北師大版九年級數學下冊 （二次函數）教育課件

2.1二次函數九年級下冊

學習目標12經歷探索和表示二次函數關系的過程,獲得用二次函數表示變量之間關系的體驗.能夠表示簡單變量之間的二次函數關系.3能夠利用嘗試求值的方法解決實際問題.自主學習檢測1.下列函數中，不是二次函數的是（）2.函數是二次函數的條件是（）A．m、n為常數，且m≠0 B．m、n為常數，且m≠nC．m、n為常數，且n≠0 D．m、n可以為任何常數CB自主學習檢測3.如果函數y=+kx+1是二次函數,則k的值是______4.如果函數y=(k-3)+kx+1是二次函數,則k的值是______0或30什么是函數？什么叫做一次函數？什么叫做反比例函數？函數有哪些表示方法？在某個變化過程中，有兩個變量x和y，如果對于x

的每一個可取的值，都有唯一一個y

值與它對應，那么y稱為x的函數。形如y=kx+b(k、b為常數，k≠0)

解析法列表法圖象法情景引入二次函數某果園有100棵橙子樹,每一棵樹平均結600個橙子.現準備多種一些橙子樹以提高產量,但是如果多種樹,那么樹之間的距離和每一棵樹所接受的陽光就會減少.根據經驗估計,每多種一棵樹,平均每棵樹就會少結5個橙子.(1)問題中有那些變量？其中哪些是自變量？哪些是因變量？(2)假設果園增種x棵橙子樹,那么果園共有多少棵橙子樹？這時平均每棵樹結多少個橙子？(3)如果果園橙子的總產量為y個,那么請你寫出y與x之間的關系式.課堂探究（1）自變量：橙子樹的棵樹或增加的棵樹，橙子樹間的距離、橙子樹接受陽光的多少等。因變量：橙子的個數，橙子的質量等。（2）假設果園增種x棵橙子樹,那么果園共有（100+x）棵橙子樹，這時平均每棵樹結（600-5x）個橙子？(3)如果果園橙子的總產量為y個，那么y

=(100+x)(600-5x)=-5x2+100x+60000.課堂探究銀行的儲蓄利率是隨時間的變化而變化的,也就是說，利率是一個變量.在我國,利率的調整是由中國人民銀行根據國民經濟發(fā)展的情況而決定的.設人民幣一年定期儲蓄的年利率是x,一年到期后,銀行將本金和利息自動按一年定期儲蓄轉存.如果存款額是100元,那么請你寫出兩年后的本息和y(元)的表達式(不考慮利息稅).y=100(x+1)2=100x2+200x+100.課堂探究例1已知矩形的周長為40cm，它的面積可能是100cm2嗎？可能是75cm2嗎？還可能是多少？你能表示這個矩形的面積與邊長的關系嗎？解:設其中一邊長為xcm,面積為y，

則y=-x2+20x

當y=100時,即-x2+20x=100

解得

x1=x2=10.

同理當y=-x2+20x=75時,

解得x1=5,x2=15.

這個矩形的面積y與其一邊長x的關系為y=-x2+20x.

兩邊長和為20cm的都可以作為該矩形的長和寬,所以其面積還可以為96,91,84,….典例精析例2兩數的和是20，設其中一個數為x，你能寫出這兩個數的積的表達式嗎？解:設其中一數為x,積為y，

則另一個數為（20-x）

y=x（20-x）=-x2+20x這兩個數的積y與其中一個數x的關系為y=-x2+20x.典例精析二次函數例如y是x的二次函數y=-5x2+100x+60000,y=100x2+200x+100，y=-x2+20x。s是r的二次函數：S=πr2h是t的二次函數:h=?gt2定義：一般地,若兩個變量x、y之間的對應關系可以表示成y=ax2+bx+c(a,b,c是常數,a≠0)的形式，則稱y是x的二次函數.提示:(1)關于x的代數式一定是整式,a,b,c為常數,且a≠0.(2)等式的右邊最高次數為2,可以沒有一次項和常數項,但不能沒有二次項.結論歸納已知函數y=（m2-1）x2+（m-1）x+3，（1）當m為何值時，此函數是二次函數？（2）當m為何值時，此函數是一次函數？解：（1）當m2-1≠0，即m≠±1時，此函數是二次函數。（2）當m2-1=0時，且m-1≠0，即m=-1時，此函數是一次函數。教材延伸

2、在一定條件下，若物體運動的路程s(m)與時間t(s)之間的函數關系式為s=5t2+2t,則當t=4s時，該物體所經過的路程為（）A.28mB.48mC.68mD.88m3、已知二次函數y=1-3x+5x2,則其二次項的系數a，一次項的系數b和常數項c是（

）A.a=1,b=-3,c=5B.a=1,b=3,=1,c=5C.a=5,b=3,c=1D.a=5,b=-3,c=1CDD隨堂檢測4、某廠今年一月份新產品的研發(fā)資金為a元，以后每月新產品的研發(fā)資金與上月相比增長率都是x，則該廠今年三月新產品的研發(fā)資金y(元）與x之間的函數關系式為___________5、若函數y=（m-3)xm-1是x的二次函數，則m=_____6、（1）二次函數y=x2-2x-4,當x=3時，函數y的值為（

）；當x=（

）時，函數y的值-1；（2)二次函數y=ax2+3x,當x=2時，y=14,當x=-2時，y=(

)y=a(1+x)2-3-13或-12隨堂檢測定義中應該注意的幾個問題:1.定義：一般地,形如y=ax2+bx+c(a,b,c是常數,a≠0)的函數叫做x的二次函數.y=ax2+bx+c(a,b,c是常數,a≠0)的幾種不同表示形式:(1)y=ax2(a≠0,b=0,c=0,).(2)y=ax2+c(a≠0,b=0,c≠0).(3)y=ax2+bx(a≠0,b≠0,c=0).2.定義的實質是：ax2+bx+c是整式,自變量x的最高次數是二次,自變量x的取值范圍是全體實數.自主歸納二次函數的圖象與性質第1課時

復習舊知1.二次函數的定義

一般地，形如y=ax2+bx+c（a，b，c是常數，a≠0）的函數叫做x的二次函數.（1）列表.（3）連線.（2）描點.2.畫函數圖象的主要步驟是什么？導入新知（1）一次函數的圖象是

．一條直線3.你還記得一次函數與反比例函數的圖象嗎？一次函數y=kx+b(k≠0)

xyob<0b>0b=0xyob<0b>0b=0（2)反比例函數的圖象是

.雙曲線

0xy問題:二次函數的圖象是什么形狀呢？新知講解畫二次函數y=x2的圖象.x···-3-2-10123···y=x2···9410149···1.列表:在y=x2中,自變量x可以是任意實數.新知講解

2.描點:根據表中x,

y的數值在坐標平面中描點(x,

y).3.連線:用平滑的曲線順次連接各點,就得到y=x2的圖象.369yO-33x新知講解24-2-4O369xy1.你能描述圖象的形狀嗎？二次函數y=x2的圖象是一條拋物線，并且拋物線開口向上.當x<0時，y隨x的增大而減小；當x>0時，y隨x的增大而增大.2.圖象與x軸有交點嗎？如果有，交點坐標是什么？有，(0,0).3.當x<0時，隨著x值的增大，y的值如何變化？當x>0時呢？4.當x取何值時，y的值最?。孔钚≈凳鞘裁?？x=0時，ymin=0.議一議新知講解5.圖象是軸對稱圖形嗎？如果是，它的對稱軸是什么？請你找出幾對對稱點.是軸對稱圖形，對稱軸是y軸（直線x=0）；如（1，1）和（-1，1）等.練一練二次函數y=x2的圖象是一條拋物線，開口方向：向上對稱軸：y軸頂點：對稱軸與拋物線的交點，它是圖象的最低點.坐標為（0,0）合作探究二次函數y=－x2的圖象是什么形狀?它與二次函數y=x2的圖象有什么關系?二次函數y=－x2的圖象也是一條拋物線,它的開口向下,關于y軸對稱.對稱軸與拋物線的交點是拋物線的頂點,它是圖象的最高點.y=x2和

y=－x2的圖象關于x軸對稱.24-2-40-3-6-9xy歸納總結24-2-40-3-6-9x二次函數

y=-x2圖象是一條開口向下的拋物線；對稱軸：y軸；當x<0時，y隨x的增大而增大；當x>0時，y隨x的增大而減小，當x=0時，ymax=0.頂點：坐標（0，0），是拋物線上的最高點.新知講解問題1：根據y=x2和y=-x2的圖像，試著探究二次函數y=ax2的性質.-1-2-3-451-23-4-5-12-34-512345yOxy=x2

y=-x2

對稱軸都是y軸共同點：頂點都是坐標原點不同點：當a>0時，開口向上；當a<0時，開口向下．二次項系數互為相反數，開口相反，大小相同，它們關于x軸對稱.聯系：新知講解-1-2-3-451-23-4-5-12-34-512345yOx對于拋物線y=ax2（a＞0）當x＞0時，y隨x取值的增大而增大；當x<0時，y隨x取值的增大而減小.當x<0時，y隨x取值的增大而增大.對于拋物線y=ax2（a＜0）當x＞0時，y隨x取值的增大而減小；要點歸納y＝x2y＝－x2圖象開口向上,在x軸上方開口向下,在x軸下方關于y軸對稱，對稱軸方程是直線x＝0頂點坐標是原點（0，0）當x=0時，y最小值=0當x=0時，y最大值=0在對稱軸左側遞減在對稱軸右側遞增在對稱軸左側遞增在對稱軸右側遞減yOxyOx位置開口方向對稱性頂點最值增減性典例精析

已知二次函數y=x2.求：（1）當x=5時，y的值；（2）當y=4時，x的值；（3）當x為何值時，y隨x的增大而增大？解：（1）把x=5代入，得

y=52=25.

（2）把y=4代入，得

x2=4，解得x=±2.（3）當x＞0時，y隨x的增大而增大.練一練

已知函數y=ax2的圖象過點（3，9）和（2，t）.（1）求a和t的值；（2）試判斷這個函數的圖象是否過點（-3，9）解：（1）把x=3，y=9代入，得9=a×32.∴a=1把x=2，y=t，代入y=x2

，得22=t，∴t=4（2）把x=-3,y=9代入y=x2

，得(-3)2=9∴這個函數的圖象過點(-3,9)