2023-2024學(xué)年蘇教版必修第二冊 13-2-3　第二課時(shí)　直線與平面垂直 學(xué)案

第二課時(shí)直線與平面垂直新課程標(biāo)準(zhǔn)解讀核心素養(yǎng)借助長方體，通過直觀感知，了解空間中直線與平面垂直的判定定理與性質(zhì)定理數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理、直觀想象木工要檢查一根木棒是否和板面垂直，只需用曲尺在不同的方向（但不是相反的方向）檢查兩次，如圖.如果兩次檢查時(shí)，曲尺的兩邊都分別與木棒和板面密合，便可以判定木棒與板面垂直.問題（1）用“L”形木尺檢查一次能判定木棒與板面垂直嗎？（2）上述問題說明了直線與平面垂直的條件是什么？

知識點(diǎn)一直線與平面垂直的定義1.定義：如果直線a與平面α內(nèi)的任意一條直線都垂直，那么稱直線a與平面α垂直，記作a⊥α.直線a叫作平面α的垂線，平面α叫作直線a的垂面，垂線和平面的交點(diǎn)稱為垂足.2.畫法：通常把直線畫成與表示平面的平行四邊形的一邊垂直，如圖：如果一條直線垂直于一個(gè)平面內(nèi)的無數(shù)條直線，那么這條直線是否與這個(gè)平面垂直？提示：不一定垂直.直線可能落在平面內(nèi).直線l與平面α內(nèi)的無數(shù)條直線垂直，則直線l與平面α的關(guān)系是（）A.l和平面α相互平行B.l和平面α相互垂直C.l在平面α內(nèi)D.不能確定解析：D如圖所示，直線l和平面α相互平行、直線l和平面α相互垂直或直線l在平面α內(nèi)都有可能.故選D.知識點(diǎn)二點(diǎn)到平面的距離1.點(diǎn)到平面的距離從平面外一點(diǎn)引平面的垂線，這個(gè)點(diǎn)和垂足間的距離，叫作這個(gè)點(diǎn)到這個(gè)平面的距離.2.直線到平面的距離一條直線和一個(gè)平面平行，這條直線上任意一點(diǎn)到這個(gè)平面的距離，叫作這條直線和這個(gè)平面的距離.知識點(diǎn)三直線與平面垂直的判定定理及性質(zhì)定理1.判定定理文字語言如果一條直線與一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線垂直，那么該直線與此平面垂直符號語言a⊥m，a⊥n，m∩n＝A，m?α，n?α，則a⊥α圖形語言2.性質(zhì)定理文字語言垂直于同一個(gè)平面的兩條直線平行符號語言a⊥αb⊥α?圖形語言作用①線面垂直?線線平行；②作平行線1.過一點(diǎn)有幾條直線與已知平面垂直？提示：有且僅有一條直線.假設(shè)過一點(diǎn)有兩條直線與已知平面垂直，由直線與平面垂直的性質(zhì)定理可得這兩條直線平行，即無公共點(diǎn).這與過同一點(diǎn)相矛盾，故只有一條直線.2.過一點(diǎn)有幾個(gè)平面與已知直線垂直？提示：有且僅有一個(gè)平面.1.若三條直線OA，OB，OC兩兩垂直，則直線OA垂直于（）A.平面OABB.平面OACC.平面OBCD.平面ABC解析：C由線面垂直的判定定理知OA垂直于平面OBC.2.已知直線a，b，平面α，且a⊥α，下列條件中，能推出a∥b的是（）A.b∥αB.b?αC.b⊥αD.b與α相交解析：C由線面垂直的性質(zhì)定理可知，當(dāng)b⊥α，a⊥α?xí)r，a∥b.知識點(diǎn)四直線與平面所成的角有關(guān)概念對應(yīng)圖形斜線一條直線與一個(gè)平面相交，但不和這個(gè)平面垂直，這條直線叫作這個(gè)平面的斜線斜足斜線與平面的交點(diǎn)，如圖中點(diǎn)Q有關(guān)概念對應(yīng)圖形斜線段斜線上一點(diǎn)與斜足間的線段叫作這個(gè)點(diǎn)到平面的斜線段，如圖中PQ射影如圖，過平面外一點(diǎn)P向平面α引斜線和垂線，那么過斜足Q和垂足P1的直線就是斜線在平面內(nèi)的射影，線段P1Q就是斜線段PQ在平面α內(nèi)的射影有關(guān)概念對應(yīng)圖形直線與平面所成的角定義：平面的一條斜線與它在這個(gè)平面內(nèi)的射影所成的銳角.規(guī)定：如果一條直線垂直于平面，那么稱它們所成的角是直角；如果一條直線與平面平行或在平面內(nèi)，那么稱它們所成的角是0°角取值范圍設(shè)直線與平面所成的角為θ，則0°≤θ≤90°提醒對直線與平面所成的角的三點(diǎn)說明：①點(diǎn)P是斜線上不同于斜足Q的任意一點(diǎn)，點(diǎn)P具有隨意性；②斜線在平面上的射影是過斜足和垂足的一條直線，而不是線段；③求一條直線與平面所成的角，可先作出直線在平面內(nèi)的射影，從而得到直線與平面所成的角，再進(jìn)一步求解.如圖所示，AB是☉O的直徑，PA⊥☉O所在的平面，C是圓上一點(diǎn)，且∠ABC＝30°，PA＝AB，則直線PC與平面ABC所成角的正切值為.

解析：因?yàn)镻A⊥平面ABC，所以AC為斜線PC在平面ABC上的射影，所以∠PCA即為PC與平面ABC所成的角.在△ABC中，AC＝12AB＝12PA，即PA＝2AC，所以tan∠PCA＝PA答案：2題型一線面垂直的判定【例1】如圖所示，AB為☉O的直徑，PA垂直于☉O所在的平面，M為圓周上任意一點(diǎn)，AN⊥PM，N為垂足.求證：AN⊥平面PBM.證明因?yàn)锳B為☉O的直徑，所以AM⊥BM.又因?yàn)镻A⊥平面ABM，所以PA⊥BM.因?yàn)镻A∩AM＝A，所以BM⊥平面PAM.又AN?平面PAM，所以BM⊥AN.因?yàn)锳N⊥PM，且BM∩PM＝M，所以AN⊥平面PBM.（變設(shè)問）在本例條件下，若AQ⊥PB，Q為垂足，證明PB⊥平面ANQ.證明：由本例知AN⊥平面PBM，PB?平面PBM，所以AN⊥PB.因?yàn)锳Q⊥PB，AN∩AQ＝A，所以PB⊥平面ANQ.通性通法證明線面垂直的方法（1）線線垂直證明線面垂直：①定義法（不常用，但由線面垂直可得出線線垂直）；②判定定理法：要著力尋找平面內(nèi)的兩條相交直線（有時(shí)作輔助線），結(jié)合平面圖形的性質(zhì)（如勾股定理逆定理、等腰三角形底邊中線等）及一條直線與平行線中一條垂直也與另一條垂直等結(jié)論來論證線線垂直；（2）平行轉(zhuǎn)化法：a∥b，a⊥α?b⊥α.如圖，在四面體P-ABC中，已知BC＝6，PC＝10，PB＝234.F是線段PB上一點(diǎn)，CF＝151734，點(diǎn)E在線段AB上，且EF⊥PB.求證：PB⊥平面證明：在△PCB中，∵PC＝10，BC＝6，PB＝234，∴PC2＋BC2＝PB2，∴△PCB為直角三角形，PC⊥BC，又PC·BC＝PB·CF，∴PB⊥CF.又EF⊥PB，EF∩CF＝F，∴PB⊥平面CEF.題型二線面垂直的性質(zhì)定理的應(yīng)用【例2】如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是矩形，AB⊥平面PAD，AD＝AP，E是PD的中點(diǎn)，M，N分別在AB，PC上，且MN⊥AB，MN⊥PC.證明：AE∥MN.證明∵AB⊥平面PAD，AE?平面PAD，∴AE⊥AB，又AB∥CD，∴AE⊥CD.∵AD＝AP，E是PD的中點(diǎn)，∴AE⊥PD.又CD∩PD＝D，CD，PD?平面PCD，∴AE⊥平面PCD.∵M(jìn)N⊥AB，AB∥CD，∴MN⊥CD.又∵M(jìn)N⊥PC，PC∩CD＝C，PC，CD?平面PCD，∴MN⊥平面PCD，∴AE∥MN.通性通法證明線線平行的常用方法（1）利用線線平行的定義：證明共面且無公共點(diǎn)；（2）利用基本事實(shí)4：證明兩線同時(shí)平行于第三條直線；（3）利用線面平行的性質(zhì)定理：把證明線線平行轉(zhuǎn)化為證明線面平行；（4）利用線面垂直的性質(zhì)定理：把證明線線平行轉(zhuǎn)化為證明線面垂直.如圖所示，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，M是AB上一點(diǎn)，N是A1C的中點(diǎn)，MN⊥平面A1DC.求證：MN∥AD1.證明：因?yàn)樗倪呅蜛DD1A1為正方形，所以AD1⊥A1D.又因?yàn)镃D⊥平面ADD1A1，所以CD⊥AD1.因?yàn)锳1D∩CD＝D，所以AD1⊥平面A1DC.又因?yàn)镸N⊥平面A1DC，所以MN∥AD1.題型三求直線與平面所成的角【例3】如圖所示，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，求直線A1B和平面A1B1CD所成的角.解如圖，連接BC1交B1C于點(diǎn)O，連接A1O，設(shè)正方體的棱長為a，因?yàn)锳1B1⊥B1C1，A1B1⊥B1B，所以A1B1⊥平面BCC1B1，又BC1?平面BCC1B1.所以A1B1⊥BC1，又因?yàn)锽C1⊥B1C，且A1B1∩B1C＝B1，所以BC1⊥平面A1B1CD.所以A1O為斜線A1B在平面A1B1CD內(nèi)的射影.所以∠BA1O為直線A1B與平面A1B1CD所成的角.在Rt△A1BO中，A1B＝2a，BO＝22a所以BO＝12A1B，∠BA1O＝因此，直線A1B和平面A1B1CD所成的角為30°.通性通法求直線與平面所成角的步驟（1）作圖：作（或找）出斜線在平面內(nèi)的射影，作射影要過斜線上一點(diǎn)作平面的垂線，再過垂足和斜足作直線，注意斜線上點(diǎn)的選取以及垂足的位置要與問題中已知量有關(guān)，才能便于計(jì)算；（2）證明：證明某平面角就是斜線與平面所成的角；（3）計(jì)算：通常在垂線段、斜線和射影所組成的直角三角形中計(jì)算.如圖所示，在邊長為2的菱形ABCD中，∠ABC＝60°，PC⊥平面ABCD，PC＝2，求PA與平面PBC所成角的正弦值.解：過A作AH⊥BC于H，連接PH，如圖所示.∵PC⊥平面ABCD，AH?平面ABCD，∴PC⊥AH，又PC∩BC＝C，∴AH⊥平面PBC.∴∠APH為PA與平面PBC所成的角.在邊長為2的菱形ABCD中，∠ABC＝60°，∴△ABC為正三角形，又AH⊥BC，∴H為BC中點(diǎn)，AH＝3，∵PC＝AC＝2，∴PA＝22，∴sin∠APH＝AHPA＝6故PA與平面PBC所成角的正弦值為64點(diǎn)在平面內(nèi)的射影位置的確定立體幾何中經(jīng)常遇到由一個(gè)點(diǎn)向一個(gè)平面作垂線的問題，垂線的位置由這個(gè)點(diǎn)在平面內(nèi)的射影位置確定，因此這個(gè)點(diǎn)的射影就是一個(gè)關(guān)鍵量.一般地，可以直接由這個(gè)點(diǎn)作平面的垂線，然后通過證明或計(jì)算說明垂足的位置，也可以借助一些常見結(jié)論進(jìn)行確定，如：（1）如果一個(gè)角所在平面外一點(diǎn)到角的兩邊距離相等，那么這一點(diǎn)在平面內(nèi)的射影在這個(gè)角的平分線上；（2）經(jīng)過一個(gè)角的頂點(diǎn)引這個(gè)角所在平面的斜線，如果斜線與這個(gè)角的兩邊的夾角相等，那么斜線在平面內(nèi)的射影是這個(gè)角的平分線所在的直線；（3）在三棱錐A-BCD中，有下列結(jié)論：①若AB＝AC＝AD，則點(diǎn)A在平面BCD內(nèi)的射影為△BCD的外心；②若點(diǎn)A到棱BC，CD，BD的距離相等，則點(diǎn)A在平面BCD內(nèi)的射影為△BCD的內(nèi)心；③若AB⊥CD，AC⊥BD，則點(diǎn)A在平面BCD內(nèi)的射影為△BCD的垂心.這些結(jié)論為確定點(diǎn)、斜線在平面內(nèi)的射影的位置提供了重要的方法和依據(jù)，為分析問題時(shí)的廣泛聯(lián)想提供了有力的支持.三棱錐的三條側(cè)棱兩兩相等，則頂點(diǎn)在底面的射影為底面三角形的（）A.內(nèi)心B.重心C.外心D.垂心解析：C如圖，設(shè)點(diǎn)P在平面ABC內(nèi)的射影為O，連接OP，OA，OB，OC.三棱錐的三條側(cè)棱兩兩相等，即PA＝PB＝PC.∵PO⊥底面ABC，∴PO⊥OA，PO⊥OB，PO⊥OC，∴Rt△POA≌Rt△POB≌Rt△POC，∴OA＝OB＝OC，故頂點(diǎn)P在底面的射影為底面三角形的外心.1.已知直線l1⊥平面α，直線l2?平面α，則下列結(jié)論一定不正確的是（）A.l1，l2相交B.l1，l2異面C.l1∥l2D.l1⊥l2解析：C若l1∥l2，l1?α，l2?α，則l1∥α，這與l1⊥α矛盾，所以l1∥l2不正確.2.下列命題中正確的是（）A.如果直線l與平面α內(nèi)的無數(shù)條直線垂直，則l⊥αB.如果直線l與平面α內(nèi)的一條直線垂直，則l⊥αC.如果直線l不垂直于平面α，則α內(nèi)沒有與l垂直的直線D.如果直線l不垂直于平面α，則α內(nèi)也可以有無數(shù)條直線與l垂直解析：D如圖所示，直線l與α內(nèi)的無數(shù)條直線垂直，但l與α斜交，故A不正確；同理B也不正確；同樣由圖可得，l不垂直于α，但α內(nèi)有與l垂直的直線，且這樣的直線有無數(shù)條，故C不正確，D正確.3.垂直于梯形兩腰的直線與梯形所在平面的位置關(guān)系是（）A.垂直B.相交但不垂直C.平行D.不確定解析：A因?yàn)樘菪蝺裳谥本€為兩條相交直線，所以由線面垂直的判定定理知，直線與平面垂直.故選A.4.如圖所示，若斜線段AB是它在平面α上的射影BO的2倍，則AB與平面α所成的角是（）A.60°B.45°C.30°D.120°解析