建立薛定諤方程的方法

建立薛定諤方程的方法摘要:薛定諤方程是量子力學(xué)的重要基本方程,是由奧地利物理學(xué)家薛定諤在1926年提出的一個(gè)用于描述量子力學(xué)中波函數(shù)的運(yùn)動(dòng)方程,它反映了描述微觀粒子的狀態(tài)隨時(shí)間變化的規(guī)律,在量子力學(xué)中的地位相當(dāng)于牛頓定律對(duì)于經(jīng)典力學(xué)一樣,是量子力學(xué)的奠基理論之一.由對(duì)薛定諤方程式的解答,能清楚地描述量子系統(tǒng)里,量子尺寸粒子的統(tǒng)計(jì)性量子行為.本文將討論以微分和類比的方法建立薛定諤方程.關(guān)鍵詞:量子力學(xué)波函數(shù)薛定諤方程引言:薛定諤提出的量子力學(xué)基本方程建立于1926年,它是一個(gè)非相對(duì)論的波動(dòng)方程.反映了描述微觀粒子的狀態(tài)隨時(shí)間變化的規(guī)律,地位與經(jīng)典物理中的牛頓運(yùn)動(dòng)方程相當(dāng),是打開物質(zhì)微觀世界大門的金鑰匙.設(shè)描述微觀粒子狀態(tài)的波函數(shù)為,質(zhì)量為m的微觀粒子在勢(shì)場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的薛定諤方程為在給定初始條件和邊界條件以及波函數(shù)所滿足的單值、有限、連續(xù)的條件下,可解出波函數(shù),由此可計(jì)算粒子的能量、分布概率等.當(dāng)勢(shì)能與時(shí)間無關(guān)而只是坐標(biāo)的函數(shù)情況下為定態(tài)問題.定態(tài)時(shí)的波函數(shù)可寫成式中稱為定態(tài)波函數(shù),滿足定態(tài)薛定諤方程,這一方程在數(shù)學(xué)上稱為本征方程,式中E為本征值,是定態(tài)能量又稱為屬于本征值E的本征函數(shù),波函數(shù)本身及其一階導(dǎo)數(shù)必須是單值、連續(xù)和有限的,這稱為波函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)條件.薛定諤方程是線性、齊次的微分方程,滿足疊加原理.定態(tài)薛定諤方程的每一個(gè)解就代表粒子的一個(gè)穩(wěn)定狀態(tài).縱觀物理學(xué)發(fā)展的歷史,人們對(duì)于微觀世界的認(rèn)識(shí)是極其曲折復(fù)雜的,經(jīng)歷了許多偉大科學(xué)家的艱辛努力與激烈爭(zhēng)論.其間,他們各有自己的高見,也都有各自的不足,每人只認(rèn)識(shí)其中的一個(gè)側(cè)面,將他們各自正確的部分集中起來,才建立起反映微觀世界的正確理論——量子力學(xué).其重要組成部分之一是薛定諤創(chuàng)立的波動(dòng)力學(xué).在波動(dòng)力學(xué)中薛定諤從幾何光學(xué)向波動(dòng)光學(xué)的過渡關(guān)系,而推斷出由經(jīng)典力學(xué)向波動(dòng)力學(xué)如何過渡,再受德布羅意波的啟發(fā)而建立了薛定諤方程.由于在實(shí)踐中只有少數(shù)幾個(gè)特殊的粒子運(yùn)動(dòng)體系的薛定諤方程可以精確求解,而對(duì)于復(fù)雜的多電子原子和分子體系的薛定諤方程則無法精確求解,即使是利用近似模型處理后,其求解過程仍然非常復(fù)雜煩瑣.隨著計(jì)算機(jī)技術(shù)的飛速發(fā)展,經(jīng)過適當(dāng)?shù)慕铺幚砗?通過求解薛定諤方程來揭示物質(zhì)的微觀性質(zhì)和狀態(tài)已經(jīng)得到了非常成功的應(yīng)用,尤其是在量子化學(xué)計(jì)算領(lǐng)域.因此,薛定諤方程已經(jīng)成為了人們打開物質(zhì)微觀世界大門的金鑰匙.薛定諤方程在量子力學(xué)的研究中有著極其重要的作用,它是量子力學(xué)重要的基本方程.這方程既不是推導(dǎo),也不是證明出來的,它是假設(shè)而建立起來的.建立方程的依據(jù)是:(1)應(yīng)當(dāng)是波函數(shù)對(duì)時(shí)間的一階微分方程;(2)方程要包含外界的因素;(3)方程中的系數(shù)不含有狀態(tài)參量;(4)方程是線性的.薛定諤方程的建立用微分發(fā)建立薛定諤方程建立過程:自由粒子波函數(shù)所滿足的方程推廣到一般.自由粒子的波函數(shù)為平面波 =1\*GB3①對(duì)時(shí)間求偏微商: =2\*GB3②對(duì)坐標(biāo)求二次偏微商: =3\*GB3③同理得:, =4\*GB3④將以上三式相加:, =5\*GB3⑤利用自由粒子的能量和動(dòng)量的關(guān)系,我們可得到自由粒子波函數(shù)所滿足的微分方程:

=6\*GB3⑥上式中劈形算符:,=7\*GB3⑦如存在勢(shì)能,能量和動(dòng)量的關(guān)系是: =8\*GB3⑧波函數(shù)應(yīng)滿足的微分方程是;

=9\*GB3⑨這個(gè)方程稱為薛定諤方程.由建立過程可以看出,只需對(duì)能量動(dòng)量關(guān)系進(jìn)行如下代換:

,

就可得到薛定諤方程.用類比法建立薛定諤方程幾何光學(xué)和波動(dòng)光學(xué)這兩種光學(xué)理論分別是建立在光的微粒說和波動(dòng)說基礎(chǔ)上的.早在19世紀(jì),哈密頓根據(jù)幾何光學(xué)中費(fèi)馬原理的數(shù)學(xué)表達(dá)式和經(jīng)典力學(xué)中哈密頓原理的數(shù)學(xué)表達(dá)式相似,曾經(jīng)提出經(jīng)典力學(xué)和幾何光學(xué)存在著某種相似性.在研究幾何光學(xué)和波動(dòng)光學(xué)的關(guān)系時(shí),如果波長(zhǎng)無限短,即在→0的條件下,波動(dòng)光學(xué)就會(huì)過渡到幾何光學(xué);在量子力學(xué)研究中,如果忽略量子效應(yīng),即在→0的條件下,量子力學(xué)就會(huì)過渡成為經(jīng)典力學(xué).如果把幾何光學(xué)與經(jīng)典力學(xué)之間的相似性和波動(dòng)光學(xué)與幾何光學(xué)、量子力學(xué)與經(jīng)典力學(xué)之間的過渡關(guān)系進(jìn)行類比,用圖表示為從類比圖我們可以看出,量子力學(xué)的波動(dòng)方程和波動(dòng)光學(xué)的波動(dòng)方程在數(shù)學(xué)表達(dá)式上是相似的.在波動(dòng)光學(xué)中,光波的兩個(gè)重要方程是 (1) (2)將(2)代入(1),得 (3)其中波矢的大小.同樣道理,在量子力學(xué)中,波函數(shù)的表達(dá)式應(yīng)與(2)式相似,記為: (4)如果能量不隨時(shí)間變化,則波函數(shù)的空間部分所滿足的波動(dòng)方程也應(yīng)與(3)相似,記為 (5)其中波矢的大小為,代入(5)式,得或 (6)上式則是定態(tài)薛定諤方程.如果我們知道勢(shì)能的具體形式,通過解方程即可求出定態(tài)波函數(shù)和粒子的能量E.如果方程(6)兩端同乘以,則方程變?yōu)? (7)由(4)式可得 將上式代入(7)式左邊,得 （8）這就是薛定諤方程的一般形式.對(duì)于自由粒子來說,它不受保守力場(chǎng)的作用,即U=0,則自由粒子的定態(tài)薛定諤方程為 (9)自由粒子薛定諤方程的一般形式為 (10)由此可見,利用類比的方法也可以建立起薛定諤方程,它與用微分的方法來建立方程所得的結(jié)果是一致的.主要是通過邏輯思維對(duì)經(jīng)典力學(xué)、幾何力學(xué)、波動(dòng)光學(xué)、量子力學(xué)的相似之處及過渡關(guān)系進(jìn)行比較,得出量子力學(xué)的波動(dòng)方程與光波的波動(dòng)方程相似,以此作為基礎(chǔ)而建立起薛定諤方程的.需要注意的是,薛定諤方程是實(shí)驗(yàn)的綜合,不是推導(dǎo)和證明出來的,薛定諤方程的正確性是靠它與大量實(shí)驗(yàn)相符合而得以證實(shí)的.實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證薛定愕方程建立半個(gè)多世紀(jì)以來一直為人們所承認(rèn)和接受并得到長(zhǎng)遠(yuǎn)發(fā)展.那么其基本假設(shè)和由此而建立的方程的實(shí)驗(yàn)基礎(chǔ)是什么?它經(jīng)受住了一些什么樣的實(shí)驗(yàn)檢驗(yàn)?zāi)?微觀粒子的波粒二象性即德布羅意物質(zhì)波的革命性假設(shè)及其實(shí)驗(yàn)被證實(shí)是薛定愕方程的實(shí)驗(yàn)基礎(chǔ)和理論基礎(chǔ).整個(gè)十九世紀(jì)物理學(xué)在對(duì)光的研究中首先發(fā)現(xiàn)了光的波動(dòng)特性,在這方面有大量的實(shí)驗(yàn)事實(shí)可查.如揚(yáng)氏雙縫干涉實(shí)驗(yàn),菲涅耳雙棱鏡干涉實(shí)驗(yàn),牛頓環(huán)干涉實(shí)驗(yàn),菲涅耳圓孔衍射實(shí)驗(yàn)等.薛定愕方程的建立有著廣泛的實(shí)驗(yàn)基礎(chǔ),但實(shí)驗(yàn)對(duì)方程的建立不是直接的,即方程不是大量實(shí)驗(yàn)結(jié)果的直接總結(jié),因此方程還必須進(jìn)一步接受實(shí)驗(yàn)的檢驗(yàn).那么薛定愕方程建立之后它經(jīng)受住了一些什么樣的實(shí)驗(yàn)檢驗(yàn)了呢？這里略舉幾例:方程的解實(shí)驗(yàn)結(jié)果諧振子零點(diǎn)能:存在（低溫超流實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證）氫原子能量本征值:,n=1,2,...氫原子光譜的規(guī)律性已證實(shí)氫光譜具有分離的譜線氫原子電離能:里德伯常數(shù):從薛定愕方程得到的結(jié)果與實(shí)驗(yàn)結(jié)果相符的事例還不止這些,但是從上述事例中,我們可充分看到薛定愕方程建立后,眾多的實(shí)驗(yàn)結(jié)果為其正確性提供了堅(jiān)實(shí)的實(shí)驗(yàn)基礎(chǔ).結(jié)論:薛定諤方程可由微分法和類比法建立,且經(jīng)檢驗(yàn),薛定諤方程是正確的,即:(1)從這個(gè)方程得到了諧振子的能級(jí)和定態(tài)波函數(shù),結(jié)果與海森伯的矩陣力學(xué)所得相同.(2)從這個(gè)方程得到的解正是氫原子的能級(jí)公式.(3)該方程處理了普朗克諧振子和雙原子分子等問題.(4)從這個(gè)方程可計(jì)算出里德伯常數(shù),結(jié)果與實(shí)驗(yàn)相符合.(5)利用這個(gè)方程含時(shí)間的微擾理論,解決色散等問題.原子的穩(wěn)定性問題.參考文獻(xiàn)[1]楊亞培張曉霞光電物理基礎(chǔ).電子科技大學(xué)出版社200914-28[2] [日]中島貞雄.最子力學(xué)(上)[M].北京:北京師范大學(xué)出版社,1989.[3]張懌慈.量子力學(xué)簡(jiǎn)明教程[M].北京:人民教育出版社,1979.[4]曾謹(jǐn)言.量子力學(xué)[M].北京:科學(xué)出版社,2007.1.26-28.[5]汪德新.量子力學(xué)[M].北京:科學(xué)出版社,2008.8.100-105.[6]郭奕玲.物理學(xué)史2版[M].北京:清華大學(xué)出版社,2005.8.45-49.[7]張永德.量子力學(xué)[M].北京:科學(xué)出版社,2008.8.35-78.[8]錢伯初.量