江蘇無(wú)錫2001中考數(shù)學(xué)試題分類解析專題9：三角形(同名16210)

第7頁(yè)2001-2012年江蘇無(wú)錫中考數(shù)學(xué)試題分類解析匯編（12專題）專題9：三角形選擇題1.（江蘇省無(wú)錫市2002年3分）已知：四邊形ABCD中，AB=2，CD=3，M、N分別是AD，BC的中點(diǎn)，則線段MN的取值范圍是【】A．1＜MN＜5B．1＜MN≤5C．D．【答案】D。【考點(diǎn)】三角形中位線定理，三角形三邊關(guān)系?！痉治觥窟B接BD，過(guò)M作MG∥AB，連接NG?！進(jìn)是邊AD的中點(diǎn)，AB=2，MG∥AB，∴MG是△ABD的中位線，BG=GD，MG=AB=×2=1?！逳是BC的中點(diǎn)，BG=GD，CD=3，∴NG是△BCD的中位線，NG=CD=×3=。在△MNG中，由三角形三邊關(guān)系可知MG－NG＜MN＜MG＋NG，即＜MN＜，∴。當(dāng)MN=MG＋NG，即MN=時(shí)，四邊形ABCD是梯形，∴線段MN長(zhǎng)的取值范圍是。故選D。2.（江蘇省無(wú)錫市2003年3分）已知D、E分別是△ABC的邊AB、AC的中點(diǎn)，DE＝2，那么BC的長(zhǎng)是【】A.1B.2C【答案】C?！究键c(diǎn)】三角形中位線定理【分析】∵D、E是AB、AC的中點(diǎn)，∴DE是△ABC的中位線?！郉E=BC。又∵DE=2，∴BC=2DE=2×2=4。故選C。3.（江蘇省2009年3分）如圖，給出下列四組條件：①；②；③；④．其中，能使的條件共有【】A．1組 B．2組 C．3組 D．4組【答案】C。【考點(diǎn)】全等三角形的判定?！痉治觥扛鶕?jù)全等三角形的判定方法可知：①，可用“SSS”判定；②，可用“SAS”判定；③，可用“ASA”判定；④，是“SSA”，不能判定；因此能使的條件共有3組。故選C。4.(江蘇省無(wú)錫市2010年3分)下列性質(zhì)中，等腰三角形具有而直角三角形不一定具有的是【】A．兩邊之和大于第三邊 B．有一個(gè)角的平分線垂直于這個(gè)角的對(duì)邊C．有兩個(gè)銳角的和等于90° D．內(nèi)角和等于180°【答案】B?！究键c(diǎn)】三角形構(gòu)成的條件，三角形內(nèi)角和定理，等腰三角形和直角三角形的性質(zhì)。【分析】?jī)蛇呏痛笥诘谌?，?nèi)角和等于180°，這兩條性質(zhì)對(duì)于每個(gè)三角形都具有。對(duì)于直角三角形，還有其特殊的性質(zhì)，如兩個(gè)銳角互余，斜邊上的中線等于斜邊的一半，面積等于兩直角邊乘積的一半；對(duì)于等腰三角形，其特殊性質(zhì)有：兩條邊相等，兩個(gè)底角相等，“三線合一”。故選B。5.(江蘇省無(wú)錫市2011年3分)如圖，四邊形ABCD的對(duì)角線AC、BD相交于O，且將這個(gè)四邊形分成①、②、③、④四個(gè)三角形．若OA：OC=OB：OD，則下列結(jié)論中一定正確的是【】 ▲ °．【答案】50。【考點(diǎn)】線段垂直平分線的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)?！痉治觥看怪逼椒志€上的點(diǎn)到線段的兩個(gè)端點(diǎn)距離相等，可以得到等腰三角形，從而得到角相等：∵DE垂直平分AC，∴EA=EC，∴∠ECA=∠A=30°。又∵∠ACB=80°，∴∠BCE=50°。9.(江蘇省無(wú)錫市2011年2分)如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D、E、F分別是AB、BC、CA的中點(diǎn)，若CD=5cm，則EF=▲cm．【答案】5?！究键c(diǎn)】三角形中位線性質(zhì)和直角三角形性質(zhì)?！痉治觥扛鶕?jù)三角形中位線等于第三邊一半的性質(zhì)和直角三角形斜邊上中線等于斜邊一半的性質(zhì)，直接得出結(jié)果：EF=。三、解答題1.（2001江蘇無(wú)錫10分）如圖，已知梯形ABCD中，AD∥BC，BC=3AD，E是腰AB上的一點(diǎn)，連接CE，（1）如果CE⊥AB，AB=CD，BE=3AE，求∠B的度數(shù)；（2）設(shè)△BCE和四邊形AECD的面積分別為S1和S2，且2S1=3S2，試求的值．【答案】解：（1）如圖，延長(zhǎng)BA、CD相交于點(diǎn)M?！逜D∥BC，∴△MAD∽△MBC。∴。∵BC=3AD，∴?！郙B=3MA。設(shè)MA=2x，則MB=6x?！郃B=4x?！連E=3AE，∴BE=3x，AE=x。∴BE=EM=3x，即E為MB的中點(diǎn)。又∵CE⊥AB，∴CB=MC。又∵M(jìn)B=MC，∴△MBC為等邊三角形?！唷螧=60°。（2）如圖，延長(zhǎng)BA、CD相交于點(diǎn)M。∵AD∥BC，∴△MAD∽△MBC?！唷ＴO(shè)S△MAD=S3=a，則S△MAD=9a，S1+S2=8a。又∵2S1=3S2，∴S1=，S2=?！摺鱁MC與△CEB等高，∴。設(shè)ME=7k，則BE=8k，MB=15k。∴MA=MB=5k。∴AE=7k－5k=2k?！??！究键c(diǎn)】相似三角形的判定和性質(zhì)，等腰（邊）三角形的判定和性質(zhì)?！痉治觥浚?）延長(zhǎng)BA與CD，然后根據(jù)面積的關(guān)系求得△MBC是等邊三角形，即可得∠B為60°。（2）可利用面積法求解，因?yàn)槿绻切蔚母呦嗟龋瑒t其面積的比等于其底的比，所以可求得AE與BE的比。2.（江蘇省無(wú)錫市2002年7分）已知：如圖，△ABC中，AB=AC，矩形BCDE的邊DE分別與AB、AC交于點(diǎn)F、G．求證：EF=DG．【答案】證明：∵四邊形EBCD為矩形，∴∠E=∠EBC=∠BCD=∠D=90°，EB=DC．又∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB。∴∠FBE=∠GCD。∴△EFB≌△DGC（AAS）。∴EF=DG?！究键c(diǎn)】矩形和等腰三角形的性質(zhì)，平行的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)?！痉治觥孔C兩條線段相等一般是通過(guò)全等，先觀察所求線段在哪兩個(gè)三角形中，然后找全等的條件。3.（江蘇省無(wú)錫市2002年10分）已知：如圖，四邊形ABCD中，AD⊥AB，BC⊥AB，BC=2AD，DE⊥CD交邊AB于E，連接CE．（1）求證：DE2=AE?CE；（2）若△CDE與四邊形ABCD的面積之比為2：5，求sin∠BCE的值．【答案】解：（1）證明：過(guò)點(diǎn)D作DF⊥BC于F，DF交CE于G，則ADFB是矩形?！郆F=AD?！郈F=BC－BF=2AD－AD=AD=BF?！逨G∥BE，∴CG=GE。∵∠CDE=90°，∴DG是直角△CDE斜邊上的中線?！郉G=GE?！唷螱DE=∠GED?！逩D∥AB，∴∠GDE=∠DEA?！唷螱ED=∠DEA。又∵∠CDE=∠A=90°，∴△DEC∽△AED?！??！郉E2=AE?CE。

（2）∵，∴，又∵，∴，即?！唷??！究键c(diǎn)】矩形的性質(zhì)，平行的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，解直角三角形，勾股定理，因式分解法解一元二次方程，銳角三角函數(shù)定義?！痉治觥浚?）∠CDE=∠A，∠DEA=∠CED對(duì)應(yīng)相等，從而證明三角形相似得出結(jié)論。（2）求出BE與CE的比值即為所求。4.（江蘇省無(wú)錫市2006年9分）如圖，△ABC中，∠ACB＝90o，AC＝BC＝1，將△ABC繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)角α。（0o＜α＜90o）得到△A1B1C1，連結(jié)BB1.設(shè)CB1交AB于D，A1B1分別交AB、AC于E、F（1）在圖中不再添加其它任何線段的情況下，請(qǐng)你找出一對(duì)全等的三角形，并加以證明（△ABC與△A1B1C1（2）當(dāng)△BB1D是等腰三角形時(shí)，求α；（3）當(dāng)α＝60o時(shí)，求BD的長(zhǎng)?！敬鸢浮拷猓海?）△CBD≌△CA1F∵，∴?！逜1C=BC，。∴△CBD≌△CA1F（ASA（2）在△CBB1中，∵CB=CB1，∴。又∵△ABC是等腰直角三角形，∴∠ABC=45°。①若B1B=B1D，則∠B1DB=∠B1BD。∵∠B1DB=45°+α，，∴，解得（舍去）?！究键c(diǎn)】旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，全等三角形的判定，等腰三角形的性質(zhì)，解直角三角形，銳角三角函數(shù)定義。【分析】（1）依據(jù)全等三角形的判定，可找出全等的三角形有：△CBD≌△CA1F或△AEF≌△B1ED△ACD≌△B1CF等．由旋轉(zhuǎn)的意義可證∠A1CF=∠BCD，A1C=BC，∠A1=∠CBD=45°，所以由ASA可得△CBD≌△CA1F（2）當(dāng)△BBD是等腰三角形時(shí)，要分別討論B1B=B1D、BB1=BD、B1D=DB三種情況，第一，三種情況不成立，只有第二種情況成立，求得α=30°。（3）作DG⊥BC于G，在直角三角形CDG和直角三角形DGB中，由三角函數(shù)即可求得BD的長(zhǎng)。5.（江蘇省無(wú)錫市2007年9分）（1）已知中，，，請(qǐng)畫(huà)一條直線，把這個(gè)三角形分割成兩個(gè)等腰三角形．（請(qǐng)你選用下面給出的備用圖，把所有不同的分割方法都畫(huà)出來(lái)．只需畫(huà)圖，不必說(shuō)明理由，但要在圖中標(biāo)出相等兩角的度數(shù)）（2）已知中，是其最小的內(nèi)角，過(guò)頂點(diǎn)的一條直線把這個(gè)三角形分割成了兩個(gè)等腰三角形，請(qǐng)?zhí)角笈c之間的關(guān)系．【答案】解：（1）如圖，共有2種不同的分割法：（2）設(shè)，，過(guò)點(diǎn)的直線交邊于．在中，①若是頂角，如圖1，則，，。此時(shí)只能有，即，∴，即。②若是底角，則有兩種情況：第一種情況：如圖2，當(dāng)時(shí)，則，中，，．=1\*GB3①由，得，此時(shí)有，即；=2\*GB3②由，得，此時(shí)，即；=3\*GB3③由，得，此時(shí)，即，為小于的任意銳角。第二種情況，如圖3，當(dāng)時(shí)，，，此時(shí)只能有，從而，這與題設(shè)是最小角矛盾．∴當(dāng)是底角時(shí)，不成立。【考點(diǎn)】等腰三角形的性質(zhì)?！痉治觥浚?）已知角度，要分割成兩個(gè)等腰三角形，可以運(yùn)用直角三角形、等腰三角形性質(zhì)結(jié)合三角形內(nèi)角和定理，先計(jì)算出可能的角度，或者先從草圖中確認(rèn)可能的情況，及角度，然后畫(huà)上。（2）在（1）的基礎(chǔ)上，由“特殊”到“一般”，需要把直角三角形分成兩個(gè)等腰三角形的各種情形列方程，可得出角與角之間的關(guān)系。6.（江蘇省2009年10分）如圖，在航線的兩側(cè)分別有觀測(cè)點(diǎn)A和B，點(diǎn)A到航線的距離為2km，點(diǎn)B位于點(diǎn)A北偏東60°方向且與A相距10km處．現(xiàn)有一艘輪船從位于點(diǎn)B南偏西76°方向的C處，正沿該航線自西向東航行，5min后該輪船行至點(diǎn)A的正北方向的D處．（1）求觀測(cè)點(diǎn)B到航線的距離；（2）求該輪船航行的速度（結(jié)果精確到0.1km/h）．（參考數(shù)據(jù)：，，，）【答案】解：（1）設(shè)AB與交于點(diǎn)O。在中，∠OAD=600，AD=2∴。又∵AB=10，∴OB=AB－OA=6。在中，∠OBE=∠OAD=600，∴（km）?！嘤^測(cè)點(diǎn)B到航線的距離為3km。（2）在中，，在中，，∴DE=OD＋OE=。在中，∠CBE=760，BE=3，∴?！啵╧m）?！?，∴（km/h）。答：該輪船航行的速度約為40.6km/h?！究键c(diǎn)】解直角三角形的應(yīng)用（方向角問(wèn)題），銳角三角函數(shù)定義，特殊角的三角函數(shù)值?！痉治觥浚?）解和即可求得觀測(cè)點(diǎn)B到航線的距離。（2）解、和，求得CD的長(zhǎng)，即可根據(jù)路程、時(shí)間和速度的關(guān)系求得該輪船航行的速度。7.(江蘇省無(wú)錫市2010年8分)在東西方向的海岸線上有一長(zhǎng)為1km的碼頭MN（如圖），在碼頭西端M的正西19.5km處有一觀察站A．某時(shí)刻測(cè)得一艘勻速直線航行的輪船位于A的北偏西30°，且與A相距40km的B處；經(jīng)過(guò)1小時(shí)20分鐘，又測(cè)得該輪船位于A的北偏東60°，且與A相距km的C處．（1）求該輪船航行的速度（保留精確結(jié)果）；（2）如果該輪船不改變航向繼續(xù)航行，那么輪船能否正好行至碼頭MN靠岸？請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】解：（1）由題意，得∠BAC=90°，∴。 ∴輪船航行的速度為km/時(shí)。 (2)能。理由如下： 作BD⊥l于D，CE⊥l于E，設(shè)直線BC交l于F，則BD=AB·cos∠BAD=20，CE=AC·sin∠CAE=，AE=AC·cos∠CAE=12?！連D⊥l，CE⊥l，∴∠BDF=∠CEF=90°。又∠BFD=∠CFE，∴△BDF∽△CEF?！唷！?。∴EF=8?！郃F=AE+EF=20?！逜M＜AF＜AN，∴輪船不改變航向繼續(xù)航行，正好能行至碼頭MN靠岸。【考點(diǎn)】解直角三角形，勾股定理，銳角三角函數(shù)定義，特殊角的三角函數(shù)值，相似三角形的判定和性質(zhì)?！痉治觥浚?）關(guān)鍵是求出BC間的距離，而由題意易知，∠BAC=90°，故可由勾股定理知BC的長(zhǎng)度。（2）看輪船能否行至碼頭，主要是考慮BC直線與直線l的交點(diǎn)所處的位置．若在MN間，則能行至碼頭MN靠岸，否則不能。8.(江蘇省無(wú)錫市2011年9分)如圖，一架飛機(jī)由A向B沿水平直線方向飛行，在航線AB的正下方有兩個(gè)山頭C、D．飛機(jī)在A處時(shí)，測(cè)得山頭C、D在飛機(jī)的前方，俯角分別為60°和30°．飛機(jī)飛行了6千米到B處時(shí)，往后測(cè)得山頭C的俯角為30°，而山頭D恰好在飛