水平層分析中的極限平衡法變分法的合理性

水平層分析中的極限平衡法變分法的合理性

1水平層分析法的基本原理為了解決指控底板沿墻高度的非線性分布的問題，k.r.i（60）建立了一種分析指控土壤壓力的水平分布的方法，也稱為水平分布模式。此后,許多學(xué)者推廣、簡化和改進(jìn)了Kаrан的研究成果。水平層分析法沿用了Coulomb土壓力理論破壞面為平面的假定,不考慮土條間的切向作用力,得出了主動土壓力作用點的位置。其結(jié)論與文獻(xiàn)中對于主動土壓力作用點位置的計算結(jié)果不同。文獻(xiàn)以滑動體靜力平衡的力的平衡方程為基礎(chǔ),引入Lagrange乘子,將土壓力問題轉(zhuǎn)化為確定含有兩個函數(shù)自變量的泛函極值問題,在確定了主動土壓力的大小后,利用滑動體靜力平衡的力矩平衡方程計算力的作用點位置。在文獻(xiàn)中,土體沿平面滑動破壞是由理論推導(dǎo)得出的結(jié)論,土壓力大小的結(jié)果與庫侖土壓力理論完全一致,但土壓力作用點作用在小于等于墻高的1/3位置處。為澄清認(rèn)識,有必要結(jié)合文獻(xiàn)中的研究成果進(jìn)行分析。2滑動面法向應(yīng)力如圖1所示,文獻(xiàn)利用極限平衡變分法,基于Euler方程得到了主動極限狀態(tài)下土體滑動面的方程式(1)和沿滑動面的法向應(yīng)力分布式(2)。式中:λ為Lagrange乘子,等于tan(α-?);?為土體內(nèi)摩擦角;α為滑裂面與水平面的夾角,見圖1;σ為滑動面上作用的法向應(yīng)力;xB為滑動體右上角點B的X坐標(biāo);c為土體凝聚力;γs為土體的重度。λ和xB具體求解見文獻(xiàn)。3各土條的靜力平衡方程采用水平層分析法確定主動土壓力沿墻高的分布。首先,需要將滑動體沿垂直方向化為多個水平土條;然后,以每個水平土條為研究對象,利用其靜力平衡的條件求得作用在土條側(cè)面的土壓力。當(dāng)劃分的土條足夠多時,就近似得出土壓力沿墻高的分布。由前面的敘述可知,已經(jīng)確定了滑動面方程式(1)和沿滑動面的法向應(yīng)力式(2),進(jìn)而可以求出裂面與水平面的夾角αe?，F(xiàn)在要做的是,先將滑動體ABC沿Y方向等分為k個水平土條(見圖2),土條的高度?y=h/k;接下來根據(jù)滑動面BC的方程和?y確定滑動面等分點處的x坐標(biāo)xi(i=0,1,2,…,k);最后以每個土條為研究對象,利用其靜力平衡方程求解作用在其上主動土壓力。以第i個土條1~4為例(見圖2)。由∑X=0可得由∑Y=0可得由∑M*=0可得式中:pai為作用在第i個土條上的主動土壓力;iT、Ti-1分別為作用在第i個土條頂面和底面的切向力;iR、Ri-1分別為作用在第i個土條頂面和底面的法向力;K(R)為土條頂面和底面法向力作用點位置系數(shù)。例如,當(dāng)法向力沿作用面均勻分布時,K(R)=1/2;而當(dāng)法向力沿作用面三角形分布時,K(R)=2/3。iQ、Zi分別為作用在第i個土條滑動面上的切向力和法向力;?iW為第i個土條的重量;﹡為土條靠墻面的中點,亦即pai的作用點;ix、xi-1分別為第i個土條右上角點和右下角點處的x坐標(biāo);M(iQ)、M(Zi)、M(?iW)分別為力iQ、Zi、?iW對﹡點的力矩。令聯(lián)立求解式(3)、式(4)和式(5),可得其中:此外,由圖2可知:代入式(16)、(17)和式(18),并令i=1,2,…,k–1,k,利用式(7)~(9)就可依次求出作用在每個土條上的主動土壓力pni,也就相應(yīng)得到了土壓力沿墻高的分布。4土體滑動破裂面的計算水平層分析法有3個最基本的假定:(1)假定土條頂面和底面法向力作用點位置系數(shù)K(R)=0.5;(2)假定土條間的作用力T=0;(3)墻后土體的滑動破裂面為平面。下面通過具體的計算結(jié)果討論上述前兩個假定的合理性。4.1墻高、土壓力分布當(dāng)土體的凝聚力c=0時,代入式(16)~(18),并令i=1,2,…,k–1,k,利用式(7)~(9)就可以得到主動土壓力沿墻高的分布。以?=30o且δ=0為例,取土條頂面和底面法向力作用點位置系數(shù)K(R)=0.5,可以求出主動土壓力強(qiáng)度沿墻高的方向成靜水壓力分布,如圖3所示,這與本文前面求出的土壓力的作用點在墻高的1/3處的結(jié)果相一致,并且此時求得的土條間的作用力T恒為0。當(dāng)取土條頂面和底面法向力作用點位置系數(shù)K(R)=0.49時,發(fā)現(xiàn)主動土壓力強(qiáng)度沿墻高的方向成鋸齒形分布(圖4),而此時求出的土條間的作用力T沿墻高的分布如圖5所示,可以近似為0,這說明主動土壓力強(qiáng)度分布對系數(shù)K(R)的取值相當(dāng)敏感。當(dāng)δ≠0時,取δ=?/2,并令土條頂面和底面法向力作用點位置系數(shù)K(R)=0.5,求出的主動土壓力強(qiáng)度及土條間的作用力T沿墻高的分布分別見圖6和圖7。土條間的作用力T沿墻高的分布不再恒為0,主動土壓力強(qiáng)度在墻頂附近出現(xiàn)了負(fù)值,這顯然是不合理的。再令K(R)=0.6,主動土壓力強(qiáng)度沿墻高的分布見8所示,相應(yīng)的計算結(jié)果顯然不正確。4.2x方向力的平衡方程下面以圖2(a)中的第1個及第k個土條為例,分析忽略土條間的作用力T對主動土壓力強(qiáng)度沿墻高的分布有何影響。如圖9所示,第1個土條在X方向力的平衡方程為如圖10所示,第k個土條在X方向力的平衡方程為顯然,忽略土條間的作用力T使pa1變大,pak變小。也就是說,不考慮土條間的切向作用力T將使墻頂部的主動土壓力強(qiáng)度變大,墻底部附近的主動土壓力強(qiáng)度變小。也就是說,水平層分析法改變了主動土壓力強(qiáng)度沿墻高的分布,在總的主動土壓力不變的前提下,求出的主動土壓力作用點的位置偏高。5墻高/墻高模型的選取(1)利用水平層分析法確定土壓力強(qiáng)度沿墻高的分布時,求出的結(jié)果對土條頂?shù)酌娴姆ㄏ蛄ψ饔命c位置系數(shù)K(R)的取值非常敏感。(2)系數(shù)K(R)為墻高