a，－eq\f(b,2))·(c－eq\f(\r(3),2)a，－eq\f(b,2))＝c2－eq\f(3,4)a2＋eq\f(1,4)b2＝0，化簡(jiǎn)得eq\r(3)c＝eq\r(2)a，則離心率e＝eq\f(c,a)＝eq\f(\r(2),\r(3))＝eq\f(\r(6),3).三、解答題7．已知過點(diǎn)A(－1,1)的直線l與橢圓eq\f(x2,8)＋eq\f(y2,4)＝1交于點(diǎn)B、C，當(dāng)直線l繞點(diǎn)A(－1，1)旋轉(zhuǎn)時(shí)，求弦BC中點(diǎn)M的軌跡方程.[解析]設(shè)直線l與橢圓的交點(diǎn)B(x1，y1)，C(x2，y2)，弦BC的中點(diǎn)M(x，y)，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(x\o\al(2,1),8)＋\f(y\o\al(2,1),4)＝1，①,\f(x\o\al(2,2),8)＋\f(y\o\al(2,2),4)＝1，②))①－②，得(eq\f(x\o\al(2,1),8)－eq\f(x\o\al(2,2),8))＋(eq\f(y\o\al(2,1),4)－eq\f(y\o\al(2,2),4))＝0，∴(x1＋x2)(x1－x2)＋2(y1＋y2)(y1－y2)＝0.③當(dāng)x1≠x2時(shí)，③式可化為(x1＋x2)＋2(y1＋y2)·eq\f(y2－y1,x2－x1)＝0.∵eq\f(x1＋x2,2)＝x，eq\f(y1＋y2,2)＝y(tǒng)，eq\f(y2－y1,x2－x1)＝eq\f(y－1,x＋1)，∴2x＋2·2y·eq\f(y－1,x＋1)＝0，化簡(jiǎn)得x2＋2y2＋x－2y＝0.當(dāng)x1＝x2時(shí)，∵點(diǎn)M(x，y)是線段BC中點(diǎn)，∴x＝－1，y＝0，顯然適合上式．總而言之，所求弦中點(diǎn)M的軌跡方程是x2＋2y2＋x－2y＝0.8．(·吉林乾安七中高二期末)橢圓E通過點(diǎn)A(2,3)，對(duì)稱軸為坐標(biāo)軸，離心率e＝eq\f(1,2)，焦點(diǎn)F1、F2在x軸上，過左焦點(diǎn)F1與A做直線交橢圓E于B.(1)求橢圓E的方程；(2)求△ABF2的面積.[解析]設(shè)橢圓E的方程為eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)，(1)根據(jù)題意得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(4,a2)＋\f(9,b2)＝1，,\r(1－\f(b2,a2))＝\f(1,2)，))解之得a2＝16，b2＝12.因此橢圓E的方程為eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,12)＝1.(2)由(1)知，F(xiàn)1(－2,0)，F(xiàn)2(2,0)，AF2⊥x軸．因此直線AB的斜率為eq\f(3,4)，其方程為y＝eq\f(3,4)(x＋2)．由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(4,3)y－2，,3x2＋4y2＝48，))得7y2－12y－27＝0.已知y1＝3，由y1＋y2＝eq\f(12,7)得y2＝－eq\f(9,7)，∴S△ABF2＝c·|y1－y2|＝2×eq\f(30,7)＝eq\f(60,7).C級(jí)能力拔高如圖所示，橢圓C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1的頂點(diǎn)為A1，A2，B1，B2，焦點(diǎn)為F1，F(xiàn)2，|A1B2|＝eq\r(7)，S?A1B1A2B2＝2S?B1F1B2F2.(1)求橢圓C的方程；(2)設(shè)n是過原點(diǎn)的直線，l是與n垂直相交于P點(diǎn)，且與橢圓相交于A，B兩點(diǎn)的直線，|eq\o(OP,\s\up6(→))|＝1.與否存在上述直線l使eq\o(AP,\s\up6(→))·eq\o(PB,\s\up6(→))＝1成立？若存在，求出直線l的方程；若不存在，請(qǐng)闡明理由．[解析](1)由|A1B2|＝eq\r(7)，知a2＋b2＝7①，由S?A1B1A2B2＝2S?B1F1B2F2，知a＝2c②，又b2＝a2－c2③，由①②③可知a＝2，b＝eq\r(3)，c＝1.故橢圓C的方程為eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1.(2)設(shè)A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(x1，y1)，(x2，y2)，假設(shè)使eq\o(AP,\s\up6(→))·eq\o(PB,\s\up6(→))＝1成立的直線l存在，當(dāng)l不垂直于x軸時(shí)，設(shè)l的方程為y＝kx＋m，由l與n垂直相交于P點(diǎn)且|eq\o(OP,\s\up6(→))|＝1，得eq\f(|m|,\r(1＋k2))＝1，即m2＝k2＋1.∵eq\o(AP,\s\up6(→))·eq\o(PB,\s\up6(→))＝1，|eq\o(OP,\s\up6(→))|＝1，∴eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(OB,\s\up6(→))＝(eq\o(OP,\s\up6(→))＋eq\o(PA,\s\up6(→)))·(eq\o(OP,\s\up6(→))＋eq\o(PB,\s\up6(→)))＝eq\o(OP,\s\up6(→))2＋eq\o(OP,\s\up6(→))·eq\o(PB,\s\up6(→))＋eq\o(PA,\s\up6(→))·eq\o(OP,\s\up6(→))＋eq\o(PA,\s\up6(→))·eq\o(PB,\s\up6(→))＝1＋0＋0－1＝0，即x1x2＋y1y2＝0.將y＝kx＋m代入橢圓方程，得：(3＋4k2)x2＋8kmx＋(4m2－12)＝0，由根與系數(shù)的關(guān)系可得x1＋x2＝eq\f(－8km,3＋4k2)④，x1x2＝eq\f(4m2－12,3＋4k2)⑤.∴0＝x1x2＋y1y2＝x1x2＋(kx1＋m)(kx2＋m)＝x1x2＋k2x1x2＋km(x1＋x2)＋m2＝(1＋k2)x1x2＋km(x1＋x2)＋m2，將④⑤代入上式并化簡(jiǎn)得：(1＋k2)(4m2－12)－8k2m2＋m2(3＋4k2)＝0⑥，將m2＝k2＋1代入⑥并化簡(jiǎn)得－5(k2＋1)＝0，無解．即不存在符合題意的直線l.當(dāng)l垂直于x軸時(shí)，滿足|eq\o(OP,\s\up6(→))|＝1的直線l的方程為x＝1或x＝－1.當(dāng)x＝1時(shí)，A，B，P的坐標(biāo)為(1，eq\f(3,2))，(1，－eq\f(3,2))，(1,0)，∴eq\o(AP,\s\up6(→))＝(0，－eq\f(3,2))，eq\o(PB,\s\up6(→))＝(0，－eq\f(3,2))，∴eq\o(AP,\s\up6(→))·eq\o(PB,\s\up6(→))＝eq\f(9,4)≠1.當(dāng)x＝－1時(shí)，同理可得eq\o(AP,\s\up6(→))·eq\o(PB,\s\up6(→))≠1，矛盾．即此時(shí)直線l也不存在．綜上可知，使eq\o(AP,\s\up6(→))·eq\o(PB,\s\up6(→))＝1成立的直線l不存在．1．橢圓eq\f(x2,m)＋eq\f(y2,4)＝1的焦距是2，則m的值是(C)A．5 B．3或8C．3或5 D．20[解析]2c＝2，∴c＝1，故有m－4＝1或4－m＝1，∴m＝5或m＝3，故答案為C．2．設(shè)橢圓的原則方程為eq\f(x2,k－3)＋eq\f(y2,5－k)＝1，若其焦點(diǎn)在x軸上，則k的取值范疇是(C)A．k>3 B．3<k<5C．4<k<5 D．3<k<4[解析]由題意得k－3>5－k>0，∴4<k<5.3．若曲線ax2＋by2＝1為焦點(diǎn)在x軸上的橢圓，則實(shí)數(shù)a、b滿足(C)A．a(chǎn)2>b2 B．eq\f(1,a)<eq\f(1,b)C．0<a<b D．0<b<a[解析]將方程變?yōu)樵瓌t方程為eq\f(x2,\f(1,a))＋eq\f(y2,\f(1,b))＝1，由已知得，eq\f(1,a)>eq\f(1,b)>0，則0<a<b，選C．4．(·安徽師大附中高二檢測(cè))F1、F2是橢圓eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,7)＝1的兩個(gè)焦點(diǎn)，A為橢圓上一點(diǎn)，且∠AF1F2＝45°，則△AF1F2的面積為(C)A．7 B．eq\f(7,4)C．eq\f(7,2) D．eq\f(7\r(5),2)[解析]由已知得a＝3，c＝eq\r(2).設(shè)|AF1|＝m，則|AF2|＝6－m，∴(6－m)2＝m2＋(2eq\r(2))2－2m·2eq\r(2)cos45°，解得m＝eq\f(7,2).∴6－m＝eq\f(5,2).∴S△AF1F2＝eq\f(1,2)×eq\f(7,2)×2eq\r(2)sin45°＝eq\f(7,2)，故選C．5．(·長(zhǎng)沙模擬)設(shè)橢圓eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，P是橢圓上的一動(dòng)點(diǎn)，若△PF1F2是直角三角形，則△PF1F2的面積為(C)A．3 B．3或eq\f(3,2)C．eq\f(3,2) D．6或3[解析]由題意可得該橢圓短軸頂點(diǎn)與兩焦點(diǎn)的連線的夾角是60°，因此該點(diǎn)P不可能是直角頂點(diǎn)，則只能是焦點(diǎn)為直角頂點(diǎn)，此時(shí)△PF1F2的面積為eq\f(1,2)×2c×eq\f(b2,a)＝eq\f(3,2).二、填空題6．若橢圓eq\f(x2,5)＋eq\f(y2,m)＝1的一種焦點(diǎn)坐標(biāo)為(0,1)，則實(shí)數(shù)m的值為__6__.[解析]由題意知，c＝1，∴m－5＝1，∴m＝6.橢圓eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,2)＝1的焦點(diǎn)為F1、F2，點(diǎn)P在橢圓上．若|PF1|＝4，則|PF2|＝__2__；∠F1PF2的大小為__120°__.[解析]由橢圓定義，|PF1|＋|PF2|＝2a＝6，∴|PF2|＝2，cos∠F1PF2＝eq\f(|PF1|2＋|PF2|2－|F1F2|2,2|PF1||PF2|)＝eq\f(16＋4－28,16)＝－eq\f(1,2).∴∠F1PF2＝120°.8．(·廣西南寧高二檢測(cè))已知△ABC的頂點(diǎn)B、C在橢圓eq\f(x2,4)＋y2＝1上，頂點(diǎn)A是橢圓的一種焦點(diǎn)，且橢圓的另外一種焦點(diǎn)在BC邊上，則△ABC的周長(zhǎng)是__8__.[解析]如圖所示，F(xiàn)為橢圓的左焦點(diǎn)，A為其右焦點(diǎn)，△ABC的周長(zhǎng)＝|AB|＋|BC|＋|AC|＝|AB|＋|BF|＋|AC|＋|CF|＝4a＝8.1．根據(jù)下列條件，求橢圓的原則方程.(1)通過兩點(diǎn)A(0,2)、B(eq\f(1,2)，eq\r(3))；(2)通過點(diǎn)(2，－3)且與橢圓9x2＋4y2＝36有共同的焦點(diǎn)．[解析](1)設(shè)所求橢圓的方程為eq\f(x2,m)＋eq\f(y2,n)＝1(m>0，n>0，且m≠n)，∵橢圓過A(0,2)、Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\r(3))).∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(0,m)＋\f(4,n)＝1,\f(1,4m)＋\f(3,n)＝1))，解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＝1,n＝4)).即所求橢圓方程為x2＋eq\f(y2,4)＝1.(2)∵橢圓9x2＋4y2＝36的焦點(diǎn)為(0，±eq\r(5))，則可設(shè)所求橢圓方程為eq\f(x2,m)＋eq\f(y2,m＋5)＝1(m>0)，又橢圓通過點(diǎn)(2，－3)，則有eq\f(4,m)＋eq\f(9,m＋5)＝1，解得m＝10或m＝－2(舍去)，即所求橢圓的方程為eq\f(x2,10)＋eq\f(y2,15)＝1.2．已知F1、F2是橢圓eq\f(x2,100)＋eq\f(y2,64)＝1的兩個(gè)焦點(diǎn)，P是橢圓上任一點(diǎn)，若∠F1PF2＝eq\f(π,3)，求△F1PF2的面積.[解析]設(shè)|PF1|＝m，|PF2|＝n.根據(jù)橢圓定義有m＋n＝20，又c＝eq\r(100－64)＝6，∴在△F1PF2中，由余弦定理得m2＋n2－2mncoseq\f(π,3)＝122，∴m2＋n2－mn＝144，∴(m＋n)2－3mn＝144，∴mn＝eq\f(256,3)，∴S△F1PF2＝eq\f(1,2)|PF1||PF2|sin∠F1PF2＝eq\f(1,2)×eq\f(256,3)×eq\f(\r(3),2)＝eq\f(64\r(3),3).A級(jí)基礎(chǔ)鞏固一、選擇題1．已知橢圓eq\f(x2,10－m)＋eq\f(y2,m－2)＝1的長(zhǎng)軸在y軸上，若焦距為4，則m等于(D)A．4 B．5C．7 D．8[解析]由題意知，c＝2，a2＝m－2，b2＝10－m，∴m－2－10＋m＝4，∴m＝8.2．橢圓的一種頂點(diǎn)與兩焦點(diǎn)構(gòu)成等邊三角形，則它的離心率e為(A)A．eq\f(1,2) B．eq\f(1,3)C．eq\f(1,4) D．eq\f(\r(2),2)[解析]由題意，得a＝2c，∴e＝eq\f(c,a)＝eq\f(1,2).3．與橢圓9x2＋4y2＝36有相似焦點(diǎn)，且短軸長(zhǎng)為4eq\r(5)的橢圓方程是(B)A．eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,20)＝1 B．eq\f(x2,20)＋eq\f(y2,25)＝1C．eq\f(x2,20)＋eq\f(y2,45)＝1 D．eq\f(x2,80)＋eq\f(y2,85)＝1[解析]橢圓9x2＋4y2＝36的焦點(diǎn)為(0，eq\r(5))，(0，－eq\r(5))，∵b＝2eq\r(5)，∴a2＝25，故選B．4．若橢圓的焦距、短軸長(zhǎng)、長(zhǎng)軸長(zhǎng)構(gòu)成一種等比數(shù)列，則橢圓的離心率為(A)A．eq\f(\r(5)－1,2) B．eq\f(\r(3)－1,2)C．eq\f(\r(3),2) D．eq\f(\r(5)＋1,2)[解析]設(shè)橢圓的焦距為2c，短軸長(zhǎng)為2b，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為2a，由題意得(2b)2＝4ac，即b2＝ac.又b2＝a2－c2，∴a2－c2＝ac，∴e2＋e－1＝0，∴e＝eq\f(－1±\r(5),2).∵e∈(0,1)，∴e＝eq\f(\r(5)－1,2).5．橢圓x2＋my2＝1的焦點(diǎn)在y軸上，長(zhǎng)軸長(zhǎng)是短軸長(zhǎng)的兩倍，則m的值為(A)A．eq\f(1,4) B．eq\f(1,2)C．2 D．4[解析]由題意eq\f(y2,\f(1,m))＋x2＝1，且eq\r(\f(1,m))＝2，∴m＝eq\f(1,4).故選A．6．(·全國(guó)Ⅲ文，11)已知橢圓C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右頂點(diǎn)分別為A1，A2，且以線段A1A2為直徑的圓與直線bx－ay＋2ab＝0相切，則C的離心率為(A)A．eq\f(\r(6),3) B．eq\f(\r(3),3)C．eq\f(\r(2),3) D．eq\f(1,3)[解析]由題意知以A1A2為直徑的圓的圓心為(0,0)，半徑為a.又直線bx－ay＋2ab＝0與圓相切，∴圓心到直線的距離d＝eq\f(2ab,\r(a2＋b2))＝a，解得a＝eq\r(3)b，∴eq\f(b,a)＝eq\f(1,\r(3))，∴e＝eq\f(c,a)＝eq\f(\r(a2－b2),a)＝eq\r(1－\f(b,a)2)＝eq\r(1－\f(1,\r(3))2)＝eq\f(\r(6),3).二、填空題7．已知橢圓的中心在原點(diǎn)，若長(zhǎng)軸長(zhǎng)為18，且兩個(gè)焦點(diǎn)正好將長(zhǎng)軸三等分，則此橢圓原則方程為eq\f(x2,81)＋eq\f(y2,72)＝1或eq\f(x2,72)＋eq\f(y2,81)＝1.[解析]∵橢圓長(zhǎng)軸長(zhǎng)為18，∴a＝9.又兩個(gè)焦點(diǎn)將長(zhǎng)軸三等分，∴a－c＝2c，∴c＝3，∴b2＝a2－c2＝72.∵焦點(diǎn)位置不擬定，∴方程為eq\f(x2,81)＋eq\f(y2,72)＝1或eq\f(x2,72)＋eq\f(y2,81)＝1.8．橢圓eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,m)＝1的離心率為eq\f(1,2)，則m＝3或eq\f(16,3).[解析]當(dāng)焦點(diǎn)在x軸上時(shí)，e＝eq\f(\r(4－m),2)＝eq\f(1,2)，∴m＝3.當(dāng)焦點(diǎn)在y軸上時(shí)，e＝eq\f(\r(m－4),\r(m))＝eq\f(1,2)，∴m＝eq\f(16,3).三、解答題9．(·江蘇蘇州高二檢測(cè))已知橢圓eq\f(x2,49)＋eq\f(y2,24)＝1上一點(diǎn)P與橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)F1、F2的連線互相垂直.(1)求橢圓的離心率；(2)求△PF1F2的面積．[解析](1)由題意可知a2＝49，b2＝24，∴a＝7，b＝2eq\r(6)，c2＝a2－b2＝25，∴c＝5，e＝eq\f(5,7).(2)由橢圓定義|PF1|＋|PF2|＝2a＝14，由題意可知在Rt△PF1F2中有：|PF1|2＋|PF2|2＝(2c)2＝100，∴2|PF1||PF2|＝(|PF1|＋|PF2|)2－(|PF1|2＋|PF2|2)＝142－100＝96，∴|PF1||PF2|＝48.∴S△PF1F2＝eq\f(1,2)|PF1||PF2|＝24.B級(jí)素養(yǎng)提高一、選擇題1．已知橢圓的對(duì)稱軸是坐標(biāo)軸，離心率為eq\f(1,3)，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為12，則橢圓方程為(C)A．eq\f(x2,144)＋eq\f(y2,128)＝1或eq\f(x2,128)＋eq\f(y2,144)＝1B．eq\f(x2,6)＋eq\f(y2,4)＝1C．eq\f(x2,36)＋eq\f(y2,32)＝1或eq\f(x2,32)＋eq\f(y2,36)＝1D．eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,6)＝1或eq\f(x2,6)＋eq\f(y2,4)＝1[解析]由條件知a＝6，e＝eq\f(c,a)＝eq\f(1,3)，∴c＝2，∴b2＝a2－c2＝32，故選C．2．已知橢圓C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)為F1、F2，離心率為eq\f(\r(3),3)，過F2的直線l交C于A、B兩點(diǎn)，若△AF1B的周長(zhǎng)為4eq\r(3)，則C的方程為(C)A．eq\f(x2,3)＋eq\f(y2,2)＝1 B．eq\f(x2,3)＋y2＝1C．eq\f(x2,12)＋eq\f(y2,8)＝1 D．eq\f(x2,12)＋eq\f(y2,4)＝1[解析]根據(jù)條件可知eq\f(c,a)＝eq\f(\r(3),3)，且4a＝4eq\r(3)，∴a＝eq\r(3)，c＝1，b2＝2，橢圓的方程為eq\f(x2,3)＋eq\f(y2,2)＝1.3．若直線y＝x＋eq\r(6)與橢圓x2＋eq\f(y2,m2)＝1(m>0且m≠1)只有一種公共點(diǎn)，則該橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為(D)A．1 B．eq\r(5)C．2 D．2eq\r(5)[解析]由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝x＋\r(6),x2＋\f(y2,m2)＝1))，得(1＋m2)x2＋2eq\r(6)x＋6－m2＝0，由已知Δ＝24－4(1＋m2)(6－m2)＝0，解得m2＝5，∴橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為2eq\r(5).4．已知直線l過點(diǎn)(3，－1)，且橢圓C：eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,36)＝1，則直線l與橢圓C的公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)為(C)A．1 B．1或2C．2 D．0[解析]由于直線過定點(diǎn)(3，－1)且eq\f(32,25)＋eq\f(－12,36)<1，因此點(diǎn)(3，－1)在橢圓的內(nèi)部，故直線l與橢圓有2個(gè)公共點(diǎn)．5．(·江西八校聯(lián)考)已知圓C1：x2＋2cx＋y2＝0，圓C2：x2－2cx＋y2＝0，橢圓C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)，若圓C1，C2都在橢圓內(nèi)，則橢圓離心率的取值范疇是(B)A．eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1)) B．eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))C．eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)，1)) D．eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(\r(2),2)))[解析]圓C1，C2都在橢圓內(nèi)等價(jià)于圓C2的右頂點(diǎn)(2c,0)，上頂點(diǎn)(c，c)在橢圓內(nèi)部，∴只需eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2c≤a，,\f(c2,a2)＋\f(c2,b2)≤1))?0<eq\f(c,a)≤eq\f(1,2).即橢圓離心率的取值范疇是eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2))).二、填空題6．若橢圓的一種焦點(diǎn)將其長(zhǎng)軸分成eq\r(3)︰eq\r(2)兩段，則橢圓的離心率為5－2eq\r(6).[解析]橢圓的一種焦點(diǎn)將其長(zhǎng)軸分成a＋c與a－c兩段，∴eq\f(a＋c,a－c)＝eq\f(\r(3),\r(2))，∴(eq\r(3)－eq\r(2))a＝(eq\r(3)＋eq\r(2))c，∴e＝eq\f(c,a)＝5－2eq\r(6).7．(·全國(guó)Ⅰ文，12)設(shè)A，B是橢圓C：eq\f(x2,3)＋eq\f(y2,m)＝1長(zhǎng)軸的兩個(gè)端點(diǎn)．若C上存在點(diǎn)M滿足∠AMB＝120°，則m的取值范疇是__(0,1]∪[9，＋∞)__.[解析]辦法1：設(shè)焦點(diǎn)在x軸上，點(diǎn)M(x，y)．過點(diǎn)M作x軸的垂線，交x軸于點(diǎn)N，則N(x,0)．故tan∠AMB＝tan(∠AMN＋∠BMN)＝eq\f(\f(\r(3)＋x,|y|)＋\f(\r(3)－x,|y|),1－\f(\r(3)＋x,|y|)·\f(\r(3)－x,|y|))＝eq\f(2\r(3)|y|,x2＋y2－3).又tan∠AMB＝tan120°＝－eq\r(3)，且由eq\f(x2,3)＋eq\f(y2,m)＝1可得x2＝3－eq\f(3y2,m)，則eq\f(2\r(3)|y|,3－\f(3y2,m)＋y2－3)＝eq\f(2\r(3)|y|,1－\f(3,m)y2)＝－eq\r(3).解得|y|＝eq\f(2m,3－m).又0<|y|≤eq\r(m)，即0<eq\f(2m,3－m)≤eq\r(m)，