北師大版選擇性113直線的方程課件（36張）

1.3直線的方程學(xué)習(xí)目標(biāo)1.經(jīng)過利用斜率公式探索直線的點斜式方程的過程,理解點斜式方程的意義,發(fā)展邏輯推理能力.2.能根據(jù)兩定點的坐標(biāo),由直線的點斜式方程推導(dǎo)建立直線的兩點式方程,了解兩點式方程的意義,提升邏輯推理、直觀想象素養(yǎng).3.通過兩點式方程推導(dǎo)出截距式方程,體會一般到特殊的思想方法,掌握截距式方程,提高數(shù)學(xué)抽象和邏輯推理素養(yǎng).4.通過從代數(shù)的角度認識直線方程的四種不同形式,能抽象出直線方程的一般式,掌握直線不同形式方程的轉(zhuǎn)化,發(fā)展數(shù)學(xué)抽象、直觀想象素養(yǎng).知識梳理·自主探究師生互動·合作探究知識梳理·自主探究知識探究問題1:如果直線l過一點P(x0,y0),并且其斜率為k,則斜率k確定了直線的方向,點P確定了該直線在平面直角坐標(biāo)系中的位置,直線l為確定的直線,那么直線l上任意一點Q的坐標(biāo)(x,y)滿足一個什么樣的方程?以這個方程的解x,y的值為坐標(biāo)的點(x,y)是否在直線l上?1.直線的方程一般地,如果一條直線l上的每一點的坐標(biāo)都是一個方程的解,并且以這個方程的解為坐標(biāo)的點都在直線l上,那么這個方程稱為直線l的方程.2.直線方程的點斜式經(jīng)過點P(x0,y0)且斜率為k的直線l的方程為

,該方程稱為直線方程的點斜式;如果經(jīng)過點P(0,b),則l的方程為y=kx+b,其中b為直線l在y軸上的截距,方程

稱為直線方程的斜截式.y-y0=k(x-x0)y=kx+b思考1:在平面直角坐標(biāo)系中,是否任意直線l都可以用方程y-y0=k(x-x0)表示?當(dāng)斜率k=0時,直線l的方程具有何種形式?提示:當(dāng)直線與y軸平行或重合時,不能應(yīng)用點斜式方程,此時可將方程寫成x=特別地,y軸的方程是x=0;當(dāng)斜率k=0時,直線與x軸平行或重合,方程可簡寫為y=y0.特別地,x軸的方程是y=0.問題2:我們知道已知兩點也可以確定一條直線,在平面直角坐標(biāo)系中,給定一個點P0(x0,y0)和斜率k,可得出直線方程.若給定直線上兩點P1(x1,y1),P2(x2,y2)(x1≠x2,y1≠y2),你能否得出直線的方程呢?4.直線方程的一般式關(guān)于x,y的二元一次方程

(其中A,B不全為0)表示的是一條直線,稱它為直線方程的

.5.直線方程的點法式直線l過點P(x0,y0),且它的一個法向量為n=(A,B),則直線l的方程為

,這個方程稱為直線方程的點法式.Ax+By+C=0一般式A(x-x0)+B(y-y0)=0思考2:比較直線方程五種形式的適用范圍分別是什么?做一做:(1)(2021·天津靜海區(qū)期中)經(jīng)過點P(-4,3),傾斜角為45°的直線方程是(

)A.x+y+7=0 B.x+y-7=0C.x-y-7=0 D.x-y+7=0解析:(1)因為k=tan45°=1,所以直線方程為y-3=x+4,即x-y+7=0.故選D.D(2)(多選題)(2021·青島膠州期中)已知直線l:x-my+m-1=0,則下述正確的是(

)A.直線l的斜率可以等于0B.直線l的斜率有可能不存在C.直線l可能過點(2,1)D.若直線l的橫縱截距相等,則m=±1BD拓展總結(jié)截距與距離的區(qū)別截距是一個數(shù)可以是正數(shù)、負數(shù)和零;縱截距是指直線與y軸交點的縱坐標(biāo),橫截距就是指直線與x軸交點的橫坐標(biāo);而距離是非負數(shù);如果直線的縱截距、橫截距都大于等于零,那么截距就等于直線與坐標(biāo)軸的交點到原點的距離;易錯點是容易忽略截距為零的情況導(dǎo)致錯誤.師生互動·合作探究探究點一直線方程的點斜式[例1](2021·北京海淀區(qū)期中)已知△ABC在第一象限,若A(1,1),B(5,1),∠A=60°,∠B=45°,求:(1)邊AB所在直線的方程;解:(1)因為A,B兩點的縱坐標(biāo)均為1,所以AB邊所在直線的方程為y=1.[例1](2021·北京海淀區(qū)期中)已知△ABC在第一象限,若A(1,1),B(5,1),∠A=60°,∠B=45°,求:(2)邊AC和BC所在直線的點斜式方程.方法總結(jié)直線的點斜式方程、斜截式方程的應(yīng)用前提是直線的斜率存在(1)求直線的點斜式方程的步驟:定點(x0,y0)→定斜率k→寫出方程y-y0=k(x-x0).(2)點斜式方程y-y0=k(x-x0)可表示過點P(x0,y0)的所有直線,但x=x0除外.(3)直線的斜截式方程y=kx+b中只有兩個參數(shù),因此要確定直線方程只需兩個獨立條件即可.[針對訓(xùn)練](多選題)(2021·江蘇徐州期中)關(guān)于直線方程y=kx+2的下列表述正確的有(

)A.是過點(0,2)的所有直線方程B.是過點(0,2)斜率為k的直線方程C.當(dāng)直線到原點距離最遠時,k=0D.當(dāng)直線在y軸上的截距為2時,斜率k=1解析:對于A,直線方程y=kx+2,不能表示斜率不存在的直線,故A錯誤;對于B,根據(jù)直線方程y=kx+2,可得直線表示過定點(0,2),且斜率為k的直線,故B正確;對于C,易知原點與直線所過定點(0,2)的連線為直線與原點的最遠距離,此時k=0,故C正確;對于D,易知直線在y軸上的截距為2時,直線的斜率可以為任意實數(shù),即D錯誤.故選BC.探究點二直線方程的兩點式[例2](1)(多選題)(2021·福建福州期末)下列說法正確的是(

)A.在兩坐標(biāo)軸上截距相等的直線都可以用方程x+y=a(a∈R)表示B.方程mx+y-2=0(m∈R)表示的直線斜率一定存在C.經(jīng)過點P(1,2),傾斜角為α的直線方程為y-2=tanα(x-1)(1)解析:A選項,直線x-y=0在兩坐標(biāo)軸上的截距相等,但不能用x+y=a(a∈R)表示,所以A選項錯誤;B選項,方程mx+y-2=0(m∈R)表示的直線斜率為-m,所以B選項正確.C選項,若α=90°,則直線斜率不存在,直線不能用點斜式表示,故C選項錯誤.D選項,結(jié)合直線方程的兩點式可知,D選項正確.故選BD.(2)求過點A(3,4),且在兩坐標(biāo)軸上的截距互為相反數(shù)的直線l的方程.變式探究1:若將點A的坐標(biāo)改為“A(-3,-4)”,其他條件不變,又如何求解?變式探究2:若將本例中“截距互為相反數(shù)”改為“截距相等”呢?方法總結(jié)利用兩點式求直線的方程首先要判斷是否滿足兩點式方程的適用條件.若滿足即可考慮用兩點式求方程.在斜率存在的情況下,也可以先應(yīng)用斜率公式求出斜率,再用點斜式寫方程.探究點三直線方程的一般式方法總結(jié)求直線一般式方程的策略在求直線方程時,設(shè)一般式方程有時并不簡單,常用的還是根據(jù)給定條件選出四種特殊形式之一求方程,然后轉(zhuǎn)化為一般式.[針對訓(xùn)練]若方程(m2-3m+2)x+(m-2)y-2m+5=0表示直線.(1)求實數(shù)m需滿足的條件;(2)若該直線的斜率k=1,求實數(shù)m的值.探究點四直線方程的點法式[例4]已知直線m的一個方向向量為v=(1,2).(1)求過點A(0,-3)且傾斜角是直線m傾斜角的2倍的直線l1的斜截式方程;解:(2)因為直線l2的一個法向量為v=(1,2),所以直線l2的方程為1×(x-2)+2×(y-3)=0,即x+2y-8=0,所以直線l2的一般式方程為x+2y-8=0.[例4]已知直線m的一個方向向量為v=(1,2).(2)求過點B(2,3)且以直線m的方向向量v=(1,2)為法向量的直線l2的一般式方程.方法總結(jié)答案:(1)D(2)經(jīng)過點(-1,-1)且與直線x+3y+4=0垂直的直線的點法式方程為

.解析:(2)由于直線x+3y+4=0的一個法向量為(1,3),故它的一個方向向量為(3,-1),則經(jīng)過點(-1,-1)且與直線x+3y+4=0垂直的直線的一個法向量為(3,-1).故所求直線的點法式方程為3(x+1)-1×(y+1)=0,即3(x+1)-(y+1)=0.答案:(2)3(x+1)-(y+1)=01.(2021·天津南開附中期中)經(jīng)過A(2,1),B(0,-3)兩點的直線方程為(

)A.2x-y-3=0 B.2x+y-3=0C.x-2y-3=0 D.x+2y-3=0當(dāng)堂檢測ABA備用例題[例1](2021·湖北高二期中)已知直線l的傾斜角為45°,且過點(1,2),則在直線上的點是(

)A.(0,1)B.(-2,3)C.(3,3)D.(3,2)解析:直線的斜率k=tan45°=1,方程為y-2=x-1,即y=x