第1章 概率論的基本概念課后練習(xí)及其詳解

1654年,一個(gè)名叫梅累的騎士就“兩個(gè)賭徒約定賭若干局,且誰(shuí)先贏

c局便算贏家,若在一賭徒勝

a局(a<c),另一賭徒勝b局(b<c)時(shí)便終止賭博,問(wèn)應(yīng)如何分賭本”

為題求教于帕斯卡,帕斯卡與費(fèi)馬通信討論這一問(wèn)題,于1654年共同建立了概率論的第一個(gè)基本概念數(shù)學(xué)期望.概率論的誕生及應(yīng)用1.概率論的誕生12.概率論的應(yīng)用

概率論是數(shù)學(xué)的一個(gè)分支,它研究隨機(jī)現(xiàn)象的數(shù)量規(guī)律.概率論的廣泛應(yīng)用幾乎遍及所有的科學(xué)領(lǐng)域,例如天氣預(yù)報(bào),地震預(yù)報(bào),產(chǎn)品的抽樣調(diào)查;在通訊工程中可用以提高信號(hào)的抗干擾性,分辨率等等.2基本概念與理論一維隨機(jī)現(xiàn)象高維隨機(jī)現(xiàn)象數(shù)字特征極限定理

概率論部分3第一章概率論的基本概念

第一節(jié)隨機(jī)事件的基本概念

第四節(jié)等可能概型(古典概型)

第三節(jié)頻率與概率

第五節(jié)條件概率

第六節(jié)事件的獨(dú)立性第二節(jié)事件的關(guān)系和運(yùn)算4一、隨機(jī)現(xiàn)象

二、隨機(jī)試驗(yàn)第一節(jié)隨機(jī)事件的基本概念五、小結(jié)三、樣本空間樣本點(diǎn)四、隨機(jī)事件的概念5在一定條件下必然發(fā)生的現(xiàn)象稱為確定性現(xiàn)象.

“太陽(yáng)不會(huì)從西邊升起”,1.確定性現(xiàn)象

“同性電荷必然互斥”,“水從高處流向低處”,實(shí)例：自然界所觀察到的現(xiàn)象:確定性現(xiàn)象、隨機(jī)現(xiàn)象一、隨機(jī)現(xiàn)象

6在一定條件下可能出現(xiàn)也可能不出現(xiàn)的現(xiàn)象稱為隨機(jī)現(xiàn)象.實(shí)例1

“在相同條件下擲一枚均勻的硬幣,觀察正反兩面出現(xiàn)的情況”.2.隨機(jī)現(xiàn)象“函數(shù)在間斷點(diǎn)處不存在導(dǎo)數(shù)”等.結(jié)果有可能出現(xiàn)正面也可能出現(xiàn)反面.確定性現(xiàn)象的特征條件完全決定結(jié)果7結(jié)果有可能為:“1”,“2”,“3”,“4”,“5”或“6”.實(shí)例3

“拋擲一枚骰子,觀察出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)”.實(shí)例2

“用同一門炮向同一目標(biāo)發(fā)射多發(fā)同一種炮彈,觀察彈落點(diǎn)的情況”.結(jié)果:“彈落點(diǎn)會(huì)各不相同”.8實(shí)例4

“從一批含有正品和次品的產(chǎn)品中任意抽取一個(gè)產(chǎn)品”.其結(jié)果可能為:

正品

、次品.實(shí)例5

“過(guò)馬路交叉口時(shí),可能遇上各種顏色的交通指揮燈”.實(shí)例6“一只燈泡的壽命”可長(zhǎng)可短.9隨機(jī)現(xiàn)象的特征條件不能完全決定結(jié)果隨機(jī)現(xiàn)象是通過(guò)隨機(jī)試驗(yàn)來(lái)研究的.問(wèn)題什么是隨機(jī)試驗(yàn)?如何來(lái)研究隨機(jī)現(xiàn)象?101.可以在相同的條件下重復(fù)地進(jìn)行;2.每次試驗(yàn)的可能結(jié)果不止一個(gè),并且能事先明確試驗(yàn)的所有可能結(jié)果;3.進(jìn)行一次試驗(yàn)之前不能確定哪一個(gè)結(jié)果會(huì)出現(xiàn).定義：在概率論中,把具有以下三個(gè)特征的試驗(yàn)稱為隨機(jī)試驗(yàn).二、隨機(jī)試驗(yàn)11說(shuō)明：

1.隨機(jī)試驗(yàn)簡(jiǎn)稱為試驗(yàn),是一個(gè)廣泛的術(shù)語(yǔ).它包括各種各樣的科學(xué)實(shí)驗(yàn),也包括對(duì)客觀事物進(jìn)行的“調(diào)查”、“觀察”、或“測(cè)量”等.實(shí)例

“拋擲一枚硬幣,觀察正面,反面出現(xiàn)的情況”.分析：

2.隨機(jī)試驗(yàn)通常用E來(lái)表示.(1)試驗(yàn)可以在相同的條件下重復(fù)地進(jìn)行;121.“拋擲一枚骰子,觀察出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)”.2.“從一批產(chǎn)品中,依次任選三件,記錄出現(xiàn)正品與次品的件數(shù)”.同理可知下列試驗(yàn)都為隨機(jī)試驗(yàn)(2)試驗(yàn)的所有可能結(jié)果:正面，反面;(3)進(jìn)行一次試驗(yàn)之前不能確定哪一個(gè)結(jié)果會(huì)出現(xiàn).故為隨機(jī)試驗(yàn).133.記錄某公共汽車站某日上午某時(shí)刻的等車人數(shù).4.考察某地區(qū)10月份的平均氣溫.5.從一批燈泡中任取一只,測(cè)試其壽命.14三、樣本空間樣本點(diǎn)規(guī)定不含任何元素的空集為不可能事件，用表示。定義1.1：對(duì)于隨機(jī)試驗(yàn)E，它的每一個(gè)可能結(jié)果稱為樣本點(diǎn)，由一個(gè)樣本點(diǎn)組成的單點(diǎn)集稱為基本事件。所有樣本點(diǎn)構(gòu)成的集合稱為E的樣本空間或必然事件，用

或S表示。15TH16THTHHHTT17THTHHHTT1次0次2次有限樣本空間18在某一批產(chǎn)品中任選一件，檢驗(yàn)其是否合格19記錄某大超市一天內(nèi)進(jìn)入的顧客人數(shù)

在一大批電視機(jī)中任意抽取一臺(tái)，測(cè)試其壽命

觀察某地明天的天氣是雨天還是非雨天

無(wú)限樣本空間20注意1.樣本空間的元素可以不是數(shù)；2.樣本空間至少有兩個(gè)樣本點(diǎn)。21隨機(jī)事件：隨機(jī)試驗(yàn)E的樣本空間S的子集(或某些樣本點(diǎn)的集合），稱為E的隨機(jī)事件,簡(jiǎn)稱事件.四、隨機(jī)事件的概念22在一大批電視機(jī)中任意抽取一臺(tái)，測(cè)試其壽命規(guī)定電視機(jī)的壽命超過(guò)10000小時(shí)時(shí)為合格品

滿足這一條件的樣本點(diǎn)組成的一個(gè)子集

稱為隨機(jī)試驗(yàn)的一個(gè)隨機(jī)事件

23基本事件：隨機(jī)試驗(yàn)有兩個(gè)基本事件和

隨機(jī)試驗(yàn)有三個(gè)基本事件、和樣本空間的兩個(gè)特殊子集

它包含了試驗(yàn)的所有可能的結(jié)果，所以在每次試驗(yàn)中它總是發(fā)生，稱為必然事件

它不包含任何樣本點(diǎn)，因此在每次試驗(yàn)中都不發(fā)生稱之為不可能事件

由一個(gè)樣本點(diǎn)組成的單點(diǎn)集

24寫出擲骰子試驗(yàn)的樣本空間,基本事件,

事件A—出現(xiàn)偶數(shù),事件B—出現(xiàn)奇數(shù)例：事件C=“出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)小于7”，事件D=“出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)大于6”

基本事件解：用

表示擲骰子出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)為

25(1)樣本點(diǎn)也是一個(gè)隨機(jī)事件，它是不可分割的基本的隨機(jī)事件(2)隨機(jī)事件是由樣本點(diǎn)構(gòu)成的，它可以分解成樣本點(diǎn)(基本隨機(jī)事件)的并集樣本點(diǎn)←→元素隨機(jī)事件←→集合隨機(jī)事件A

發(fā)生

A

中的某一個(gè)樣本點(diǎn)發(fā)生樣本點(diǎn)

發(fā)生

所有包含這個(gè)

的隨機(jī)事件都發(fā)生區(qū)別樣本點(diǎn)與隨機(jī)事件26

五、小結(jié)隨機(jī)現(xiàn)象的特征:1條件不能完全決定結(jié)果.2.隨機(jī)現(xiàn)象是通過(guò)隨機(jī)試驗(yàn)來(lái)研究的.(1)可以在相同的條件下重復(fù)地進(jìn)行;(2)每次試驗(yàn)的可能結(jié)果不止一個(gè),并且能事先明確試驗(yàn)的所有可能結(jié)果;(3)進(jìn)行一次試驗(yàn)之前不能確定哪一個(gè)結(jié)果會(huì)出現(xiàn).隨機(jī)試驗(yàn)27每一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)相應(yīng)地有一個(gè)樣本空間,樣本空間的子集就是隨機(jī)事件.隨機(jī)試驗(yàn)樣本空間子集隨機(jī)事件必然事件、不可能事件是兩個(gè)特殊的隨機(jī)事件3.隨機(jī)試驗(yàn)、樣本空間與隨機(jī)事件的關(guān)系28一、隨機(jī)事件的關(guān)系第二節(jié)事件的關(guān)系和運(yùn)算三、小結(jié)二、隨機(jī)事件的運(yùn)算29

1.包含關(guān)系若事件A出現(xiàn),必然導(dǎo)致B出現(xiàn),則稱事件B包含事件A,記作實(shí)例

“長(zhǎng)度不合格”必然導(dǎo)致“產(chǎn)品不合格”所以“產(chǎn)品不合格”包含“長(zhǎng)度不合格”.圖示

B包含

A.

BA一、隨機(jī)事件間的關(guān)系30

2.相等關(guān)系A(chǔ)

B

而且B

A.

則稱事件A與事件B相等,記作A=B.3.互不相容(互斥)關(guān)系若事件A、B不可能同時(shí)發(fā)生，則稱事件A與B互不相容.實(shí)例1:

拋擲一枚硬幣,“出現(xiàn)花面”與“出現(xiàn)字面”是互不相容的兩個(gè)事件.31“骰子出現(xiàn)1點(diǎn)”“骰子出現(xiàn)2點(diǎn)”圖示A與B互斥

AB互斥實(shí)例2:拋擲一枚骰子,觀察出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù).即AB=321.事件的和(并)實(shí)例

某種產(chǎn)品的合格與否是由該產(chǎn)品的長(zhǎng)度與直徑是否合格所決定,因此“產(chǎn)品不合格”是“長(zhǎng)度不合格”與“直徑不合格”的并.圖示事件

A與

B的并.

BA二、隨機(jī)事件間的運(yùn)算332.事件的交

(積)推廣34圖示事件A與B

的積事件.

ABAB實(shí)例某種產(chǎn)品的合格與否是由該產(chǎn)品的長(zhǎng)度與直徑是否合格所決定,因此“產(chǎn)品合格”是“長(zhǎng)度合格”與“直徑合格”的交或積事件.35和事件與積事件的運(yùn)算性質(zhì)363.事件的差圖示A與B的差

AB

B實(shí)例“長(zhǎng)度合格但直徑不合格”是“長(zhǎng)度合格”與“直徑合格”的差.A事件“A出現(xiàn)而B(niǎo)不出現(xiàn)”，稱為事件A與B的差.記作A-B.37若事件A、B滿足則稱A與B為互逆(或?qū)α?事件.A的逆記作實(shí)例

“骰子出現(xiàn)1點(diǎn)”“骰子不出現(xiàn)1點(diǎn)”圖示A與B的對(duì)立.

BA4.事件的互逆（對(duì)立）對(duì)立38對(duì)立事件與互斥事件的區(qū)別

ABABA、B對(duì)立A、B互斥互斥對(duì)

立39例1設(shè)A,B,C表示三個(gè)隨機(jī)事件,試將下列事件用A,B,C表示出來(lái).(1)A出現(xiàn),B,C不出現(xiàn);(5)三個(gè)事件都不出現(xiàn);(2)A,B都出現(xiàn),C不出現(xiàn);(3)三個(gè)事件都出現(xiàn);(4)三個(gè)事件至少有一個(gè)出現(xiàn);40解(6)不多于一個(gè)事件出現(xiàn);41事件間的運(yùn)算規(guī)律42逆分配律43例3

化簡(jiǎn)事件解：

原式44例4

在圖書(shū)館中隨意抽取一本書(shū)，表示數(shù)學(xué)書(shū)，表示中文書(shū)，表示平裝書(shū).——抽取的是精裝中文版數(shù)學(xué)書(shū)——精裝書(shū)都是中文書(shū)——非數(shù)學(xué)書(shū)都是中文版的，且中文版的書(shū)都是非數(shù)學(xué)書(shū)則：事件451、注意下列基本關(guān)系：基本事件互不相容，基本事件之并=Ω

三、小結(jié)4647

2、概率論與集合論之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系記號(hào)概率論集合論樣本空間,必然事件不可能事件基本事件隨機(jī)事件A的對(duì)立事件A出現(xiàn)必然導(dǎo)致B出現(xiàn)事件A與事件B相等全集空集元素子集A的補(bǔ)集A是B的子集A集合與B集合相等48事件A與事件B的差A(yù)與B兩集合的差集事件A與B互不相容A與B兩集合中沒(méi)有相同的元素事件A與事件B的和A集合與B集合的并集事件A與B的積事件

A集合與B集合的交集491.若A是B的子事件，則

A

B=()，AB=()2.設(shè)

A與B同時(shí)出現(xiàn)時(shí)

C也出現(xiàn)，則(

)

①

A

B是

C的子事件；

②

C是

A

B的子事件；

③

AB是

C的子事件；

④

C是

AB的子事件.課堂練習(xí)③BA50

3.

設(shè)事件A=“甲種產(chǎn)品暢銷，乙種產(chǎn)品滯銷”，則A的對(duì)立事件為（）①甲種產(chǎn)品滯銷，乙種產(chǎn)品暢銷；②甲、乙兩種產(chǎn)品均暢銷；③甲種產(chǎn)品滯銷；④甲種產(chǎn)品滯銷或者乙種產(chǎn)品暢銷.4.設(shè)x

表示一個(gè)沿?cái)?shù)軸做隨機(jī)運(yùn)動(dòng)的質(zhì)點(diǎn)位置，試說(shuō)明下列各對(duì)事件間的關(guān)系①A={|x

a|＜σ}，B={x

a＜σ}②A={x＞20}，B={x≤22}③A={x＞22}，B={x＜19}④A

B相容不相容51第三節(jié)頻率與概率歷史上概率的三次定義③公理化定義②統(tǒng)計(jì)定義①古典定義概率的最初定義基于頻率的定義1930年后由前蘇聯(lián)數(shù)學(xué)家柯?tīng)柲缏宸蚪o出52

柯?tīng)柲缏宸?/p>

(A.H.Колмогоров1903-1987)

1939年任蘇聯(lián)科學(xué)院院士.先后當(dāng)選美,法,意,荷,英,德等國(guó)的外籍院士及皇家學(xué)會(huì)會(huì)員.為20世紀(jì)最有影響的俄國(guó)數(shù)學(xué)家.俄國(guó)數(shù)學(xué)家53一.頻率的定義與性質(zhì)描述一個(gè)隨機(jī)事件發(fā)生的頻繁程度1.頻率定義在相同的條件下，進(jìn)行了

n次重復(fù)試驗(yàn)，記

nA

是A

發(fā)生的次數(shù)(又稱為頻數(shù))；則定義隨機(jī)事件

A發(fā)生的頻率為

fn(A)=——。

nA

n542.

頻率的性質(zhì)

(1)(非負(fù)有界)0≤fn(A)≤1;(2)(規(guī)范性)

fn(S)=1;(3)(有限可加)

如果A1，A2，···，Am

兩兩互不相容，則有：

fn(A1＋A2＋···＋Am)=fn(A1)＋fn(A2)＋···＋fn(Am)55實(shí)例將一枚硬幣拋擲5次、50次、500次,各做

7遍,觀察正面出現(xiàn)的次數(shù)及頻率.試驗(yàn)序號(hào)12345672315124222521252418272512492562472512622580.40.60.21.00.20.40.80.440.500.420.480.360.540.5020.4980.5120.4940.5240.5160.500.502波動(dòng)最小隨n的增大,頻率

f呈現(xiàn)出穩(wěn)定性56(1)

頻率具有隨機(jī)波動(dòng)性，即對(duì)于同一個(gè)隨機(jī)事件來(lái)說(shuō)，在相同的試驗(yàn)次數(shù)下，得到的頻率也不一定會(huì)相同。(2)

頻率還具有穩(wěn)定性，它總是在某一個(gè)具體數(shù)值附近波動(dòng)，而隨著試驗(yàn)次數(shù)的不斷增加，頻率的波動(dòng)會(huì)越來(lái)越小，逐漸穩(wěn)定在這個(gè)數(shù)值。大量的隨機(jī)試驗(yàn)表明：頻率的這種穩(wěn)定性表明了隨機(jī)現(xiàn)象也具有規(guī)律性，稱為是統(tǒng)計(jì)規(guī)律(大量試驗(yàn)下體現(xiàn)出來(lái)的規(guī)律)。57

概率的統(tǒng)計(jì)定義在相同條件下重復(fù)進(jìn)行的n

次試驗(yàn)中,事件A

發(fā)生的頻率穩(wěn)定地在某一常數(shù)p附近擺動(dòng),

且隨n越大擺動(dòng)幅度越小,則稱p為事件A

的概率,記作P(A).對(duì)本定義的評(píng)價(jià)優(yōu)點(diǎn)：直觀易懂缺點(diǎn)：粗糙模糊不便使用二.概率的定義581.定義:

S

是隨機(jī)試驗(yàn)E

的樣本空間，如果對(duì)于

每一個(gè)隨機(jī)事件

A

定義一個(gè)實(shí)數(shù)

P(A)，滿足：(1)

(非負(fù)性)對(duì)任意的隨機(jī)事件

A，有P(A)≥0；(2)

(規(guī)范性)對(duì)必然事件

S，有P(S)=1；(3)(可列可加)

對(duì)于任意一列兩兩不相容的隨機(jī)事件

A1，A2，···，則有：

P

(A1＋A2＋···)=P

(A1)＋P

(A2)＋···則這個(gè)集合函數(shù)

P(A)

就稱為隨機(jī)事件

A

的概率。

概率的公理化定義59(1)

不可能事件的概率為零：P

(

)=0；(2)

有限可加性：對(duì)于任意有限個(gè)兩兩不相容的隨機(jī)事件

A1，···，Am，則有：

P

(A1＋···

＋Am)=P

(A1)＋···

＋P

(Am)；(3)

概率具有單調(diào)性：如果A

B，則P

(A

)≤P

(B

)；(4)隨機(jī)事件的概率不超過(guò)1：P

(A

)≤1。2.概率的基本性質(zhì)證明：利用概率定義中的可列可加以及非負(fù)性等。60三.概率的幾個(gè)重要公式1.對(duì)立事件的概率，P

()=1–P

(A

)。2.減法公式，P

(B–A)=P

(B

)–P

(AB

)。3.加法公式，P

(A∪B

)=P

(A

)+P

(B

)–P

(AB

)。推論：P

(A∪B

)≤

P

(A

)+P

(B

)特別的當(dāng)A

B，則P(B–A)=P(B)–P(A)61推廣一般的加法公式對(duì)于任意的n

個(gè)隨機(jī)事件A1，A2，···，An

，有

P

(A1∪A2∪···∪An)=練習(xí)：利用概率的加法公式證明：P

(A∪B∪C

)=P

(A)+P

(B)+P

(C)–P

(AB)–P

(BC)–P

(AC)+P

(ABC)62例1：假定“B

發(fā)生而A

不發(fā)生”

的概率是0.2，計(jì)算“A

發(fā)生或者B

不發(fā)生”的概率。分析：轉(zhuǎn)化成符號(hào)表示，即已知P

(B–A)=0.2，需要計(jì)算的是概率：解法1.利用對(duì)立事件的概率公式解法2.利用概率的加法公式□63例2

：假定

P(A)=0.3，P(B)=0.5，分別計(jì)算(1)

A、B

不相容；(2)

A

B；(3)P(A∪B)=0.7時(shí)，概率P(B–

A)的值。

分析：由減法公式，P

(B–A)=P

(B

)–P

(AB

)

只需要計(jì)算出概率P(AB)。(1)

A、B互不相容即AB=

，得到

P

(B–A)=0.5；(2)A

B等價(jià)于AB=A，得到P(B–A)=0.2；(3)利用加法公式的另一形式：

P(A∪B)=P(A)+P(B–A)，得到P(B–A)=0.4。64例3

假定

P(A)=0.6，P(B)=0.7，

(1)什么情況下

P(AB)最大？最大值是多少？

(2)什么情況下P(AB)最?。孔钚≈涤质嵌嗌?？解：(1)

對(duì)任意事件

A、B，P(AB)有一個(gè)上界，

P(AB)≤

min{P(A)，P(B)}；

(2)

根據(jù)概率的加法公式，

P

(A∪B

)=P

(A

)+P

(B

)–P

(AB

)

當(dāng)

P(A∪B

)最大時(shí)，P(AB)

最小。A

B時(shí)P(AB)最大，最大值就等于P(A)=0.6A∪B=S

時(shí)P(AB)最小，最小值就是P(AB)=0.365例4：假定某學(xué)院一年級(jí)新生共1000人都參加期末

3門課程(數(shù)學(xué)、英語(yǔ)、政治)考試。已知數(shù)據(jù)如下：?jiǎn)柸T課程都不及格的有多少人？或者等價(jià)的，全部課程都不及格的學(xué)生占多大的比例？730690810數(shù)學(xué)780英語(yǔ)850政治940100065066分析：從這1000個(gè)學(xué)生中隨機(jī)地選取一個(gè)，分別用A、B、C表示如下事件：

A={數(shù)學(xué)及格}，B={英語(yǔ)及格}，C={政治及格}

需要求出的是概率：根據(jù)題意，有：

P(A)=0.78,P(B)=0.85,P(C)=0.94,P(AB)=0.73,P(AC)=0.69,P(BC)=0.81,P(ABC)=0.65;

利用概率的加法公式可算出P

(A∪B∪C

)=0.99，因此隨機(jī)選一個(gè)學(xué)生，他的三門課程都不及格的概率=1–P

(A∪B∪C

)=0.0167例5：小王參加“智力大沖浪”游戲,他能答出甲、乙二類問(wèn)題的概率分別為0.7和0.2,

兩類問(wèn)題都能答出的概率為0.1.求小王解：事件A,B分別表示“能答出甲,乙類問(wèn)題”(1)(1)答出甲類而答不出乙類問(wèn)題的概率

(2)至少有一類問(wèn)題能答出的概率

(3)兩類問(wèn)題都答不出的概率(2)(3)68第四節(jié)等可能概型

(古典概型)一.等可能概型

(古典概型)的定義如果一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)

E

滿足：(1)試驗(yàn)的樣本空間

S只包含有限個(gè)樣本點(diǎn)，(2)

每一個(gè)樣本點(diǎn)發(fā)生的可能性相同。這種隨機(jī)試驗(yàn)就稱為等可能概型，或古典概型。古典概率的計(jì)算公式P(A)=———————————————隨機(jī)事件A包含的樣本點(diǎn)個(gè)數(shù)樣本空間S包含的樣本點(diǎn)總數(shù)69例1：拋一枚均勻硬幣三次，計(jì)算P{恰好出現(xiàn)一次正面

}。提示：這里有兩種構(gòu)造樣本空間的形式，①以隨機(jī)試驗(yàn)的全部結(jié)果構(gòu)造

S1={HHH，HHT，HTH，HTT，THH，

THT，TTH，TTT}

因此P(A)=3/8；古典概型問(wèn)題中，樣本空間的構(gòu)造必須保證其中的每個(gè)樣本點(diǎn)發(fā)生的可能性都相同。此解法不正確，因?yàn)楦骰臼录l(fā)生的可能性不等。②以正面出現(xiàn)的次數(shù)構(gòu)造

S2={0，1，2，3}因此P(A)=1/4。701.加法原理與乘法原理假設(shè)做一件事情可以采用A

或B

兩類不同的方式，A方式有n

種不同的方法可以完成這件事，B

方式有m

種不同的方法可以完成這件事，則完成這件事情一共有n＋m

種不同的方法。如果有若干類方式，就把所有方式的各種方法全部相加二.排列組合的有關(guān)知識(shí)加法原理71則從甲城市到乙城市一共有：2＋4＋3=9條線路

：2

：4

：3城市甲城市乙例2：分析兩顆均勻骰子拋擲出的點(diǎn)數(shù)和{2，3，…，12}的全部情況，它們各自對(duì)應(yīng)多少個(gè)樣本點(diǎn)？72假設(shè)做一件事必須經(jīng)過(guò)A

與B

兩個(gè)不同的步驟，步驟A包含了n

種不同的方法，步驟B包含了m

種不同的方法，則完成這件事情一共有n×m

種不同的方法。如果有若干個(gè)步驟，就把所有步驟的各種方法全部相乘乘法原理73

：2

：4

：3城市甲城市乙鄉(xiāng)村丙

2

3從甲城市到丙鄉(xiāng)村的線路一共有：9×(3＋2)條。74從

n

個(gè)不同的物體中，無(wú)放回地任意取出

m

個(gè)(1≤

m

≤

n)排成有順序的一列，稱為

n

取

m

的不可重復(fù)排列

(又稱為：選排列

)

。(1)不可重復(fù)的排列2.基本的排列組合公式不同的排列方法一共有：

Pnm=n×(n–1)×…×(n–m+1)=————例如：從26個(gè)英文字母中任取2個(gè)字母排列，所有不同的方式一共有P262=26×25=650。

n!(n–m)!75思考1：假定40個(gè)人的生日都是隨機(jī)地分布在一年的365

天中，則“沒(méi)有兩個(gè)人的生日相同”所包含的不同排列方式一共有P36540

。

把m

個(gè)不同的小球隨機(jī)地放進(jìn)n個(gè)不同的盒子中，每個(gè)盒子里的小球最多只能有一個(gè)。所有不同的放法一共有Pnm

種。有限制放球模型

不可重復(fù)排列76(2)可重復(fù)的排列從n個(gè)不同元素中允許放回地任意取m個(gè)出來(lái)排成有順序的一列(即取出的這些元素可以相同)。所有不同的排列方式一共有

n×n×…×n=nmm例如，一個(gè)城市的電話號(hào)碼是

8位數(shù)字，那么理論上這個(gè)城市可以容納

108

，即一億個(gè)電話。足球彩票有313種可能，可能等等。77無(wú)限制放球模型

允許重復(fù)排列把m

個(gè)不同的小球隨機(jī)地放進(jìn)n個(gè)不同的盒子中，每個(gè)盒子里的小球個(gè)數(shù)不加任何限制。所有不同的放法一共有nm

種。思考2：假定40個(gè)人的生日都是隨機(jī)地分布在一年的365

天中，則所有不同的排列方式一共有36540

。

78(3)二項(xiàng)式組合從n個(gè)不同元素中不允許放回，任意取m個(gè)(

m

≤

n)來(lái)構(gòu)成一個(gè)集合，稱為

n

取

m

的組合。構(gòu)成這個(gè)集合的不同的組合方法一共有Cnm

。幾個(gè)基本的組合公式：

Cnm=Cnn–m

，Cn0=Cnn=1，

Cnm=——————=——

n!Pnmm!(n–m)!m!79例4：某人的

10張100元紙幣中有

3張假鈔，現(xiàn)在從中隨機(jī)抽出

4張。

則所有不同的取法一共有：

恰好只取出一張假鈔的所有取法共有：C104=——————=210種，C31×C73=3×————=105種，恰好只取出一張假鈔的概率為105/210=0.5，同理，取到的全是真幣的概率為35/210=1/6。思考3：假如這是一個(gè)賭局。當(dāng)取到的4張都是真幣，則歸你所有；否則輸100元。你是否愿意參加？

10×9×8×74!

7×6×53!80例如，把15個(gè)學(xué)生平均分到3個(gè)班里，每班

5個(gè)，則所有不同的分配方案有：__________(4)多項(xiàng)式組合把n

個(gè)不同的元素分成k個(gè)部分，各個(gè)部分包含的元素個(gè)數(shù)分別是：m1，m2，…，mk

；則全部不同的分配方式一共有：二項(xiàng)式組合的推廣

15!5!×5!×5!81(2)介紹的4種排列組合方式都具有等可能性。Remark(1)排列與組合的區(qū)別在于：

排列必須考慮順序，而組合不考慮順序。(3)排列與組合都可以用來(lái)構(gòu)造樣本空間。古典概率的計(jì)算，一般是先求出樣本空間里的樣本點(diǎn)總數(shù)，再?gòu)闹刑暨x出隨機(jī)事件包含的樣本點(diǎn)個(gè)數(shù)。一個(gè)接一個(gè)?。号帕?；一次取若干個(gè)：組合82三.古典概率的一些典型模型例5

：在

N

件產(chǎn)品中包含了

M

件次品，分別采取無(wú)放回與有放回這兩種抽樣方式從中隨機(jī)取出

n

件產(chǎn)品，求恰好取出了

k

件次品的概率。解.①(無(wú)放回抽樣的情況)

把所有的產(chǎn)品編號(hào)，樣本空間構(gòu)造成：從N

件不同產(chǎn)品中同時(shí)取出n

件產(chǎn)品的所有的二項(xiàng)組合方式；因此，樣本空間里的樣本點(diǎn)總數(shù)一共有CNn

。1.隨機(jī)抽樣模型83利用乘法原理，“取出的n

件產(chǎn)品中包含了

k

件次品”這個(gè)隨機(jī)事件的討論分解成兩個(gè)步驟：因此，無(wú)放回抽樣時(shí)恰好取出k

件次品的概率為：概率論中稱為是超幾何分布的概率公式M

件次品中取

k

個(gè)次品CMkN–M

件合格品取出n–k

件CN–M

n–k84②

(有放回抽樣的情況)

仍然把所有產(chǎn)品編號(hào)，樣本空間構(gòu)造為：一個(gè)接一個(gè)從

N件產(chǎn)品中取出n件產(chǎn)品的所有不同的有放回排列方式；此時(shí)，樣本空間中的樣本點(diǎn)總數(shù)一共有Nn

個(gè)。取出的

n

個(gè)產(chǎn)品中究竟哪

k

個(gè)是次品CnkM

件次品中取

k

個(gè)次品

M

kN–M

件合格品取出n–k

件(N–M)

n–k因此，有放回抽樣時(shí)恰好取出k

件次品的概率為：概率論中稱為是二項(xiàng)分布的概率公式85購(gòu)買彩票的“秘訣”從1~35個(gè)號(hào)碼中隨機(jī)抽取7個(gè)號(hào)碼，全部可能一共有：C357=6,724,520奇數(shù)號(hào)碼與偶數(shù)號(hào)碼之比：

5:2=C185×C1724:3=C184×C1733:4=C183×C174

0.17330.30940.288886每個(gè)盒里最多一個(gè)小球，即有限制的放球模型，包含的樣本點(diǎn)個(gè)數(shù)是PNn

個(gè)。例6：把

n

個(gè)小球隨機(jī)放進(jìn)

N(n

≤

N)個(gè)盒子里，即每個(gè)小球都以同樣的概率

1/N

落入某個(gè)盒子中。計(jì)算每個(gè)盒子里最多只有一個(gè)小球的概率。解.由于每個(gè)小球都可以被放進(jìn)N

個(gè)盒子中的任何一個(gè)，因此根據(jù)無(wú)限制的放球模型，樣本空間中包含的樣本點(diǎn)總數(shù)有Nn個(gè)；2.隨機(jī)分配模型

PNn

Nn因此，每個(gè)盒子最多一個(gè)小球的概率是

p=——。87生日問(wèn)題

假定每個(gè)人的生日在一年

365天里是等可能的，隨機(jī)挑選

n(n

≤365)個(gè)人，那么至少有兩個(gè)人的生日相同的概率是：p=1–———n20233040506480100p0.4110.5070.7060.8910.9700.9970.9990.9999997

P365n

365

n分房問(wèn)題88解.對(duì)復(fù)雜隨機(jī)事件的概率，討論它的對(duì)立事件例7

一顆骰子擲

4次至少得到一個(gè)六點(diǎn)與兩顆骰子擲

24次至少得到一個(gè)雙六，哪一種情況更容易出現(xiàn)？3.德·梅爾問(wèn)題“一顆骰子擲

4次”一共有64種可能情況，其中，“一個(gè)六點(diǎn)都沒(méi)有出現(xiàn)”包含了54種；因此，一顆拋4次至少一個(gè)六點(diǎn)的概率為：p1=1–——≈0.52；

54

6489同理，“兩顆骰子擲

24次”一共有3624種可能，其中，“一個(gè)雙六都沒(méi)有出現(xiàn)”包含了3524種；因此，兩顆拋24次至少一個(gè)雙六的概率為：即，更可能的是一顆拋4次至少出現(xiàn)一個(gè)六點(diǎn)。思考4

拋擲兩顆骰子，最可能出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)和是哪一個(gè)？p2=1–———≈0.49

35

24

36

24901、n個(gè)人圍一圓桌坐，求甲、乙兩人相鄰而坐的概率.解：考慮甲先坐好，則乙有n-1個(gè)位置可坐，而“甲乙相鄰”只有兩種情況，所以P(A)=2/(n-1)。課堂練習(xí)912、n個(gè)人坐成一排，求甲、乙兩人相鄰而坐的概率.(注意：請(qǐng)與上一題作比較)解：

1)先考慮樣本空間的樣本點(diǎn)數(shù)：甲先坐、乙后坐，則共有n(n

1)種可能.2)甲在兩端，則乙與甲相鄰共有2種可能.3)甲在中間(n

2)個(gè)位置上，則乙左右都可坐，所以共有2(n

2)種可能。由此得所求概率為：923、

將

15名新生隨機(jī)地平均分配到三個(gè)班級(jí)中去,這15名新生中有3名是優(yōu)秀生.問(wèn)(1)每一個(gè)班級(jí)各分配到一名優(yōu)秀生的概率是多少?(2)3名優(yōu)秀生分配在同一個(gè)班級(jí)的概率是多少?解15名新生平均分配到三個(gè)班級(jí)中的分法總數(shù):(1)每一個(gè)班級(jí)各分配到一名優(yōu)秀生的分法共有93因此所求概率為(2)將3名優(yōu)秀生分配在同一個(gè)班級(jí)的分法共有3種,對(duì)于每一種分法,其余12名新生的分法有因此3名優(yōu)秀生分配在同一個(gè)班級(jí)的分法共有因此所求概率為944、某接待站在某一周曾接待過(guò)12次來(lái)訪,已知所有這12次接待都是在周二和周四進(jìn)行的,問(wèn)是否可以推斷接待時(shí)間是有規(guī)定的.

假設(shè)接待站的接待時(shí)間沒(méi)有規(guī)定,且各來(lái)訪者在一周的任一天中去接待站是等可能的.解周一周二周三周四周五周六周日12341277777故一周內(nèi)接待12次來(lái)訪共有95小概率事件在實(shí)際中幾乎是不可能發(fā)生的,從而可知接待時(shí)間是有規(guī)定的.周一周二周三周四周五周六周日周二周四12341222222

12次接待都是在周二和周四進(jìn)行的共有故12次接待都是在周二和周四進(jìn)行的概率為96

5（分房問(wèn)題）有n個(gè)人，每個(gè)人都以同樣的概率1/N被分配在間房中的每一間中，試求下列各事件的概率：(1)某指定間房中各有一人

;(2)恰有間房，其中各有一人；

(3)某指定一間房中恰有人。

解先求樣本空間中所含樣本點(diǎn)的個(gè)數(shù)。首先，把n個(gè)人分到N間房中去共有種分法，其次，求每種情形下事件所含的樣本點(diǎn)個(gè)數(shù)。97(2)恰有n間房中各有一人，所有可能的分法為

(1)某指定n間房中各有一人，所含樣本點(diǎn)的個(gè)數(shù)，即可能的的分法為

(3)某指一間房中恰有m人，可能的分法為

進(jìn)而我們可以得到三種情形下事件的概率，其分別為

:（1）

（2）

（3）

98引例袋中有7只白球,3只紅球,白球中有4只木球,3只塑料球;紅球中有2只木球,1只塑料球.

現(xiàn)從袋中任取1球,假設(shè)每個(gè)球被取到的可能性相同.

若已知取到的球是白球,問(wèn)它是木球的概率是多少？設(shè)

A

表示任取一球，取得白球；

B

表示任取一球，取得木球.古典概型第五節(jié)條件概率一.條件概率的定義99所求的概率稱為在事件A

發(fā)生的條件下事件B

發(fā)生的條件概率。記為解

列表白球紅球小計(jì)木球426塑球314小計(jì)7310同除10100設(shè)A、B為兩事件,P(A)>0,則1.定義從而有稱

為事件

A

發(fā)生的條件下事件

B

發(fā)生的條件概率，記為:101注：條件概率也是概率,故具有概率的性質(zhì)：

非負(fù)性

歸一性

可列可加性

102（1）古典概型

可用縮減樣本空間法（2）非古典概型

用定義與有關(guān)公式條件概率的計(jì)算方法103例1

某種動(dòng)物由出生算起活20歲以上的概率為0.8,活到25歲以上的概率為0.4,如果現(xiàn)在有一個(gè)20歲的這種動(dòng)物,問(wèn)它能活到25歲以上的概率是多少?

設(shè)A表示“能活20歲以上”的事件;B表示“能活25歲以上”的事件,則有解104

10個(gè)產(chǎn)品中有7個(gè)正品、3個(gè)次品，從中不放回地抽取兩個(gè)，已知第一個(gè)取到次品，求第二個(gè)又取到次品的概率.

P(B|A)=P(AB)/P(A)=(1/15)/(3/10)=2/9解：設(shè)A={第一個(gè)取到次品}，

B={第二個(gè)取到次品}，例2用縮小樣本空間的思想也可得到答案105條件概率與無(wú)條件概率之間的大小無(wú)確定關(guān)系若一般地條件概率無(wú)條件概率1062.乘法公式(計(jì)算隨機(jī)事件交事件概率的公式)乘法公式

如果

P(A)

＞

0，則有

P(AB)=P(A)

P(B|A)一般的乘法公式

設(shè)A1

，A2

，…，An

是任意的n

個(gè)隨機(jī)事件，并且P(A1A2…An)＞0

，則有：

P(A1A2…An)=P(A1)×P(A2|

A1)×P(A3

|A1A2)×…×P(An－1

|

A1A2…An－2)×P(An

|

A1A2…An－1)相應(yīng)地

如果

P(B)

＞

0，則有

P(AB)=P(B)

P(A|B)107例3、

假定

盒中有1個(gè)黑球與

n–1個(gè)白球，

n

個(gè)人依次各取一個(gè)小球，問(wèn)第

k(1≤

k

≤

n)

個(gè)人取到這個(gè)黑球的概率是多少？

第一種解法：古典概型的理論。不妨把黑球編成

1號(hào)，其余白球依次為2，…，n。所有

n

個(gè)人的全部取球方式有

n!

種，而第

k個(gè)人取到黑球則有(n–1)!種情況，因此，所求的概率與k

無(wú)關(guān)，為1/n

。抽簽結(jié)果與抽簽順序無(wú)關(guān)第二種解法：利用乘法公式求解。108P{第一個(gè)人取到黑球}=1/n

；P{第二個(gè)人取到黑球}=P{(第一個(gè)人取到白球)∩(第二個(gè)人取到黑球)}=P(第一個(gè)人取到白球)

×P{(第二個(gè)人取到黑球)|(第一個(gè)人取到白球)}=——×——=—同理，第三個(gè)人取到黑球的概率是：——×——×——=—；n–111

n

n–1nn–1n–211

n

n–1n–2n109

······

對(duì)于任意第k

個(gè)人的情況，利用若干個(gè)隨機(jī)事件交事件的乘法公式，他取到黑球的概率仍然是：實(shí)際上，如果有m

個(gè)黑球，n–m個(gè)白球，n

個(gè)人依次無(wú)放回各取走一個(gè)小球。則任意的第k

個(gè)取到黑球的概率就是m/n

，與k

無(wú)關(guān)(證明要用到全概率公式)。n–1n–2n–

k+111

n

n–1n–

k+2n–

k+1n——×——×…×————×————=—。110二.全概率公式與Bayes(貝葉斯)公式1.樣本空間

S

的劃分(或完備事件組)樣本空間也可以被劃分成無(wú)窮多個(gè)隨機(jī)事件的和定義：如果隨機(jī)事件A1，A2，…，An

滿足：

(1)Ai∩Aj=

,對(duì)所有的

i

≠

j

；

(2)A1∪A2∪…∪An=S.

則稱A1，A2，…，An

是樣本空間S

的一個(gè)劃分。思考

A–

B、B–

A、AB、是否構(gòu)成S

的一個(gè)劃分。

1112.全概率公式與貝葉斯公式對(duì)任意的

m≥1，有：假定隨機(jī)事件組A1，…，An

是樣本空間S

的一個(gè)劃分，B

是任意的一個(gè)隨機(jī)事件，則：全概率公式貝葉斯公式這兩個(gè)公式也適用于對(duì)樣本空間的無(wú)窮劃分112圖示證明:化整為零各個(gè)擊破113全概率公式貝葉斯公式若干原因結(jié)果如果把隨機(jī)事件B

看成是結(jié)果，隨機(jī)事件組A1，…，An

看成可能導(dǎo)致結(jié)果B

發(fā)生的若干原因，貝葉斯公式在決策理論中有重要應(yīng)用：不斷地根據(jù)新得到的信息來(lái)修正原來(lái)的觀點(diǎn)。114例4產(chǎn)品使用的元件由三個(gè)工廠提供，數(shù)據(jù)如下：廠家次品率所占份額甲廠0.020.15乙廠0.010.80丙廠0.030.05(1)隨機(jī)從倉(cāng)庫(kù)取一件，求取到次品的概率；(2)如果取到次品，最可能是來(lái)自哪個(gè)工廠的產(chǎn)品？最不可能的又是哪個(gè)工廠的？解.以A、B、C

分別表示取到的這個(gè)元件來(lái)自工廠甲、乙、丙，D表示這個(gè)元件是次品。因此已知：

P(A)=0.15,P(B)=0.8,P(C)=0.05;P(D|A)=0.02,P(D|B)=0.01,P(D|C)=0.03.115(2)根據(jù)Bayes公式，

P(A|D)=——————=—————=0.24，同理，P(B|D)=0.64，P(C|D)=0.12。這個(gè)次品最有可能是乙廠，最不可能是丙廠的。(1)根據(jù)全概率公式，P(D)=P(A)P(D|A)+P(B)P(D|B)+P(C)P(D|C)=0.15×0.02+0.8×0.01+0.05×0.03=0.0125；所求的兩個(gè)問(wèn)題既為:需要求出P(D)，以及比較三個(gè)條件概率：P(A|D)，P(B|D)，P(C|D)的大小。P(A)P(D|A)0.15×0.02

P(D)0.0125116“先驗(yàn)概率”與“后驗(yàn)概率”先驗(yàn)概率：過(guò)去經(jīng)驗(yàn)或知識(shí)后驗(yàn)概率：有新的信息以后對(duì)過(guò)去認(rèn)識(shí)的修正廠家次品率所占份額條件概率甲廠0.020.150.24乙廠0.010.800.64