最全面的函數(shù)的奇偶性知識(shí)總結(jié)及練習(xí)題

函數(shù)的奇偶性中山七歐陽志平【教學(xué)目標(biāo)】一、 知識(shí)目標(biāo)1、 深刻理解奇偶性的定義及圖象特征；2、 掌握判定和證明奇偶性的方法；3、 學(xué)會(huì)利用函數(shù)的奇偶性解決問題二、 能力目標(biāo)培養(yǎng)學(xué)生的觀察、分析、歸納、概括和綜合分析能力，培養(yǎng)學(xué)生用數(shù)形結(jié)合和轉(zhuǎn)化變換等思想分析數(shù)學(xué)問題。三、情感目標(biāo)培養(yǎng)學(xué)生自主學(xué)習(xí)、積極主動(dòng)探求知識(shí)的習(xí)慣和品質(zhì)、合作交流的意識(shí)，改變學(xué)習(xí)方式，改善數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)信念，幫助學(xué)生建立勇于探索創(chuàng)新的精神和克服困難的信心。【教學(xué)重點(diǎn)】1、 理解奇偶性的定義；2、 掌握判定方法；3、 學(xué)會(huì)利用函數(shù)的奇偶性解題。【教學(xué)難點(diǎn)】靈活運(yùn)用函數(shù)的奇偶性求解函數(shù)解析式、對(duì)稱區(qū)間上函數(shù)的單調(diào)性的判斷?！究键c(diǎn)分析】1、 考查判斷函數(shù)的奇偶性的能力;2、 利用函數(shù)奇偶性的圖像解題；3、 利用函數(shù)的奇偶性求解析式；4、 利用函數(shù)奇偶性求單調(diào)區(qū)間?！局R(shí)點(diǎn)梳理】一、函數(shù)奇偶性的概念1函數(shù)的奇偶性的定義：在定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的前提樂件下，如果對(duì)于函數(shù)f⑴的定義域內(nèi)任意一個(gè)X，都有f(-X)=f(x)，那么函數(shù)f(x)就叫做偶函數(shù)。例如：函數(shù)f(X)=X2+1,f(x)=X4-2等都是偶函數(shù)。如果對(duì)于函數(shù)f(X)的定義域內(nèi)任意一個(gè)X，都有f(-X)=-f(X)，那么函數(shù)f(X)就叫做奇函數(shù)。例如：函數(shù)f(X)=X，f(x)=1都是奇函數(shù)。X說明：從函數(shù)奇偶性的定義可以看出，具有奇偶性的函數(shù)：其定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱；f(-X)=f(X)或f(-X)=-f(X)必有一成立。因此，判斷某一函數(shù)的奇偶性時(shí)，首先看其定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，若對(duì)稱，再計(jì)算f(-X)，看是等于f(X)還是等于-f(X)，然后下結(jié)論；若定義域關(guān)于原點(diǎn)不對(duì)稱，則函數(shù)沒有奇偶性。無奇偶性的函數(shù)是非奇非偶函數(shù)。函數(shù)f(X)=0既是奇函數(shù)也是偶函數(shù)，因?yàn)槠涠x域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱且既滿足f(x)=f(-x)也滿足f(x)=—f(-x)。(5)一般的，奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，反過來，如果一個(gè)函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，那么這個(gè)函數(shù)是奇函數(shù)。偶函數(shù)的圖象關(guān)于J軸對(duì)稱，反過來，如果一個(gè)函數(shù)的圖形關(guān)于V軸對(duì)稱，那么這個(gè)函數(shù)是偶函數(shù)。（6）奇函數(shù)若在x=0時(shí)有定義，則f（0）=0?2、主要方法：（1） 、判斷函數(shù)的奇偶性，首先要研究函數(shù)的定義域，有時(shí)還要對(duì)函數(shù)式化簡整理，但必須注意使定義域不受影響；（2） 、牢記奇偶函數(shù)的圖象特征，有助于判斷函數(shù)的奇偶性；（3） 、判斷函數(shù)的奇偶性有時(shí)可以用定義的等價(jià)形式：f（尤）土f（-尤）=0，!?）、=±i?f（-x）⑷、設(shè)f（x），g（x）的定義域分別是D1,D2，那么在它們的公共定義域上：奇+奇二奇，奇X奇二偶，偶+偶二偶，偶X偶二偶，奇X偶二奇.函數(shù)的奇偶性的性質(zhì)對(duì)稱性：奇（偶）函數(shù)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱；????整體性：奇偶性是函數(shù)的整體性質(zhì)，對(duì)定義域內(nèi)任意一個(gè)x都必須成立；③可逆性：f(-x)=f(x)of(x)偶函數(shù);f(f)=-f⑴。f⑴奇函數(shù);等價(jià)性：f(-x)^f(x)。f(-x)-f(x)=0f(-x)=-f(x)=f(-x)+f(x)=0奇函數(shù)的圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，偶函數(shù)的圖像關(guān)于y軸對(duì)稱；可分性：根據(jù)函數(shù)奇偶性可將函數(shù)分類為四類：奇函數(shù)、偶函數(shù)、既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)、非奇非偶函數(shù)?！镜湫屠}】題型一■判斷函數(shù)的奇偶性例1判斷下列函數(shù)的奇偶性：(1)f(x)=X4；f(x)=X5；f(x)=x+1;xf(x)=4.x2思路分析：學(xué)生思考奇偶函數(shù)的定義，利用定義來判斷其奇偶性.先求函數(shù)的定義域，并判斷定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，如果定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，那么再判斷f(-x)=f(x)或f(-x)=-f(x).解答過程：解：(1)函數(shù)的定義域是R,對(duì)定義域內(nèi)任意一個(gè)x,都有f(-x)=(-x)4=x4=f(x),所以函數(shù)f(x)=x4是偶函數(shù).函數(shù)的定義域是R，對(duì)定義域內(nèi)任意一個(gè)x，都有f(-x)=(-x)5=-x5=-f(x),所以函數(shù)f(x)=x4是奇函數(shù).函數(shù)的定義域是(-8,0)u(0,+8),對(duì)定義域內(nèi)任意一個(gè)x,都有f(-x)=-x+^L=-(x+1)=-f(x),-X X所以函數(shù)f(x)=x+1是奇函數(shù).X(4)函數(shù)的定義域是(-8,0)U(0,+8),對(duì)定義域內(nèi)任意一個(gè)x,都有f(-x)=1=_L=f(x),(-X2)X2所以函數(shù)f(x)=_1是偶函數(shù).X2點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)的奇偶性.函數(shù)的定義域是使函數(shù)有意義的自變量的取值范圍，對(duì)定義域內(nèi)任意x,其相反數(shù)-x也在函數(shù)的定義域內(nèi)，此時(shí)稱為定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.小結(jié)：利用定義判斷函數(shù)奇偶性的格式步驟：①首先確定函數(shù)的定義域，并判斷其定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱；②確定f(-x)與f(x)的關(guān)系;作出相應(yīng)結(jié)論：若f(-x)=f(x)或f(-x)-f(x)=0,則f(x)是偶函數(shù)；若f(-x)=-f(x)或f(-x)+f(x)=0,則f(x)是奇函數(shù).變式一［設(shè)f(x)是日上的任意函數(shù)，則下列敘述正確的是( )(x)f(-x)是奇函數(shù) (x)|f(-x)|是奇函數(shù)(x)-f(-x)是偶函數(shù) (x)+f(-x)是偶函數(shù)思路分析:A中設(shè)F(x)=f(x)f(-x),則F(-x)=f(-x)f(x)=F(x)，即函數(shù)F(x)=f(x)f(-x)為偶函數(shù)；B中設(shè)F(x)=f(x)|f(-x)|,F(-x)=f(-x)|f(x)|,此時(shí)F(x)與F(-x)的關(guān)系不能確定，即函數(shù)F(x)=f(x)|f(-x)|的奇偶性不確定；C中設(shè)F(x)=f(x)-f(-x),F(-x)=f(-x)-f(x)=-F(x),即函數(shù)F(x)=f(x)-f(-x)為奇函數(shù)；D中設(shè)F(x)=f(x)+f(-x),F(-x)=f(-x)+f(x)=F(x),即函數(shù)F(x)=f(x)+f(-x)為偶函數(shù).答案：D變式二［設(shè)f(x)是(一8,+8)上的奇函數(shù)，f(x2)=一f(x)，當(dāng)0WxW1時(shí)，f(x)=x,x則f(7.5)等于()A. B,—0.5C. D,—解析：f(7.5)=f(5.5+2)=-f(5.5)=一f(3.5+2)=f(3.5)=f(1.5+2)=一f(1.5)=一f(-0.5+2)=f(-0.5)=—f(0.5)=一?答案：B解析：這里反復(fù)利用了f(x)=—f(x)和f(x+2)=—f(x)，后面的學(xué)習(xí)我們會(huì)知道這樣的函數(shù)具有周期性.題型二■利用函數(shù)奇偶性求函數(shù)解析式例2已知函數(shù)f(x)是定義在(-8,+8)上的偶函數(shù).當(dāng)x￡(-8,0)時(shí)，f(x)=x-X4,則當(dāng)xe(0,+8)時(shí)，f(x)=.思路分析：學(xué)生思考偶函數(shù)的解析式的性質(zhì)，考慮如何將在區(qū)間(0,+8)上的自變量對(duì)應(yīng)的函數(shù)值，轉(zhuǎn)化為區(qū)間(-8,0)上的自變量對(duì)應(yīng)的函數(shù)值.利用偶函數(shù)的性質(zhì)f(x)=f(-x)，將在區(qū)間(0,+8)上的自變量對(duì)應(yīng)的函數(shù)值，轉(zhuǎn)化為區(qū)間(-8,0)上的自變量對(duì)應(yīng)的函數(shù)值.解答過程：當(dāng)xe(0,+8)時(shí)，則-x<0.又?.,當(dāng)xe(-8,0)時(shí)，f(x)=x-x4,

「?f(X)=(-X)-(-X)4=-X-X4.答案：-X-X4點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)的解析式和奇偶性.已知函數(shù)的奇偶性，求函數(shù)的解析式時(shí)，要充分利用函數(shù)的奇偶性，將所求解析式的區(qū)間上自變量對(duì)應(yīng)的函數(shù)值轉(zhuǎn)化為已知解析式的區(qū)間上自變量對(duì)應(yīng)的函數(shù)值.變式一■已知函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x>0時(shí)，f(x)=X2+*x，求f(x).解：當(dāng)x=0時(shí)，f(-0)=-f(0)，則f(0)二0；當(dāng)x<0時(shí)，-x>0，由于函數(shù)f(x)是奇函數(shù)，則f(x)=-f(-x)=-[(-x)2+3=]=-X2+3X，X2+3x, x>0,綜上所得，f(x)=“， X=0,-X2+Vx,X<0.例3.已知二次函數(shù)f(X)=X2-ax+4，若f(X+1)是偶函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的值為()A.-1B.1C.-2A.-1B.1C.-2解析：'/f(x)=X2—ax+4,「.千(x+1)=(x+1)2—a(x+1)+4=X2+2x+1—ax—a+4=x2+(2—a)x+5—a,f(1—x)=(1—x)2—a(1—x)+4=X2—2x+1—a+ax+4=X2+(a—2)x+5—a.Vf(x+1)是偶函數(shù)，.?.f(x+,1)=f(—x+1),「.a—2=2a,即a^2.題型三 函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性綜合例4.已知函數(shù)y= 在定義域［—1,1］上是奇函數(shù)，又是減函數(shù)。⑴證明：對(duì)任意的匚1日_1,1］有：TOC\o"1-5"\h\z1 2［f(x)+f(x)］(x+x)<o1 2 1 2⑵若/(l-a)+/(l-?2)<0求實(shí)數(shù)q的取值范圍。解答過程：解：(1)證明：若1+工=0，顯然不等式成立；1 2右X+x<0，則-1<X< <11 2 1 2孑⑴在-1,1］上是奇函數(shù)又是減函數(shù)，

TOC\o"1-5"\h\z?■-f(x)>/(-x)=>f(x)>-f(x)12 12f(x)+/(%)>o1 2...原不等式成立同理可證當(dāng)x+x>0時(shí)原不等式也成立。1 2⑵解：由y(i-6/2)+f(i-6/)<0得由函數(shù)在上是單調(diào)減函數(shù)，故有-1<1-?2<1-1<1-?2<10<<22<21一。2>a-1所以，所求a的取值范圍是［0,1)。點(diǎn)評(píng)：(1)函數(shù)的單調(diào)性廣泛應(yīng)用于比較大小，解不等式，求參數(shù)的范圍，最值問題中，應(yīng)引起足夠的重視。變式一：［已知偶函數(shù)了⑴在區(qū)間［0,+00)單調(diào)增加，則滿足/(2x-l)<范圍是(12 12 12 12A.(7，：) &三，7C.(寸7 D.三，F(xiàn)33 33 23 23解析：由于f(x)是偶函數(shù)，故f(x)=f(IxI)?.?得f(I2x-11)<再根據(jù)f(x)的單調(diào)性，得|2x—1|V3解得3VxV2.變式二：［已知奇函數(shù)f(x)在區(qū)間［3,7］上是增函數(shù)，且最小值為5,那么函數(shù)f(x)在區(qū)間［—7,—3］上是( )A.增函數(shù)且最小值為一5 B.增函數(shù)且最大值為一5C.減函數(shù)且最小值為一5 D.減函數(shù)且最大值為一5解析:?.?f(x)為奇函數(shù),.??f(x)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.?.?f(x)在［3,7］上是增函數(shù)，f(x)在［一7,—3］上也是增函數(shù)??f(x)在［3,7］上的最小值為5,「.由圖可知函數(shù)f(x)在［一7,—3］上有最大值一5.題型四圖形、單調(diào)性綜合利用例題5。(2004年上海卷)設(shè)奇函數(shù)f(x)的定義域是［-5,5］。當(dāng)xe［0,5］時(shí)，f(x)的圖象如圖，則不等式f(x)<0的解是 。(-2,0)D(2,5］00例題6、定義在］一2,2］上的偶函數(shù)g(x),當(dāng)x，0時(shí)，g(x)單調(diào)遞減，若g(1—m)Vg(m)，求m的取值范圍.解：由g(1—m)Vg(m)及g(x)為偶函數(shù)，可得g(|l—m|)Vg(|m|).又g(x)在(0，+8)上單調(diào)遞減，「?|l—m|>|m|，且|l—m|W2，|m|W2，解得一1WmV1.題型五 抽象函數(shù)的奇偶性例7.函數(shù)f⑴的定義域?yàn)镈={ceRx莉}，且滿足對(duì)于任意氣,X2eD，有f(x-x)=f(x)+f(x)(1)求f⑴的值； (2)判斷函數(shù)f⑴的奇偶性，并證明；解：(1)令氣=七=1，得f(1)=0；(2)令氣=氣=-1，得f(-1)=0，令氣=—1氣=］，得f(-x)=f(-1)+f(x)?.?f(-x)=f(x)，即f(x)為偶函數(shù).點(diǎn)評(píng)：賦值法是解決抽象函數(shù)問題的切入點(diǎn).常賦值有0，1，—1,2，一2，等等.例8.已知函數(shù)f(x)在(一1，1)上有定義，f(!)=—1，當(dāng)且僅當(dāng)02VxV1時(shí)f(x)V0，且對(duì)任意X、yG(—1，1)都有f(x)+f(y)=f{^±L)，試證明：1+xy(1)f(x)為奇函數(shù)；(2)f(x)在(一1,1)上單調(diào)遞減.解答過程：證明：(1)由f(x)+f(y)=f(M^)，令x=y=0，得f(0)=0，1+xy令y=—x，得f(x)+f(-x)=f^^—^)=f(0)=0，?f(x)=1一x2一f(-x)，「.f(x)為奇函數(shù).⑵先證f(x)在(0,1)上單調(diào)遞減.令0VxVxV1,則f(x)—f(x)=f(x)+f(—x)=f(x2_氣)12 2 1 2 1 1-氣x2\-0Vx1Vx2V1,.?.x—x>0,1—xx>0,.?.x2\-0Vx1Vx2V1,2 1 12 1-氣x2又(x—x)—(1—xx)=(x—1)(x+1)V0TOC\o"1-5"\h\z2 1 21 2 1「.x—xV1—xx,2 1 21.??0Vx2-XiV1,由題意知f(x2-Xi)V0,一xx 1一xx12 12即f(x)Vf(x).1f(x)在(0,1)上為減函數(shù)，又f(x)為奇函數(shù)且f(0)=0.f(x)在(—1,1)上為減函數(shù).點(diǎn)評(píng)：這種抽象函數(shù)問題，往往需要賦值后求特殊的函數(shù)值，如f(0),f(±1),f(±2)等等，一般f(0)的求解最為常見.賦值技巧常為令x=y=0或x=-y等。本例中第一問求解特殊函數(shù)值的過程中就采用了這兩個(gè)技巧；對(duì)于(2),判定x2-x1的范圍是解題的焦點(diǎn).1一xx變式練習(xí)，已知函數(shù)f(x)對(duì)一切x,yeR，都有f(x+y)=f(x)+f(y)，求證：f(x)是奇函數(shù)；解：(1)顯然f(x)的定義域是R,它關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.在f(x+y)=f(x)+f(y)中，令y=-x，得f(0)=f(x)+f(-x)，令x=y=0，得f(0)=f(0)+f(0),?.?f(0)=0，?匚f(x)+f(-x)=0，即f(-x)=-f(x)，?.?f(x)是奇函數(shù).題型四利用函數(shù)奇偶性求值例9.已知 f(x)=x5+ax3+bx-8且 f(-2)=10 ,那么f(2)= 解：設(shè)F(x)=f(x)+8，則F(x)=x5+ax3+bx為奇函數(shù)，于是有F(-x)=F(x)，從而有f(-x)+8=-[f(x)+8]即：f(-x)+f(x)=-16令x=2，得f(-2)+f(2)=-16，又f(-2)=10，故f(2)=-16-10=-26【鞏固練習(xí)】1.函數(shù)①y(x)=x-— ②/(x)=x+1 ③/⑴二工4+工2—1@/(x)=(l+x)3@/(x)=(l+x)3-3(l+%2)+2E述函數(shù)中為奇函數(shù)的是（A.①⑥⑦B.A.①⑥⑦B.①⑥C.③⑥D(zhuǎn).①②2.（2011年安徽理科卷）設(shè)是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)匕0時(shí),/（X）=2x2一X,則f（l）=（）A-3B-1A-33.如果奇函數(shù)/⑴在區(qū)間［3,7］上是增函數(shù)且最小值是5,那么/（x）在區(qū)間［—7,—3］上（）A.是增函數(shù)且最小值為一A.是增函數(shù)且最小值為一5B.是增函數(shù)且最大值是一5C.是減函數(shù)且最小值為一C.是減函數(shù)且最小值為一5D.是減函數(shù)且最大值是一54.已知函數(shù)f（x）=x5+ax3+bx—8,且y（2）=0,則/'（—2）等于（）A.—16B.-18A.—16B.-18C.-10若f⑴在】一5,5]上是奇函數(shù)，且f⑶Vf⑴，則()A.f(-1)Vf⑴ B.f(0)>f⑴C?f(-1)Vf(-3) D.f(-3)>f(-5)已知函數(shù)f(Q=|x+a|-|x-a\\(a20)，g(x)=(x一1)J^1，Vx-1h(x)=!-XX (：；0),則f(x),g(x),h(x)的奇偶性依次為()A?奇函數(shù)，偶函數(shù)，奇函數(shù)B.非奇非偶函數(shù)，奇函數(shù)，偶函數(shù)C.奇函數(shù)，奇函數(shù)，奇函數(shù)D.奇函數(shù)，非奇非偶函數(shù)，奇函數(shù)(2011年廣東理科卷)設(shè)函數(shù)f(xMDg(x)分別是R上的偶函數(shù)和奇函數(shù)，則下列結(jié)論恒成立的是A.f(x)+|g(x)|是偶函數(shù) B.f(x)-|g(x)是奇函數(shù)C?|f(x)|+g(x)是偶函數(shù) D.|f(x)-g(x)是奇函數(shù)(2009年陜西文科卷)定義在R上的偶函數(shù)f(x)滿足：對(duì)任意的x,xe[0,+8)(x2x)，有f(x2)一f(x1)<0.則()12 1 2 x-xA.f(3)<f(-2)<f(1) B.f(1)<f(-2)<f(3)

c.f(—c.f(—2)Vf(1)<f⑶D.f(3)<f(1)<f(—2)(2009年四川文科卷)已知函數(shù)f(X)是定義在實(shí)數(shù)集R上的不恒為零的偶函數(shù)，且對(duì)任意實(shí)數(shù)X都有xf(X+1)=(1+x)f(x)，則f(：)的值是( )A.0 B.1 C.12D.52設(shè)f(x)與g(x)的定義域是{xIxeR,且^±1},f(x)是偶函數(shù)，g(x)是奇函數(shù)，且f(x)+g(x)=—，求f(x)與g(x)的解析式.x一1【課后作業(yè)】一、選擇題已知函數(shù)f(x)=ax2+bx+c(a手0)是偶函數(shù)，那么g(x)=axa+bx2+cx( )A.奇函數(shù) B.偶函數(shù)C?既奇又偶函數(shù)D.非奇非偶函數(shù)已知函數(shù)f(x)=a*+bx+3a+b是偶函數(shù)，且其定義域?yàn)椋踑-1,2a］，則()A.a=1.，b=0B.a=—1，b=0C.a=1，b=0 D.a3=3，b=0已知f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)xN0時(shí)，f(x)=X2—2x,則f(x)在R上的表達(dá)式是( )A.y=x(x—2)B.y=x(|x|—1)C.y=|x|(x—2)D.y=x(|x|—2)已知f(x)=x5+ax3+bx—8，且f(—2)=10，那么f(2)等于()A.—26 B.—18 C.—10D.10函數(shù)f⑴=虹蕓上1是( )<1+X2+X+1A.偶函數(shù)B?奇函數(shù)C.非奇非偶函數(shù) 。?既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)若f(x),g(x)都是奇函數(shù)，F(xiàn)(x)=af(x)+bg(x)+2在(0，+TO)上有最大值5,則F(x)在(一8,0)上有( )A.最小值一5 B.最大值一5C.最小值一1D,最大值一3二、填空題函數(shù)f(X)=T2一?的奇偶性為(填奇函數(shù)或偶函數(shù)).\1—X2若y=(m—1)x2+2mx+3是偶函數(shù)，則m=.已知f(x)是偶函數(shù)，g(x)是奇函數(shù)，若f⑴+g⑴二二，則X—1f(x)的解析式為.已知函數(shù)f(x)為偶函數(shù)，且其圖象與x軸有四個(gè)交點(diǎn)，則方程f(x)=0的所有實(shí)根之和為.三、解答題設(shè)定義在［一2,2］上的偶函數(shù)f(x)在區(qū)間［0,2］上單調(diào)遞減，若f(1—m)Vf(m)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.已知函數(shù)f(x)滿足f(x+y)+f(x—y)=2f(x)?f(y)(xeR，yeR)，且f(0)手0,試證f(x)是偶函數(shù).已知函數(shù)f(x)是奇函數(shù)，且當(dāng)x>0時(shí)，f(x)=X3+2x—1,求f(x)在R上的表達(dá)式.(x)是定義在(一8,—5] [5,+8)上的奇函數(shù)，且f(x)在[5，+8)上單調(diào)遞減，試判斷f(乂)在(一8，一5]上的單調(diào)性，并用定義給予證明.15.設(shè)函數(shù)y=f(x)(xR且x#0)對(duì)任意非零實(shí)數(shù)x1、x2滿足f(x1鳥)=f(x)+f(x)，1 2求證f(x)是偶函數(shù).【拓展訓(xùn)練】1.已知f(x)-x5+ax3+bx-8且f(-2)-10,那么f(2)-12.若f(x)=2—+a是奇函數(shù)，則a=12x+1'已知函數(shù)f(x)=a—-…，若f(x)為奇函數(shù)，則a=2x+1'4.設(shè)f(x)是定義在r上的奇函數(shù)，且當(dāng)x>0時(shí)，f(x)=2x-3,則f(一2)=5.若函數(shù)y=f(x)是奇函數(shù)，f⑴=3,則f(-1)的值為-36.已知分段函數(shù)f(x)是奇函數(shù)，當(dāng)x日0,+8)時(shí)的解析式為y=x2，則這個(gè)函數(shù)在區(qū)間(—8,0)上的解析式為y=72設(shè)函數(shù)y=f(x)是奇函數(shù).若f(—2)+f(—1)-3=f⑴+f⑵+3則f⑴+f(2)=-3.已知函數(shù)f(x)為R上的奇函數(shù)，當(dāng)x>0時(shí)，f(x)=x(x+1).若f(a)=-2，則實(shí)數(shù)a=二J 【鞏固練習(xí)】答,1.B9.解析：若x手0,則有f(x+1)=土f(x)，取x=-L,則有:2=/(_；+D=-f(-2),：f⑴是偶函數(shù)，則f(-1)=f(1)由此得f(2)=0于是，3=f(2+1)1+32I2L L. L1+^ ,=- =5f(4+1)=5[ 2]f擊=5f(!)=03 32r1 2 22故選A10.解析：..?f⑴是偶函數(shù)，g⑴是奇函數(shù)，?.?由f(F+g(F=-^，有-X-1f(X)_g(X)=^^ ①-X-1又,「 f(X)+g(X)=— ②X一11 1 +—由①②得f(X)=一X-12X-1=,g(X)=【課后作業(yè)】答案1.解析：f(x)=ax2+bx+c為偶函數(shù)，中(x)=X為奇函數(shù)，「?g(x)=ax3+bx2+cx=f(x)?中⑴滿足奇函數(shù)的條件.案：A2,解析：由f(x)=ax2+bx+3a+b為偶函數(shù)，得b=0.又定義域?yàn)閇a—1,2a],「?a—1=2a,.?頊=1.故選A.33,解析：由x，0時(shí)，f(x)=x2—2x,f(x)為奇函數(shù)，..?當(dāng)xV0時(shí)，f(x)=—f(—x)=—(x2+2x)=—x2—2x=x(—x—2).?們)="3一2)點(diǎn)0)，即f(x)=x(|x|—2)[x(~x—2) (x<0),答案：D解析：f(x)+8=x5+ax3+bx為奇函數(shù)，f(—2)+8=18，「?f(2)+8=—18，「?f(2)=—26.答案：A解析：此題直接證明較煩，可用等價(jià)形式f(—x)+f(x)=0. 答案：B6?解析:中(x)、g(x)為奇函數(shù)，??f(x)—2=a^(x)+bg(x)為奇函數(shù).又f(x)在(0,+8)上有最大值5， ..?f(x)—2有最大值3.、

f(x)—2在(一°°,0)上有最小值一3, f(x)在(一8,0)上有最小值一1.答案：C答案：奇函數(shù)答案：0解析：因?yàn)楹瘮?shù))=(m—1)X2+2rnx+3為偶函數(shù)，.\f(―x)=f(x),即(m—1)(―x)2+2m(―x)+3=(—1)x2+2mx+3,整理，得m=0.9,解析：由千9,解析：由千(x)是偶函數(shù),g(x)是奇函數(shù),可得 =11/(%)=-(——211/(%)=-(——2x~l答案:-—X~1X2~110.答案：011.答案：m<L212.證明：令x=y=0,有千(0)+千(0)=2f(0)?f(0),又千(0)手0,...可證千(0)=1,令x=0,「.千(y)+千(―y)=2f(0)?f(y)=f(—y)=f(y),故千(