1-1復(fù)數(shù)與復(fù)平面解析

《復(fù)變函數(shù)與積分變換》zPN微積分的局部建立者1、笛卡兒，費(fèi)馬，約瑟夫·拉格朗日，柯西，羅必塔，泰勒

2、牛頓，萊布尼茨，黎曼，高斯，阿貝爾，達(dá)朗貝爾3、傅立葉，歐拉，維爾斯特拉斯，伯努利家族

，微積分是什么？

初等數(shù)學(xué)爭(zhēng)論：常量；靜止、有限、近似；微積分學(xué)爭(zhēng)論：變量；運(yùn)動(dòng)、無(wú)限、準(zhǔn)確。微積分學(xué)任務(wù)：爭(zhēng)論初等函數(shù)。微積分學(xué)元素:極限、連續(xù)、導(dǎo)數(shù)、積分。實(shí)變函數(shù)與復(fù)變函數(shù)實(shí)變函數(shù)(高等數(shù)學(xué))主要內(nèi)容微積分(一元、二元、多元)級(jí)數(shù)理論常微分方程本質(zhì)核心之一：有限到無(wú)窮〔極限〕實(shí)數(shù)列的極限實(shí)函數(shù)的連續(xù)實(shí)函數(shù)的積分實(shí)函數(shù)的微分實(shí)級(jí)數(shù)、實(shí)函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的收斂思考：為什么必需是實(shí)數(shù)，能是其他的嗎？比方是復(fù)數(shù)z=x+yi或三元數(shù)高等數(shù)學(xué)中的多元微積分相關(guān)概念的推廣，要求加強(qiáng)；相關(guān)結(jié)果的推廣，計(jì)算簡(jiǎn)潔程度劇增。以二元函數(shù)的情形為例：積分有曲線積分和曲面積分，微分有全微分和偏微分--場(chǎng)論中的S-公式,O-G公式G-公式思考:能否把多元函數(shù)形式上看出單變量的?假設(shè)能,有沒(méi)有優(yōu)勢(shì)?數(shù)學(xué)的追求:應(yīng)用更廣泛,理論更完善,形式更簡(jiǎn)潔實(shí)數(shù)與復(fù)數(shù)任意兩個(gè)實(shí)數(shù)都可以比較大小,幾何直觀是實(shí)數(shù)軸一般來(lái)講,兩個(gè)復(fù)數(shù)是不能比較大小的,比方i和0,幾何直觀是復(fù)平面將y=f(x)推廣為w=f(z),相關(guān)概念的定義從形式上看根本是一樣的,但所蘊(yùn)含的信息可能相差甚遠(yuǎn).要求大家學(xué)習(xí)時(shí),求同存異.實(shí)積分與復(fù)積分已經(jīng)學(xué)了二元微積分,還學(xué)復(fù)積分?類似于小學(xué)好多難題不用列方程都能解,還有學(xué)方程么?f(x,y)=u(x,y)+iv(x,y)強(qiáng)行把z=x+yi視為一個(gè)整體,學(xué)習(xí)之初,想法轉(zhuǎn)變有些難度,學(xué)完之后,理論的應(yīng)用便利快捷.例如但它倆都是無(wú)界函數(shù)函數(shù)的極限,在實(shí)數(shù)軸上,x趨于x0,只有左右兩側(cè);在復(fù)平面中,z趨于z0,路徑有無(wú)窮種情形,后者要求實(shí)際上是特殊強(qiáng)的函數(shù)的可積和可微,在這種極限存在的條件下,結(jié)論自然就更好看了在某區(qū)域內(nèi)處處可微的復(fù)函數(shù)是無(wú)窮次可微的,實(shí)函數(shù)可以處處連續(xù)且處處不行微f(x,y)=u(x,y)+iv(x,y)可微,則u,v都可微,但逆明確是不成立的.與高等數(shù)學(xué)中結(jié)論不同實(shí)函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的和函數(shù)未必連續(xù),或可導(dǎo).復(fù)函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)是內(nèi)閉全都收斂的,和函數(shù)自然是可導(dǎo)的.在假定所求函數(shù)是處處可微的前提下,函數(shù)在某些點(diǎn)或定義域的某一子集上的值,能否唯一確定該函數(shù)?在實(shí)函數(shù)情形時(shí),這個(gè)很難,一般要求是稠密子集,在復(fù)函數(shù)情形,只要該子集有極限點(diǎn),答案是唯一的.這就是解析函數(shù)的唯一性定理非負(fù)實(shí)函數(shù)的積分,有下方圖形面積的直觀,復(fù)函數(shù)的積分很難想象.Roll定理在復(fù)函數(shù)論中不成立,與之相關(guān)的各種中值定理根本上都不成立;由于可積的定義要求更強(qiáng),積分計(jì)算也有了更有力的工具:柯西定理,留數(shù)定理等我們可以利用復(fù)積分來(lái)處理在高等數(shù)學(xué)或工作中遇到的,明明知道積分或廣義積分是存在的,就是得不到準(zhǔn)確解的問(wèn)題.復(fù)變函數(shù)論〔TheoryofComplexVariableFunctions〕，又稱復(fù)分析〔ComplexAnalysis〕，產(chǎn)生于十八世紀(jì)，歐拉、達(dá)朗貝爾、拉普拉斯等數(shù)學(xué)家都為創(chuàng)立這門學(xué)科作出很多根底性的爭(zhēng)論工作。十九世紀(jì)，復(fù)變函數(shù)理論得到了全面進(jìn)展，三位精彩的數(shù)學(xué)家Cauchy、Weierstrass和Riemann等為這門學(xué)科的進(jìn)展作了大量奠基性工作。復(fù)變函數(shù)論這個(gè)新的數(shù)學(xué)分支統(tǒng)治了十九世紀(jì)的數(shù)學(xué)，當(dāng)時(shí)的數(shù)學(xué)家公認(rèn)復(fù)變函數(shù)論是最富有的數(shù)學(xué)分支，并且成為這個(gè)世紀(jì)的數(shù)學(xué)享受，也有人贊揚(yáng)它是抽象科學(xué)中最和諧的理論之一。二十世紀(jì)初，復(fù)變函數(shù)理論又有了很大的進(jìn)展，瑞典數(shù)學(xué)家列夫勒、法國(guó)數(shù)學(xué)家彭加勒、阿達(dá)瑪?shù)榷甲髁舜罅康臓?zhēng)論工作，開(kāi)拓了復(fù)變函數(shù)理論更寬闊的爭(zhēng)論領(lǐng)域，為這門學(xué)科的進(jìn)展做出了重要奉獻(xiàn)。我國(guó)老一輩數(shù)學(xué)家在復(fù)變函數(shù)理論的爭(zhēng)論中也做出了重要的奉獻(xiàn)，著名數(shù)學(xué)家華羅庚、陳建功、楊樂(lè)等，他們?cè)趪?guó)際數(shù)學(xué)界也享有很高的聲譽(yù)。

復(fù)變函數(shù)理論進(jìn)展到今日已經(jīng)有一百多年的歷史，是一門相當(dāng)成熟的學(xué)科，它已經(jīng)深入到微分方程、積分方程、概率論和數(shù)論等多個(gè)學(xué)科。更重要的是，它在其他學(xué)科得到了廣泛的應(yīng)用，有很多簡(jiǎn)潔的計(jì)算都是用它來(lái)解決的。比方物理學(xué)上有很多不同的穩(wěn)定平面場(chǎng)，對(duì)它們的計(jì)算就是通過(guò)復(fù)變函數(shù)來(lái)解決的。俄國(guó)的茹柯夫斯基在設(shè)計(jì)飛機(jī)的時(shí)候，就承受復(fù)變函數(shù)理論解決了飛機(jī)機(jī)翼的構(gòu)造問(wèn)題，他在運(yùn)用復(fù)變函數(shù)論解決流體力學(xué)和航空力學(xué)方面的問(wèn)題上也做出了奉獻(xiàn)。課程根本介紹課程名稱：復(fù)變函數(shù)與積分變換開(kāi)課學(xué)時(shí)：48

學(xué)時(shí)考核方式：30分尋常成績(jī)〔考勤+作業(yè)〕70分卷面成績(jī)〔期末考試〕答疑時(shí)間及地點(diǎn)：爭(zhēng)論對(duì)象復(fù)變函數(shù)〔自變量為復(fù)數(shù)的函數(shù)〕主要任務(wù)爭(zhēng)論復(fù)變數(shù)之間的相互依靠關(guān)系，具體地就是復(fù)數(shù)域上的微積分。主要內(nèi)容復(fù)變函數(shù)的積分、級(jí)數(shù)、留數(shù)、保形映射，積分變換等。復(fù)數(shù)與復(fù)變函數(shù)、解析函數(shù)、課程根本介紹學(xué)習(xí)方法復(fù)變函數(shù)中很多概念、理論、和方法是實(shí)變函數(shù)在復(fù)數(shù)域內(nèi)的推廣和進(jìn)展，它們之間有很多相像之處。但又有不同之處，在學(xué)習(xí)中要擅長(zhǎng)比較、區(qū)分、特殊要留意復(fù)數(shù)域上特有的那些性質(zhì)與結(jié)果。復(fù)變函數(shù)的進(jìn)展過(guò)程復(fù)數(shù)是十六世紀(jì)人們?cè)诮獯鷶?shù)方程時(shí)引進(jìn)的。為使負(fù)數(shù)開(kāi)方有意義，需要再一次擴(kuò)大數(shù)系，使實(shí)數(shù)域擴(kuò)大到復(fù)數(shù)域。但在十八世紀(jì)以前，由于對(duì)復(fù)數(shù)的概念及性質(zhì)了解得不清晰，用它們進(jìn)展計(jì)算又得到一些沖突，所以，在歷史上長(zhǎng)時(shí)期人們把復(fù)數(shù)看作不能承受的“虛數(shù)”。直到十八世紀(jì)，J.D’Alembert(1717-1783)與L.Euler(1707-1783)等人逐步說(shuō)明白復(fù)數(shù)的幾何意義和物理意義，澄清了復(fù)數(shù)的概念，并且應(yīng)用復(fù)數(shù)和復(fù)變函數(shù)爭(zhēng)論了流體力學(xué)等方面的一些問(wèn)題。復(fù)數(shù)才被人們廣泛成認(rèn)承受，復(fù)變函數(shù)論才能順當(dāng)建立和進(jìn)展。復(fù)變函數(shù)的進(jìn)展過(guò)程復(fù)變函數(shù)的進(jìn)展過(guò)程1774年，歐拉在他的一篇論文中考慮了由復(fù)變函數(shù)的積分導(dǎo)出的兩個(gè)方程。比他更早時(shí)，法國(guó)數(shù)學(xué)家達(dá)朗貝爾在他的關(guān)于流體力學(xué)的論文中，就已經(jīng)得到了它們。因此，后來(lái)人們提到這兩個(gè)方程，把它們叫做“達(dá)朗貝爾-歐拉方程”。到了十九世紀(jì)，上述兩個(gè)方程在柯西和黎曼爭(zhēng)論流體力學(xué)時(shí)，作了更具體的爭(zhēng)論，所以這兩個(gè)方程也被叫做“柯西-黎曼條件”。復(fù)變函數(shù)論的全面進(jìn)展是在十九世紀(jì)，就像微積分的直接擴(kuò)展統(tǒng)治了十八世紀(jì)的數(shù)學(xué)那樣，復(fù)變函數(shù)這個(gè)新的分支統(tǒng)治了十九世紀(jì)的數(shù)學(xué)。當(dāng)時(shí)的數(shù)學(xué)家公認(rèn)復(fù)變函數(shù)論是最富有的數(shù)學(xué)分支，并且稱為這個(gè)世紀(jì)的數(shù)學(xué)享受，也有人贊揚(yáng)它是抽象科學(xué)中最和諧的理論之一。復(fù)變函數(shù)的進(jìn)展過(guò)程二十世紀(jì)以來(lái)，復(fù)變函數(shù)已被廣泛地應(yīng)用在理論物理、彈性理論和天體力學(xué)等方面，與數(shù)學(xué)中其它分支的聯(lián)系也日益親切。復(fù)變函數(shù)的進(jìn)展過(guò)程第一章復(fù)數(shù)與復(fù)變函數(shù)第一講復(fù)數(shù)及復(fù)平面學(xué)習(xí)要點(diǎn)把握復(fù)數(shù)的意義及代數(shù)運(yùn)算把握復(fù)平面與復(fù)數(shù)的表示方法把握復(fù)數(shù)的乘冪與方根§1復(fù)數(shù)及其代數(shù)運(yùn)算1.復(fù)數(shù)的概念

復(fù)數(shù)z的實(shí)部

Re(z)=x;虛部

Im(z)=y.(realpart)(imaginarypart)一般,任意兩個(gè)復(fù)數(shù)不能比較大小。復(fù)數(shù)相等2.四則運(yùn)算z1=x1+iy1與z2=x2+iy2的和、差、積和商為：

z1±z2=(x1±x2)+i(y1±y2)z1z2=(x1+iy1)(x2+iy2)=(x1x2-y1y2)+i(x2y1+x1y2)復(fù)數(shù)的運(yùn)算滿足加法交換律、結(jié)合律；乘法交換律、結(jié)合律和安排律。

共軛復(fù)數(shù)的性質(zhì)定義假設(shè)z=x+iy,稱z=x-iy為z的共軛復(fù)數(shù).(conjugate)3.共軛復(fù)數(shù)解：§2復(fù)數(shù)的幾何表示1.點(diǎn)的表示橫坐標(biāo)軸稱為實(shí)軸，縱坐標(biāo)軸稱為虛軸；復(fù)平面一般稱為z-平面，w-平面等。2.向量表示法oxy(z)P(x,y)xy

z=0時(shí)，幅角無(wú)意義。

幅角無(wú)窮多：Argz=θ=θ0+2kπ，k∈Z，

當(dāng)z落于一,四象限時(shí)，不變。

當(dāng)z落于其次象限時(shí)，加p。

當(dāng)z落于第三象限時(shí)，減p.

依據(jù)向量的運(yùn)算及幾何學(xué)問(wèn)，我們可以得到兩個(gè)重要的不等式oxy(z)

z1z2

z1+z2oxy(z)

z1z2z2-z13.三角表示法可以用復(fù)數(shù)的模與輻角來(lái)表示非零復(fù)數(shù)z4.指數(shù)表示法yox例1例2例3例1解：例2解：例2解：例3證明：例3證明：ONzP4.復(fù)球面與無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)球極平面射影法取一個(gè)在原點(diǎn)O與z平面相切的球面，過(guò)O點(diǎn)作z平面的垂線與球面交于N點(diǎn)〔稱為北極或者球極〕。對(duì)于平面上的任一點(diǎn)z，用一條空間直線把它和球極連接起來(lái)，交球面于P。從幾何上可以看出：z平面上每個(gè)以原點(diǎn)為圓心的圓周對(duì)應(yīng)于球面上的某一個(gè)緯圈;N這個(gè)圓周以外的點(diǎn)則對(duì)應(yīng)于相應(yīng)緯圈以北的點(diǎn)，而且假設(shè)點(diǎn)z的模越大，球面上相應(yīng)的點(diǎn)則越靠近北極N。規(guī)定無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)的實(shí)部、虛部及幅角都沒(méi)有意義§3復(fù)數(shù)的乘冪與方根1.復(fù)數(shù)的乘積與商利用復(fù)數(shù)的三角表示，我們可以更簡(jiǎn)潔的表示復(fù)數(shù)的乘法與除法集合相等定理：對(duì)除法，有將復(fù)數(shù)z1按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)一個(gè)角度Argz2，再將其伸縮到|z2|倍。o