高等數(shù)學(xué)下冊總復(fù)習(xí)1

向量的分解式：在三個坐標軸上的分向量：向量的坐標表示式：向量的坐標：1、向量的坐標表示法（一）向量代數(shù)第八章空間解析幾何與向量代數(shù)向量的加減法、向量與數(shù)的乘積等的坐標表達式向量模長的坐標表示式向量方向余弦的坐標表示式它們距離為兩點間距離公式:2、數(shù)量積(點積、內(nèi)積)數(shù)量積的坐標表達式兩向量夾角余弦的坐標表示式3、向量積(叉積、外積)向量積的坐標表達式方程特點:1.旋轉(zhuǎn)曲面（二）空間解析幾何旋轉(zhuǎn)單葉雙曲面旋轉(zhuǎn)雙葉雙曲面xyz旋轉(zhuǎn)拋物面oyzx旋轉(zhuǎn)橢球面ozyx（2）圓錐面（1）球面（3）旋轉(zhuǎn)雙曲面2.柱面定義：平行于定直線并沿定曲線C移動的直線L所形成的曲面稱之.這條定曲線叫柱面的準線，動直線叫柱面的母線.從柱面方程(的特征:二元方程)看柱面的特征：（其他類推）實例橢圓柱面母線//軸雙曲柱面母線//軸拋物柱面母線//軸拋物柱面xyzxyz橢圓柱面雙曲柱面xyz3.二次曲面定義:三元二次方程所表示的曲面稱為二次曲面.（1）橢球面（2）橢圓拋物面特殊地：當時，方程變?yōu)樾D(zhuǎn)拋物面（由面上的拋物線繞它的軸旋轉(zhuǎn)而成的）（3）馬鞍面（4）單葉雙曲面（5）圓錐面4.空間曲線[1]空間曲線的一般方程[2]空間曲線的參數(shù)方程CCC關(guān)于的投影柱面C在上的投影曲線Oxzy設(shè)曲線則C關(guān)于xoy面的投影柱面方程應(yīng)為消z后的方程：所以C在xoy面上的投影曲線的方程為：[3]空間曲線在坐標面上的投影5.平面[1]平面的點法式方程[2]平面的一般方程[3]平面的截距式方程[4]平面的夾角[5]兩平面位置特征：//重合6.空間直線[1]空間直線的一般方程[3]空間直線的參數(shù)方程[2]空間直線的對稱式方程直線直線^兩直線的夾角公式[4]兩直線的夾角[5]兩直線的位置關(guān)系：//[6]直線與平面的夾角//直線與平面的夾角公式[7]直線與平面的位置關(guān)系//[8]點到平面距離公式比較中學(xué)所學(xué)的點到直線的距離公式:6.平面束定義:通過兩相交平面交線的所有平面稱為由這兩個平面確定的平面束.設(shè)平面消去消去解代入消元例3例4

求直線

的平面束的方程為

其中為待定常數(shù).

過直線

解代入(1)式，得投影平面的方程為

由此得投影直線的方程為

取法向量化簡得所求平面方程為解例6解設(shè)所求平面方程為解設(shè)所求直線的方向向量為根據(jù)題意知取所求直線的方程例71、偏導(dǎo)數(shù)概念第九章多元函數(shù)微分法及其應(yīng)用2、全微分公式用定義證明可微與不可微的方法可微不可微多元函數(shù)連續(xù)、可導(dǎo)、可微的關(guān)系函數(shù)可微函數(shù)連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)函數(shù)可導(dǎo)有極限3、關(guān)系4、多元復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則定理1

若函數(shù)在點處偏導(dǎo)連續(xù),在點t可導(dǎo),則復(fù)合函數(shù)且有鏈式法則中間變量均為一元函數(shù)的情形在點t處可導(dǎo)，公式的記憶方法：連線相乘，分線相加.5、全微分形式不變性

無論是自變量的函數(shù)或中間變量的函數(shù)，它的全微分形式是一樣的.定理1

設(shè)函數(shù)單值連續(xù)函數(shù)y=f(x),并有連續(xù)(隱函數(shù)求導(dǎo)公式)①具有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù);的某鄰域內(nèi)可唯一確定一個的某一鄰域內(nèi)滿足②③滿足條件導(dǎo)數(shù)在點則方程在點6、隱函數(shù)的求導(dǎo)法則定理2的某鄰域內(nèi)具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù);則方程在點并有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)定一個單值連續(xù)函數(shù)z=f(x,y),滿足①在點若函數(shù)滿足:②③某一鄰域內(nèi)可唯一確定理3的某一鄰域內(nèi)具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)設(shè)函數(shù)則方程組③的單值連續(xù)函數(shù)計算偏導(dǎo)數(shù)按直接法求解.①在點②的某一鄰域內(nèi)可唯一確定一組滿足條件滿足:在點7、微分法在幾何上的應(yīng)用切線方程為法平面方程為(1)空間曲線的切線與法平面(關(guān)鍵:抓住切向量)1）空間曲線方程為法平面方程為特殊地：(取為參數(shù))2）空間曲線方程為(取為參數(shù))切線方程為法平面方程為(２)曲面的切平面與法線

切平面方程為法線方程為(關(guān)鍵:抓住法向量)曲面在M處的切平面方程為曲面在M處的法線方程為令則（特殊情形）8、方向?qū)?shù)記為（1）方向?qū)?shù)的定義及存在的充分條件三元函數(shù)方向?qū)?shù)的定義方向?qū)?shù)的存在性及其計算方法:定理那么函數(shù)在該點沿任一方向的方向?qū)?shù)存在,且有說明:可微沿任一方向的方向?qū)?shù)存在.反之不一定成立.(2)梯度的概念記為

梯度與方向?qū)?shù)的關(guān)系則稱函數(shù)在該點取得極大值極大值和極小值統(tǒng)稱為極值,使函數(shù)取得極值的(極小值).定義:

若函數(shù)在點的某鄰域內(nèi)有（1)二元函數(shù)極值的定義點稱為極值點.9、多元函數(shù)的極值定理1

(必要條件)偏導(dǎo)數(shù),且在該點取得極值,則有（2）多元函數(shù)取得極值的條件函數(shù)在點存在說明:駐點極值點(可導(dǎo)函數(shù))注意：使偏導(dǎo)數(shù)都為0的點稱為駐點.

1.駐點2.偏導(dǎo)中至少有一個不存在的點.所以,可疑極值點是:時,具有極值定理2(充分條件)一階和二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),且令則:(1)當A<0時取極大值;A>0時取極小值.(2)當(3)當時,沒有極值.時,不能確定,需另行討論.若函數(shù)點的某鄰域內(nèi)具有(按極值定義來判定)第四步求出極值.(3)多元函數(shù)的最值a.最值的存在性：如函數(shù)b.有界閉區(qū)域D上連續(xù)函數(shù)的最值的求法與步驟：（1）找最值可疑點D內(nèi)的駐點及不可導(dǎo)點邊界上的可能極值點（2）比較以上各點處的函數(shù)值，最大（?。┱呒礊樗蟮淖畲螅ㄐ。┲?需求函數(shù)（假定函數(shù)在D有有限個可疑點）定理：若f(P)在有界閉域D

上連續(xù),則在

D

上可取得最大值M及最小值m.特別,當區(qū)域內(nèi)部最值存在,且只有一個極值點P時,為極小值為最小值(大)(大)

求二元函數(shù)在閉區(qū)域D上的最值,往往比較復(fù)雜.但如果根據(jù)問題的實際意義,知道函數(shù)在D內(nèi)存在最值,又知函數(shù)在D內(nèi)可微,且只有唯一駐點,則該點處的函數(shù)值就是所求的最值.★函數(shù)的最值應(yīng)用問題的解題步驟：第二步判別?比較駐點及邊界點上函數(shù)值的大小?根據(jù)問題的實際意義確定最值第一步找目標函數(shù),確定定義域(及約束條件)（4）條件極值：對自變量有附加條件的極值．思考題解答：思考題例1

考慮二元函數(shù)以下四條性質(zhì).(02年考研題)

處連續(xù)；處兩個偏導(dǎo)連續(xù)；處的兩個偏導(dǎo)存在；()則（）處連續(xù)；例2

設(shè)處的兩個偏導(dǎo)數(shù)都存在，(3)則下列結(jié)論正確的是（）在y=y0處的導(dǎo)數(shù)等于零;

(A)

(B)在y=y0處的導(dǎo)數(shù)大于零;在y=y0處的導(dǎo)數(shù)小于零;在y=y0處的導(dǎo)數(shù)不存在.(C)(D)[03數(shù)三、數(shù)四，4分]例3

設(shè)可微函數(shù)f(x,y)在點取得極小值，證原結(jié)論成立．例5

設(shè)函數(shù)其中f(u)可微,且解解例6例7解例8解例7解設(shè)且f具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，例9

設(shè)解法1

利用隱函數(shù)求導(dǎo)（直接法）再對x

求導(dǎo)(P85例2)解法2

利用公式法設(shè)則兩邊對x求偏導(dǎo)解令切平面方程法線方程解令故方向余弦為分析法向量的方向應(yīng)指向上側(cè)故并求出最大的方向?qū)?shù).例12

設(shè)函數(shù)的全微分為則點（-1,-1）()A、不是f(x,y)的連續(xù)點；B、不是f(x,y)的極值點；C、是f(x,y)的極大值點；D、是f(x,y)的極小值點.C例13解解方程組得駐點(1,1),(0,0)故所求函數(shù)的極值為:例14應(yīng)再用極值的充分條件來判定是否為極值點,且為極大還是極小.利用拉格朗日乘數(shù)法,解例14利用拉格朗日乘數(shù)法,則∴

函數(shù)在點(2,4,4)處取得極小值36.解先求函數(shù)在橢圓域內(nèi)的駐點再求出在橢圓上的可疑極值點∴函數(shù)的最大值為3，最小值為-2.例16解分析:得２、二重積分的幾何意義當被積函數(shù)大于零時，二重積分是柱體的體積．當被積函數(shù)小于零時，二重積分是柱體的體積的負值．當被積函數(shù)有正有負時，二重積分是柱體體積的代數(shù)和.1、二重積分的定義第十章3、二重積分的計算［X－型］

X-型區(qū)域的特點：

穿過區(qū)域且平行于y軸的直線與區(qū)域邊界相交不多于兩個交點.（１）直角坐標系下

Y型區(qū)域的特點：穿過區(qū)域且平行于x軸的直線與區(qū)域邊界相交不多于兩個交點.［Y－型］求二重積分的方法步驟:1.作圖求交點；2.選擇積分次序；4.計算.(先內(nèi)積分后外積分;計算內(nèi)積分時把在累次積分不易積或不能積時,應(yīng)考慮交換積分次序.(把D寫成不等式形式)；外積分變量看成常數(shù))3.確定積分限1、選擇積分次序(1)首先被積函數(shù)要易積分，能積分；(2)積分區(qū)