高等數(shù)學86幾何應用7方向導數(shù)梯度課件

復習:平面曲線的切線與法線已知平面光滑曲線切線方程法線方程若平面光滑曲線方程為故在點切線方程法線方程在點有有因10/16/20231D8_6幾何中的應用8_7方向導數(shù)復習:平面曲線的切線與法線已知平面光滑曲線切線方程法線方10/16/20232D8_6幾何中的應用8_7方向導數(shù)10/9/20232D8_6幾何中的應用8_7方向導數(shù)一、空間曲線的切線與法平面過點M與切線垂直的平面稱為曲線在該點的法位置.空間光滑曲線在點M處的切線為此點處割線的極限平面.點擊圖中任意點動畫開始或暫停10/16/20233D8_6幾何中的應用8_7方向導數(shù)一、空間曲線的切線與法平面過點M與切線垂直的平面稱為曲線1.曲線方程為參數(shù)方程的情況切線方程10/16/20234D8_6幾何中的應用8_7方向導數(shù)1.曲線方程為參數(shù)方程的情況切線方程10/9/20234此處要求也是法平面的法向量,切線的方向向量:稱為曲線的切向量.如個別為0,則理解為分子為0.不全為0,因此得法平面方程說明:若引進向量函數(shù),則

為r(t)的矢端曲線,處的導向量就是該點的切向量.10/16/20235D8_6幾何中的應用8_7方向導數(shù)此處要求也是法平面的法向量,切線的方向向量:稱為曲線的切向量例1.求圓柱螺旋線對應點處的切線方程和法平面方程.切線方程法平面方程即即解:由于對應的切向量為在,故10/16/20236D8_6幾何中的應用8_7方向導數(shù)例1.求圓柱螺旋線2.曲線為一般式的情況光滑曲線當曲線上一點,且有時,可表示為處的切向量為10/16/20237D8_6幾何中的應用8_7方向導數(shù)2.曲線為一般式的情況光滑曲線當曲線上一點,且有時,則在點切線方程法平面方程有或10/16/20238D8_6幾何中的應用8_7方向導數(shù)則在點切線方程法平面方程有或10/9/20238D8_6幾何也可表為法平面方程10/16/20239D8_6幾何中的應用8_7方向導數(shù)也可表為法平面方程10/9/20239D8_6幾何中的應用例2.求曲線在點M(1,–2,1)處的切線方程與法平面方程.切線方程解法1令則即切向量10/16/202310D8_6幾何中的應用8_7方向導數(shù)例2.求曲線在點M(1,–2,1)處的切線方程與法平面方程即解法2.方程組兩邊對x求導,得曲線在點M(1,–2,1)處有:切向量解得10/16/202311D8_6幾何中的應用8_7方向導數(shù)法平面方程即解法2.方程組兩邊對x求導,得曲線在點切線方程即法平面方程即點M(1,–2,1)處的切向量10/16/202312D8_6幾何中的應用8_7方向導數(shù)切線方程即法平面方程即點M(1,–2,1)處的切向解法3.M(1,–2,1)=(1,–2,1)下面的解法相同。10/16/202313D8_6幾何中的應用8_7方向導數(shù)解法3.M(1,–2,1)=(1,–2,1)下面二、曲面的切平面與法線

設有光滑曲面通過其上定點對應點M,切線方程為不全為0.則

在且點M的切向量為任意引一條光滑曲線下面證明:此平面稱為

在該點的切平面.

上過點M的任何曲線在該點的切線都在同一平面上.10/16/202314D8_6幾何中的應用8_7方向導數(shù)二、曲面的切平面與法線設有光滑曲面通過其上定點對應點證:在上,得令由于曲線

的任意性,表明這些切線都在以為法向量的平面上,從而切平面存在.10/16/202315D8_6幾何中的應用8_7方向導數(shù)證:在上,得令由于曲線的任意性,表明這些切線曲面

在點M的法向量法線方程切平面方程10/16/202316D8_6幾何中的應用8_7方向導數(shù)曲面在點M的法向量法線方程切平面方程10/9/20曲面時,則在點故當函數(shù)法線方程令特別,當光滑曲面

的方程為顯式

在點有連續(xù)偏導數(shù)時,切平面方程10/16/202317D8_6幾何中的應用8_7方向導數(shù)曲面時,則在點故當函數(shù)法線方程令特別,當光滑曲面的法向量用將法向量的方向余弦：表示法向量的方向角,并假定法向量方向分別記為則向上,10/16/202318D8_6幾何中的應用8_7方向導數(shù)法向量用將法向量的方向余弦：表示法向量的方向角,并假定法向量例3.求球面在點(1,2,3)處的切平面及法線方程.解:所以球面在點(1,2,3)處有:切平面方程即法線方程法向量令10/16/202319D8_6幾何中的應用8_7方向導數(shù)例3.求球面在點(1,2,3)處的切平面及法線例4.確定正數(shù)

使曲面在點解:二曲面在M點的法向量分別為二曲面在點M相切,故又點M在球面上,于是有相切.與球面,因此有10/16/202320D8_6幾何中的應用8_7方向導數(shù)例4.確定正數(shù)使曲面在點解:二曲面在M點的法向量1.空間曲線的切線與法平面切線方程法平面方程1)參數(shù)式情況.空間光滑曲線切向量內容小結10/16/202321D8_6幾何中的應用8_7方向導數(shù)1.空間曲線的切線與法平面切線方程法平面方程1)參數(shù)式切線方程法平面方程空間光滑曲線切向量2)一般式情況.10/16/202322D8_6幾何中的應用8_7方向導數(shù)切線方程法平面方程空間光滑曲線切向量2)一般式情況.10/空間光滑曲面曲面

在點法線方程1)隱式情況.的法向量切平面方程2.曲面的切平面與法線10/16/202323D8_6幾何中的應用8_7方向導數(shù)空間光滑曲面曲面在點法線方程1)隱式情況.的法向量空間光滑曲面切平面方程法線方程2)顯式情況.法線的方向余弦法向量10/16/202324D8_6幾何中的應用8_7方向導數(shù)空間光滑曲面切平面方程法線方程2)顯式情況.法線的方向余弦思考與練習1.如果平面與橢球面相切,提示:設切點為則(二法向量平行)(切點在平面上)(切點在橢球面上)10/16/202325D8_6幾何中的應用8_7方向導數(shù)思考與練習1.如果平面與橢球面相切,提示:設切點為則(證明曲面上任一點處的切平面都通過原點.提示:在曲面上任意取一點則通過此2.設f(u)可微,證明原點坐標滿足上述方程.點的切平面為10/16/202326D8_6幾何中的應用8_7方向導數(shù)證明曲面上任一點處的切平面都通過原點.提示:在曲面上任3.求曲線在點(1,1,1)的切線解:點(1,1,1)處兩曲面的法向量為因此切線的方向向量為由此得切線:法平面:即與法平面.10/16/202327D8_6幾何中的應用8_7方向導數(shù)3.求曲線在點(1,1,1)的切線解:點(1,1,14.

證明曲面與定直線平行,證:曲面上任一點的法向量取定直線的方向向量為則(定向量)故結論成立.的所有切平面恒10/16/202328D8_6幾何中的應用8_7方向導數(shù)4.證明曲面與定直線平行,證:曲面上任一點的法向量取第八章第七節(jié)一、方向導數(shù)

二、梯度三、物理意義方向導數(shù)與梯度10/16/202329D8_6幾何中的應用8_7方向導數(shù)第八章第七節(jié)一、方向導數(shù)二、梯度三、物理意義方向一、方向導數(shù)定義:若函數(shù)則稱為函數(shù)在點P處沿方向l

的方向導數(shù).在點處沿方向l(方向角為)存在下列極限:記作10/16/202330D8_6幾何中的應用8_7方向導數(shù)一、方向導數(shù)定義:若函數(shù)則稱為函數(shù)在點P處沿方向l定理:則函數(shù)在該點沿任意方向

l

的方向導數(shù)存在,證明:由函數(shù)且有在點P可微,得故10/16/202331D8_6幾何中的應用8_7方向導數(shù)定理:則函數(shù)在該點沿任意方向l的方向導數(shù)存在,證明:對于二元函數(shù)為,)的方向導數(shù)為特別:?當l與x軸同向?當l與x軸反向向角10/16/202332D8_6幾何中的應用8_7方向導數(shù)對于二元函數(shù)為,)的方向導數(shù)為特別:?當l例1.求函數(shù)

在點P(1,1,1)沿向量的方向導數(shù).解:向量l的方向余弦為10/16/202333D8_6幾何中的應用8_7方向導數(shù)例1.求函數(shù)在點P(1,1,1)沿向量的方向導數(shù)例2.求函數(shù)在點P(2,3)沿曲線朝x增大方向的方向導數(shù).解:將已知曲線用參數(shù)方程表示為它在點P的切向量為10/16/202334D8_6幾何中的應用8_7方向導數(shù)例2.求函數(shù)在點P(2,3)沿曲線朝x增大方向的方例3.設是曲面在點P(1,1,1)處指向外側的法向量,解:方向余弦為而同理得方向的方向導數(shù).在點P處沿求函數(shù)10/16/202335D8_6幾何中的應用8_7方向導數(shù)例3.設是曲面在點P(1,1,1)處指向外側的法向二、梯度方向導數(shù)公式令向量這說明方向：f變化率最大的方向模:f的最大變化率之值方向導數(shù)取最大值：10/16/202336D8_6幾何中的應用8_7方向導數(shù)二、梯度方向導數(shù)公式令向量這說明方向：f變化率最大的1.定義即同樣可定義二元函數(shù)稱為函數(shù)f(P)在點P處的梯度記作(gradient),在點處的梯度說明:函數(shù)的方向導數(shù)為梯度在該方向上的投影.向量2.梯度的幾何意義10/16/202337D8_6幾何中的應用8_7方向導數(shù)1.定義即同樣可定義二元函數(shù)稱為函數(shù)f(P)在點P函數(shù)在一點的梯度垂直于該點等值面(或等值線),稱為函數(shù)f的等值線.則L*上點P處的法向量為同樣,對應函數(shù)有等值面(等量面)當各偏導數(shù)不同時為零時,其上點P處的法向量為指向函數(shù)增大的方向.10/16/202338D8_6幾何中的應用8_7方向導數(shù)函數(shù)在一點的梯度垂直于該點等值面(或等值線),稱為函數(shù)f3.梯度的基本運算公式10/16/202339D8_6幾何中的應用8_7方向導數(shù)3.梯度的基本運算公式10/9/202339D8_6幾何中例4.證:試證處矢徑r的模,10/16/202340D8_6幾何中的應用8_7方向導數(shù)例4.證:試證處矢徑r的模,10/9/202340D8三、物理意義函數(shù)(物理量的分布)數(shù)量場(數(shù)性函數(shù))場向量場(矢性函數(shù))可微函數(shù)梯度場(勢)如:溫度場,電位場等如:力場,速度場等(向量場)注意:任意一個向量場不一定是梯度場.10/16/202341D8_6幾何中的應用8_7方向導數(shù)三、物理意義函數(shù)(物理量的分布)數(shù)量場(數(shù)性函數(shù))場向量場例5.已知位于坐標原點的點電荷q在任意點試證證:利用例4的結果這說明場強:處所產生的電位為垂直于等位面,且指向電位減少的方向.10/16/202342D8_6幾何中的應用8_7方向導數(shù)例5.已知位于坐標原點的點電荷q在任意點試證證:利用例內容小結1.方向導數(shù)?三元函數(shù)在點沿方向l(方向角的方向導數(shù)為?二元函數(shù)在點的方向導數(shù)為沿方向l(方向角為10/16/202343D8_6幾何中的應用8_7方向導數(shù)內容小結1.方向導數(shù)?三元函數(shù)在點沿方向l(方向角2.梯度?三元函數(shù)在點處的梯度為?二元函數(shù)在點處的梯度為3.關系方向導數(shù)存在偏導數(shù)存在??可微梯度在方向l上的投影.10/16/202344D8_6幾何中的應用8_7方向導數(shù)2.梯度?三元函數(shù)在點處的梯度為?二元函數(shù)在點處的思考題10/16/202345D8_6幾何中的應用8_7方向導數(shù)思考題10/9/202345D8_6幾何中的應用8_7方向思考題解答10/16/202346D8_6幾何中的應用8_7方向導數(shù)思考題解答10/9/202346D8_6幾何中的應用8_710/16/202347D8_6幾何中的應用8_7方向導數(shù)10/9/202347D8_6幾何中的應用8_7方向導數(shù)思考與練習1.設函數(shù)(1)求函數(shù)在點M(1,1,1)處沿曲線在該點切線方向的方向導數(shù);(2)求函數(shù)在M(1,1,1)處的梯度與(1)中切線方向的夾角

.2.P73題1610/16/202348D8_6幾何中的應用8_7方向導數(shù)思考與練習1.設函數(shù)(1)求函數(shù)在點M(1,1,