橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程小練習(xí) 高二上學(xué)期數(shù)學(xué)蘇教版（2019）選擇性必修第一冊(cè)

.1.1橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程小練習(xí)(2)一、單項(xiàng)選擇題1.若方程＋＝1表示橢圓C，則下列結(jié)論中正確的是()A.k∈(1，9)B.橢圓C的焦距為2eq\r(,2)C.若橢圓C的焦點(diǎn)在x軸上，則k∈(1，5)D.若橢圓C的焦點(diǎn)在x軸上，則k∈(5，9)2.已知F1(－3，0)，F(xiàn)2(3，0)是橢圓＋＝1(a>b>0)的焦點(diǎn)，點(diǎn)P在橢圓上，∠F1PF2＝α，且當(dāng)α＝eq\f(2π,3)時(shí)，△F1PF2的面積最大，則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為()A.＋＝1 B.＋＝1 C.＋＝1 D.＋＝13.已知F1，F(xiàn)2是橢圓＋＝1的焦點(diǎn)，點(diǎn)P在橢圓上．若PF1－PF2＝2，則△PF1F2的面積是()A.eq\r(3) B.eq\r(3)＋1 C.eq\r(2) D.eq\r(2)＋14.已知橢圓＋＝1的左、右焦點(diǎn)是F1，F(xiàn)2，點(diǎn)P在橢圓上，如果線段PF1的中點(diǎn)在y軸上，那么PF1∶PF2等于()A.3∶5 B.5∶3 C.3∶4 D.4∶3二、多項(xiàng)選擇題5.已知橢圓C1：＋＝1(a1＞b1＞0)和橢圓C2：＋＝1(a2＞b2＞0)的焦點(diǎn)相同，且a1＞a2.給出如下四個(gè)結(jié)論，其中正確的結(jié)論有()A.橢圓C1和橢圓C2沒有公共點(diǎn) B.－＝－C.> D.－<－6.橢圓＋＝1上的一點(diǎn)P到兩焦點(diǎn)的距離的乘積為m，則當(dāng)m取最大值時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)是()A.(－3，0) B.(2，0) C.(3，0) D.(－2，0)三、填空題7.已知F1，F(xiàn)2為橢圓＋＝1的左、右焦點(diǎn)，P為橢圓上的一點(diǎn)，且PF1∶PF2＝1∶2，則cos∠F1PF2的值為________．8.已知F1，F(xiàn)2是橢圓C：＋＝1(a>b>0)的兩個(gè)焦點(diǎn)，P為橢圓C上的一點(diǎn)，且PF1⊥PF2，若△PF1F2的面積為9，則b＝________．四、解答題9.設(shè)F1，F(xiàn)2是橢圓＋＝1的兩個(gè)焦點(diǎn)，P為橢圓上的一點(diǎn)，P，F(xiàn)1，F(xiàn)2是一個(gè)直角三角形的三個(gè)頂點(diǎn)，且PF1≠PF2，求的值．10.已知在橢圓＋＝1中，P是橢圓上的一點(diǎn)，F(xiàn)1，F(xiàn)2是橢圓的焦點(diǎn)，且∠PF1F2＝120°.(1)求△PF1F2的面積；(2)若將條件“∠PF1F2＝120°”改為“∠PF1F2＝90°”，求△PF1F2的面積．參考答案一、單項(xiàng)選擇題1.若方程＋＝1表示橢圓C，則下列結(jié)論中正確的是()A.k∈(1，9)B.橢圓C的焦距為2eq\r(,2)C.若橢圓C的焦點(diǎn)在x軸上，則k∈(1，5)D.若橢圓C的焦點(diǎn)在x軸上，則k∈(5，9)【解析】由方程表示橢圓可得9－k>0，k－1>0，且9－k≠k－1，解得k∈(1，5)∪(5，9)，故A錯(cuò)誤；當(dāng)焦點(diǎn)在x軸上時(shí)，9－k>k－1>0，解得k∈(1，5)，故D錯(cuò)誤，C正確；當(dāng)焦點(diǎn)在x軸上時(shí)，則c2＝9－k－(k－1)＝10－2k，當(dāng)焦點(diǎn)在y軸上時(shí)，c2＝k－1－(9－k)＝2k－10，故B錯(cuò)誤．故選C.2.已知F1(－3，0)，F(xiàn)2(3，0)是橢圓＋＝1(a>b>0)的焦點(diǎn)，點(diǎn)P在橢圓上，∠F1PF2＝α，且當(dāng)α＝eq\f(2π,3)時(shí)，△F1PF2的面積最大，則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為()A.＋＝1 B.＋＝1 C.＋＝1 D.＋＝1【解析】由題意知c＝3，當(dāng)△F1PF2的面積最大時(shí)，點(diǎn)P與橢圓在y軸上的交點(diǎn)重合．因?yàn)棣粒綍r(shí)，△F1PF2的面積最大，所以a＝＝2eq\r(,3)，b＝eq\r(,3)，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為＋＝1．故選A.3.已知F1，F(xiàn)2是橢圓＋＝1的焦點(diǎn)，點(diǎn)P在橢圓上．若PF1－PF2＝2，則△PF1F2的面積是()A.eq\r(3) B.eq\r(3)＋1 C.eq\r(2) D.eq\r(2)＋1【解析】由題意，得PF1＋PF2＝2a＝4.因?yàn)镻F1－PF2＝2，所以PF1＝3，PF2＝1.又F1F2＝2c＝2eq\r(2)，則＋＝，所以△PF1F2是以∠F2為直角的直角三角形，所以＝eq\f(1,2)×2eq\r(2)×1＝eq\r(2)．故選C.4.已知橢圓＋＝1的左、右焦點(diǎn)是F1，F(xiàn)2，點(diǎn)P在橢圓上，如果線段PF1的中點(diǎn)在y軸上，那么PF1∶PF2等于()A.3∶5 B.5∶3 C.3∶4 D.4∶3【解析】因?yàn)榫€段PF1的中點(diǎn)在y軸上，原點(diǎn)為F1F2的中點(diǎn)，所以y軸∥PF2，所以PF2⊥x軸，則－＝4c2＝4×(16－12)＝16.又PF1＋PF2＝8，所以PF1－PF2＝2，所以PF1＝5，PF2＝3，所以PF1∶PF2＝5∶3．故選B.二、多項(xiàng)選擇題5.已知橢圓C1：＋＝1(a1＞b1＞0)和橢圓C2：＋＝1(a2＞b2＞0)的焦點(diǎn)相同，且a1＞a2.給出如下四個(gè)結(jié)論，其中正確的結(jié)論有()A.橢圓C1和橢圓C2沒有公共點(diǎn) B.－＝－C.> D.－<－【解析】由已知條件可得－＝－，即－＝－.因?yàn)?gt;，所以>，所以兩橢圓無公共點(diǎn)，故A正確；B正確；若＝2，＝eq\r(,3)，＝eq\r(,2)，＝1，滿足－＝－，但＝eq\r(,2)，＝eq\r(,3)，<，故C不正確；因?yàn)?gt;>0，>>0，所以＋>＋>0.又由(＋)(－)＝(＋)(－)，可得－<－，故D正確．故選ABD.6.橢圓＋＝1上的一點(diǎn)P到兩焦點(diǎn)的距離的乘積為m，則當(dāng)m取最大值時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)是()A.(－3，0) B.(2，0) C.(3，0) D.(－2，0)【解析】記橢圓的兩焦點(diǎn)為F1，F(xiàn)2，則PF1＋PF2＝2a＝10.m＝PF1·PF2≤＝25，當(dāng)且僅當(dāng)PF1＝PF2＝5，即點(diǎn)P位于橢圓與x軸的交點(diǎn)處時(shí)，m取得最大值25，所以點(diǎn)P的坐標(biāo)為(－3，0)或(3，0)．故選AC.三、填空題7.已知F1，F(xiàn)2為橢圓＋＝1的左、右焦點(diǎn)，P為橢圓上的一點(diǎn)，且PF1∶PF2＝1∶2，則cos∠F1PF2的值為________．【解析】由題意得a＝3，b＝eq\r(5)，則c＝2.因?yàn)镻是橢圓上的一點(diǎn)，所以PF1＋PF2＝2a＝6.又PF1∶PF2＝1∶2，所以PF1＝2，PF2＝4.因?yàn)镕1F2＝2c＝4，所以由余弦定理，得cos∠F1PF2＝eq\f(22＋42－42,2×2×4)＝eq\f(1,4)．故答案為：eq\f(1,4)．8.已知F1，F(xiàn)2是橢圓C：＋＝1(a>b>0)的兩個(gè)焦點(diǎn)，P為橢圓C上的一點(diǎn)，且PF1⊥PF2，若△PF1F2的面積為9，則b＝________．【解析】設(shè)PF1＝r1，PF2＝r2，則PF1＋PF2＝r1＋r2＝2a.由PF1⊥PF2，得＋＝4c2，所以2r1r2＝(r1＋r2)2－(＋)＝4a2－4c2＝4b2，即r1r2＝2b2，所以△PF1F2的面積為＝eq\f(1,2)r1r2＝eq\f(1,2)×2b2＝b2.又因?yàn)椤鱌F1F2的面積為9，所以b2＝9，解得b＝3(負(fù)值舍去)．故答案為：3．四、解答題9.設(shè)F1，F(xiàn)2是橢圓＋＝1的兩個(gè)焦點(diǎn)，P為橢圓上的一點(diǎn)，P，F(xiàn)1，F(xiàn)2是一個(gè)直角三角形的三個(gè)頂點(diǎn)，且PF1≠PF2，求的值．【解析】由已知，得PF1＋PF2＝6，F(xiàn)1F2＝2eq\r(5)．①若∠PF1F2為直角，則＋＝，即＋20＝(6－PF1)2，解得PF1＝eq\f(4,3)，PF2＝eq\f(14,3)，所以＝eq\f(2,7)；②若∠F1PF2為直角，則＝＋，即＋(6－PF1)2＝20，解得或所以＝eq\f(1,2)或＝2；③若∠PF2F1為直角，則＋＝，即(6－PF1)2＋20＝，解得PF1＝eq\f(14,3)，PF2＝eq\f(4,3)，所以＝eq\f(7,2)．綜上所述，的值為eq\f(2,7)或eq\f(7,2)或eq\f(1,2)或2．10.已知在橢圓＋＝1中，P是橢圓上的一點(diǎn)，F(xiàn)1，F(xiàn)2是橢圓的焦點(diǎn)，且∠PF1F2＝120°.(1)求△PF1F2的面積；(2)若將條件“∠PF1F2＝120°”改為“∠PF1F2＝90°”，求△PF1F2的面積．【解析】(1)由＋＝1，得a＝2，b＝eq\r(,3)，則c＝＝1，所以F1F2＝2c＝2．在△PF1F2中，由余弦定理，得＝＋－2PF1·F1F2·cos∠PF1F2，即＝＋4＋2PF1.①又PF1＋PF2＝2a＝4，②由①②聯(lián)立，解得PF1＝e