第八章第八章 平面解析幾何 第6節(jié)第六節(jié) 雙曲線

第八章平面解析幾何第六節(jié)雙曲線主干回顧·夯實基礎(chǔ)一、雙曲線的概念1．定義：平面內(nèi)動點P與兩個定點F1、F2(|F1F2|＝2c＞0)的距離之差的絕對值為常數(shù)2a(2a＜2c)，則點P的軌跡叫做雙曲線．這兩個定點叫雙曲線的___________，兩焦點間的距離叫__________．2．集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a，c為常數(shù)且a＞0，c＞0：(1)當(dāng)a＜c時，P點的軌跡是_______；(2)當(dāng)a＝c時，P點的軌跡是_________；(3)當(dāng)a＞c時，P點不存在．

焦點焦距雙曲線兩條射線二、雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)

標(biāo)準(zhǔn)方程(a＞0，b＞0)(a＞0，b＞0)圖形性質(zhì)范圍x≥a或x≤－a，y∈R__________________對稱性對稱軸：_______對稱中心：_____頂點頂點坐標(biāo)A1______，A2_____頂點坐標(biāo)A1________，A2______漸近線離心率e＝____，e∈(1，＋∞)，其中c＝_______實虛軸線段A1A2叫做雙曲線的實軸，它的長|A1A2|＝__；線段B1B2叫做雙曲線的虛軸，它的長|B1B2|＝__；__叫做雙曲線的實半軸長，__叫做雙曲線的虛半軸長a，b，c關(guān)系c2＝a2＋b2(c＞a＞0，c＞b＞0)x∈R，y≤－a或y≥a坐標(biāo)軸原點(－a,0)(a,0)(0，－a)(0，a)2a2bab1．判斷下面結(jié)論是否正確(請在括號中打“√”或“×”)(1)平面內(nèi)到兩定點距離之差等于常數(shù)的點的軌跡是雙曲線．()(2)平面內(nèi)到點F1(0,4)，F(xiàn)2(0,4)距離之差的絕對值等于8的點的軌跡是雙曲線．()(3)等軸雙曲線的漸近線互相垂直，離心率為.()(5)雙曲線的漸近線和離心率反映的都是雙曲線開口的大小．()

[答案及提示](1)×只有當(dāng)距離之差的絕對值為常數(shù)，且此常數(shù)小于兩定點間的距離時才表示雙曲線．(2)×軌跡表示以F1，F(xiàn)2為端點的兩條射線．(3)√

考點技法·全面突破雙曲線的定義及標(biāo)準(zhǔn)方程(☆☆☆☆)解析：44如圖所示，設(shè)雙曲線右焦點為F1，則F1與A重合，坐標(biāo)為(5,0)，則|PF|＝|PF1|＋2a，|QF|＝|QF1|＋2a，所以|PF|＋|QF|＝|PQ|＋4a＝4b＋4a＝28，所以△PQF周長為28＋4b＝44.

3．已知F1，F(xiàn)2為雙曲線C：x2－y2＝2的左、右焦點，點P在C上，|PF1|＝2|PF2|，則cos∠F1PF2＝________.

1．應(yīng)用雙曲線的定義需注意的問題：在雙曲線的定義中要注意“到兩定點(焦點)的距離之差的絕對值為一常數(shù)，且該常數(shù)必須小于兩定點的距離”這一條件，若定義中的“絕對值”去掉，則點的軌跡是雙曲線的一支．同時也應(yīng)注意定義的轉(zhuǎn)化應(yīng)用．2．求雙曲線的方程時，常用的方法是定義法和待定系數(shù)法，運用待定系數(shù)法時一定要注意先判斷焦點的位置，另外雙曲線中a、b、c之間的關(guān)系也經(jīng)常用到．雙曲線的漸近線和離心率是每年高考命題的熱點，從近幾年的高考試題看，主要有以下幾種類型：

雙曲線的幾何性質(zhì)(☆☆☆☆)題型一雙曲線方程與漸近線的互化問題題型二離心率和漸近線間的互化問題

題型三與離心率有關(guān)的綜合問題

直線與雙曲線的位置關(guān)系(☆☆☆)1．解決此類問題的常用方法是把直線方程和雙曲線方程組成方程