2024屆一輪復習人教A版兩角和與差的正切 學案

第2課時兩角和與差的正切【課程標準】1.能從兩角差的余弦公式推導出兩角和與差的正切公式，了解它們的內(nèi)在聯(lián)系．2．能運用上述公式進行簡單的恒等變換．知識復習·自主學習——突出基礎(chǔ)性教材要點知識點一兩角和的正切公式Tα＋β：tan(α＋β)＝________________________．知識點二兩角差的正切公式Tα－β：tan(α－β)＝________________________．eq\a\vs4\al(狀元隨筆)你能舉出幾個兩角和與差的正切公式的變形式嗎？[提示](1)tanα＋tanβ＝tan(α＋β)(1－tanαtanβ).(2)1－tanαtanβ＝eq\f(tanα＋tanβ,tan（α＋β）).(3)tanα＋tanβ＋tanαtanβtan(α＋β)＝tan(α＋β).(4)tanαtanβ＝1－eq\f(tanα＋tanβ,tan（α＋β）).基礎(chǔ)自測1．tan255°＝()A．－2－3 B．－2＋3C．2－3 D．2＋32.tan75A．－2B．2C．－3D．33．設(shè)角θ的終邊過點(2，3)，則tan(θ－π4A．15B．－14．設(shè)tanα＝12，tanβ＝13，且角α，β為銳角，則α＋課堂探究·素養(yǎng)提升——強化創(chuàng)新性題型1利用公式化簡求值例1求下列各式的值：(1)tan15°；(2)1-(3)tan23°＋tan37°＋3tan23°tan37°.狀元隨筆把非特殊角轉(zhuǎn)化為特殊角(如(1))及公式的逆用(如(2))與活用(如(3))，通過適當?shù)淖冃巫優(yōu)榭梢允褂霉降男问?，從而達到化簡或求值的目的．方法歸納(1)公式Tα＋β，Tα－β是變形較多的兩個公式，公式中有tanαtanβ，tanα＋tanβ(或tanα－tanβ)，tan(α＋β)(或tan(α－β)).三者知二可表示或求出第三個．(2)一方面要熟記公式的結(jié)構(gòu)，另一方面要注意常值代換．跟蹤訓練1求下列各式的值：(1)cos75(2)tan36°＋tan84°－3tan36°tan84°.(3)已知2tanθ－tan(θ＋eq\f(π,4))＝7，那么，tanθ＝()A．－2 B．－1C．1 D．2題型2條件求值(角)問題例2如圖，在平面直角坐標系xOy中，以O(shè)x軸為始邊作兩個銳角α，β，它們的終邊分別與單位圓相交于A，B兩點，已知A，B的橫坐標分別為210，2(1)求tan(α＋β)的值；(2)求α＋2β的值．狀元隨筆先由任意角的三角函數(shù)定義求出cosα，cosβ，再求sinα，sinβ，從而求出tanα，tanβ，然后利用Tα＋β求tan(α＋β)，最后利用α＋2β＝(α＋β)＋β，求tan(α＋2β)進而得到α＋2β的值．方法歸納(1)通過先求角的某個三角函數(shù)值來求角．(2)選取函數(shù)時，應(yīng)遵照以下原則：①已知正切函數(shù)值，選正切函數(shù)；②已知正、余弦函數(shù)值，選正弦或余弦函數(shù)．若角的范圍是(0，π2)，選正、余弦皆可；若角的范圍是(0，π)，選余弦較好；若角的范圍為(－π2，(3)給值求角的一般步驟：①求角的某一三角函數(shù)值；②確定角的范圍；③根據(jù)角的范圍寫出所求的角．跟蹤訓練2(1)已知α∈(π2，π)，sinα＝35，求tan(α＋(2)如圖所示，三個相同的正方形相接，試計算α＋β的大小．題型3公式的變形應(yīng)用【思考探究】(1)判斷三角形的形狀時，都有哪些特殊三角形？[提示]根據(jù)三角形的邊角關(guān)系，常見的特殊三角形有等邊三角形、等腰三角形、銳角三角形、直角三角形、鈍角三角形等．(2)在△ABC中，tan(A＋B)與tanC有何關(guān)系？[提示]根據(jù)三角形內(nèi)角和定理可得A＋B＋C＝π，∴A＋B＝π－C，∴tan(A＋B)＝tan(π－C)＝－tanC．例3已知△ABC中，tanB＋tanC＋3tanBtanC＝3，且3tanA＋3tanB＋1＝tanAtanB，判斷△ABC的形狀．狀元隨筆化簡條件→求出tanA，tanC跟蹤訓練3(1)(變條件)例題中把條件改為“tanB＋tanC－3tanBtanC＝－3，且33tanA＋33tanB＋1＝tanAtan(2)tan72°－tan42°－33方法歸納公式Tα＋β的逆用及變形應(yīng)用的解題策略(1)“1”的代換：在Tα＋β中，如果分子中出現(xiàn)“1”常利用1＝tan45°來代換，以達到化簡求值的目的，如1-tana1+tan3tan+31-tana＝(2)整體意識：若化簡的式子中出現(xiàn)了“tanα±tanβ”及“tanα·tanβ”兩個整體，常考慮tan(α±β)的變形公式．教材反思(1)公式T(α±β)的適用范圍和結(jié)構(gòu)特征①由正切函數(shù)的定義可知α、β、α＋β(或α－β)的終邊不能落在y軸上，即不為kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z).②公式T(α±β)的右側(cè)為分式形式，其中分子為tanα與tanβ的和或差，分母為1與tanαtanβ的差或和．(2)兩角和與差的正切公式的變形變形公式如：tanα＋tanβ＝tan(α＋β)(1－tanαtanβ)；tanα－tanβ＝tan(α－β)(1＋tanαtanβ)；tanαtanβ＝1－tanα第2課時兩角和與差的正切知識復習·自主學習[教材要點]知識點一tan知識點二tan[基礎(chǔ)自測]1．解析：tan255°＝tan(180°＋75°)＝tan75°＝tan(45°＋30°)＝tan45°+tan30故選D項．答案：D2．解析：原式＝tan(75°－15°)＝tan60°＝3.答案：D3．解析：由于角θ的終邊過點(2，3)，因此tanθ＝32，故tan(θ－π4)＝tanθ-1答案：A4．解析：∵tanα＝12，tanβ＝∴tan(α＋β)＝tanα+tan又∵α，β均為銳角，即α，β∈(0，π2∴0<α＋β<π，則α＋β＝π4答案：π課堂探究·素養(yǎng)提升例1【解析】(1)tan15°＝tan(45°－30°)＝tan＝1-331+3(2)1-3＝tan＝tan(30°－75°)＝tan(－45°)＝－tan45°＝－1.(3)∵tan(23°＋37°)＝tan60°＝tan23°+∴tan23°＋tan37°＝3(1－tan23°tan37°)，∴原式＝3(1－tan23°tan37°)＋3tan23°tan37°＝3.跟蹤訓練1解析：(1)原式＝1-tan＝tan(45°－75°)＝tan(－30°)＝－tan30°＝－33(2)原式＝tan120°(1－tan36°tan84°)－3tan36°tan84°＝tan120°－tan120°tan36°tan84°－3tan36°tan84°＝tan120°＝－3.(3)由題意可知2tanθ－1+tan化簡得2tanθ－2tan2θ－1－tanθ＝7－7tanθ，解得tanθ＝2.答案：(1)見解析(2)見解析(3)D例2【解析】由條件得cosα＝210，cosβ＝2∵α，β為銳角，∴sinα＝7210，sinβ＝∴tanα＝7，tanβ＝12(1)tan(α＋β)＝tanα+tan(2)tan(α＋2β)＝tan[(α＋β)＋β]＝tanα+β∵α，β為銳角，∴0＜α＋2β＜3π2，∴α＋2β＝跟蹤訓練2解析：(1)因為sinα＝35，且α∈(π2，π)，所以cosα＝－所以tanα＝sinαcosα＝3故tan(α＋π4)＝tanα+tanπ(2)由題圖可知tanα＝13，tanβ＝12，且α，所以tan(α＋β)＝tanα+tan因為α＋β∈(0，π)，所以α＋β＝π4例3【解析】由tanA＝tan[π－(B＋C)]＝－tan(B＋C)＝tan＝3-3tan而0°＜A＜180°，∴A＝120°.由tanC＝tan[π－(A＋B)]＝tanA+tanBtan而0°＜C＜180°，∴C＝30°，∴B＝30°.∴△ABC是頂角為120°的等腰三角形．跟蹤訓練3解析：(1)由tanA＝tan[π－(B＋C)]＝－tan(B＋C)＝tan＝3tanBtan又0°<A<180°，所以A＝60°.由tanC＝tan[