《鴿巢問題》教學(xué)設(shè)計

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審定人教版六班級下冊數(shù)學(xué)《數(shù)學(xué)廣角鴿巢問題》，也就是原試驗教材《抽屜原理》。

設(shè)計理念

《鴿巢問題》既鴿巢原理又稱抽屜原理，它是組合數(shù)學(xué)的一個基本原理，最先是由德國數(shù)學(xué)家狄利克雷明確提出來的.，因此，也稱為狄利克雷原理。

首先，用詳細的操作，將抽象變?yōu)橹庇^?！翱傆幸粋€筒至少放進2支筆”這句話對于同學(xué)而言，不僅說起來生澀拗口，而且抽象難以理解。怎樣讓同學(xué)理解這句話呢？我覺得要讓同學(xué)充分的操作，一在詳細操作中理解“總有”和“至少”；二在操作中理解“平均分”是保證“至少”的最好方法。利用操作，最直觀地呈現(xiàn)“總有一個筒至少放進2支筆”這種情況，讓同學(xué)理解這句話。

其次，充分發(fā)揮同學(xué)積極性，讓同學(xué)在證明結(jié)論的過程中探究方法，總結(jié)規(guī)律。同學(xué)是學(xué)習(xí)的積極者，特殊是這種原理的初步熟悉，不應(yīng)當是老師牽著同學(xué)去熟悉，而是制造條件，讓同學(xué)自己去探究，發(fā)覺。所以我認為應(yīng)當提出問題，讓同學(xué)在詳細的操作中來證明他們的結(jié)論是否正確，讓同學(xué)初步經(jīng)受“數(shù)學(xué)證明”的過程，逐步提升同學(xué)的規(guī)律思維力量。

再者，適當把握教學(xué)要求。我們的教學(xué)不同奧數(shù)，因此在教學(xué)中不需要求同學(xué)說理的嚴密性，也不需要同學(xué)確定過于抽象的“鴿巢”和“物體”。

教材分析

《鴿巢問題》這是一類與“存在性”有關(guān)的問題，如任意13名同學(xué)，肯定存在兩名同學(xué)，他們在同一個月過生日。在這類問題中，只需要確定某個物體（或某個人）的存在就能夠了，并不需要指出是哪個物體（或哪個人），也不需要說明利用什么方式把這個存在的物體（或人）找出來。這類問題依據(jù)的理論，我們稱之為“鴿巢問題”。

利用第一個例題教學(xué)，介紹了較簡潔的“鴿巢問題”：只要物體數(shù)比鴿巢數(shù)多，總有一個鴿巢至少放進2個物體。它意圖讓同學(xué)發(fā)覺這樣的一種存在情況：不管怎樣放，總有一個筒至少放進2支筆。呈現(xiàn)兩種思維方法：一是枚舉法，分布了擺放的全部狀況。二是假設(shè)法，用平均分的方法直接考慮“至少”的狀況。利用前一個例題的兩個層次的探究，讓同學(xué)理解“平均分”的方法能保證“至少”的狀況，能用這種方法在簡潔的詳細問題中解釋證明。

其次個例題是在例1的基礎(chǔ)上說明：只要物體數(shù)比鴿巢數(shù)多，總有一個鴿巢里至少放進（商+1）個物體。因此我認為例2的目的是使同學(xué)進一步理解“盡量平均分”，并能用有余數(shù)的除法算式表示思維的過程。

學(xué)情分析

可能有一部分同學(xué)已經(jīng)認識了鴿巢問題，他們在詳細分得過程中，都在運用平均分的方法，也能就一個詳細的問題得出結(jié)論。但是這些同學(xué)中大多數(shù)只“知其然，不知其所以然”，為什么平均分能保證“至少”的狀況，他們并不理解。還有部分同學(xué)完全沒有接觸，所以他們可能會認為至少的狀況就應(yīng)當是“1”。

教學(xué)目標

1.利用猜想、驗證、觀看、分析等數(shù)學(xué)活動，經(jīng)受“鴿巢問題”的探究過程，初步認識“鴿巢問題”，會用“鴿巢原理”解決簡潔的實際問題。滲透“建?！彼枷?。

2.經(jīng)受從詳細到抽象的探究過程，提升同學(xué)有依據(jù)、有條理地進行思索和推理的力量。

3.利用“鴿巢原理”的敏捷應(yīng)用，提升同學(xué)解決數(shù)學(xué)問題的力量和愛好，感受到數(shù)學(xué)文化及數(shù)學(xué)的魅力。

教學(xué)重點

經(jīng)受“鴿巢問題”的探究過程，初步認識“鴿巢原理”。

教學(xué)難點

理解“鴿巢問題”，并對一些簡潔實際問題加以“模型化”。

教具預(yù)備：相關(guān)課件相關(guān)學(xué)具（若干筆和筒）

教學(xué)過程

一、嬉戲激趣，初步體悟。

嬉戲規(guī)章是：請這四位同學(xué)從數(shù)字1.2.3中任選一個自己喜愛的數(shù)字寫在手心上，寫好后，握緊拳頭不要松開，讓老師猜。

[設(shè)計意圖：聯(lián)系同學(xué)的生活實際，激活學(xué)習(xí)愛好，使同學(xué)樂觀投入到后面問題的研發(fā)中。]

二、操作探究，發(fā)覺規(guī)律。

1.詳細操作，感知規(guī)律

教學(xué)例1:4支筆，三個筒，能夠怎么放？請同學(xué)們運用實物放一放，看有幾種擺放方法？

（1）同學(xué)匯報結(jié)果

（4，0,0）（3，1，0）（2，2，0）（2，1，1）

（2）師生溝通擺放的結(jié)果

（3）小結(jié)：不管怎么放，總有一個筒里至少放進了2支筆。

(學(xué)情預(yù)設(shè):同學(xué)可能不會說，“不管怎么放，總有一個筒里至少放進了2支筆?！?

[設(shè)計意圖：鴿巢問題對于同學(xué)來說，比較抽象，特殊是“不管怎么放，總有一個筒里至少放進了2支筆?！边@句話的理解。所以利用詳細的操作，枚舉全部的狀況后，引領(lǐng)同學(xué)直接關(guān)注到每種分法中數(shù)量最多的筒，理解“總有一個筒里至少放進了2支筆”。讓同學(xué)初步經(jīng)受“數(shù)學(xué)證明”的過程，訓(xùn)練同學(xué)的規(guī)律思維力量。]

質(zhì)疑：我們能不能找到一種更為直接的方法，只擺一次，也能獲得這個結(jié)論的方法呢？

2.假設(shè)法，用“平均分”來演繹“鴿巢問題”。

1思索，同桌爭論：要怎么放，只放一次，就能得出這樣的結(jié)論？

同學(xué)思索——同桌溝通——匯報

2匯報想法

預(yù)設(shè)生1：我們發(fā)覺假如每個筒里放1支筆，最多放4支，剩下的1支不管放進哪一個筒里，總有一個筒里至少有2支筆。

3同學(xué)操作演示分法，明確這種分法其實就是“平均分”。

[設(shè)計意圖：鼓舞同學(xué)樂觀的自主探究，查找不同的證明方法，在枚舉法的基礎(chǔ)上，同學(xué)意識到了要考慮最少的狀況，從而引出假設(shè)法滲透平均分的思想。]

三、探究歸納，形成規(guī)律

1.課件展示其次個例題：5只鴿子飛回2個鴿巢呢？至少有幾只鴿子飛進同一個鴿巢里？應(yīng)當怎樣列式“平均分”。

[設(shè)計意圖：引領(lǐng)同學(xué)用平均分思想，并能用有余數(shù)的除法算式表示思維的過程。]

依據(jù)同學(xué)回答板書：5÷2=2……1

（學(xué)情預(yù)設(shè)：會有一些同學(xué)回答，至少數(shù)=商+余數(shù)至少數(shù)=商+1）

依據(jù)同學(xué)回答，師邊板書：至少數(shù)=商+余數(shù)？

至少數(shù)=商+1？

2.師依次創(chuàng)設(shè)疑問：7只鴿子飛回5個鴿巢呢？8只鴿子飛回5個鴿巢呢？9只鴿子飛回5個鴿巢呢？（依據(jù)回答，依次板書）

……

7÷5=1……2

8÷5=1……3

9÷5=1……4

觀看板書，同學(xué)們有什么發(fā)覺嗎？

得出“物體的數(shù)量大于鴿巢的數(shù)量，總有一個鴿巢里至少放進（商+1）個物體”的結(jié)論。

板書：至少數(shù)=商+1

[設(shè)計意圖：對規(guī)律的熟悉是循序漸進的。在初次發(fā)覺規(guī)律的基礎(chǔ)上，從“至少2支”獲得“至少商+余數(shù)”個，再到獲得“商+1”的結(jié)論。]

師過渡語：同學(xué)們的這一發(fā)覺，稱為“鴿巢問題”，最先是由19世紀的德國數(shù)學(xué)家狄利克雷提出來的，所以又稱“狄里克雷原理”，也稱為“鴿巢原理”。這一原理在解決實際問題中有著廣泛的應(yīng)用?！傍澇苍怼钡膽?yīng)用是千變?nèi)f化的，用它能夠解決很多好玩的問題，并且經(jīng)常能獲得一些令人驚異的結(jié)果。下面我們應(yīng)用這一原理解決問題。

四、運用規(guī)律解決生活中的問題

課件展示習(xí)題.：

1．三個小伴計同行，其中必有幾個小伴計性別相同。

2.五年一班共有同學(xué)53人，他們的年齡都相同，請你證明至少有兩