浙江省麗水市2021-2022學(xué)年高一下學(xué)期普通高中教學(xué)質(zhì)量監(jiān)控（期末）數(shù)學(xué)試題

試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁浙江省麗水市2021-2022學(xué)年高一下學(xué)期普通高中教學(xué)質(zhì)量監(jiān)控（期末）數(shù)學(xué)試題第I卷（選擇題）請(qǐng)點(diǎn)擊修改第I卷的文字說明評(píng)卷人得分一、單選題1．若復(fù)數(shù)滿足(為虛數(shù)單位），則等于（

）A． B． C． D．2．若為非零向量，則“”是“共線”的（

）A．充要條件 B．充分不必要條件C．必要不充分條件 D．既不充分也不必要條件3．從某中學(xué)抽取名同學(xué)，他們的數(shù)學(xué)成績?nèi)缦拢?，，，，，，，，?單位：分)，則這名同學(xué)數(shù)學(xué)成績的眾數(shù)，第百分位數(shù)分別為（

）A．， B．， C．， D．，4．若，則事件與的關(guān)系是（

）A．事件與互斥 B．事件與對(duì)立C．事件與相互獨(dú)立 D．事件與既互斥又相互獨(dú)立5．某校高一年級(jí)名學(xué)生的血型統(tǒng)計(jì)情況如圖所示．某課外興趣小組為了研究血型與飲食之間的關(guān)系，決定采用分層隨機(jī)抽樣的方法從中抽取一個(gè)容量為的樣本，則從高一年級(jí)A型血的學(xué)生中應(yīng)抽取的人數(shù)是（

）A． B． C． D．6．為了得到函數(shù)的圖象，只要把的圖象（

）A．向右平移個(gè)單位長度，然后縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)伸長為原來的倍B．向左平移個(gè)單位長度，然后縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)縮短為原來的倍C．縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)縮短為原來的倍，再向右平移個(gè)單位長度D．縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)縮短為原來的倍，再向右平移個(gè)單位長度7．《九章算術(shù)》是我國古代的數(shù)學(xué)巨著，其卷第五“商功”有如下的問題：“今有芻甍，下廣三丈，袤六丈，上袤四丈，無廣，高一丈．問積幾何？”意思為：今有底面為矩形的屋脊形狀的多面體(如圖)，下底面寬丈，長丈，上棱丈，與平面平行，與平面的距離為丈，則它的體積是（

）A．立方丈 B．立方丈 C．立方丈 D．立方丈8．如圖，直四棱柱的底面是邊長為2的正方形，，分別是的中點(diǎn)，過點(diǎn)的平面記為，則下列說法中錯(cuò)誤的是（

）A．點(diǎn)到平面的距離與點(diǎn)到平面α的距離之比為B．平面截直四棱柱所得截面的面積為C．平面將直四棱柱分割成的上、下兩部分的體積之比為49︰25D．平面截直四棱柱所得截面的形狀為五邊形評(píng)卷人得分二、多選題9．設(shè)，，為復(fù)數(shù)，.下列命題中正確的是（

）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則10．已知為的三內(nèi)角的對(duì)邊，下列命題中正確的是（

）A．在中，的充要條件是B．在銳角中，不等式恒成立C．在中，若，則必是等腰直角三角形D．在中，若，，則必是等邊三角形11．如圖，在四邊形中，，，，是邊上一點(diǎn)，且，是的中點(diǎn)，則下列關(guān)系式正確的是（

）A． B．C． D．12．如圖，在直角梯形中，滿足∥，，且為正三角形，將沿翻折成三棱錐，記與平面所成的角為，與平面所成的角為，與所成的角為，則在翻折過程中，下列結(jié)論一定成立的是（

）A． B． C． D．第II卷（非選擇題）請(qǐng)點(diǎn)擊修改第II卷的文字說明評(píng)卷人得分三、填空題13．已知向量，，則在上的投影向量為____．14．有一個(gè)多邊形水平放置的斜二測(cè)直觀圖是直角梯形（如圖所示），，，，則原多邊形面積為____．15．拋擲一枚骰子，記為事件“出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)是奇數(shù)”，為事件“出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)是3的倍數(shù)”，則＝____．16．如圖，正四面體的棱長為1，點(diǎn)是該正四面體內(nèi)切球球面上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)是上的動(dòng)點(diǎn)，則的取值范圍為____．17．在矩形中，，，，是平面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，且，若，則的最小值為____．評(píng)卷人得分四、解答題18．如圖，一半徑為4米的水輪，水輪圓心O距離水面2米，已知水輪每60秒逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)一圈，如果當(dāng)水輪上點(diǎn)P從水中浮現(xiàn)時(shí)(圖中點(diǎn)P0)開始計(jì)時(shí)，當(dāng)水輪轉(zhuǎn)動(dòng)90秒時(shí)，點(diǎn)P距離水面___米．19．某校為了解學(xué)生課外閱讀的情況，隨機(jī)統(tǒng)計(jì)了100名學(xué)生的一個(gè)學(xué)期課外閱讀時(shí)間，所得數(shù)據(jù)都在中，其頻率分布直方圖如圖所示．(1)求圖中的值以及在中的學(xué)生數(shù)；(2)根據(jù)頻率分布直方圖，估計(jì)該校學(xué)生一個(gè)學(xué)期課外閱讀平均時(shí)間．20．設(shè)為的三內(nèi)角的對(duì)邊，，．(1)求的大??；(2)在下列兩個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知，使△ABC存在且唯一確定，并求出BC邊上的中線的長度．①周長為；②面積為21．如圖，底面是邊長為4的正方形，半圓面底面．點(diǎn)為半圓弧(不含，)上一動(dòng)點(diǎn)．(1)求證：；(2)當(dāng)點(diǎn)為弧中點(diǎn)時(shí)，求二面角的正切值．22．甲、乙兩人參加某學(xué)科素養(yǎng)大賽，素養(yǎng)大賽采用回答問題闖關(guān)形式，甲、乙兩人能正確回答問題的概率分別是和．假設(shè)兩人是否回答出問題，相互之間沒有影響；每次回答是否正確，也沒有影響．(1)求乙回答3個(gè)問題，至少有一個(gè)回答正確的概率；(2)兩人各回答3個(gè)問題，求甲恰好回答2個(gè)正確且乙恰好回答3個(gè)正確的概率；(3)假設(shè)某人連續(xù)2次未回答正確，則退出比賽．求甲恰好回答5次被退出比賽的概率是多少？23．如圖，在棱長為1的正方體中，為棱的中點(diǎn)，點(diǎn)滿足，，．(1)若平面，求的值；(2)當(dāng)三棱錐體積最大時(shí)，求點(diǎn)位置，并求體積的最大值．答案第=page11頁，共=sectionpages22頁答案第=page11頁，共=sectionpages22頁參考答案：1．D【解析】【分析】由復(fù)數(shù)相等，應(yīng)用復(fù)數(shù)的除法化簡求復(fù)數(shù).【詳解】.故選：D2．B【解析】【分析】表示與同向的單位向量，共線可能同向共線、也可能反向共線，再由充分性、必要性的定義可求出答案.【詳解】依題意為非零向量，表示與同向的單位向量，表示與同向的單位向量，則表示與同向的單位向量，所以能推出共線，所以充分性成立；共線可能同向共線、也可能反向共線，所以共線得不出，所以必要性不成立.故選：B.3．C【解析】【分析】利用眾數(shù)的定義和百分位數(shù)的定義求解即可.【詳解】由已知得，，，，，，，，，的眾數(shù)為，將這組數(shù)據(jù)從小到大排列為，，，，，，，，，，則%，取第個(gè)數(shù)為，即第百分位數(shù)為，故選：C.4．C【解析】【分析】根據(jù)相互獨(dú)立的事件的定義判斷即可；【詳解】解：因?yàn)?，所以，又，，所以，則與相互獨(dú)立；因?yàn)?，所以事件與顯然不對(duì)立，無法確定事件與是否互斥；故選：C5．B【解析】【分析】根據(jù)題意的A型血的學(xué)生占比22%，進(jìn)而求解即可.【詳解】由圖中數(shù)據(jù)可知高一年級(jí)A型血的學(xué)生占高一年級(jí)學(xué)生總體的22%，所以抽取一個(gè)容量為100的樣本，A型血的學(xué)生中應(yīng)抽取的人數(shù)是人.故選：B6．D【解析】【分析】先化，再由三角函數(shù)的圖象變換原則，即可得出結(jié)果.【詳解】，縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)縮短為原來的倍，可得；再向右平移個(gè)單位，可得.故選：D.7．A【解析】【分析】將該幾何體補(bǔ)成直三棱柱，用三棱柱的體積減去兩個(gè)三棱錐的體積．【詳解】延長、分別到、，且，則該幾何體為直三棱柱，三棱錐的體積為，三棱柱的體積為，所以所求體積為．故選：A．8．C【解析】【分析】根據(jù)長方體及平面的基本性質(zhì)作圖畫出平面截直四棱柱所得截面，進(jìn)而求其面積判斷B、D；根據(jù)對(duì)稱性和等比例關(guān)系判斷到截面的距離比，應(yīng)用棱錐、棱柱的體積公式求截面得到上下部分的體積比.【詳解】將延長交延長線與，連接交于，所以平面截直四棱柱所得截面為五邊形，D正確；由題設(shè)易知：在棱長為3的正方體頂點(diǎn)上，由對(duì)稱性知：到截面的距離相等，而所以，面，共線且在面上，故到截面的距離為，即到截面的距離為，A正確；由上分析知：，而，所以，B正確；由，而另一部分的體積，所以體積比為，C錯(cuò)誤.故選：C9．BC【解析】【分析】對(duì)于A：取特殊值判斷A不成立；對(duì)于B、C、D：直接利用復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算計(jì)算可得.【詳解】對(duì)于A：取，滿足，但是不成立，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B：當(dāng)時(shí),有，又，所以,故B正確;對(duì)于C：當(dāng)時(shí),則,所以,故C正確;對(duì)于D：當(dāng)時(shí),則,可得.因?yàn)?，所?故D錯(cuò)誤故選：BC10．ABD【解析】【分析】在中，由正弦定理可知等價(jià)于等價(jià)于，可判斷A；在銳角中，，可知，可判斷B；在中，由正弦定理可得，可得或，可判斷C；在中，由余弦定理知，即，又，可判斷D；【詳解】對(duì)于A，在中，由正弦定理可得，等價(jià)于等價(jià)于，所以的充要條件是，故A正確；對(duì)于B，在銳角中，，，，，同理知，所以，故B正確；對(duì)于C，在中，由及正弦定理可得，即，，或，即或，所以是等腰三角形或直角三角形，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，在中，若，，由余弦定理知，化簡得，又，所以必是等邊三角形，故D正確；故選：ABD11．ABC【解析】【分析】根據(jù)向量的線性運(yùn)算，即可判斷各選項(xiàng)的真假．【詳解】對(duì)于A，因?yàn)?，因?yàn)?，所以，所以A正確；對(duì)于B，因?yàn)?，而，代入可得，，所以B正確；對(duì)于C，因?yàn)?，而，代入得，，C正確；對(duì)于D，因?yàn)?，而，所以，所以D不正確；故選：ABC．12．BD【解析】【分析】利用等體積法表達(dá)三棱錐的體積，可得；根據(jù)線面夾角為線與平面內(nèi)任意一條直線的夾角的最小值可判斷即可【詳解】由線面角線線角的范圍有.當(dāng)翻折成三棱錐時(shí)，，即，即，故，由正弦定理可得，故，故.故A錯(cuò)誤，B正確；又平面，且線面夾角為線與平面內(nèi)任意一條直線的夾角的最小值，故，故C錯(cuò)誤，D正確；故選：BD13．【解析】【分析】由投影向量的定義及向量夾角的坐標(biāo)運(yùn)算求在上的投影向量.【詳解】由在上的投影向量為，而，所以.故答案為：.14．##【解析】【分析】根據(jù)所給的直觀圖中直角梯形的數(shù)據(jù)求出梯形面積，根據(jù)原來的平面圖形面積是直觀圖面積的倍，求出平面圖形的面積.【詳解】因?yàn)橹苯翘菪?，，所以直觀圖的面積是因?yàn)樵瓉淼钠矫鎴D形面積是直觀圖面積的倍，所以平面圖形的面積是故答案為：15．【解析】【分析】根據(jù)列舉法列出所有基本事件，再根據(jù)古典概型的概率公式計(jì)算可得結(jié)果.【詳解】拋擲一枚骰子，基本事件為出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)是1、2、3、4、5、6，事件包括出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)是3這1個(gè)基本事件，故．故答案為：.16．【解析】【分析】由正四面體內(nèi)切球球心的位置特征求內(nèi)切球半徑、及到的最短距離，進(jìn)而可得的取值范圍.【詳解】由正四面體棱長為1，則正四面體的體高為，若其內(nèi)切球球心為，半徑為，則，又，可得，則，所以到的最短距離為.綜上，的取值范圍為，即.故答案為：17．【解析】【分析】由題設(shè)有在以為直徑的圓上，為圓心，構(gòu)建直角坐標(biāo)系并設(shè)，將問題轉(zhuǎn)化為、到線段上一點(diǎn)距離之和最小，利用將軍飲馬模型及圓上點(diǎn)到定點(diǎn)距離最值的求法求結(jié)果.【詳解】由知：，即，所以在以為直徑的圓上，為圓心，構(gòu)建以為原點(diǎn)，為x、y軸的坐標(biāo)系，所以，若，則，則，所以，，則轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到、的距離之和，又在直線且上，即對(duì)應(yīng)線段，所以只需最小，而關(guān)于對(duì)稱點(diǎn)為，故，此時(shí)，即.故答案為：2【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：構(gòu)建直角坐標(biāo)系，將問題轉(zhuǎn)化為定點(diǎn)和圓上點(diǎn)到線段上點(diǎn)的距離之和最小，結(jié)合將軍飲馬及圓上點(diǎn)到定點(diǎn)距離最值求法求結(jié)果.18．【解析】【分析】根據(jù)題設(shè)確定水輪的角速度和初始相位，進(jìn)而列出P距離水面的三角函數(shù)式，再代入求值.【詳解】由題意，水輪角速度為每秒，而與水平面所成角且，不妨令，結(jié)合題圖，則P距離水面距離，當(dāng)，有米.故答案為：419．(1)；(2)小時(shí)【解析】【分析】（1）利用頻率和為1求得，再利用頻數(shù)頻率總數(shù)，可求得在中的學(xué)生數(shù)；（2）利用頻率分布直方圖中平均數(shù)的計(jì)算公式可求解.(1)由頻率分布直方圖可知：解得閱讀時(shí)間在之間的學(xué)生人數(shù)為(2)該校學(xué)生一個(gè)學(xué)期課外閱讀平均時(shí)間小時(shí)．20．(1)；(2)選擇見解析；【解析】【分析】（1）由正弦定理化簡可求出的值，由余弦定理化簡可求出的值；（2）選①，由正弦定理可求得，由周長為，可求得，再由余弦定理可求得求出BC邊上的中線的長.選②，由三角形的面積為可求得，的值，由余弦定理可求得求出BC邊上的中線的長.(1)，由正弦定理得，，，，

，,，，，.(2)選①：由（1）得，，由正弦定理得=，，取BC邊上的中點(diǎn)，連接，選②：由（1）得，，，取BC邊上的中點(diǎn)，連接，，

，

，，.21．(1)證明見解析(2)【解析】【分析】（1）利用面面垂直的性質(zhì)定理，線面垂直的判定定理及性質(zhì)定理即可證得；（2）利用線面垂直的判定定理及性質(zhì)定理，結(jié)合二面角的定義可求解.(1)證明：平面平面，平面平面，，且，平面又平面，，，平面，平面，(2)取中點(diǎn)，連接，作于，連接，，平面平面，平面平面，平面平面，又平面，，，平面，又平面，即為二面角的平面角，且22．(1)(2)(3)【解析】【分析】（1）由事件的相互獨(dú)立性的乘法公式和對(duì)立事件可求出答案.（2）記“甲答對(duì)第個(gè)問題”為事件，則甲恰好回答2個(gè)正確為事件，由事件的相互獨(dú)立性的乘法公式代入即可得出答案.（3）記“甲答對(duì)第個(gè)問題”為事件，則甲恰好回答5次被退出比賽為事件，由事件的相互獨(dú)立性的乘法公式代入即可得出答案.(1)記“乙回答3個(gè)問題，至少有一個(gè)回答正確”為事件，由題意，答：乙回答3個(gè)問題，至少有一個(gè)回答正確的概率．(2)記“甲答對(duì)第個(gè)問題”為事件，則甲恰好回答2個(gè)正確為事件則甲恰好回答2個(gè)正確且乙恰好回答3個(gè)正確的概率為．答：兩人各回答3個(gè)問題，甲恰好回答2個(gè)正確且乙恰好回答3個(gè)正確的概率為．(3)記“甲答對(duì)第個(gè)問題”為事件，則甲恰好回答5次被退出比賽為事件，則，答：甲恰好回答5次被退出比賽的概率是．23．(1)；(2)點(diǎn)與重合，.【解析】【分析】（1）取，的中