人教版八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè) 第十二章 章末復(fù)習(xí)與小結(jié)

章末復(fù)習(xí)與小結(jié)第十二章全等三角形專題選講知識(shí)網(wǎng)絡(luò)重難突破課后習(xí)題知識(shí)網(wǎng)絡(luò)全等形全等三角形應(yīng)用對(duì)應(yīng)邊相等，對(duì)應(yīng)角相等邊邊邊（SSS）邊角邊（SAS）角邊角（ASA）角角邊（AAS）斜邊、直角邊（HL）判定性質(zhì)角平分線的性質(zhì)尺規(guī)作圖——作角平分線角的平分線的性質(zhì)定理角的平分線的性質(zhì)定理的逆定理方法專題4

證明三角形全等的常見思路與方法P30方法專題5構(gòu)造全等三角形的常用方法P38本章專題索引專題選講專題選講——

證明三角形全等的常見思路與方法證明三角形全等的常見思路與方法找邊找角類型四已知直角三角形的直角邊（或斜邊）相等，找斜邊（或直角邊）相等類型一已知兩邊對(duì)應(yīng)相等，找第三邊相等類型二已知兩角對(duì)應(yīng)相等，找夾邊相等類型三已知兩角對(duì)應(yīng)相等，找其中一角的對(duì)邊相等類型六已知一邊與一角對(duì)應(yīng)相等，找

另一角相等類型五已知兩邊對(duì)應(yīng)相等，找夾角相等專題選講——

證明三角形全等的常見思路與方法類型一已知兩邊對(duì)應(yīng)相等，找第三邊相等例如圖，EF=BC，DF=AC，DA=EB.求證：∠F=∠C.證明：∵DA=BE，∴DE=AB.在△ABC和△DEF中，∴△ABC≌△DEF（SSS）.∴∠F=∠C.

AB=DE，

AC=DF，

BC=EF，類型二已知兩角對(duì)應(yīng)相等，找夾邊相等例如圖，∠ABD=∠CDB,∠ADB=∠DBC，求證：△ABD≌△CDB.∴△ABD≌△CDB（ASA）.證明：在△ABD和△CDB中，∠ABD=∠CDB,BD=DB,∠ADB=∠CBD,專題選講——

證明三角形全等的常見思路與方法類型三已知兩角對(duì)應(yīng)相等，找其中一角的對(duì)邊相等專題選講——

證明三角形全等的常見思路與方法例兩塊完全相同的三角形紙板ABC和DEF按如圖所示的方式疊放，陰影部分為重疊部分，點(diǎn)O為邊AC和DF的交點(diǎn)，不重疊的兩部分△AOF與△DOC是否全等？為什么？類型三已知兩角對(duì)應(yīng)相等，找其中一角的對(duì)邊相等專題選講——

證明三角形全等的常見思路與方法解：全等.理由如下：∵兩三角形紙板完全相同，∴BC=BF,AB=BD,∠A=∠D，∴AB-BF=BD-BC,即AF=DC.在△AOF和△DOC中，∴△AOF≌△DOC.∠A=∠D,∠FOA=∠COD,AF=DC,類型四已知直角三角形的直角邊（或斜邊）相等，找斜邊（或直角邊）相等例如圖，∠A=90°，AB=BD，ED⊥BC于點(diǎn)D，判斷AE和DE之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由.專題選講——

證明三角形全等的常見思路與方法∴AE=DE.解：AE=DE.理由如下：連接BE.∵ED⊥BC，∴∠BDE=90°=∠A.在Rt△BEA和Rt△BED中，∴Rt△BEA≌Rt△BED（HL）.BE=BE，BA=BD，類型五已知兩邊對(duì)應(yīng)相等，找夾角相等例如圖，已知AB=AD，AC=AE，∠BAE=∠DAC.求證：∠C=∠E.專題選講——

證明三角形全等的常見思路與方法∴∠C=∠E.證明：∵∠BAE=∠DAC，∴∠BAE-∠CAE=∠DAC-∠CAE，即∠BAC=∠DAE.在△ABC和△ADE中，∴△ABC≌△ADE（SAS）.AB=AD，∠BAC=∠DAE，AC=AE，類型五已知兩邊對(duì)應(yīng)相等，找夾角相等專題選講——

證明三角形全等的常見思路與方法

利用全等三角形證明角相等，首先要找到兩個(gè)角所在的兩個(gè)三角形，看是否能證明這兩個(gè)三角形全等；有時(shí)會(huì)用到等角轉(zhuǎn)換，等角轉(zhuǎn)換的途徑很多，如：余角，補(bǔ)角的性質(zhì)、平行線的性質(zhì)。方法指導(dǎo)練一練：如圖，已知AD是△ABC中BC邊上的中線，延長(zhǎng)AD至點(diǎn)E，使DE=AD，連接BE，求證：△ACD≌△EBD.類型五已知兩邊對(duì)應(yīng)相等，找夾角相等專題選講——

證明三角形全等的常見思路與方法∴△ACD≌△EBD（SAS）.證明：∵AD是△ABC的中線，∴BD=CD.在△ACD和△EBD中，CD=BD,∠ADC=∠EDB,DA=DE,類型六已知一邊與一角對(duì)應(yīng)相等，找另一角相等例如圖，D是AC上一點(diǎn)，AB=DA，DE∥AB，∠B=∠DAE，求證：△ABC≌△DAE.專題選講——

證明三角形全等的常見思路與方法∴△ABC≌△DAE（ASA）.證明：∵DE∥AB，∴∠CAB=∠EDA.在△ABC和△DAE中，∠CAB=∠EDA,AB=DA,∠B=∠DAE,練一練：如圖，已知∠BDC=∠CEB=90°，BE，CD交于點(diǎn)O，且AO平分∠BAC，求證：（1）△ADO≌△AEO;（2）△BDO≌△CEO.類型六已知一邊與一角對(duì)應(yīng)相等，找另一角相等專題選講——

證明三角形全等的常見思路與方法類型六已知一邊與一角對(duì)應(yīng)相等，找另一角相等專題選講——

證明三角形全等的常見思路與方法∴△BDO≌△CEO（ASA）.證明：（1）∵AO平分∠BAC，∴∠DAO=∠EAO.∵∠BDC=∠CEB=90°,∴∠ADO=∠AEO.在△ADO和△AEO中，∴△ADO≌△AEO（AAS）.（2）∵△ADO≌△AEO,∴DO=EO.在△BDO和△CEO中，∠ADO=∠AEO,∠DAO=∠EAO,AO=AO,∠BDO=∠CEO,DO=EO,∠DOB=∠EOC,專題選講——

證明三角形全等的常見思路與方法

邊相等呈現(xiàn)的方式：

①公共邊（包括全部公共和部分公共）；②中點(diǎn).

角相等呈現(xiàn)的方式：

①公共角；②對(duì)頂角；③角平分線；④垂直；⑤平行.專題選講——

構(gòu)造全等三角形的常用方法類型一利用“角平分線”構(gòu)造全等三角形

因角平分線本身已經(jīng)具備全等的三個(gè)條件中的兩個(gè)（角相等和公共邊相等），故在處理角平分線問題時(shí)，常作以下輔助線構(gòu)造全等三角形：（1）在角的兩邊截取兩條相等的線段；（2）過角平分線上一點(diǎn)作角兩邊的垂線.方法指導(dǎo)例如圖，已知∠AOB=90°，OM是∠AOB的平分線，三角尺的直角頂點(diǎn)P在射線OM上滑動(dòng)，兩直角邊分別與OA，OB交于點(diǎn)C，D，求證：PC=PD.專題選講——

構(gòu)造全等三角形的常用方法方法一利用“角平分線”構(gòu)造全等三角形專題選講——

構(gòu)造全等三角形的常用方法方法一利用“角平分線”構(gòu)造全等三角形∴PC=PD.證明：過點(diǎn)P作PE⊥OA于點(diǎn)E，PF⊥OB于點(diǎn)F，∴∠PEC=∠PFD=90°.∵OM是∠AOB的平分線，∴PE=PF.∵∠AOB=90°,∠CPD=90°,∴∠PCE+∠PDO=360°-90°-90°=180°.∵∠PDO+∠PDF=180°，∴∠PCE=∠PDF.在△PCE和△PDF中，∴△PCE≌△PDF（AAS）.∠PCE=∠PDF,∠PEC=∠PFD,PE=PF,FE方法二利用“截長(zhǎng)補(bǔ)短法”構(gòu)造全等三角形

在△ABC中，AD平分∠BAC.如圖1，延長(zhǎng)AC到點(diǎn)E，使AE=AB，則△AED≌△ABD；如圖2，在AB上截取AE=AC，則△AED≌△ACD.方法指導(dǎo)專題選講——

構(gòu)造全等三角形的常用方法方法二利用“截長(zhǎng)補(bǔ)短法”構(gòu)造全等三角形例如圖，在△ABC中，AD平分∠BAC，∠C=2∠B，試判斷AB，AC，CD三者之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由.專題選講——

構(gòu)造全等三角形的常用方法方法二利用“截長(zhǎng)補(bǔ)短法”構(gòu)造全等三角形∴AB=AE+BE=AC+DE=AC+CD.解：AB=AC+CD.理由如下：在AB上取點(diǎn)E，使得AE=AC，連接DE.∵AD平分∠BAC，∴∠EAD=∠CAD.在△AED和△ACD中，∴△AED≌△ACD（SAS），∴∠AED=∠C，ED=CD.∵∠C=2∠B，且∠AED=∠B+∠BDE，∴∠B=∠BDE.過點(diǎn)E作EF⊥BD，∴∠EFB=∠EFD.在△BEF和△DEF中，∴△BEF≌△DEF（AAS）.∴BE=DE，EFAE=AC，∠EAD=∠CAD，AD=AD，∠B=∠EDF，∠EFB=∠EFD，EF=EF，專題選講——

構(gòu)造全等三角形的常用方法方法二利用“截長(zhǎng)補(bǔ)短法”構(gòu)造全等三角形專題選講——

構(gòu)造全等三角形的常用方法

遇到角平分線問題時(shí)，截長(zhǎng)補(bǔ)短，構(gòu)造全等三角形是一種常用的添加輔助線的方法.方法總結(jié)方法三利用“倍長(zhǎng)中線法”構(gòu)造全等三角形專題選講——

構(gòu)造全等三角形的常用方法例如圖，AB=AE，AB⊥AE，AD=AC，AD⊥AC，點(diǎn)M為BC的中點(diǎn).求證：DE=2AM.

將中線延長(zhǎng)一倍，然后利用“SAS”證三角形全等.方法指導(dǎo)方法三利用“倍長(zhǎng)中線法”構(gòu)造全等三角形專題選講——

構(gòu)造全等三角形的常用方法∴DE=NA∴DE=2AM.證明：延長(zhǎng)AM至點(diǎn)N，使MN=AM，連接BN.∵點(diǎn)M為BC的中點(diǎn)，∴BM=CM.在△AMC和△NMB中，∴△AMC≌△NMB（SAS）∴AC=BN,∠C=∠NBM,∴∠ABN=∠ABC+∠NBM=∠ABC+∠C=180°-∠BAC=∠EAD.∵AD=AC,∴BN=AD.在△ABN和△EAD中，∴△ABN≌△EAD（SAS）.AM=NM，∠AMC=∠NMB，MC=MB，AB=EA,∠ABM=∠EAD,BN=AD,N方法四巧用“三垂直”構(gòu)造全等三角形專題選講——

構(gòu)造全等三角形的常用方法

如圖，若AB=AC，AB⊥AC，則可過斜邊的兩端點(diǎn)B，C向過A點(diǎn)的直線作垂線構(gòu)造△ABD≌△CAE.在坐標(biāo)系中，過頂點(diǎn)A的直線常為x軸或y軸.方法指導(dǎo)方法四巧用“三垂直”構(gòu)造全等三角形專題選講——

構(gòu)造全等三角形的常用方法例如圖，在△ABC中，AB=BC，AB⊥BC，B（0，2），C（2，-2），求點(diǎn)A的坐標(biāo).方法四巧用“三垂直”構(gòu)造全等三角形專題選講——

構(gòu)造全等三角形的常用方法∴A（-4，0）.解：過點(diǎn)C作CM⊥y軸于點(diǎn)M.∵點(diǎn)B的坐標(biāo)為（0，2），點(diǎn)C的坐標(biāo)為（2，-2），∴BO=CM=OM=2.在Rt△AOB和Rt△BMC中，∴Rt△AOB≌Rt△BMC（HL）.BO=CM，AB=BC，∴AO=BM=BO+OM=4，M重難突破角平分線的性質(zhì)1B例1

如圖，AC平分∠BAD，CM⊥AB于點(diǎn)M，CN⊥AD于點(diǎn)N，且BM=DN，則∠ADC與∠ABC的大小關(guān)系是（）A.相等B.互補(bǔ)C.和為150°D.和為165