2021-2022學(xué)年江蘇省無錫市江陰市第一中學(xué)高一上學(xué)期12月階段性檢測數(shù)學(xué)試題

20212022學(xué)年江蘇省無錫市江陰市第一中學(xué)高一上學(xué)期12月階段性檢測數(shù)學(xué)試題一、單選題1．若角的終邊經(jīng)過點(diǎn)，則等于（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】直接利用任意角的三角函數(shù)定義求解.【詳解】角的終邊經(jīng)過點(diǎn),,,故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查了三角函數(shù)的定義,屬于基礎(chǔ)題.2．已知，，，則a、b、c的大小關(guān)系為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】利用指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)的知識判斷出a、b、c的范圍即可.【詳解】因?yàn)?，，所以故選：A3．下列四個(gè)函數(shù)中，以為最小正周期且在區(qū)間上單調(diào)遞增的函數(shù)是（）A． B． C． D．【答案】C【解析】根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)依次求出周期和判斷單調(diào)性即可.【詳解】對于A，的最小正周期為，在區(qū)間有增有減，故A錯(cuò)誤；對于B，的最小正周期為，故B錯(cuò)誤；對于C，的最小正周期為，在區(qū)間上單調(diào)遞增，故C正確；對于D，的最小正周期為，故D錯(cuò)誤.故選：C.4．已知函數(shù)在區(qū)間上有唯一零點(diǎn)，則正整數(shù)（

）A．7 B．8 C．9 D．10【答案】C【解析】根據(jù)零點(diǎn)存在性定理即可求解.【詳解】解：在上單調(diào)遞減，故最多有一個(gè)零點(diǎn)，函數(shù)在區(qū)間上有唯一零點(diǎn)，，，，故函數(shù)在區(qū)間上有唯一零點(diǎn)，故，故選：C.a%，第二次降價(jià)b%；乙平臺兩次都降價(jià)%（其中），則兩個(gè)平臺的降價(jià)力度（）A．甲大 B．乙大 C．一樣大 D．大小不能確定【答案】A【解析】根據(jù)題意可分別得出甲、乙兩次降價(jià)后的售價(jià)的表達(dá)式，并進(jìn)行計(jì)算，再結(jié)合基本不等式比較大小即可．【詳解】設(shè)原價(jià)是x，那么甲平臺兩次降價(jià)后的售價(jià)＝（1﹣a%）（1﹣b%）x；乙平臺兩次降價(jià)后的售價(jià)＝（1%）2x；而（1﹣a%）（1﹣b%）xxx；（1%）2xx，∵（a+b）2≥4ab，(當(dāng)且僅當(dāng)是等號成立)，又，∴乙＞甲．即乙的售價(jià)高，甲降價(jià)幅度大，故選：A．6．我國著名數(shù)學(xué)家華羅庚先生曾說，數(shù)缺形時(shí)少直觀，形缺數(shù)時(shí)難入微，數(shù)形結(jié)合百般好，隔裂分家萬事休.在數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)和研究中，經(jīng)常用函數(shù)的圖象研究函數(shù)的性質(zhì).現(xiàn)有四個(gè)函數(shù):①y=x|sinx|，②y=x2cosx，③y=x·ex;④的圖象(部分)如下，但順序被打亂，則按照從左到右將圖象對應(yīng)的函數(shù)序號安排正確的一組是（

）.A．①②③④ B．①③②④ C．②①③④ D．③②①④【答案】D【分析】利用函數(shù)的奇偶性定義判斷函數(shù)的對稱性、區(qū)間符號及是否成立，判斷各函數(shù)對應(yīng)的圖象即可.【詳解】①由且定義域?yàn)镽，故為奇函數(shù)且，第三個(gè)圖象符合要求；②由且定義域?yàn)镽，故為偶函數(shù)，第二個(gè)圖象符合要求；③對于在上恒正且，第一個(gè)圖象符合要求；④對于，由對勾函數(shù)的性質(zhì)，在上恒正且圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，第四個(gè)圖象符合要求.綜上，序號安排為③②①④.故選：D7．新冠肺炎疫情是新中國成立以來在我國發(fā)生的傳播速度最快、感染范圍最廣、防控難度最大的一次重大突發(fā)公共衛(wèi)生事件.在新冠肺炎疫情初始階段，可以用指數(shù)模型：描述累計(jì)感染病例數(shù)隨時(shí)間（單位：天）的變化規(guī)律，其中指數(shù)增長率，據(jù)此，在新冠肺炎疫情初始階段，累計(jì)感染病例數(shù)擴(kuò)大到原來的10倍需要的時(shí)間約為（）（

）A．4天 B．6天 C．8天 D．10天【答案】B【解析】設(shè)所需時(shí)間為，可得，解出即可.【詳解】設(shè)所需時(shí)間為，則，則，，.故選：B.8．已知函數(shù)，若函數(shù)，且函數(shù)有6個(gè)零點(diǎn)，則非零實(shí)數(shù)的取值范圍是A． B．C． D．【答案】C【解析】作出函數(shù)的圖像，原問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)與共有6個(gè)交點(diǎn)，等價(jià)于與有三個(gè)交點(diǎn)，結(jié)合圖像得出其范圍.【詳解】解：作出函數(shù)的圖像如下：數(shù)，且函數(shù)有6個(gè)零點(diǎn)等價(jià)于有6個(gè)解，等價(jià)于或共有6個(gè)解等價(jià)于函數(shù)與共有6個(gè)交點(diǎn)，由圖可得與有三個(gè)交點(diǎn)，所以與有三個(gè)交點(diǎn)則直線應(yīng)位于之間，所以故選：C.【點(diǎn)睛】根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)的情況求參數(shù)有三種常用方法：（1）直接法：直接根據(jù)題設(shè)條件構(gòu)建關(guān)于參數(shù)的不等式，再通過解不等式確定參數(shù)范圍；（2）分離參數(shù)法：先將參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)值域問題加以解決；（2）數(shù)形結(jié)合法：先對解析式變形，在同一平面直角坐標(biāo)系中畫出函數(shù)的圖象，然后數(shù)形結(jié)合求解.二、多選題9．下列是“”成立的充分條件的是（

）A． B． C． D．【答案】ABD【解析】根據(jù)充分條件的概念，結(jié)合不等式的性質(zhì)，逐項(xiàng)判斷，即可得出結(jié)果.【詳解】A選項(xiàng)，若，則，所以；即是“”成立的充分條件；A正確；B選項(xiàng)，若，則；即是“”成立的充分條件；B正確；C選項(xiàng)，當(dāng)，時(shí)，能滿足，但不滿足，所以不是“”成立的充分條件；C錯(cuò)；D選項(xiàng)，若，則；所以是“”成立的充分條件；D正確.故選：ABD.10．下列說法中正確的是（

）A．若，則 B．C．若，則 D．若，則【答案】AB【解析】根據(jù)角所在象限判斷A,由誘導(dǎo)公式判斷B,C，根據(jù)正弦值相等分析角的終邊來判定D.【詳解】因?yàn)槭堑诙笙藿?，所以，故A正確；由，故B正確；，當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，可得，故C不正確；時(shí)，終邊可能相同，滿足，也可能關(guān)于軸對稱，不滿足，故D錯(cuò)誤.11．下列說法中正確的是（

）A．終邊在軸上的角的集合是B．函數(shù)的最小正周期是C．函數(shù)在上是減函數(shù)D．在同一直角坐標(biāo)系中，函數(shù)的圖象和函數(shù)的圖象有一個(gè)公共點(diǎn)【答案】BD【解析】寫出終邊在軸上的角的集合，可判斷A選項(xiàng)的正誤；利用余弦型函數(shù)的周期公式可判斷B選項(xiàng)的正誤；利用余弦函數(shù)的單調(diào)性可判斷C選項(xiàng)的正誤；作出函數(shù)的圖象和函數(shù)的圖象，可判斷D選項(xiàng)的正誤.【詳解】對于A選項(xiàng)，終邊在軸上的角的集合是，A選項(xiàng)錯(cuò)誤；對于B選項(xiàng)，函數(shù)的最小正周期為，B選項(xiàng)正確；對于C選項(xiàng)，函數(shù)在上是增函數(shù)，C選項(xiàng)錯(cuò)誤；對于D選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，如下圖所示：設(shè)銳角的終邊與單位圓的交點(diǎn)為，過點(diǎn)作軸，垂足為點(diǎn)，設(shè)單位圓與軸的交點(diǎn)為點(diǎn)，則，，由圖可知，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以，當(dāng)時(shí)，，由于函數(shù)與函數(shù)均為奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，.作出函數(shù)的圖象和函數(shù)的圖象如下圖所示：由圖象可知，函數(shù)的圖象和函數(shù)有且只有一個(gè)交點(diǎn)，D選項(xiàng)正確.故選：BD.【點(diǎn)睛】易錯(cuò)點(diǎn)點(diǎn)睛：判斷D選項(xiàng)的正誤，關(guān)鍵就是作出兩個(gè)函數(shù)圖象，但同時(shí)還應(yīng)說明兩個(gè)函數(shù)的圖象除了在原點(diǎn)相交外，在其余的地方?jīng)]有交點(diǎn)，此處應(yīng)加以說明.12．若函數(shù)同時(shí)滿足：①對于定義域內(nèi)的，都有；②對于定義域內(nèi)的，，當(dāng)時(shí)，都有，則稱函數(shù)為“顏值函數(shù)”.下列函數(shù)中，是“顏值函數(shù)”的有（

）A． B．C． D．【答案】CD【解析】由條件得出“顏值函數(shù)”在定義域內(nèi)為奇函數(shù)、減函數(shù)，再對選項(xiàng)進(jìn)行逐一判斷即可.【詳解】由題意知，函數(shù)是定義域上單調(diào)遞減的奇函數(shù)，A選項(xiàng)，在是定義域上不是單調(diào)遞減，故錯(cuò)誤；B選項(xiàng)，不是奇函數(shù)，故錯(cuò)誤；C選項(xiàng).作出函數(shù)的圖象，如下根據(jù)圖象，函數(shù)在定義域內(nèi)為奇函數(shù)且為減函數(shù)，所以是“顏值函數(shù)”.則C正確.D選項(xiàng),在定義域內(nèi)為奇函數(shù)且為減函數(shù),所以是“顏值函數(shù)”，則D正確.故選:CD.三、填空題13．《九章算術(shù)》是中國古代數(shù)學(xué)名著，其對扇形田面積給出“以徑乘周四而一”的算法與現(xiàn)代數(shù)學(xué)的算法一致，根據(jù)這一算法解決下列問題：現(xiàn)有一扇形菜田，下周長(弧長)為16米，徑長(兩段半徑的和)為20米，則該扇形菜田的面積為__________平方米.【答案】【解析】本題可通過題意中的“以徑乘周四而一”得出答案.【詳解】因?yàn)閺介L為米，下周長為米，所以由題意中“以徑乘周四而一”可知，該扇形菜田的面積平方米，故答案為：.14．已知，，若，則________．【答案】7【解析】根據(jù)的奇偶性及題干條件，化簡整理，即可得結(jié)果.【詳解】因?yàn)椋裕?，所以故答案為?15．函數(shù)，若方程恰有三個(gè)不同的解，記為，，，則的取值范圍是________．【答案】【解析】作出函數(shù)的圖像，由恰有三個(gè)不同的解，得的范圍，得到的對稱性，再判斷的范圍，利用數(shù)形結(jié)合求解.【詳解】作出函數(shù)的圖像如圖所示，根據(jù)圖像可知恰有三個(gè)不同的解時(shí)，設(shè)，令，可得，根據(jù)對稱性可知關(guān)于對稱，所以，又因?yàn)?，所?故答案為：.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題利用數(shù)形結(jié)合的方法求解函數(shù)零點(diǎn)問題，解答本題的關(guān)鍵在于作出函數(shù)的圖像，利用三角函數(shù)的對稱性得到，再結(jié)合圖像判斷的范圍.16．已知函數(shù)是定義在上的增函數(shù)，，是其圖象上的兩點(diǎn)，那么的解集為________.【答案】【分析】由函數(shù)的單調(diào)性可得，再根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)求的范圍，即可得解集.【詳解】由知：，又是定義在上的增函數(shù)且過，，所以，即，根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)：，故不等式解集為.故答案為：四、解答題17．設(shè)全集為R，，．（1）若，求，；（2）若“”是“”的___________條件，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．請?jiān)冖俪浞植槐匾獥l件，②必要不充分條件這兩個(gè)條件中選一個(gè)填在橫線上，使實(shí)數(shù)a有解，并解答問題．【答案】（1）；或.（2）選擇①：；選擇②：.【分析】（1）先求出集合A，B，再根據(jù)交集補(bǔ)集的定義即可求出；（2）選擇①：AB，分和兩種情況討論即可得出結(jié)果；選擇②：BA，，解出即可.【詳解】（1）時(shí)，，因?yàn)?，解得，所以，所以，?（2）若選擇①充分不必要條件作答，則AB，當(dāng)時(shí)，，即時(shí)，滿足AB；當(dāng)時(shí)，則，不等式無解，綜上，的取值范圍為.若選擇②：必要不充分條件，則BA，所以，解得，綜上，的取值范圍為；【點(diǎn)睛】結(jié)論點(diǎn)睛：本題考查根據(jù)充分、必要條件求參數(shù)，一般可根據(jù)如下規(guī)則判斷：（1）若是的必要不充分條件，則對應(yīng)集合是對應(yīng)集合的真子集；（2）若是的充分不必要條件，則對應(yīng)集合是對應(yīng)集合的真子集；（3）若是的充分必要條件，則對應(yīng)集合與對應(yīng)集合相等；18．（1）若，求的值；（2）已知，，求的值．【答案】（1）；（2）.【解析】（1）由同角三角函數(shù)的商數(shù)關(guān)系可得，再由誘導(dǎo)公式及同角三角函數(shù)的關(guān)系可轉(zhuǎn)化條件為，即可得解；（2）由同角三角函數(shù)的平方關(guān)系可得，進(jìn)而可得，即可得解.【詳解】（1）因?yàn)?，所?原式=；（2）因?yàn)?，所以，所以，則，因?yàn)?，所以，所以?9．已知函數(shù)．（1）求函數(shù)在上的單調(diào)遞增區(qū)間及在區(qū)間上的值域．（2）若，，求【答案】（1）單調(diào)遞增區(qū)間為；；（2）【分析】（1）由求得范圍，再與區(qū)間取交集；因?yàn)樗赃M(jìn)而得函數(shù)的值域；（2）由得，結(jié)合角范圍得值，由可得結(jié)果.【詳解】（1）令則當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，所以在上的單調(diào)遞增區(qū)間為；因?yàn)樗运詣t在上的值域?yàn)椋?）若，則即因?yàn)?，所以所以【點(diǎn)睛】給值求值問題一般是正用公式將所求“復(fù)角”展開，看需要求相關(guān)角的哪些三角函數(shù)值，然后根據(jù)角的范圍求出相應(yīng)角的三角函數(shù)值，代入展開式即可．20．如圖，已知是半徑為1，圓心角為的扇形，點(diǎn)在弧上（異于點(diǎn))，過點(diǎn)做，垂足分別為，記，四邊形的周長為.（1）求關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式；（2）當(dāng)為何值時(shí)，有最大值，并求出的最大值.【答案】（1）；（2）時(shí)，.【詳解】試題分析：（1）利用直角三角形中的三角函數(shù)定義得到相關(guān)邊長，利用周長公式和三角恒等變換進(jìn)行求解；（2）利用三角函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行求解.試題解析：（1），，（2），，當(dāng)時(shí)，，所以時(shí)，.21．已知函數(shù).（1）若，解關(guān)于x的不等式；（2）已知為定義在R上的奇函數(shù).①當(dāng)時(shí)，求的值域；②若對任意成立，求m的取值范圍.【答案】（1）；（2）①；②.【解析】（1）將代入函數(shù)解析式，不等式即為，令，不等式即為，解得，即，進(jìn)而求得不等式的解集；（2）①根據(jù)其為奇函數(shù)，得到，求得，再根據(jù)，解得，從而求得函數(shù)解析式，利用換元思想，結(jié)合函數(shù)單調(diào)性求得函數(shù)值域；②利用函數(shù)單調(diào)性的定義證明其為增函數(shù)，結(jié)合奇函數(shù)的條件，將轉(zhuǎn)化為相應(yīng)不等式組，求得結(jié)果.【詳解】（1），時(shí)，由可得，令，得，解得，即，所以.（2）①因?yàn)闉樯系钠婧瘮?shù)，所以，即，則，所以，根據(jù)為上的奇函數(shù)可得.所以，即對任意恒成立，所以，令，令，則.所以原函數(shù)的值域轉(zhuǎn)化為的值域，又因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，所以的值域?yàn)?②，設(shè)任意，且，則，所以在上單調(diào)遞增.又因?yàn)閷θ我獬闪?，且為上的奇函?shù)，所以對任意成立，所以對任意成立.當(dāng)時(shí)，滿足題意；當(dāng)時(shí)，解得，綜上所述，.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：該題考查的是有關(guān)函數(shù)性質(zhì)的問題，解題方法如下：（1）將參數(shù)代入函數(shù)解析式，解不等式即可得結(jié)果；（2）①根據(jù)奇函數(shù)的定義，求得參數(shù)值，進(jìn)而求得函數(shù)的值域；②利用單調(diào)性的定義證明函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合函數(shù)單調(diào)性以及奇偶性，將不等式轉(zhuǎn)化，得到結(jié)果.22．已知函數(shù)的最小值為，函數(shù).（1）求a的值；（2）已知時(shí)，恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.