梯形斷面明渠臨界水深計(jì)算方法新探

梯形斷面明渠臨界水深計(jì)算方法新探李興印盧軍啟楊玲霞(鄭州大學(xué)水利與環(huán)境學(xué)院中國(guó)鄭州450001)摘要：臨界水深是水力學(xué)計(jì)算中的一個(gè)很重要的參數(shù)，在水力計(jì)算及水工設(shè)計(jì)中應(yīng)用非常廣泛。在實(shí)際工程中，梯形斷面渠道較為常見(jiàn)，故梯形斷面明渠臨界水深的求解就顯得尤為重要。本文在臨界流方程的基礎(chǔ)上，通過(guò)引進(jìn)無(wú)量綱參數(shù)，導(dǎo)出了臨界水深的近似計(jì)算公式。通過(guò)算例證明了所得公式的計(jì)算精度較高。公式為顯式，可直接應(yīng)用計(jì)算，且形式簡(jiǎn)單，使用方便，可為相關(guān)水力計(jì)算提供便利。關(guān)鍵詞：梯形明渠；臨界水深；近似計(jì)算.引言臨界水深是梯形斷面明渠水力計(jì)算中一個(gè)很重要的水力要素，在水利水電工程、農(nóng)田灌溉、城市給排水工程中應(yīng)用十分廣泛，鑒于梯形斷面形式的復(fù)雜性，對(duì)臨界水深的基本方程無(wú)論通過(guò)怎樣的數(shù)學(xué)變換，也無(wú)法得到臨界水深的顯函數(shù)精確解析解，其臨界水深只有借助迭代理論、最優(yōu)逼近擬合理論及先進(jìn)的數(shù)學(xué)工具進(jìn)行求解。很多專家和科技人員從20世紀(jì)50年代甚至更早就對(duì)臨界水深問(wèn)題進(jìn)行探討和研究。特別是80年代以來(lái)，關(guān)于梯形斷面臨界水深的計(jì)算方法的研究已取得大量的成果，他們相繼提出了許多計(jì)算方法，都具有很好的參考價(jià)值，為相關(guān)工程實(shí)踐提供參考，同時(shí)也為相關(guān)工程問(wèn)題提出了許多寶貴的意見(jiàn)和建議。對(duì)于梯形斷面明渠臨界水深的計(jì)算問(wèn)題，常見(jiàn)的求解方法有試算法、圖解法、迭代法、近似求解法等。筆者對(duì)目前幾種常見(jiàn)的臨界水深計(jì)算方法進(jìn)行總結(jié)和分析，并采用無(wú)量綱參數(shù)進(jìn)而推出一種新的臨界水深近似計(jì)算公式，并對(duì)其舉例探討，分析其精度，以期為相關(guān)工程設(shè)計(jì)提供參考。.臨界水深計(jì)算的基本方程引述眾所周知，在梯形斷面渠道的流量、斷面尺寸均確定的情況下，相應(yīng)于斷面比能最小值E.的水深，稱為臨界水深。斷面比能Es的公式為：av2 aQ2E=h+2g=h+2Z (1)由臨界水深的定義可得，令Zi、=1-*2=0得到臨界流方程亦臨界水dh 2gA2

深計(jì)算的基本方程:深計(jì)算的基本方程:aQ2 A3 =—kg Bk式中Q——過(guò)水?dāng)嗝娴牧髁浚琺s/s；a——?jiǎng)幽苄拚禂?shù)，常取1.0?1.05;g 重力加速度，常取9.8m/s2；Ak—臨界水深時(shí)過(guò)水?dāng)嗝婷娣e，m2；Bk—臨界水深時(shí)水面寬度，m。.傳統(tǒng)的計(jì)算方法3.1試算法當(dāng)斷面尺寸確定時(shí)，臨界流方程式(2)左端為一定值，該式右端aQ2僅僅是gA3水深的函數(shù)。于是可以假定若干個(gè)水深，算出若干個(gè)與之對(duì)應(yīng)的口值，當(dāng)其中一個(gè)BA值與aQ-的值相等時(shí)，其相應(yīng)的水深為所求的臨界水深力。然而試算法目的性Bg k較差，計(jì)算時(shí)比較盲目，介于這樣的缺點(diǎn)，本文就不再對(duì)試算法進(jìn)行討論。3.2圖解法對(duì)于梯形斷面，A^=(b+mhk)七,B^=b+2mh^。代入臨界流方程式(2)，并取a=1整理可得汪=(1+mh)hk'~g hi' (1+2m?3b相等的矩形斷面的臨界水深，式中，q=Q/b，b為梯形斷面的底寬。上式左端實(shí)際上表示與梯形斷面底寬相等的矩形斷面的臨界水深，將其以h'表示，并將上式兩端同乘m/b，并整理可得km-ih(1+2bhk)3_k— h， 1mk 1+hbk

.一..h m.一^利用上述關(guān)系可做一條廿——mh‘關(guān)系曲線，先根據(jù)已知的條件求出與梯形h' bkk斷面底寬相等的矩形斷面的臨界水深h"然后再根據(jù)m和b值算出《hk的值，再由算——《h'關(guān)系曲線查出相應(yīng)的值，從而算出梯形斷面的臨界水深h。h' bk h' kkk但是圖解法依然比較繁瑣，而且在查圖時(shí)需要內(nèi)插，人為誤差較大，故本文僅作此介紹，不再詳述。3.3迭代法將梯形斷面面積Ak=（b+mhk和水面寬度B^=b+2m,代入式（2）式并整理得（3）h（網(wǎng)二（竺）%（b+2mhk"泄（3）kg （b+mhk（j））上式即為梯形斷面臨界水深的迭代公式，能快速的求出臨界水深的精確解。.近似求解臨界水深的新方法由臨界流方程可知，對(duì)于梯形斷面公式等號(hào)右端的分子和分母中均含有臨界水深勾，故造成臨界水深的計(jì)算十分困難，本文提出一種無(wú)量綱參數(shù)，即臨界水深時(shí)的水面寬度與梯形斷面底寬之比，用X表示，即(4)b+2mh

xb(4)顯然當(dāng)乂趨近于1時(shí)，梯形斷面趨近于矩形；當(dāng)乂趨近于+8時(shí)，梯形斷面趨近于倒三角形。因此，無(wú)量綱參數(shù)X反映了梯形斷面的相對(duì)性狀，同時(shí)由于無(wú)量綱參數(shù)的參與可使臨界水深的求解趨于簡(jiǎn)捷。對(duì)于梯形斷面明渠，由臨界流方程式（2）可得（a=1）:Q2 （b+mh）3h3g b+2mhk又由式（4）知h=b（X-1），代入上式得k 2m（x2-1）364m3Q2x gb5

7 64m3Q2k= gb57 64m3Q2k= gb5(5)x=\(kx)13+1即 x二j(kx)^3+1 (6)令 f(')=\(kx)13+1根據(jù)迭代理論，若(x)的一階導(dǎo)數(shù)的絕對(duì)值小于1,則可說(shuō)明該迭代函數(shù)(x)對(duì)于任意正數(shù)是收斂的。——1 --(kx)3k=-2頊戚)13+13 6(kx)13x^(kx)13+11 (kx)13/I(kx)13x^(kx)13+1.<<16(kx)13+16也可以在x的取值范圍內(nèi)，通過(guò)計(jì)算分析f\x)與x的變化曲線而說(shuō)明ff(x)小于1，如圖1所示。f圖1f'~x變化曲線由前述知(x2~1)3=k，即1=k(x2—1)3。兩邊同乘以f圖1f'~x變化曲線由前述知(x2~1)3=k，即1=k(x2—1)3。兩邊同乘以x6后得x5=(乂膈1)，即：k0.2x= (1—1)0.6

x2當(dāng)x足夠大時(shí)，由上式知x"k0.2。代入式(6)得x=<k0.4+1，再代入式(6)得：x=Y’k13(k0.4+1)16+1 (7)如需更高精度，可以將式（7）繼續(xù)代入式（6）,重復(fù)上述過(guò)程推導(dǎo)出更精確的計(jì)算公式X=t'k13（k13（k0.4+1）16+1）16+1 （8）式（7）和式（8）均為梯形斷面臨界水深的近似計(jì)算公式。二者的區(qū)別在于后者的計(jì)算精度更高。由式（7）計(jì)算出x后，再由式（4）便可計(jì)算出臨界水深氣。.應(yīng)用舉例例題：某梯形過(guò)水?dāng)嗝?，流量Q=6.6m3；s，梯形斷面底寬b=5m，邊坡系數(shù)m=1.5。試求該梯形斷面明渠的臨界水深。解：將Q、b、m的值代入式（5）得7 64m3Q264x1.53x6.62=0.3072k= = =0.3072gb5 9.8x55由式(7)得x=.k13(k0.4+1)16+1=(0.307213(0.30720.4+1)16+1=1.3159再由式(4)得h=b(XT)=5x(1.3159T)=0.5265m。由式(3)求得臨界水k 2m 2x1.5深h的精確值為0.5318。二者的相對(duì)誤差為A=0.5318一口5265=0.997%。k 0.5318由式(8)得x=、.'k13(k13(k0.4+1)16+1)16+1^.'0.307213(0.307213(0.30720.4+1)16+1)16+1=1.318864h=5=5x(1.318864F=0.5314mk2m 2x1.50.5318-0.5314相對(duì)誤差為A= =0.075%0.5318由此算例可知，公式（7）和公式（8）作為計(jì)算臨界水深的近似公式，其相對(duì)誤差不到1%，特別是公式（8），及其計(jì)算精度較高。.結(jié)論目前，梯形斷面明渠臨界水深求解的常用方法有試算法和迭代法。本文通過(guò)引進(jìn)無(wú)量綱參數(shù)x（x=b+2mhk），在臨界流方程的基礎(chǔ)上，提出了臨界水深的近似b計(jì)算公式(7)或(8)。公式(8)比公式(7)的計(jì)算精度更高。本文提出的近似計(jì)算公式的特點(diǎn)是公式為顯式，可直接計(jì)算出臨界水深，不需要試算和反復(fù)疊代計(jì)算，且形式簡(jiǎn)單，計(jì)算精度高，使用簡(jiǎn)單方便，具有在相關(guān)水利設(shè)計(jì)中的應(yīng)用價(jià)值。NewSolutiontotheTrapezoidalCross-section

CriticalDepthofOpenChannelLixingyinLujunqiYanglingxia(SchoolofEnvironmentandWaterConservancyEngineering)Abstract:Criticaldepthisanimportantcriteriatodistinguishopenchannelflowfluidinhydrauliccomputation.Soithasabroadapplicationinhydrauliccomputationandhydraulicdesign.Inpractice,thetrapezoidalcross-sectionisordinary.Soitisimportanttoseekcriticaldepthofopenchannelofthetrapezoidalcross-section.InthistextIsumupseveralsolutionstoseekcriticaldepthofopenchannelofthetrapezoidalcross-sectionandadoptnon-dimensionparametertobringforwardanewSolution.AtthesametimeIvalueitinordertoofferreferenceforproduction.Keywords:trapezoidalcross-section;criticalwaterdepth;formula參考文獻(xiàn)：［1］ 郝樹(shù)棠.梯形渠道臨界水深的計(jì)算及探討［JL水利學(xué)報(bào)，1994，(8)：48-52［2］ 廖云鳳.梯形斷面渠道臨界水深顯式計(jì)算［J］.陜西水力發(fā)電，2001，17(4)：22-23［3］ 蘇魯平.梯形明渠臨界水深的迭代解法［J］.人民長(zhǎng)江，1994,25(5)：13-16［4］ 項(xiàng)兆法.論計(jì)算梯形渠道臨界水深近似公式［J］.科學(xué)通報(bào),1980,25(16):749［5］ 王正中，袁駟，武成烈.再論梯形明渠臨界水深計(jì)算法［J］.水利學(xué)報(bào)，1999，(4)：1-16［6］ 王正中等.明渠臨界