2021-2022學(xué)年福建省福鼎第一中學(xué)高二下學(xué)期第一次月考數(shù)學(xué)試題

20212022學(xué)年福建省福鼎第一中學(xué)高二下學(xué)期第一次月考數(shù)學(xué)試題一、單選題1．曲線y=﹣x3+3x2在點(diǎn)（1，2）處的切線方程為A．y=3x﹣1 B．y=﹣3x+5 C．y=3x+5 D．y=2x【答案】A【詳解】試題分析：根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出函數(shù)f（x）在x=1處的導(dǎo)數(shù)，從而求出切線的斜率，再用點(diǎn)斜式寫(xiě)出切線方程，化成斜截式即可．解：∵y=﹣x3+3x2∴y'=﹣3x2+6x，∴y'|x=1=（﹣3x2+6x）|x=1=3，∴曲線y=﹣x3+3x2在點(diǎn)（1，2）處的切線方程為y﹣2=3（x﹣1），即y=3x﹣1，故選A．點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程，屬于基礎(chǔ)題．2．已知分別為橢圓的左，右焦點(diǎn)，為上頂點(diǎn)，則的面積為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)橢圓方程求出焦點(diǎn)坐標(biāo)和點(diǎn)A的坐標(biāo)，進(jìn)而求出三角形的面積.【詳解】由橢圓方程得..故選：D.3．函數(shù)的減區(qū)間是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】由題可得，利用導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性的關(guān)系即求.【詳解】∵，∴，由得，，∴函數(shù)的減區(qū)間是.故選：C.4．已知函數(shù)在x=2處取得極值，則極小值為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用，求得，代入利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性，即可求解函數(shù)極小值.【詳解】由函數(shù)，可得，因?yàn)樵谔幦〉脴O值，可得，即，解得，所以，可得，令，得或，當(dāng)或時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)取得極小值，極小值為．故選：C.5．要做一個(gè)圓錐形漏斗，其母線長(zhǎng)為，要使其體積最大，則其高為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】設(shè)圓錐高為，利用表示出底面半徑，從而可構(gòu)造出關(guān)于圓錐體積的函數(shù)關(guān)系式；利用導(dǎo)數(shù)求得當(dāng)時(shí)，體積最大，從而得到結(jié)果.【詳解】設(shè)圓錐的高為，則圓錐底面半徑：圓錐體積：，令，解得：當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，當(dāng)，取最大值即體積最大時(shí)，圓錐的高為：本題正確選項(xiàng)：【點(diǎn)睛】本題考查利用函數(shù)思想來(lái)解決立體幾何中的最值問(wèn)題，關(guān)鍵是能夠構(gòu)造出關(guān)于所求變量的函數(shù)，從而利用導(dǎo)數(shù)來(lái)求解最值.6．設(shè)分別是橢圓C:的左右焦點(diǎn)，點(diǎn)，則橢圓的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】依題意可得，即可得到，兩邊平方，再根據(jù)，即可得到，從而得解；【詳解】解：依題意可得、，，因?yàn)?，所以，即，所以，，解得或（舍去），所以離心率；故選：B7．函數(shù)在區(qū)間上有最大值，則m的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】首先利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，即可得到函數(shù)的極值點(diǎn)，依題意因?yàn)樗o區(qū)間為開(kāi)區(qū)間，所以最值只能在極大值點(diǎn)處取得，再求出極大值，求出臨界點(diǎn)，即可求出參數(shù)的取值范圍．【詳解】解：因?yàn)?，所以，所以?dāng)或時(shí)，當(dāng)時(shí)，所以在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以在處取得極大值，在處取得極小值，因?yàn)樵谏嫌凶畲笾?，所以極大值點(diǎn)，又，當(dāng)時(shí)，即，解得或，所以，故選：D．8．已知曲線與直線相切，且滿(mǎn)足條件的值有且只有個(gè)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為，求出曲線在處的切線方程，將點(diǎn)的坐標(biāo)代入切線方程可得出，可知關(guān)于的方程有三個(gè)解，由參變量分離法可得出，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性與極值，數(shù)形結(jié)合可得出實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為，對(duì)函數(shù)求導(dǎo)得，所以，曲線在處的切線方程為，因?yàn)橹本€過(guò)定點(diǎn)，將點(diǎn)的坐標(biāo)代入切線方程得，由題意可知，關(guān)于的方程有三個(gè)解，顯然不滿(mǎn)足方程，則，令，則，列表如下：增減極小值減所以，函數(shù)的極小值為，且，如下圖所示：由題意可知，當(dāng)時(shí)，直線與曲線有三個(gè)交點(diǎn)，故選：D.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：利用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題的方法：（1）直接法：先對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的方法求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與極值，根據(jù)函數(shù)的基本性質(zhì)作出圖象，然后將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象與軸的交點(diǎn)問(wèn)題，突出導(dǎo)數(shù)的工具作用，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化與化歸思想、數(shù)形結(jié)合思想和分類(lèi)討論思想的應(yīng)用；（2）構(gòu)造新函數(shù)法：將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為研究?jī)珊瘮?shù)圖象的交點(diǎn)問(wèn)題；（3）參變量分離法：由分離變量得出，將問(wèn)題等價(jià)轉(zhuǎn)化為直線與函數(shù)的圖象的交點(diǎn)問(wèn)題.二、多選題9．下列求導(dǎo)運(yùn)算正確的有（

）A．B．C．D．【答案】AD【分析】利用基本函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式及導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則即得.【詳解】對(duì)于A，，故A正確；對(duì)于B，，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，，故D正確.故選：AD.10．已知橢圓M：的左右焦點(diǎn)分別為，左右頂點(diǎn)分別為，P是橢圓上異于的任意一點(diǎn)，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．周長(zhǎng)為B．面積最大值為C．存在點(diǎn)P滿(mǎn)足：D．若面積為，則點(diǎn)P橫坐標(biāo)為【答案】BD【分析】根據(jù)橢圓的定義判斷A，利用橢圓的性質(zhì)可得面積最大值判斷B，求出當(dāng)是短軸端點(diǎn)時(shí)的后可判斷C，由三角形面積求得點(diǎn)坐標(biāo)后可判斷D．【詳解】由題意，，，短軸一個(gè)端點(diǎn)，由題知，故周長(zhǎng)為，故A錯(cuò)誤；利用橢圓的性質(zhì)可知面積最大值為，故B正確；因?yàn)椋?，從而，而是橢圓上任一點(diǎn)時(shí)，當(dāng)是短軸端點(diǎn)時(shí)最大，因此不存在點(diǎn)滿(mǎn)足，故C錯(cuò)誤；因?yàn)?，，則，，故D正確．故選：BD．11．下列說(shuō)法正確的是（

）A．若函數(shù)滿(mǎn)足則函數(shù)在處切線斜率為B．函數(shù)在區(qū)間上存在增區(qū)間，則C．函數(shù)在區(qū)間上有極值點(diǎn)，則D．若任意，都有，則有實(shí)數(shù)的最大值為【答案】ABD【分析】利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義可判斷A，利用二次函數(shù)的性質(zhì)可判斷B，利用導(dǎo)數(shù)和極值的關(guān)系可判斷C，構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性可判斷D.【詳解】對(duì)于A，由，可知函數(shù)在處切線斜率為，故A正確；對(duì)于B，由函數(shù)在區(qū)間上存在增區(qū)間，可知，所以，故B正確；對(duì)于C，由，可得，則在區(qū)間上有變號(hào)零點(diǎn)，即在區(qū)間上有解，又，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)沒(méi)有極值，故，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，令，則，所以，函數(shù)單調(diào)遞增，，函數(shù)單調(diào)遞減，又任意，都有，即，故，即實(shí)數(shù)的最大值為，故D正確.故選：ABD.12．若函數(shù)的圖象是連續(xù)的平滑曲線，且在區(qū)間上恒非負(fù)，則其圖象與直線軸圍成的封閉圖形的面積稱(chēng)為在區(qū)間上的“圍面積”.根據(jù)牛頓萊布尼茨公式，計(jì)算面積時(shí)，若存在函數(shù)滿(mǎn)足則為在區(qū)間上的圍面積.下列圍面積計(jì)算正確的是（

）A．函數(shù)在區(qū)間上的圍面積是B．函數(shù)在區(qū)間上的圍面積是C．函數(shù)在區(qū)間上的圍面積是D．函數(shù)在區(qū)間上的圍面積是【答案】BCD【分析】根據(jù)定積分的定義和性質(zhì)逐個(gè)分析求解即可【詳解】對(duì)于A，函數(shù)在區(qū)間上是連續(xù)的非負(fù)函數(shù)，且存在滿(mǎn)足，所以函數(shù)在區(qū)間上的圍面積是，所以A錯(cuò)誤，對(duì)于B，函數(shù)在區(qū)間上是連續(xù)的非負(fù)函數(shù)，且存在滿(mǎn)足，所以函數(shù)在區(qū)間上圍面積是，所以B正確，對(duì)于C，函數(shù)在區(qū)間上是連續(xù)的非負(fù)函數(shù)，且存在，滿(mǎn)足，所以函數(shù)在區(qū)間上的圍面積是，所以C正確，對(duì)于D，函數(shù)在區(qū)間上是連續(xù)的非負(fù)函數(shù)，且存在，滿(mǎn)足，所以函數(shù)在區(qū)間上的圍面積是，所以D正確，故選：BCD三、填空題13．函數(shù)有2個(gè)極值點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是________【答案】【分析】由題意可知有兩個(gè)不相等的實(shí)根，從而可可求出實(shí)數(shù)的取值范圍【詳解】由，得，因?yàn)楹瘮?shù)有2個(gè)極值點(diǎn)，所以有兩個(gè)不相等的實(shí)根，所以，解得或，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是，故答案為：14．已知橢圓的焦點(diǎn)F1、F2在x軸上，它與y軸的一個(gè)交點(diǎn)為P，且△PF1F2為正三角形，且焦點(diǎn)到橢圓上的點(diǎn)的最短距離為，則橢圓的方程為_(kāi)______．【答案】【分析】由題意設(shè)橢圓方程為，可得焦點(diǎn)坐標(biāo)和點(diǎn)的坐標(biāo)，然后由已知可得，則可得，再根據(jù)焦點(diǎn)到橢圓上的點(diǎn)的最短距離為，得，從而可求出，再利用可求出，進(jìn)而可得橢圓方程【詳解】由題意設(shè)橢圓方程為，則，當(dāng)時(shí)，，不妨設(shè)，因?yàn)椤鱌F1F2為正三角形，所以，即，所以，因?yàn)榻裹c(diǎn)到橢圓上的點(diǎn)的最短距離為，所以，解得，所以，所以橢圓方程為，故答案為：15．已知函數(shù)則滿(mǎn)足的取值范圍是_________【答案】【分析】利用的單調(diào)性解不等式【詳解】，而，，均在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，故在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，則可化為，解得故答案為：16．已知函數(shù)的圖象上存在點(diǎn)，函數(shù)的圖象上存在點(diǎn)，且、關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為_(kāi)_______【答案】【分析】設(shè)則，可得，構(gòu)造函數(shù)，，求值域即可.【詳解】設(shè)則所以，，聯(lián)立可得，即對(duì)于有解，令，則，由可得：；由可得：，所以在單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，，又，所以，所以值域?yàn)?，即可得的取值范圍為，故答案為?【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵在于把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)，，利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的值域即得.四、解答題17．設(shè)函數(shù)，若函數(shù)的圖象在點(diǎn)處與直線相切．(1)求實(shí)數(shù)、的值；(2)求函數(shù)極值﹒【答案】(1)1、；(2)極大值為，無(wú)極小值﹒【分析】(1)由題可知，解方程組即可得a、b的值；(2)根據(jù)導(dǎo)數(shù)求f(x)單調(diào)性，根據(jù)單調(diào)性即可求極值.【詳解】(1)，由題可知，解得，；(2)由(1)可知，，，x＞0，時(shí)，，單調(diào)遞增，時(shí)，，單調(diào)遞減，∴f(x)有極大值，無(wú)極小值.18．已知函數(shù)(1)討論在定義域內(nèi)的單調(diào)性；(2)若，且在上的最小值為，求實(shí)數(shù)的值.【答案】(1)答案見(jiàn)解析；(2).【分析】（1）求導(dǎo)后，分別在和兩種情況下，根據(jù)正負(fù)可得單調(diào)性；（2）分別在、和三種情況下，根據(jù)單調(diào)性確定最小值點(diǎn)，利用最小值可構(gòu)造方程求得結(jié)果.【詳解】(1)由題意知：定義域?yàn)?，；?dāng)時(shí)，在上恒成立，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，令，解得：，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；綜上所述：當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.(2)由（1）知：當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；若，則在上單調(diào)遞增，，不合題意；若，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，，解得：；若，則在上單調(diào)遞減，，解得：，不合題意；綜上所述：.19．某同學(xué)大學(xué)畢業(yè)后，決定利用所學(xué)專(zhuān)業(yè)進(jìn)行自主創(chuàng)業(yè)，經(jīng)過(guò)市場(chǎng)調(diào)查，生產(chǎn)一小型電子產(chǎn)品需投入固定成本2萬(wàn)元，每生產(chǎn)萬(wàn)件，需另投入流動(dòng)成本萬(wàn)元，當(dāng)年產(chǎn)量小于萬(wàn)件時(shí)，（萬(wàn)元）；當(dāng)年產(chǎn)量不小于萬(wàn)件時(shí)，（萬(wàn)元）.已知每件產(chǎn)品售價(jià)為元，假若該同學(xué)生產(chǎn)的商品當(dāng)年能全部售完.（1）寫(xiě)出年利潤(rùn)（萬(wàn)元）關(guān)于年產(chǎn)量（萬(wàn)件）的函數(shù)解析式；（注：年利潤(rùn)=年銷(xiāo)售收入固定成本流動(dòng)成本）（2）當(dāng)年產(chǎn)量約為多少萬(wàn)件時(shí)，該同學(xué)的這一產(chǎn)品所獲年利潤(rùn)最大？最大年利潤(rùn)是多少？（取）.【答案】（1）；（2）當(dāng)年產(chǎn)量萬(wàn)件時(shí)，年利潤(rùn)最大，最大年利潤(rùn)為萬(wàn)元.【分析】（1）根據(jù)題中條件，分和兩種情況，分別求出對(duì)應(yīng)的解析式，即可得出結(jié)果；（2）根據(jù)（1）中解析式，分別求出和兩種情況下，的最大值，即可得出結(jié)果.【詳解】（1）因?yàn)槊考a(chǎn)品售價(jià)為元，則萬(wàn)件商品銷(xiāo)售收入為萬(wàn)元，由題意可得，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；所以；（2）由（1）可得，當(dāng)，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立；當(dāng)時(shí)，，則，所以，當(dāng)時(shí)，，即函數(shù)單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，即函數(shù)單調(diào)遞減；所以當(dāng)時(shí)，取得最大值；綜上，當(dāng)時(shí)，取得最大值萬(wàn)元；即當(dāng)年產(chǎn)量為時(shí)，該同學(xué)的這一產(chǎn)品所獲年利潤(rùn)最大，最大年利潤(rùn)是萬(wàn)元.【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：導(dǎo)數(shù)的方法求函數(shù)最值的一般步驟：（1）先對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的方法判定函數(shù)在給定區(qū)間的單調(diào)性；（2）根據(jù)函數(shù)單調(diào)性，即可求出函數(shù)的最值.20．已知函數(shù)為實(shí)數(shù)）．（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）若在上恒成立，求的范圍；【答案】（I）見(jiàn)解析；（Ⅱ）【分析】(Ⅰ)求得函數(shù)的導(dǎo)數(shù)令，解得或，根據(jù)根的大小三種情況分類(lèi)討論，即可求解．（II）依題意有在上的恒成立，轉(zhuǎn)化為在上的恒成立，設(shè)，，利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)的單調(diào)性與最大值，即可求解．【詳解】(Ⅰ)由題意，函數(shù)，則令，解得或，①當(dāng)時(shí)，有，有，故在上單調(diào)遞增；②當(dāng)時(shí)，有，隨的變化情況如下表：極大極小由上表可知在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；③同②當(dāng)時(shí)，有，有在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；綜上，當(dāng)時(shí)，在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．（II）依題意有在上的恒成立，即在上的恒成立，故在上的恒成立，設(shè)，，則有…（）易得，令，有，，隨的變化情況如下表：極大由上表可知，又由（）式可知，故的范圍為．【點(diǎn)睛】本題主要考查導(dǎo)數(shù)在函數(shù)中的綜合應(yīng)用，以及恒成立問(wèn)題的求解，著重考查了轉(zhuǎn)化與化歸思想、邏輯推理能力與計(jì)算能力，對(duì)于恒成立問(wèn)題，通常要構(gòu)造新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求出最值，進(jìn)而得出相應(yīng)的含參不等式，從而求出參數(shù)的取值范圍；也可分離變量，構(gòu)造新函數(shù)，直接把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問(wèn)題．21．已知橢圓()的離心率為，點(diǎn)在橢圓上.（1）求橢圓的方程；（2）已知直線與橢圓交于A，兩點(diǎn)，點(diǎn)的坐標(biāo)為，且，求實(shí)數(shù)的值.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）由離心率可得，將代入橢圓可求得，得出橢圓方程；（2）聯(lián)立直線與橢圓方程，利用韋達(dá)定理即可求得.【詳解】（1）橢圓的離心率，，則，點(diǎn)在橢圓上，，解得，則，橢圓的方程為.（2）設(shè).聯(lián)立，得.，即，，，，，整理得，解得，滿(mǎn)足，故.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：解決直線與圓錐曲線相交問(wèn)題的常用步驟：（1）得出直線方程，設(shè)交點(diǎn)為，；（2）聯(lián)立直線與曲線方程，得到關(guān)于（或）的一元二次方程；（3）寫(xiě)出韋達(dá)定理；（4）將所求問(wèn)題或題中關(guān)系轉(zhuǎn)化為形式；（5）代入韋達(dá)定理求解.22．已知函數(shù)（，為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)），是的導(dǎo)數(shù).（1）當(dāng)時(shí)，求證：；（2）是否存在整數(shù)，使得對(duì)一切恒成立？若存在，求出