小學(xué)奧數(shù)-幾何五大模型(鳥頭模型)

PAGE|初一·數(shù)學(xué)·基礎(chǔ)-提高-精英·學(xué)生版|第1講第頁pagePAGE1ofNUMPAGES7三角形等高模型與鳥頭模型三角形等高模型與鳥頭模型模型二鳥頭模型兩個三角形中有一個角相等或互補(bǔ)，這兩個三角形叫做共角三角形．共角三角形的面積比等于對應(yīng)角(相等角或互補(bǔ)角)兩夾邊的乘積之比．如圖在中，分別是上的點(diǎn)如圖=1\*GB2⑴(或在的延長線上，在上如圖2)，則圖=1\*GB2⑴圖=2\*GB2⑵如圖在中，分別是上的點(diǎn)，且，，平方厘米，求的面積．連接，，，所以，設(shè)份，則份，平方厘米，所以份是平方厘米，份就是平方厘米，的面積是平方厘米．由此我們得到一個重要的定理，共角定理：共角三角形的面積比等于對應(yīng)角(相等角或互補(bǔ)角)兩夾邊的乘積之比．【鞏固】如圖，三角形中，是的5倍，是的3倍，如果三角形的面積等于1，那么三角形的面積是多少？連接．∵∴又∵∴，∴．【鞏固】如圖，三角形ABC被分成了甲(陰影部分)、乙兩部分，，，，乙部分面積是甲部分面積的幾倍？連接．∵，∴，又∵，∴，∴，．如圖在中，在的延長線上，在上，且，，平方厘米，求的面積．連接，，所以，設(shè)份，則份，平方厘米，所以份是平方厘米，份就是平方厘米，的面積是平方厘米．由此我們得到一個重要的定理，共角定理：共角三角形的面積比等于對應(yīng)角(相等角或互補(bǔ)角)兩夾邊的乘積之比如圖所示，在平行四邊形ABCD中，E為AB的中點(diǎn)，，三角形AFE(圖中陰影部分)的面積為8平方厘米．平行四邊形的面積是多少平方厘米？連接FB．三角形AFB面積是三角形CFB面積的2倍，而三角形AFB面積是三角形AEF面積的2連接．由共角定理得，即同理，即所以連接，同理可以得到所以平方米如圖，將四邊形的四條邊、、、分別延長兩倍至點(diǎn)、、、，若四邊形的面積為5，則四邊形的面積是．連接、．由于，，于是，同理．于是．再由于，，于是，同理．于是．那么．如圖，在中，延長至，使，延長至，使，是的中點(diǎn)，若的面積是，則的面積是多少？∵在和中，與互補(bǔ)，∴．又，所以．同理可得，．所以如圖，，，，，．求．本題題目本身很簡單，但它把本講的兩個重要知識點(diǎn)融合到一起，既可以看作是”當(dāng)兩個三角形有一個角相等或互補(bǔ)時，這兩個三角形的面積比等于夾這個角的兩邊長度的乘積比”的反復(fù)運(yùn)用，也可以看作是找點(diǎn)，最妙的是其中包含了找點(diǎn)的種情況．最后求得的面積為．如圖所示，正方形邊長為厘米，是的中點(diǎn)，是的中點(diǎn)，是的中點(diǎn)，三角形的面積是多少平方厘米？連接、．因為，根據(jù)”當(dāng)兩個三角形有一個角相等或互補(bǔ)時，這兩個三角形的面積比等于夾這個角的兩邊長度的乘積比”，，再根據(jù)”當(dāng)兩個三角形有一個角相等或互補(bǔ)時，這兩個三角形的面積比等于夾這個角的兩邊長度的乘積比”，得到，，，所以平方厘米．四個面積為的正六邊形如圖擺放，求陰影三角形的面積．如圖，將原圖擴(kuò)展成一個大正三角形，則與都是正三角形．假設(shè)正六邊形的邊長為為，則與的邊長都是，所以大正三角形的邊長為，那么它的面積為單位小正三角形面積的49倍．而一個正六邊形是由6個單位小正三角形組成的，所以一個單位小正三角形的面積為，三角形的面積為．由于，，所以與三角形的面積之比為．同理可知、與三角形的面積之比都為，所以的面積占三角形面積的，所以的面積的面積為．【鞏固】已知圖中每個正六邊形的面積都是1，則圖中虛線圍成的五邊形的面積是．從圖中可以看出，虛線和虛線外的圖形都等于兩個正六邊形的一半，也就是都等于一個正六邊形的面積；虛線和虛線外的圖形都等于一個