高等數(shù)學(xué)期末考試復(fù)習(xí)201006

高等數(shù)學(xué)期末考試復(fù)習(xí)

1、向量的數(shù)量積計(jì)算內(nèi)容小結(jié)設(shè)1.向量運(yùn)算加減:數(shù)乘:點(diǎn)積:叉積:機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束混合積:2.向量關(guān)系:機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束思考與練習(xí)1.設(shè)計(jì)算并求夾角

的正弦與余弦.答案:2.用向量方法證明正弦定理:機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束證:由三角形面積公式所以因機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束直線與平面的關(guān)系判斷，求直線與平面夾角；線面間的位置關(guān)系1.兩直線的夾角

則兩直線夾角

滿足設(shè)直線兩直線的夾角指其方向向量間的夾角(通常取銳角)的方向向量分別為機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束特別有:機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束例.

求以下兩直線的夾角解:直線直線二直線夾角

的余弦為從而的方向向量為的方向向量為機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束當(dāng)直線與平面垂直時(shí),規(guī)定其夾角線所夾銳角

稱為直線與平面間的夾角;

2.

直線與平面的夾角當(dāng)直線與平面不垂直時(shí),設(shè)直線

L的方向向量為平面

的法向量為則直線與平面夾角

滿足直線和它在平面上的投影直︿機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束︿特別有:解:取已知平面的法向量則直線的對(duì)稱式方程為直的直線方程.

為所求直線的方向向量.垂例.求過(guò)點(diǎn)(1,－2,4)

且與平面機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束平面

:L⊥

L//

夾角公式：3.面與線間的關(guān)系直線L:機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束2、偏導(dǎo)數(shù)定義，求復(fù)合函數(shù)二階偏導(dǎo)函數(shù)（含抽象函數(shù)）二、多元函數(shù)微分法顯示結(jié)構(gòu)隱式結(jié)構(gòu)1.分析復(fù)合結(jié)構(gòu)(畫(huà)變量關(guān)系圖)自變量個(gè)數(shù)=變量總個(gè)數(shù)–方程總個(gè)數(shù)自變量與因變量由所求對(duì)象判定2.正確使用求導(dǎo)法則“分段用乘,分叉用加,單路全導(dǎo),叉路偏導(dǎo)”注意正確使用求導(dǎo)符號(hào)3.利用一階微分形式不變性例2.

設(shè)其中f與F分別具解法1方程兩邊對(duì)x求導(dǎo),得有一階導(dǎo)數(shù)或偏導(dǎo)數(shù),求(99考研)解法2方程兩邊求微分,得化簡(jiǎn)消去即可得例3.設(shè)有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),且求解:練習(xí)題1.設(shè)函數(shù)f二階連續(xù)可微,求下列函數(shù)的二階偏導(dǎo)數(shù)解答提示:第1題2、空間曲面上某點(diǎn)法線方程的確定，方向?qū)?shù)與梯度的計(jì)算曲面

在點(diǎn)M的法向量法線方程切平面方程復(fù)習(xí)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束曲面時(shí),則在點(diǎn)故當(dāng)函數(shù)法線方程令特別,當(dāng)光滑曲面

的方程為顯式

在點(diǎn)有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)時(shí),切平面方程機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束內(nèi)容小結(jié)1.方向?qū)?shù)?三元函數(shù)在點(diǎn)沿方向l(方向角的方向?qū)?shù)為?二元函數(shù)在點(diǎn)的方向?qū)?shù)為沿方向l(方向角為機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束2.梯度?三元函數(shù)在點(diǎn)處的梯度為?二元函數(shù)在點(diǎn)處的梯度為3.關(guān)系方向?qū)?shù)存在偏導(dǎo)數(shù)存在??可微機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束梯度在方向l上的投影.2、多元函數(shù)極值（條件極值）；例4.在第一卦限作橢球面的切平面,使其在三坐標(biāo)軸上的截距的平方和最小,并求切點(diǎn).解:設(shè)切點(diǎn)為則切平面的法向量為即切平面方程問(wèn)題歸結(jié)為求在條件下的條件極值問(wèn)題.設(shè)拉格朗日函數(shù)切平面在三坐標(biāo)軸上的截距為令由實(shí)際意義可知為所求切點(diǎn).唯一駐點(diǎn)例5.求旋轉(zhuǎn)拋物面與平面之