第四講 傅里葉變換

第四講傅里葉變換10/18/20231傅里葉變換主要內(nèi)容圖像變換基礎傅里葉變換定義傅里葉變換的性質(zhì)快速傅里葉變換10/18/20232圖像變換基礎什么是圖像變換？為了有效地和快速的對圖像進行處理和分析，常常需要將原定義在圖像空間的圖像以某種形式轉(zhuǎn)換到另外一些空間，并利用這些空間的特有性質(zhì)方便地進行一定的加工，最后再轉(zhuǎn)換回圖像空間以得到所需的效果。這些轉(zhuǎn)換方法稱為圖像變換技術。本講著重介紹和討論的傅里葉變換，就是一種廣泛應用的圖像變換技術。10/18/20233圖像變換基礎為什么要學習圖像變換？從某種意義來說，使用不同的空間來描述圖像，就好比使用不同的語言來表達觀點。能講兩種語言的人常常會發(fā)現(xiàn)，在表達某些觀點時，一種語言會比另一種語言優(yōu)越。類似的，圖像處理的分析者在解決某一問題時會在不同的空間來回切換。掌握圖像變換技術，就可以在不同的空間下思考問題，并利用不同空間的優(yōu)越性解決問題，這種能力是非常有用的。傅里葉變換也被喻為描述圖像的第二種語言。10/18/20234圖像變換基礎“傅里葉變換”將圖像變成怎樣的空間？我們之前所討論的、大家所熟悉的圖像空間為“空域”空間。經(jīng)過傅里葉變換，則可獲得圖像的“頻域”空間。那么什么是“頻域”呢？？？這個就要從信號的分解開始說起。。。（所謂信號，就是帶有信息的物理量。對于灰度圖像，像素點的灰度值就是其攜帶的信號。因此，圖像本質(zhì)上是一個二維信號的集合。）10/18/20235圖像變換基礎信號分解——概述信號分解是利用“化繁為簡、化整為零”的思路，將一個復雜信號分解為一系列“簡單”信號（或稱基元信號）的特定組合（疊加）。問題1：怎樣的信號是我們需要的“簡單”信號？問題2：它們遵循什么樣的組合規(guī)律？10/18/20236圖像變換基礎信號分解——“簡單”信號如果一組信號彼此完全不相似，它們互相不包含對方的分量，則這組信號就是我們需要的簡單信號。在數(shù)學上，有個專門的術語描述這種性質(zhì)，叫“正交”性。（信號是物理術語，在數(shù)學世界，信號等價于函數(shù)）10/18/20237圖像變換基礎“正交”函數(shù)的數(shù)學描述兩個函數(shù)正交的充要條件是：它們的內(nèi)積為0（內(nèi)積描述相似性）。函數(shù)f1(t)和函數(shù)f2(t)在區(qū)間(t1,t2)上的內(nèi)積：函數(shù)集{gn(t),1≤n≤N}的在區(qū)間(t1,t2)上正交的條件：10/18/20238圖像變換基礎哪些函數(shù)集是“正交”的呢？（1）在實函數(shù)中，有一組自然、和諧的函數(shù)非常適合作為正交函數(shù)集——正、余弦函數(shù)。對于任何的：在一個周期以內(nèi)的面積相加起來總是零。10/18/20239圖像變換基礎正余弦函數(shù)集的“正交”性實例10/18/202310圖像變換基礎哪些函數(shù)集是“正交”的呢？（2）在復變函數(shù)中，可以證明，復指數(shù)函數(shù)集也是一個完備的正交函數(shù)集。從某種意義上來講，復指數(shù)函數(shù)與三角函數(shù)在本質(zhì)上是一致的，歐拉公式揭示了二者之間的關系：10/18/202311圖像變換基礎信號分解——概述信號分解是利用“化繁為簡、化整為零”的思路，將一個復雜信號分解為一系列“簡單”信號（或稱基元信號）的特定組合（疊加）。問題1：怎樣的信號是我們需要的“簡單”信號？問題2：它們遵循什么樣的組合規(guī)律？正交信號正、余弦三角函數(shù)復指數(shù)函數(shù)10/18/202312圖像變換基礎信號分解為三角函數(shù)周期為T的信號f(t)，可以展開成三角函數(shù)（信號）的疊加：即：上述展開式稱為三角形式的傅里葉級數(shù)。其中，ω=2π/T是信號的角頻率，an和bn為傅里葉系數(shù)。已知f(t)，傅里葉系數(shù)a0、an、bn如何確定呢？10/18/202313圖像變換基礎傅里葉系數(shù)的確定如求ai，只需在展開式兩邊乘上cos(iωt)，然后周期區(qū)間內(nèi)求積分，由于三角函數(shù)集的正交性，可以發(fā)現(xiàn)，等式的右邊除了ai

cos(iωt)cos(iωt)這一項不為零，其它項均為零，從而能夠求出系數(shù)ai。=0=0僅當n=i時不為010/18/202314圖像變換基礎傅里葉系數(shù)的確定（續(xù)）根據(jù)上述方法，可求得三角傅里葉系數(shù)：（2）余弦分量系數(shù)：（3）正弦分量系數(shù)：（1）直流分量系數(shù)（零頻系數(shù)）：10/18/202315圖像變換基礎信號分解為復指數(shù)函數(shù)傅里葉系數(shù)Fn確可以按以下公式求得：若選用復指數(shù)正交函數(shù)集來進行傅里葉級數(shù)展開，則周期函數(shù)（信號）的展開形式為：10/18/202316圖像變換基礎“傅里葉變換”將圖像變成怎樣的空間？我們之前所討論的、大家所熟悉的圖像空間為“空域”空間。經(jīng)過傅里葉變換，則可獲得圖像的“頻域”空間。√那么什么是“頻域”呢？？？這個就要從信號的分解開始說起。。。一個信號可以用許多簡單的信號“加起來”來表示如何用所謂的“正交性”來找出這些簡單信號如何計算疊加的系數(shù)10/18/202317圖像變換基礎“頻域”空間舉例假設有這樣的一個信號f(t)，它可以用下列正弦波表示：有幅度A、頻率ω四組對：我們可以認為這四組數(shù)對唯一確定了信號f(t)，也就是說，這四組數(shù)對是信號f(t)的另一種表達方式。它們所構成的空間就是“頻域”空間，與時（空）域空間完全等價。

10/18/202318圖像變換基礎“頻域”空間（續(xù)）tf時域空間ωA頻域空間10/18/202319傅里葉變換主要內(nèi)容圖像變換基礎傅里葉變換定義傅里葉變換的性質(zhì)快速傅里葉變換10/18/202320傅里葉變換定義一維連續(xù)傅里葉變換及反變換單變量連續(xù)函數(shù)f(x)的傅里葉變換F(μ)定義為：其中x為時域變量，μ為頻域變量，j2=-1給定F(μ)，通過傅里葉反變換可以得到f(x)：10/18/202321傅里葉變換定義說明傅立葉變換中的變量μ通常稱為頻率變量，這個名稱源于歐拉公式中的指數(shù)項：如果把傅立葉變換的積分解釋為離散項的和，則易推出F(μ)是一組sin和cos函數(shù)項的無限和，其中μ的每個值決定了其相應cos、sin函數(shù)的頻率。10/18/202322傅里葉變換定義幅度、相位、能量（功率）譜由上公式可以看出，傅里葉變換結(jié)果是一個復數(shù)表達式，設F(μ)的實部為R(μ)，虛部為I(μ)，則：復指數(shù)形式：幅度譜：相位譜：能量譜：10/18/202323傅里葉變換定義二維連續(xù)傅里葉變換及反變換二維連續(xù)函數(shù)f(x,y)的傅里葉變換F(μ,ν)定義為：其中x,y為時域變量，μ,ν為頻域變量，j2=-1給定F(μ,ν)，通過傅里葉反變換可以得到f(x,y)：10/18/202324傅里葉變換定義幅度、相位、能量（功率）譜幅度譜：相位譜：能量譜：二維傅里葉變換結(jié)果的復指數(shù)形式：10/18/202325傅里葉變換定義一維離散傅里葉變換（DFT）及反變換單變量離散函數(shù)f(x)

(x=

0,1,…,M-1)的傅里葉變換F(μ)定義為：給定F(μ)，通過傅里葉反變換可以得到f(x)：μ

=

0,1,…,M-1x

=

0,1,…,M-110/18/202326傅里葉變換定義二維離散傅里葉變換及反變換（數(shù)字圖像）圖像尺寸為M×N的函數(shù)f(x,y)的DFT為：給定F(μ,ν)，通過反DFT變換可以得到f(x,y)：μ

=

0,1,…,M-1，ν

=

0,1,…,N-1x

=

0,1,…,M-1，y

=

0,1,…,N-110/18/202327傅里葉變換定義離散傅里葉變換DFT的計算

DFT的計算例：一維函數(shù)的四個采樣值為f(0)=2,f(1)=3,f(2)=f(3)=4。x0121234310/18/202328傅里葉變換定義離散傅里葉變換DFT的計算（續(xù)）10/18/202329傅里葉變換定義離散傅里葉變換DFT的計算（續(xù)）函數(shù)f(x,y)的傅立葉變換是f(x,y)積分（對于離散而言，則是累加和）的函數(shù)，因此，計算每一個傅立葉變換值，原函數(shù)f(x,y)的每一個點都需要參與。f(x,y)全部值對DFT都產(chǎn)生影響；反之，全部變換系數(shù)對反變換也產(chǎn)生影響。10/18/202330傅里葉變換定義二維離散傅里葉變換DFT的顯示將二維頻率空間的每個點的幅值（實部和虛部平方和的平方根）規(guī)格化為顯示灰度級（0-255），產(chǎn)生的圖像為傅里葉頻譜幅度圖像。（頻譜相位圖像暫不考慮）10/18/202331傅里葉變換定義二維離散傅里葉變換DFT的顯示（續(xù)）通常，在顯示傅里葉頻譜幅度圖像需要將原點平移到圖像的中心（讓圖像能量集中到圖像中心位置），以便能清楚地分析變換譜的情況。注意：頻譜圖上的各點與圖像上各點不存在對應的關系！越靠近中心的點，對應的頻率越低。亮度越大表示該點對應頻率的幅值越大。10/18/202332傅里葉變換定義圖像“頻域”空間的物理意義圖像的頻率是表征圖像中灰度變化劇烈程度（梯度）。如大面積的沙漠在圖像中是一片灰度變化緩慢的區(qū)域,對應的頻率值很低;而對于地表變化劇烈的邊緣區(qū)域在圖像中是一片灰度變化劇烈的區(qū)域,對應的頻率值較高。傅立葉變換的物理意義是將圖像的灰度分布函數(shù)變換為頻率分布函數(shù)。舉例：繪畫頻率的幅值表示該頻率成分對原來圖像信息（能量）的貢獻。10/18/202333傅里葉變換主要內(nèi)容圖像變換基礎傅里葉變換定義傅里葉變換的性質(zhì)快速傅里葉變換10/18/202334傅里葉變換傅里葉變換的性質(zhì)可分離性均值性能量守恒定理平移性質(zhì)分配律比例變換旋轉(zhuǎn)性周期性和共軛對稱性卷積相關10/18/202335傅里葉變換的性質(zhì)可分離性圖像尺寸為M×N的函數(shù)f(x,y)的DFT可以為如下形式：F(x,ν)是沿著f(x,y)的一列所進行的傅里葉變換。當x=0,1,…,M-1，沿著f(x,y)的所有列計算傅里葉變換。上式說明：二維DFT可分離為兩次一維DFT10/18/202336傅里葉變換的性質(zhì)可分離性——二維傅里葉變換的全過程行變換N-1M-1F(μ,v)(0,0)vμN-1M-1F(x,v)(0,0)vxN-1M-1f(x,y)(0,0)yx列變換先通過沿輸入圖像的每一列計算一維變換再沿中間結(jié)果的每一行計算一維變換可以改變上述順序，即先行后列10/18/202337傅里葉變換的性質(zhì)可分離性（續(xù)）上述相似的過程也可以計算二維傅里葉反變換：10/18/202338傅里葉變換的性質(zhì)均值性由二維傅里葉變換的定義：而，上式說明：在原點的傅里葉變換即等于圖像的平均灰度值。10/18/202339傅里葉變換的性質(zhì)能量守恒定理能量守恒定理也稱帕斯韋爾（Parseval）定理：上式說明：傅里葉變換前后能量守恒。10/18/202340傅里葉變換的性質(zhì)平移性質(zhì)DFT平移特性如下：第一個公式表明將F(μ,ν)與一個指數(shù)項相乘就相當于把其變換后的空域中心移動到新的位置。第二個公式表明將f(x,y)與一個指數(shù)項相乘就相當于把其變換后的頻域中心移動到新的位置。10/18/202341傅里葉變換的性質(zhì)平移性質(zhì)（續(xù)）由以上公式可知：空間域中圖像的平移不影響頻譜幅度（幅值不變），僅對應于頻域的相移（只改變了相位譜）原圖像X軸平移圖像Y軸平移圖像10/18/202342傅里葉變換的性質(zhì)平移性質(zhì)（續(xù)）上式表明：如果要將圖像的頻譜原點移到圖像中心，只要將f(x,y)乘上因子

，再進行DFT變換即可。將DFT頻譜的原點移動到矩陣M×N的中心，這樣只要設：10/18/202343傅里葉變換的性質(zhì)平移性質(zhì)（續(xù)）方塊圖像原點平移前的頻譜幅度圖像原點平移后的頻譜幅度圖像10/18/202344傅里葉變換的性質(zhì)分配律根據(jù)傅里葉變換的定義，可以得到：上式表明：傅里葉變換對加法滿足分配律。但對乘法則不滿足：10/18/202345分配律實例++==空域頻域10/18/202346傅里葉變換的性質(zhì)比例變換（尺度變換）給定2個標量α和β，可以證明對傅里葉變換下列2個公式成立：第二個式子表明：對f(x,y)在空間尺度的放縮導致其傅立葉變換F(μ,ν)

在頻域尺度方面相反放縮。10/18/202347尺寸縮放實例64×6432×3216×16空域頻域10/18/202348傅里葉變換的性質(zhì)旋轉(zhuǎn)性引入極坐標x=rcosθ,y=rsinθ,μ=kcosф,ν=ksinф，將f(x,y)和F(μ,ν)轉(zhuǎn)換為f(r,θ)和F(k,ф)，將它們帶入傅里葉變化對：上式表明：對f(x,y)旋轉(zhuǎn)θ0

，對應于其傅里葉變換F(μ,ν)也旋轉(zhuǎn)θ0。類似地，對F(μ,ν)旋轉(zhuǎn)θ0也對應于其傅里葉反變換旋轉(zhuǎn)θ0。10/18/202349旋轉(zhuǎn)性實例旋轉(zhuǎn)300原始圖像旋轉(zhuǎn)450空域頻域10/18/202350傅里葉變換的性質(zhì)周期性圖像尺寸為M×N的函數(shù)f(x,y)的DFT具有周期性：

上式表明：只需一個周期里的變換就可將F(μ,ν)

在頻域里完全確定。10/18/202351傅里葉變換的性質(zhì)共軛對稱性如果f(x,y)是實函數(shù)，則它的傅里葉變換具有共軛對稱性：復習：當兩個復數(shù)實部相等，虛部互為相反數(shù)時，這兩個復數(shù)叫做互為共軛復數(shù)。為的復共軛。10/18/202352傅里葉變換的性質(zhì)卷積

卷積的定義（連續(xù)的情況）離散一維卷積離散二維卷積傅里葉變換的卷積定理10/18/202353傅里葉變換的性質(zhì)——卷積關于卷積

卷積運算是信號處理領域中最重要的運算之一，在語音識別、地震勘探、超聲診斷、光學成像、系統(tǒng)辨識及其他諸多信號處理領域中，可以說卷積與反卷積的問題無處不在。在數(shù)字圖像處理中，通過卷積模板操作，可實現(xiàn)圖像銳化、圖像平滑、高斯模糊等功能。10/18/202354傅里葉變換的性質(zhì)——卷積卷積的定義對于連續(xù)一維函數(shù)f1(x)與函數(shù)f2(x)，它們的卷積定義為：對于連續(xù)二維函數(shù)f1(x,y)與函數(shù)f2(x,y)，卷積定義為：10/18/202355傅里葉變換的性質(zhì)——卷積離散一維卷積對于離散序列{f1(0),f1(1),…,f1(A-1)}與離散序列{f2(0),f2(1),…,f2(B-1)}，它們的卷積運算要復雜一些，必須對f1(x)與f2(x)的定義域進行擴展，以防止卷積后產(chǎn)生交疊誤差（Wrap-aroundError）。假設f1(x)與f2(x)具有周期M，則卷積結(jié)果具有相同的周期?？梢宰C明，只有當M≥A+B-1時卷積周期不會重疊，才不會產(chǎn)生交疊誤差。當M=A+B-1時，卷積周期是相鄰接的。10/18/202356傅里葉變換的性質(zhì)——卷積離散一維卷積（續(xù)）x

=

0,1,…,M-1，M=A+B-1定義域擴展：離散一維卷積公式：10/18/202357傅里葉變換的性質(zhì)——卷積離散二維卷積和和和和x

=

0,1,…,M-1，y

=

0,1,…,N-1

圖像尺寸為A×B的函數(shù)f1(x,y)與尺寸為C×D的函數(shù)f2(x,y)做卷積。離散二維卷積公式：10/18/202358傅里葉變換的性質(zhì)——卷積傅里葉變換的卷積定理卷積是空間域濾波和頻域濾波之間的紐帶對于連續(xù)和離散卷積都有下列定理成立：10/18/202359傅里葉變換的性質(zhì)——相關連續(xù)函數(shù)相關對于連續(xù)一維函數(shù)f1(x)與函數(shù)f2(x)，它們的相關定義為：為的復共軛。對于連續(xù)二維函數(shù)f1(x,y)與函數(shù)f2(x,y)，它們的相關定義為：10/18/202360傅里葉變換的性質(zhì)——相關離散相關參照前面離散卷積的定義，可如下定義一維離散相關：二維離散相關定義為：x

=

0,1,…,M-1，y

=

0,1,…,N-1x

=

0,1,…,M-110/18/202361傅里葉變換的性質(zhì)——相關傅里葉變換的相關定理對于連續(xù)和離散相關都有下列定理成立：（在圖像處理中，相關的重要應用在于圖像匹配：確定是否有感興趣的區(qū)域。）10/18/202362傅里葉變換主要內(nèi)容圖像變換基礎傅里葉變換定義傅里葉變換的性質(zhì)快速傅里葉變換（只考慮一維的情況，根據(jù)傅里葉變換的分離性可知，二維傅里葉變換可由連續(xù)2次一維傅里葉變換得到）10/18/202363快速傅里葉變換（FFT）為什么需要快速傅里葉變換？μ

=

0,1,…,M-1對M個值中的每一個都需進行M次復數(shù)乘法（將f(x)與相乘）和M-1次加法，即復數(shù)乘法和加法的次數(shù)都正比于M2?？焖俑道锶~變換（FFT）則只需要Mlog2M次運算。

FFT算法與原始算法的計算量之比是(log2M)/M，如M=1024≈103，則原始變換算法需要106次計算，而FFT需要