解析幾何初步復(fù)習(xí)

第一節(jié)直線與方程基礎(chǔ)梳理1.直線的傾斜角與斜率（1）直線的傾斜角①定義：當(dāng)直線與x軸相交時，我們?nèi)軸作為基準(zhǔn)，x軸正向與直線向上方向之間所成的角α叫做直線的傾斜角.當(dāng)直線與x軸平行或重合時，規(guī)定它的傾斜角為0°.②傾斜角的范圍為0°≤α<180°.(2)直線的斜率①定義一條直線的傾斜角α的正切值叫做這條直線的斜率，斜率常用小寫字母k表示，即k=tanα,傾斜角是90°的直線斜率不存在.②過兩點(diǎn)的直線的斜率公式經(jīng)過兩點(diǎn)(其中)的直線的斜率公式為第一頁第二頁，共36頁。名稱方程適用范圍點(diǎn)斜式不含直線斜截式ｙ＝ｋｘ＋ｂ不含垂直于ｘ軸的直線兩點(diǎn)式不含直線和直線截距式不含垂直于坐標(biāo)軸和過原點(diǎn)的直線一般式Ａｘ＋Ｂｙ＋Ｃ＝０平面直角坐標(biāo)系內(nèi)的直線都適用2.直線方程的五種形式第二頁第三頁，共36頁。典例分析題型一直線的傾斜角和斜率學(xué)后反思求傾斜角范圍的步驟是：（1）求出斜率的取值范圍；（2）利用正切函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合圖象，確定傾斜角的取值范圍.第三頁第四頁，共36頁?！局本€的方程練案第6題】直線l過點(diǎn)P(-5,-4),且與兩坐標(biāo)軸偉成三角形面積為5,求直線l的方程.題型二求直線的方程學(xué)后反思

1.求直線方程首先要根據(jù)已知條件選擇合適的方程形式，同時注意各種形式的適用條件.用斜截式或點(diǎn)斜式時，直線的斜率必須存在，而兩點(diǎn)式不能表示與坐標(biāo)軸垂直的直線，截距式不能表示與坐標(biāo)軸垂直或經(jīng)過原點(diǎn)的直線等.2.截距與距離的區(qū)別：截距可以是負(fù)數(shù)、0、正數(shù)。第四頁第五頁，共36頁。題型三直線恒過定點(diǎn)問題例2、已知直線l:(a+b)x+(a-b)y+2=0,其中a,b滿足3a-b+2=0.求證：直線l恒過一定點(diǎn)。學(xué)后反思

1.過定點(diǎn)的直線系鎖著參數(shù)的改變而繞著這個定點(diǎn)轉(zhuǎn)動，而兩條相交直線決定一個交點(diǎn)所以我們對參數(shù)a可以賦予兩個不同的值，得到兩條確定的直線方程，聯(lián)立求出交點(diǎn)坐標(biāo)，這個交點(diǎn)為定點(diǎn)，補(bǔ)上一個檢驗(yàn)過程（交點(diǎn)坐標(biāo)滿足含參方程）.2.分離參數(shù)a,利用a*0+0=0這個等式對于任意的實(shí)數(shù)a恒成立，構(gòu)建關(guān)于x、y的方程組，解方程組即可得到定點(diǎn)的坐標(biāo)。3.聯(lián)想到直線y=k(x-m)+n恒過點(diǎn)(m，n)，將含參直線的方程利用換元，劃歸到這個類型上來。第五頁第六頁，共36頁。題型四與直線方程有關(guān)的最值問題學(xué)后反思

(1)對直線l的大致位置分析，界定了斜率的存在性及其范圍，指明了解題方向，這種分析是避免解題盲目性的重要技能.（2）本題將面積表示為k的函數(shù)，再用函數(shù)單調(diào)性、換元等方法求最小值?！局本€的方程練案第8題】已知直線l過點(diǎn)M(2,1),且與x軸、y軸的正半軸分別交于A、B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，當(dāng)△ABO的面積的最小值時求直線l的方程.第六頁第七頁，共36頁。學(xué)后反思本題是一道用地規(guī)劃的實(shí)際問題，應(yīng)把問題化歸為在線段EF上找一點(diǎn)，使長方形PQCR面積最大的數(shù)學(xué)問題，這樣，就需要建立直角坐標(biāo)系，用坐標(biāo)表示點(diǎn)，用方程表示曲線，從而把問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題，利用代數(shù)方法使問題得到解決也稱解析法或坐標(biāo)法.題型五應(yīng)用問題【直線的方程練案第9題】為了綠化城市，擬在區(qū)域ABCD內(nèi)建一個草坪（如圖），另外△EFA內(nèi)部有一文物保護(hù)區(qū)不能占用，經(jīng)測量AB=100m,BC=80m,AE=30m,AF=20m,應(yīng)如何設(shè)計(jì)才能使草坪面積最大？分析欲使草坪面積最大，點(diǎn)P的位置選取是關(guān)鍵，因此，應(yīng)考慮建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，求出線段EF所在直線的方程，再設(shè)出點(diǎn)P的坐標(biāo)，做為解題的切入點(diǎn).第七頁第八頁，共36頁?；A(chǔ)梳理第二節(jié)直線的位置關(guān)系第八頁第九頁，共36頁。第九頁第十頁，共36頁。2.三種距離（1）兩點(diǎn)間的距離平面上的兩點(diǎn)間的距離公式特別地，原點(diǎn)O（0,0)與任一點(diǎn)P(x,y)的距離｜OP｜=(2)點(diǎn)到直線的距離點(diǎn)到直線:Ax+By+C=0的距離(3)兩條平行線的距離兩條平行線Ax+By+=0與Ax+By+=0間的距離第十頁第十一頁，共36頁。3.直線系方程：設(shè)L1：A1x+B1y+C1=0;L2A2x+B2y+C2=0是相交的兩條直線，那么L：A1x+B1y+C1+λ(A2x+B2y+C2)=0①是經(jīng)過L1和L2交點(diǎn)的直線系方程（這個直線系方程不包含直線L2的方程），其中λ為其中任意常數(shù)。第十一頁第十二頁，共36頁。典例分析題型一兩條直線位置關(guān)系的判定和應(yīng)用【兩條直線的位置關(guān)系學(xué)點(diǎn)三變式探究】已知直線l1

(m+3)x+4y=5-3m,直線l2:2x+(m+5)y=8.問當(dāng)m為何值時：(1)l1與l2平行；（2）l1與l2垂直。學(xué)后反思：

（1）利用直線的斜截式方程判斷兩直線的位置關(guān)系的前提是兩直線的斜率都存在，若不能確定兩直線斜率的存在性，應(yīng)對其進(jìn)行分類討論：為避免分類討論，可采用直線方程的一般式，利用一般式方程中的“系數(shù)關(guān)系”的形式來判斷兩直線（2）與直線Ax+By+C=0(A,B不同時為0)平行、垂直的直線方程的設(shè)法：平行的直線方程設(shè)為Ax+By+m=0(m不等于C)，垂直的直線方程設(shè)為Bx-Ay+n=0.第十二頁第十三頁，共36頁。題型二距離問題學(xué)后反思

（1）直線的斜截式、點(diǎn)斜式方程不能代表垂直于x軸的直線，故要進(jìn)行討論.（2）使用點(diǎn)到直線的距離公式時，必須把直線方程化為一般式.【點(diǎn)到直線的距離公式學(xué)點(diǎn)三變式探究】求與直線5x-12y+6=0平行，且距離等于2的直線的方程是。第十三頁第十四頁，共36頁。題型三交點(diǎn)及直線系問題學(xué)后反思解法一：求出交點(diǎn)坐標(biāo)，借助平行時斜率關(guān)系寫出直線的點(diǎn)斜式方程；解法二：根據(jù)直線的平行位置關(guān)系設(shè)出直線l的方程，讓后講求出的交點(diǎn)坐標(biāo)代入，去定出直線方程；解法三：根據(jù)直線l過兩直線交點(diǎn)，設(shè)出過該交點(diǎn)的直線系方程，設(shè):2x+3y-3+λ(x+y+2)=0，根據(jù)平行關(guān)系確定出λ的值即可。三種解法都能比較迅捷地解決問題，但方法一、方法二都是在兩直線的斜率存在的前提下進(jìn)行的，如果其中含有字母參數(shù)之類的，則要進(jìn)行分類討論；運(yùn)用直線系方程時，則必須對直線系中不包含的直線進(jìn)行檢驗(yàn)，因此，本題的三種解法應(yīng)該是各有優(yōu)缺點(diǎn).【兩條直線的交點(diǎn)學(xué)點(diǎn)二變式探究】求經(jīng)過兩直線l1:2x-3y-3=0和l2:x+y+2=0的交點(diǎn)且與直線:3x+y-1=0平行的直線方程.第十四頁第十五頁，共36頁。題型四對稱問題學(xué)后反思：對于直線的對稱問題，都是轉(zhuǎn)化為點(diǎn)關(guān)于直線的對稱或點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的對稱問題來解決的?！军c(diǎn)到直線的距離公式練案第7題】求直線:4x-y-1=0關(guān)于點(diǎn)M（2,3）對稱的直線方程.第十五頁第十六頁，共36頁。第三節(jié)圓的方程基礎(chǔ)梳理1.圓的標(biāo)準(zhǔn)方程（1）方程表示圓心為(a,b),半徑為r的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;（2）特別地，以原點(diǎn)為圓心，半徑為r(r>0)的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為

.2.圓的一般方程方程+Dx+Ey+F=0可變形為（1）當(dāng)時，方程表示以為圓心，以為半徑的圓;第十六頁第十七頁，共36頁。（2）當(dāng)=0時，方程表示一個點(diǎn);(3)當(dāng)<0時，方程不表示任何圖形.3.與圓的位置關(guān)系（1）若，則點(diǎn)P在圓外；（2）若，則點(diǎn)P在圓上；（3）若，則點(diǎn)P在圓內(nèi).4.求圓的方程的方法和步驟確定圓的方程的主要方法是待定系數(shù)法，大致步驟為：（1）根據(jù)題意，選擇標(biāo)準(zhǔn)方程或一般方程；（2）根據(jù)條件列出關(guān)于a,b,r或D，E，F(xiàn)的方程組；（3）解出a，b，r或D，E，F(xiàn)，代入標(biāo)準(zhǔn)方程或一般方程.第十七頁第十八頁，共36頁。5.圓系方程

1.過圓C1：x2+y2+D1x+E1y+F1=0與圓C2：x2+y2+D2x+E2y+F2=0的交點(diǎn)的圓的方程：x2+y2+D1x+E1y+F1+λ(x2+y2+D2x+E2y+F2)=0(λ≠-1)當(dāng)(λ=-1)時，表示兩圓的公共弦所在的直線方程。2.過圓C：x2+y2+Dx+Ey+F=0與直線l:Ax+By+C=0的交點(diǎn)的圓的方程：x2+y2+Dx+Ey+F+λ(Ax+By+C)=06.兩圓方程相減所得直線的方程:（D1-D2)x+(E1-E2)y+(F1-F2)=0（1）如果圓C1：x2+y2+D1x+E1y+F1=0與圓C2：x2+y2+D2x+E2y+F2=0相交，那么兩圓的方程相減得兩圓公共弦方程.（2）如果圓C1：x2+y2+D1x+E1y+F1=0與圓C2：x2+y2+D2x+E2y+F2=0相切，那么兩圓的方程相減得兩圓公切線方程.（1）如果圓C1：x2+y2+D1x+E1y+F1=0與圓C2：x2+y2+D2x+E2y+F2=0半徑相等，那么兩圓的方程相減得兩圓的連心線段的垂直平分線的方程.第十八頁第十九頁，共36頁?！緢A的標(biāo)準(zhǔn)方程學(xué)點(diǎn)一變式探究（2）】求圓心在直線2x-y-3=0上，且經(jīng)過點(diǎn)A(5,2),B(3,-2)的圓的方程.題型一求圓的方程典例分析學(xué)后反思（1）本題可使用待定系數(shù)法，方法一：設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，方法二：設(shè)圓的一般方程，都是結(jié)合條件來求所設(shè)方程中的待定系數(shù)；（2）方法三：應(yīng)用平面幾何知識：圓心與弦的中點(diǎn)的連線與弦垂直.一般而言，在解析幾何問題中，用上平面幾何知識，會使解題變得相對簡單.(3)無論哪種解法，都圍繞著求圓的圓心和半徑這兩個關(guān)鍵的量..第十九頁第二十頁，共36頁。題型二與圓有關(guān)的參數(shù)問題【圓的一般方程學(xué)點(diǎn)二變式探究】已知圓的方程為x2+y2+kx+2y+k2=0,求該圓的面積最大值，并求此時圓的圓心坐標(biāo)。學(xué)后反思(1)一般地，方程表示圓隱含著條件D2+E2-4F>0.此點(diǎn)易被忽視.(2)要使圓的面積最大只需要圓的半徑最大。第二十頁第二十一頁，共36頁。【例2】已知實(shí)數(shù)x、y滿足方程-4x+1=0.(1)求的最大值和最小值；（幾何意義是圓上一點(diǎn)與原點(diǎn)連線的斜率）（2）求y-x的最大值和最小值；（直線y=x+b在y軸上的截距）（3）求的最大值和最小值.（圓上的一點(diǎn)與原點(diǎn)距離的平方）題型三與圓有關(guān)的最值問題第二十一頁第二十二頁，共36頁。題型三與圓有關(guān)的最值問題學(xué)后反思（1）本例中利用圖形的直觀性，使代數(shù)問題得到非常簡捷的解決，這是數(shù)形巧妙結(jié)合的好處.（2）本例的解題關(guān)鍵在于抓住“數(shù)”中的某些結(jié)構(gòu)特征，從而聯(lián)想到解析幾何中的某些公式或方程，從而挖掘出“數(shù)”的幾何意義，實(shí)現(xiàn)由“數(shù)”到“形”的轉(zhuǎn)化.（3）與圓有關(guān)的最值問題，常見的有以下幾種類型：①形如μ=形式的最值問題，可轉(zhuǎn)化為動直線斜率的最值問題；②形如t=ax+by形式的最值問題，可轉(zhuǎn)化為動直線截距的最值問題；③形如形式的最值問題，可轉(zhuǎn)化為動點(diǎn)到定點(diǎn)距離的平方的最值問題.第二十二頁第二十三頁，共36頁。題型四與圓有關(guān)的簡單的軌跡問題【圓的一般方程學(xué)點(diǎn)三變式探究】已知AB是圓O的直徑，且AB的絕對值=2a,點(diǎn)M為圓上一動點(diǎn)，作MN垂直于AB,垂足為N，在OM上取點(diǎn)P,使[OP]=[MN],求點(diǎn)P的軌跡。學(xué)后反思

(1)求軌跡前必須建立平面直角坐標(biāo)系，否則曲線就不能轉(zhuǎn)化成方程，坐標(biāo)系選取恰當(dāng)，可使運(yùn)算過程簡單，所得軌跡方程較簡單。（2）求軌跡方程步驟：一、建系，設(shè)點(diǎn)；二、列式；三、化簡（3）一般地，求哪個點(diǎn)的軌跡方程，就設(shè)哪個點(diǎn)的坐標(biāo)為（x,y)（4）求軌跡方程與求軌跡的區(qū)別：求軌跡方程得出方程即可；而求軌跡在得出方程后還要指出方程的曲線是什么圖形。第二十三頁第二十四頁，共36頁。題型五圓的方程的實(shí)際應(yīng)用學(xué)后反思在解決有關(guān)的實(shí)際問題時，關(guān)鍵要明確題意，根據(jù)所給條件建立直角坐標(biāo)系，建立數(shù)學(xué)基本模型，將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題解決.【例3】有一種大型商品，A、B兩地都有出售，且價格相同，某地居民從兩地之一購得商品后運(yùn)回的費(fèi)用是：A地每公里的運(yùn)費(fèi)是B地每公里運(yùn)費(fèi)的3倍.已知A、B兩地距離為10公里，顧客選擇A地或B地購買這件商品的標(biāo)準(zhǔn)是：運(yùn)費(fèi)和價格的總費(fèi)用較低.求P地居民選擇A地或B地購貨總費(fèi)用相等時，點(diǎn)P所在的曲線方程，并指出曲線上、曲線內(nèi)、曲線外的居民應(yīng)如何選擇購物地點(diǎn).第二十四頁第二十五頁，共36頁。第四節(jié)直線與圓的位置關(guān)系基礎(chǔ)梳理1.直線與圓的位置關(guān)系（1）直線與圓相交，有兩個公共點(diǎn)；（2）直線與圓相切，只有一個公共點(diǎn)；（3）直線與圓相離，沒有公共點(diǎn).2.直線與圓的位置關(guān)系的判斷方法直線:Ax+By+C=0(A,B不全為0)與圓(r>0)的位置關(guān)系的判斷方法：（1）幾何法.圓心（a,b）到直線Ax+By+C=0的距離為d,d<r直線與圓相交；d=r直線與圓相切；d>r直線與圓相離.第二十五頁第二十六頁，共36頁。（2）代數(shù)法.Ax+By+C=0,由消元，得到的一元二次方程的判別式為Δ,則Δ>0直線與圓相交；Δ=0直線與圓相切；Δ<0直線與圓相離.3.圓與圓的位置關(guān)系圓與圓的位置關(guān)系有五種，分別為外離、外切、相交、內(nèi)切、內(nèi)含.設(shè)兩圓的圓心距為d,兩圓的半徑分別為R、r,則1.外切d=R+r2.內(nèi)切d=|R-r|3.外離d>R+r4.內(nèi)含d<|R-r|5.相交|R-r|<d<R+r第二十六頁第二十七頁，共36頁。圓與圓的位置關(guān)系設(shè)兩圓的圓心距為d,兩圓的半徑分別為R、r,則外切d=R+r內(nèi)切.d=|R-r|外離d>R+r內(nèi)含d<|R-r|5.相交

|R-r|<d<R+r第二十七頁第二十八頁，共36頁。典例分析題型一直線與圓的位置關(guān)系學(xué)后反思判斷直線與圓的位置關(guān)系一般有兩種方法：（1）代數(shù)法：將直線方程與圓的方程聯(lián)立，由所得一元二次方程根的判別式來判斷.（2）幾何法：確定圓的圓心和半徑，比較圓心到直線的距離與圓半徑的大小關(guān)系來判斷.實(shí)際應(yīng)用中“幾何法”要優(yōu)于“代數(shù)法”.（3）要使直線截圓的弦長最大，則圓心到直線的距離為最小。【直線與圓的位置關(guān)系學(xué)點(diǎn)三學(xué)點(diǎn)精講】已知圓C（x-3）2+(y-4)2=4和直線l:kx-y-4k+3=0.（1）求證：無論k取何值，直線和圓總相交；（2）當(dāng)k取何值時，圓被直線截得的弦最短，并求最短弦的長。第二十八頁第二十九頁，共36頁。題型二圓與圓的位置關(guān)系學(xué)后反思在討論兩圓的位置關(guān)系時，一般根據(jù)其關(guān)系的判定條件，即圓心距與兩圓半徑之間的和差關(guān)系來判斷.【圓與圓的位置關(guān)系學(xué)點(diǎn)一變式探究】當(dāng)t的范圍是【-1,1】討論兩圓C1：16x2+16y2+16x+32y-61=0與C2(x-t)2+(y-1)2=1/16的位置關(guān)系第二十九頁第三十頁，共36頁。題型三圓的弦長問題【直線與圓的位置關(guān)系學(xué)點(diǎn)三變式探究】已知直線l過點(diǎn)P（5,5），且和圓C:x2+y2=25相交截得的弦長為4，求l的方程.學(xué)后反思

直線與圓相交截得的弦長有兩種計(jì)算方法：一、幾何法，利用弦心距、弦長的一半、圓的半徑構(gòu)成的直角三角形求解，即（L/2）2+d2=r2.二、代數(shù)法，將直線方程與圓額方程聯(lián)立，運(yùn)用韋達(dá)定理，弦長公式是第三十頁第三十一頁，共36頁。題型四圓的切線問題【直線與圓的位置關(guān)系練案第6題】過點(diǎn)A(4，-3)作圓C(x-3)2+(y-1)2=1的切線，求此切線的方程。學(xué)后反思（1）圓的切線條數(shù)：過圓外一點(diǎn)的切線必有兩條，過圓上一點(diǎn)的切線有一條，過圓內(nèi)一點(diǎn)不存在圓的切線。（