關(guān)于二階曲線,二級曲線

./1.預(yù)備知識一維基本形指點列和線束,一維基本形之間的關(guān)系有兩種；透視對應(yīng)和射影對應(yīng)。1.1一維基本形的透視對應(yīng)和射影對應(yīng)一維基本形的透視對應(yīng)定義1：如果兩個點列與同一線束成透視對應(yīng),則這兩個點列叫做透視點列,點叫透視中心,記以圖<1>圖<2>圖<1>圖<2>對偶地,有定義2：如果兩個線束與同一點列成透視對應(yīng),則這兩個線束透視線束,點列的底叫做透視軸,記以如圖〔3,〔4圖<3>圖<4>圖<3>圖<4>一維基本形的射影對應(yīng)定義3：〔Poncelet定義設(shè)有兩個一維基本形〔點列或線束與,如果存在個一維基本形,使得則把與之間的對應(yīng)叫做射影對應(yīng),記以,這次透視對應(yīng)形成透視鏈,既有限個透視對應(yīng)乘積是射影對應(yīng),如圖〔5圖<5>由此可以得到射影對應(yīng)有以下性質(zhì)：圖<5>〔1保持一一對應(yīng)關(guān)系；〔2；〔3如果,則；〔4如果,,則；〔5如果,則,但反之不成立。1.2透視對應(yīng)和射影對應(yīng)之間的關(guān)系透視對應(yīng)一定是射影對應(yīng),但射影對應(yīng)不一定透視對應(yīng),下面討論射影對應(yīng)成透視對應(yīng)的條件。因如果兩個點列與間有射影對應(yīng)則它們的點的連線不一定交于一點。定理1：兩個點列間的射影對應(yīng)是透視對應(yīng)的重要條件是它們底的交點自對應(yīng)。證明：必要性：設(shè)點列與間的射影對應(yīng)是透視對應(yīng),為透視中心,為兩底與的交點,如圖〔6,因為直線與兩底交于同一點,所以點是自對應(yīng)。充分性：設(shè)點列與間的射影對應(yīng)為,。與的交點作為的點與它在上的對應(yīng)點重合,即在上任取兩點,設(shè)其對應(yīng)點為,,令與交于點,與交于。設(shè)對應(yīng)是以中心的點列到的透視對應(yīng),于是對應(yīng)也是射影對應(yīng)。但在之下,三點,于是與有三對對應(yīng)點相同,由定理〔若已知兩個點列的三對對應(yīng)點,則可以唯一確定一個射影對應(yīng),即射影對應(yīng)被其三對對應(yīng)點所唯一確定知,即與重合。因此是以透視中心的透視對應(yīng)。對偶地有,圖<6>圖<7>圖<6>圖<7>2.二階曲線與二級曲線的定義2.1二階曲線與二級曲線的代數(shù)定義定義1：〔二階曲線的代數(shù)定義在射影平面上,齊次坐標滿足下列三元二次方程；,即,〔其中為實數(shù)且至少一個不為零的點的集合稱為二階曲線,二階曲線是點的軌跡。矩陣形式為其中用表示,叫系數(shù)矩陣,或表示系數(shù)行列式。定義2：〔二級曲線的代數(shù)定義在射影平面上齊次坐標滿足下列三元二次方程；,即〔其中為實數(shù)且至少有一個不為零矩陣形式為其中用表示,系數(shù)矩陣,或表示系數(shù)行列式。為了給出二階曲線與二級曲線的幾何定義先證明下面的兩個定理。定理1：兩個不同中心的射影對應(yīng)線束對應(yīng)線的交點構(gòu)成一條二階曲線。定理：兩個不同底的射影對應(yīng)點列對應(yīng)點的連線構(gòu)成一條二級曲線。以上定理是互相對偶的,我們只證明定理1。證明：射影平面上建立了射影坐標后,設(shè)兩個線束的方程分別為；由于它們是射影對應(yīng),所以滿足：從,,,中消去,得即這里都是關(guān)于的一次齊次式,所以式表示一條二階曲線。由于的交點坐標和的交點坐標都是滿足。所以形成此二階曲線的兩個線束的中心也在這條二階曲線上。定理1的逆定理也成立,即"任何一條二階曲線都可以看成是兩個成射影對應(yīng)的線束對應(yīng)直線的交點所構(gòu)成的"。定理2：設(shè)有一條二階曲線,它是由兩個成射影對應(yīng)的線束對應(yīng)直線的交點構(gòu)成的那么以這曲線上任兩點為中心向曲線上的點投射直線,則可得到兩個成射影對應(yīng)的線束。定理：設(shè)有某二級曲線,它是由兩個射影點列的對應(yīng)點的連線構(gòu)成的,則在曲線上任意兩定直線與曲線上的直線相交,就得到以這個定直線為底而成射影對應(yīng)的兩個點列。我們只證明定理2。證明：設(shè)二階曲線是有以和為中心的射影線束和所生成的,在該曲線上任取定二點,設(shè)為曲線上的動點我們證明如圖〔8,設(shè)與,之交點為,與,之交點為,,于是,所以圖<8>所以,。圖<8>由于這兩個點列底的交點,故有,所以對應(yīng)點的連線共點,即,,共點于。為一定點,這說明當在曲線上變動時以為底的點列與為底的點列對應(yīng)是透視對應(yīng),對應(yīng)點的連線通過一個定點所以有即例1：求兩個成射影對應(yīng)線束與所構(gòu)成的二階曲線的方程。解：因為,所以,兩個線束可寫成；即消去得所以所求的二階曲線方程為。2.2二階曲線與二級曲線的幾何定義定義3：〔二階曲線的幾何定義在射影平面上兩個射影線束對應(yīng)直線的交點集合叫做二階曲線。如圖〔9定義4：〔二級曲線的幾何定義在射影平面上兩個射影點列對應(yīng)點連線的集合叫做二級曲線。如圖〔10圖<9>圖<9>圖<10>推論1：在射影平面五個點,若其中任意三點不共線,則這五個點可確定唯一一條二階曲線。推論：在射影平面上五條直線,若其中任意三個直線不共點,則這五條直線唯一確定一條二級曲線。我們只證明推論1。對偶地推論也成立。證明：設(shè)已知五點為,,,,以其中任意兩點,例如和為心,分別連線,,與,,,由一維射影幾何基本定理,三對對應(yīng)線與,與,與決定了唯一的一條二階曲線通過已知的五點。如圖〔11和〔12。圖<11>圖<11>圖<12>推論2：二階曲線上的四定點與其上任意點所連的四條直線,其交比為常數(shù)。如圖〔13推論：二級曲線的四條定直線與其上任意直線相交所得的四點,其交比為常數(shù)。如圖〔14我們只證明推論2。證明：設(shè)二階曲線上的四定點,,,表示,并和表示曲線上任意點的兩個位置。取和為兩個射影線束的中心,來產(chǎn)生該二階曲線,則兩線束因此,即四條直線所成的交比不因第五點的位置而變化,所以是一個常數(shù)。下面的圖很容易看出上面的推論2和推論的幾何意義。二階曲線是點的軌跡,二級曲線是直線的包絡(luò)。圖<14>圖<14>圖<13>圖〔15例2：如果兩個三點形接于同一條二次曲線,則它們也同時外切一條二次曲線。圖〔15證明：如圖〔15,三點形和接于二次曲線,設(shè),則所以,即由二級曲線的幾何定義則知,這兩個點列對應(yīng)點的連線,,,連同這兩個點列的底,屬于同一條二級曲線,亦即三點形和三點形的邊外切一條二次曲線。例3：求點所決定的方程。解：設(shè)所求的二階曲線為；將五點的坐標分別代入,得：解方程組得：,所求的二階曲線的方程為例4：求由五條直線決定的二級曲線的方程。解：設(shè)所求的二級曲線的方程為；五條直線的坐標滿足上面的方程,得；解方程組得；。3.二階曲線與二級曲線退化或非退化情況3.1二階曲線與二級曲線退化或非退化的代數(shù)解釋二階曲線與二級曲線退化的代數(shù)解釋設(shè)二階曲線的方程為：,系數(shù)矩陣為為系數(shù)行列式。那么二階曲線退化的重要條件為設(shè)二級曲線的方程為,系數(shù)矩陣為為系數(shù)行列式。那么二級曲線退化的重要條件為二階曲線與二級曲線非退化的代數(shù)解釋若二階曲線,是系數(shù)矩陣。那么,二階曲線非退化若二級曲線,是系數(shù)矩陣。那么,二級曲線非退化3.2二階曲線與二級曲線退化或非退化的幾何解釋二階曲線與二級曲線退化的幾何解釋在特殊的情況下,如果兩個線束和不但是射影的,而且是透視的即用表示線束和的透視軸這時,點列是已知兩個線束對應(yīng)直線交點的集合,因此點列是二階曲線的一部分。這時二階曲線退化為兩條直線,一條是透視軸,另一條是兩線束中心的連線,如圖〔16中的直線與。圖<16>圖<17>在特殊的情況下,即,時二級曲線退化為兩個點,其中一個是已知兩個點列的交點,另一個是其它對應(yīng)點連線所交的哪個點。這時這二級曲線叫做退化的二級曲線,如圖〔17中的兩點圖<16>圖<17>二階曲線與二級曲線非退化的幾何解釋若兩個不同心的射影對應(yīng)線束是非透視的,那么二階曲線是非退化的。若兩個不共底的射影對應(yīng)點列是非透視的,那么二級曲線是非退化的。4.二階〔二級曲線與直線〔點的相關(guān)位置4.1二階曲線與直線的相關(guān)位置設(shè)兩個點,的坐標分別為,,則直線上任意點的坐標可以寫為,其中以下先求直線與二階曲線的交點。將代入上式得整理后得：若點不在二階曲線上,則式是關(guān)于的二次方程,為了書寫簡便,我們引入以下記號：,,,,若：當時,直線與二階曲線相交于兩個實點,稱為二階曲線的割線。當時,直線與二階曲線相離。當時,直線與二階曲線的兩交點重合,稱為二階曲線的切線。過的切線方程為即：點不在二階曲線上時,過點的切線方程。它表示兩條切線,當二階曲線上時二者重合為。4.2二級曲線與點的相關(guān)位置設(shè)兩個直線,,則兩直線的交點的線坐標為。以下求交點與二級曲線的位置關(guān)系,將代入上式若不屬于二級曲線,則式是關(guān)于的二次方程,則為了書寫簡便,我們先引入以下記號：,,,,當時,交點與二級曲線有兩個直線。當時,不存在直線。當時,有兩個重合直線,點與二級曲線相切。過的切點方程為即不屬于二級曲線,為動直線,在上的切點。不屬于二級曲線時在上的方程為:例:求通過二直線和交點且屬于二級曲線的直線。解:通過二直線和交點的直線的線坐標為:,若此直線屬于二級曲線則,有,即,解得,所求直線的坐標為和。例:求二階曲線經(jīng)過點的切線方程.解:將的坐標代入二階曲線方程中得：所以點在二階曲線上故切線方程為即亦即為所求切線方程。例:求二級曲線在直線上的切點方程。解:二級曲線的切點的方程為在直線上的切點方程為:解得所求的切點方程為。5.二階曲線與二級曲線的關(guān)系Maclaurin定理：一條非退化的二階曲線的切線的集合是一條非退化的二級曲線；反過來,一條非退化的二級曲線的切點的集合是一條非退化的二階曲線。證明：〔1已知非退化的二階曲線,若是它的一條切線的切點,則這條切線方程為：,即其中為非零常數(shù),所以有〔1又因為在切線上,故有〔2由〔1,〔2消去,得將這行列式展開得〔##其中為在中的代數(shù)余子式,且,。當切線變動時,〔##是含有流動坐標的方程,它就是二階曲線的任一切線的線坐標所滿足的方程,表示一條非退化的二級曲線。我們把它稱為二階曲線所對應(yīng)的二級曲線?！?對偶地,非退化的二級曲線,所對應(yīng)的切點方程為將行列式展開后得其中為在中的代數(shù)余子式。且,它就是二級曲線的任一條直線上的切點所滿足的方程,表示一條非退化的二階曲線,我們把它稱為二級曲線所對應(yīng)的二階曲線。例：求證點坐標方程為與線坐標方程表示同一條曲線。證明：可以化為齊次坐標方程為,根據(jù)公式它的線坐標方程為計算得,其非齊次坐標方程。與表示同一條曲線。總結(jié)本論文討論了二階曲線與二級曲線及其它們之間的關(guān)系,具體的說,二階曲線是兩個射影線束對應(yīng)直線交點的軌跡,同時也是兩個射影點列對應(yīng)點連線的包絡(luò)。從點幾何和線幾何的角度看,二階曲線和二級曲線是一致的,所以把它們都叫做二次曲線,這就像點有線坐標方程一樣,二次曲線不僅有有點坐標方程,也有線坐標方程。兩個都是在射影平面上滿足二次方程,一個滿足點坐標方程,一個滿足線坐標方程,總的來說兩曲線互相對偶。參考文獻[1]高等幾何/永順,金成相編/人民[M],1984.12〔第一版。318-349.[2]