第2章 連續(xù)時間信號與系統(tǒng)的時域分析

信號與系統(tǒng)Signalsandsystems第2章LTI連續(xù)時間系統(tǒng)的時域分析1第2章連續(xù)時間信號與系統(tǒng)的時域分析2.1LTI連續(xù)時間系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)2.2LTI連續(xù)時間系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)2.3卷積積分2.4LTI連續(xù)時間系統(tǒng)時域分析舉例2任一LTI連續(xù)時間系統(tǒng)，其輸入和響應(yīng)間的映射關(guān)系可用右圖來描述

初始條件：或1線性時不變連續(xù)時間系統(tǒng)的微分方程(2.3.2)(2.3.1)3齊次解是上面齊次微分方程的解，求解方法如下：

寫出其特征方程，并解得個特征根；當(dāng)個特征根都是單根時，微分方程的齊次解形式為12解表示為齊次解與特解之和4特解是使成立的任一解。系統(tǒng)的全響應(yīng)

初始條件待定系數(shù)所以全解為：52.1零輸入響應(yīng)ys(t)N階LTI連續(xù)時間系統(tǒng)當(dāng)輸入信號為f(t)

、輸出信號為y(t)時，系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型（系統(tǒng)方程）為式（1.2.5）給出的N階線性常系數(shù)常微分方程：62.1LTI連續(xù)時間系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)由于零輸入響應(yīng)的定義是：LTI連續(xù)時間系統(tǒng)在初始狀態(tài)單獨作用下（輸入信號為0）時的響應(yīng)分量。因此應(yīng)滿足齊次微分方程（2.1.1）7該齊次微分方程對應(yīng)的特征方程為解該特征方程得到特征根當(dāng)各特征根均為單根時，系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)為其中為待定常數(shù)8由于代入初始條件即可求出待定常數(shù)9【例2.1.1】LTI連續(xù)時間系統(tǒng)輸入信號為f(t)，輸出信號為y(t)，系統(tǒng)方程為，系統(tǒng)的初始條件為，求系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)。10【例2.1.2】LTI連續(xù)時間系統(tǒng)的系統(tǒng)方程為，系統(tǒng)的初始狀態(tài)為，求系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)。11122.2零狀態(tài)響應(yīng)yf(t)2.2.1零狀態(tài)響應(yīng)的定義2.2.2系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)2.2.3yf(t)的求法2.2.4系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)132.2.1零狀態(tài)響應(yīng)的定義系統(tǒng)在輸入信號的單獨作用下（初始狀態(tài)為零）產(chǎn)生的響應(yīng)分量，稱為系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)分量，記為yf(t)。是系統(tǒng)微分方程在初始狀態(tài)為零時的解。14

零輸入響應(yīng)當(dāng)輸入信號為零時，系統(tǒng)的響應(yīng)僅由初始狀態(tài)產(chǎn)生

零狀態(tài)響應(yīng)當(dāng)系統(tǒng)的初始狀態(tài)為零時，系統(tǒng)的響應(yīng)稱為零狀態(tài)響應(yīng)

初始條件：零輸入響應(yīng)和零狀態(tài)響應(yīng)15由LTI特性，全響應(yīng)等于零輸入響應(yīng)與零狀態(tài)響應(yīng)之和

系統(tǒng)全響應(yīng)：16當(dāng)輸入信號為時，系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)為系統(tǒng)的沖激響應(yīng)，用表示令初始條件為零，則沖激響應(yīng)可用微分方程表示為零初始條件：2.2.2系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)17圖沖激響應(yīng)示意圖18已知，求響應(yīng)Note：若未特別強調(diào)是求系統(tǒng)的全響應(yīng)，以后所講的系統(tǒng)響應(yīng)都是指系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)。2.2.3系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)yf(t)的求法19輸入信號的分解1可以將輸入信號f(t)分解成沖激信號的連續(xù)和。令得

再設(shè)t0為變量t

，得單位沖激信號是偶信號可得20設(shè)任意輸入信號波形為如下圖，現(xiàn)以為時間間隔，對進(jìn)行取樣，得到一系列的樣本值，為輸入信號的分解221利用函數(shù)的定義在處的方波可表示為

將所有方波的和用表示為當(dāng)時，

，即∴22

，再由系統(tǒng)的線性有上式稱為與的卷積積分(convolutionintegration)，簡稱卷積通過系統(tǒng)的響應(yīng)為

23

單位階躍響應(yīng)輸入信號為單位階躍信號時的零狀態(tài)響應(yīng)，稱為系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)。

由卷積的微分、積分特性式，有(2.2.3)2.2.4系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)24根據(jù)單位階躍響應(yīng)求LTI系統(tǒng)響應(yīng)由卷積的微分、積分特性式，有25例：一起始儲能為零的系統(tǒng)，當(dāng)輸入為u（t）時，系統(tǒng)響應(yīng)為，求系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)262.3卷積積分2.3.1卷積積分的定義2.3.2卷積的圖解法2.3.3卷積的性質(zhì)272.3.1卷積積分的定義具相同自變量的二函數(shù)f1(t)，f2(t)的積分：稱為該二函數(shù)的卷積積分，簡稱卷積，記為：282.3.2